第4章 概率与统计 本章综合-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 而不是 y 与 x 之间的函数关系 . 但它反映的关系最接近 y 与 x 之间的真实关系 . 故选 AD. 8. AB 【解析】 由事件的独立性知， A 正确； 由独立 性检验的意义知， B 正确； χ 2 的大小是判定事件 A 与 B 是否相关的一种方法， 不是唯一依据， C 不正确； 若事 件 A 与 B 相关， 则 A 发生 B 可能发生， 也可能不发生， D 不正确 . 故选 AB. 9. （ 4 ， 10 ） 【解析】 去掉点 （ 4 ， 10 ） 后， 其余四 点大致在一条直线附近， 相关性增强 . 10. 580 【解析】 x = 1 5 （ 6+7+8+9+10 ） =8 ， y = 1 5 （ 700+ 650+630+620+600 ） =640 ， 640=-20×8+a ， a=800 ， y 赞 =-20× 11+800=580. 11. 0.001 【解析】 如果 χ 2 >10.828 时， 认为 “两变量 有关系” 犯错误的概率不超过 0.001. 12. 28 【解析】 由题得 a+b=20 ， a+6=18 ， b+d=32 2 # # # " # # # $ ， 解得 a=12 ， b=8 ， d=24 2 # # # " # # # $ . ∴a-b+ d=28. 13. 解： （ 1 ） x = 3+4+5+6+7+8+9 7 =6 ， y = 66+69+73+81+89+90+91 7 = 559 7 . （ 2 ） ∵y 与 x 有线性相关关系 ， ∴b 赞 = 7 i = 1 移 x i y i -7x y 7 i = 1 移 x 2 i -7x 2 = 3 487-7×6× 559 7 280-7×36 =4.75 ， a 赞 = 559 7 -6×4.75= 719 14 ≈51.36. 故回归直线方程为y 赞 =4.75x+51.36. 14. 解： （ 1 ） 调查的 500 位老年人中有 70 位需要 志愿者提供帮助， 因此该地区老年人中， 需要帮助的老 年人的比例的估计值为 70 500 ×100%=14%. （ 2 ） χ 2 = 500× （ 40×270-30×160 ） 2 200×300×70×430 ≈9.967. 由于 9.967>6.635 ， ∴ 有 99% 的把握认为该地区的老 年人是否需要帮助与性别有关 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 的结论知， 该地区老年人是否需要帮助 与性别有关， 并且从样本数据能看出该地区男性老年人 与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异， 因此在调 查时， 先确定该地区老年人中男、 女的比例， 再把老年 人分成男、 女两层并采用分层抽样方法进行抽样， 这比 采用简单随机抽样方法更好 . 第四章 章末复习课 变式训练 1 B 【解析】 记事件 A＝ “红色骰子的点数为 4 或 6 ”， 事件 B＝ “两颗骰子的点数之积大于 20 ” . P （ A ） ＝ 12 36 ＝ 1 3 ， P （ AB ） ＝ 4 36 ＝ 1 9 ， ∴P （ B|A ） ＝ P （ AB ） P （ A ） ＝ 1 9 1 3 ＝ 1 3 . 故 选 B. 变式训练 2 解： （ 1 ） 设 A i 表示事件 “一个试用组中， 服用甲种抗病毒药物有效的有 i 人”， i＝0 ， 1 ， 2 ， B j 表 示事件 “一个试用组中， 服用乙种抗病毒药物有效的有 j 人 ” ， j＝0 ， 1 ， 2 ， 依题意有 P （ A 1 ） ＝2× 1 2 × 1 2 ＝ 1 2 ， P （ A 2 ） ＝ 1 2 × 1 2 ＝ 1 4 ， P （ B 0 ） ＝ 2 3 × 2 3 ＝ 4 9 ， P （ B 1 ） ＝2× 1 3 × 2 3 ＝ 4 9 ， 故一个试用组为 “甲类组” 的概率为 P＝P （ B 0 A 1 ） ＋P （ B 0 A 2 ） ＋P （ B 1 A 2 ） ＝ 4 9 × 1 2 ＋ 4 9 × 1 4 ＋ 4 9 × 1 4 ＝ 4 9 . （ 2 ） η 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 且 η～B 3 ， 4 9 9 ( ， 则 P （ η＝0 ） ＝C 0 3 1- 4 9 9 9 3 ＝ 135 729 ， P （ η＝1 ） ＝C 1 3 × 4 9 × 1- 4 9 9 9 2 ＝ 100 243 ， P （ η＝2 ） ＝C 2 3 4 9 9 9 2 1- 4 9 9 9 ＝ 80 243 ， P （ η＝3 ） ＝C 3 3 4 9 9 9 3 ＝ 64 729 ， 故 η 的分布列为 ∵η～B 3 ， 4 9 9 9 ， ∴E （ η ） ＝3× 4 9 ＝ 4 3 . 变式训练 3 解： （ 1 ） 由已知， 随机变量 η 的取值为 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6. 设掷一个正方体骰子所得点数为 η 0 ， 则 η 0 的分布列为 ∴P （ η＝2 ） ＝ 1 6 × 1 6 ＝ 1 36 ， P （ η＝3 ） ＝2× 1 6 × 1 3 ＝ 1 9 ， P （ η＝4 ） ＝2× 1 6 × 1 2 ＋ 1 3 × 1 3 ＝ 5 18 ， P （ η＝5 ） ＝2× 1 3 × 1 2 ＝ 1 3 ， P （ η＝6 ） ＝ 1 2 × 1 2 ＝ 1 4 . 故 η 的分布列为 （ 2 ） 由已知， 满足条件的一次投掷的点数和取值为 6 ， 设某次发生的概率为 p ， 由 （ 1 ） 知， p＝ 1 4 . ∵ 随机变量 ξ～B 10 ， 1 4 9 9 ， ∴E （ ξ ） ＝np＝10× 1 4 ＝ 5 2 ， D （ ξ ） ＝np （ 1-p ） ＝10× 1 4 × 3 4 ＝ 15 8 . 变式训练 4 解： （ 1 ） μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋ 0.1×18＝10 ， σ 2 ＝s 2 ＝2× （ 8 2 ×0.1＋4 2 ×0.2 ） ＋ （ 10-10 ） 2 ×0.4＝19.2. η 2 P 1 36 3 1 9 4 5 18 5 1 3 6 1 4 η 0 3 P 125 729 64 729 1 100 243 2 80 243 η 0 1 2 3 P 1 6 1 3 1 2 78 参 考 答 案 （ 2 ） μ＋σ＝10＋4.38＝14.38 ， 设 “ 3 名乘客候车时间超过 15 min ” 的事件为 A ， P （ X>14.38 ） ＝ 1-P （ μ-σ≤X≤μ+σ ） 2 ≈ 0.158 5 ， P （ A ） ＝C 3 10 × （ 0.158 5 ） 3 × （ 0.841 5 ） 7 ≈0.143>0.003 ， 准点率正常 . 变式训练 5 （ 1 ） C 【解析】 根据题意， 变量 x 和 y 满 足关系 y＝-2x＋1 ， 其比例系数为 -2<0 ， ∴x 与 y 负相关； 又由变量 y 与 z 正相关， 则 x 与 z 负相关 . 故选 C. （ 2 ） C 【解析】 根据 A ， B 两组样本数据的散点图 知， A 组样本数据几乎在一条直线上， 且成正相关， ∴ 相关系数为 r 1 应最接近 1 ， B 组数据分散在一条直线附 近， 也成正相关， 相关系数为 r 2 ， 且满足 r 2 <r 1 ， 即 r 1 >r 2 ， 故选 C. 变式训练 6 解 ： （ 1 ） 设 x 轴表示房屋的面积， y 轴表示销售价格， 数据 对应的散点图如图 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 y 与 x 具有线性相关关系， 可 设其回归直线方程为 y 赞 ＝ b 赞 x+a 赞 ， 依据题中的数据 ， 可得出x ＝ 1 5 5 i = 1 移 x i ＝109 ， 5 i = 1 移 （ x i - x） 2 ＝1 570 ， y ＝ 1 5 5 i = 1 移 y i ＝ 23.2 ， 5 i = 1 移 （ x i -x）（y i - y） ＝308 ， ∴b 赞 ＝ 5 i = 1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） 5 i = 1 移 （ x i -x ） 2 ＝ 308 1 570 ≈ 0.196 2 ， a 赞 ＝ y -b 赞 x ≈23.2-0.196 2×109＝1.814 2. 故所求回 归直线方程为y 赞 ＝0.196 2x＋1.814 2. （ 3 ） 由 （ 2 ） 知当 x＝150 时， 销售价格的估计值为y 赞 ＝ 0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2 （万元） . 故当房屋面积为 150 m 2 时， 估计销售价格是 31.244 2 万元 . 变式训练 7 解 ： 对 U≈U 0 e -αt 两边取自然对数 ， 得 lnU≈lnU 0 -αt. 令 z＝lnU ， a 赞 ＝lnU 0 ， b 赞 ＝-α ， 则z 赞 ≈a 赞 ＋b 赞 t. 将 U 的各观测数据代入 z＝lnU ， 求得 b 赞 ≈-0.355 3 ， a 赞 ≈4.714 ， ∴ z 赞 ＝4.714 -0.355 3t ， 即 lnU＝4.714-0.355 3t ， ∴U＝e 4.714-0.355 3t . 故所求回归方程为 U＝e 4.714-0.355 3t . 变式训练 8 解： 由列联表的数据可求 χ 2 ＝ 460× （ 26×200-184×50 ） 2 76×384×210×250 ≈4.804>3.841 ， ∴ 有 95% 的把 握认为种子灭菌与小麦发生黑穗病有关系 . 真题体验 1. B 【解析】 由题意可知， 10 位成员中使用移动支 付的人数 X 服从二项分布， 即 X～B （ 10 ， p ）， ∴D （ X ） ＝ 10p （ 1-p ） ＝2.4 ， ∴p＝0.4 或 0.6. 又 ∵P （ X＝4 ） ＜P （ X＝6 ） ， ∴C 4 10 p 4 （ 1-p ） 6 ＜C 6 10 p 6 （ 1-p ） 4 ， ∴p＞0.5 ， ∴p＝0.6. 故选 B. 2. A 【解析】 设 A= “某一天的空气质量为优良”， B= “随后一天的空气质量为优良 ” ， 则 P （ B ｜A ） = P （ AB ） P （ A ） = 0.6 0.75 =0.8. 故选 A. 3. 0.18 【解析】 甲队要以 4 ∶ 1 ， 则甲队在前 4 场比 赛中输一场， 第 5 场甲获胜， 由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场， 于是分两种情况： C 1 2 · 0.6 · 0.4 · 0.5 2 · 0.6+0.6 2 · C 1 2 · 0.5 · 0.5 · 0.6=0.18. 4. BCD 【解析】 根据二项分布的数学期望和方差的 公式， 可得 E （ X ） =np=30 ， D （ X ） =np （ 1-p ） =20 ， 解得 p= 1 3 ， 故 A 错误； 根据方差的计算公式可知， 将一组数据 中的每个数据都加上同一个常数后， 方差恒不变， 故 B 正确； 由正态分布的图象的对称性可得 P （ -1<ξ<0 ） = 1 2 -p ， 故 C 正确； 由独立重复试验的概率的计算公式可 得 ， 由 P （ X=k ） P （ X=k-1 ） = C k 10 0.8 k · 0.2 10-k C k-1 10 0.8 k-1 0.2 11-k = 4 （ 11-k ） k >1， 得 k< 8.8 ， 即 k≤8 时， P （ X=k ） >P （ x=k-1 ）， 同理得 k≥9 时， P （ X=k ） <P （ x=k-1 ）， 即 P （ X=8 ）最大， P （ X=8 ） =C 8 10 （ 0.8 ） 8 · （ 1-0.8 ） 2 ， 故 D 正确 . ∴ 正确命题的序号为 BCD. 5. D 【解析】 由散点图可以看出， 点大致分布在对 数型函数的图象附近 . 故选 D. 6. 解： （ 1 ） ① 对每组进行检测， 需要 10 次； 再对 结果为阳性的组每个人进行检测， 需要 10 次； ∴ 总检测次数为 20 次 . ② 由题意， X 可以取 20 ， 30 ， P （ X=20 ） = 1 11 ， P （ X=30 ） =1- 1 11 = 10 11 ， 则 X 的分布列为 ∴E （ X ） =20× 1 11 +30× 10 11 = 320 11 . （ 2 ） 由题意， Y 可以取 25 ， 30 ， 设两名感染者在同 一组的概率为 p ， P （ Y=25 ） =p ， P （ Y=30 ） =1-p ， 则 E （ Y ） =25p+30 （ 1-p ） =30-5p ， 当 p= 2 11 时， E （ X ） =E （ Y ）； 当 p> 2 11 时， E （ X ） >E （ Y ）； 当 p< 2 11 时， E （ X ） <E （ Y ） . 7. 解： （ 1 ） X 的取值可能为 0 ， 20 ， 100 ， P （ X=0 ） = 1-0.8=0.2 ， P （ X=20 ） =0.8× （ 1-0.6 ） =0.32 ， P （ X=100 ） =0.8×0.6=0.48 ， ∴X 的分布列为 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … z 4.605 4.317 4.007 3.689 3.401 2.996 2.708 2.303 1.609 … 70 90 110 130 150 30 25 20 15 x y O 变式训练 6 答图 X 20 30 P 1 11 10 11 79 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 （ 2 ） 假设先答 B 类题 ， 得分为 Y ， 则 Y 可能为 0 ， 80 ， 100 ， P （ Y=0 ） =1-0.6=0.4 ， P （ Y=80 ） =0.6× （ 1-0.8 ） =0.12 ， P （ Y=100 ） =0.6×0.8=0.48 ， ∴Y 的分布列为 ∴E （ Y ） =0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6 ， 由 （ 1 ） 可 知 E （ X ） =0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4 ， ∴E （ Y ） >E （ X ）， ∴ 应先答 B 类题 . 8. 解： （ 1 ） 由频数分布表可知， 该市一天的空气 质量等级为 1 的概率为 2+16+25 100 ＝0.43 ； 空气质量等级为 2 的概率为 5+10+12 100 ＝0.27 ； 空气质 量等级为 3 的概率为 6+7+8 100 ＝0.21 ； 空气质量等级为 4 的概率为 7+2+0 100 ＝0.09. （ 2 ） 由频数分布表可知， 一天中到该公园锻炼的平 均人次的估计值为 100×20+300×35+500×45 100 ＝350. （ 3 ） 2×2 列联表如下： χ 2 ＝ 100× （ 33×8-37×22 ） 2 55×45×70×30 ≈5.820>3.841 ， ∴ 有 95% 的 把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气 质量有关 . 9. 解： （ 1 ） 每台机器更换的易损零件数为 8 ， 9 ， 10 ， 11. 记事件 A i 为第一台机器 3 年内换掉 i+7 个零件 （ i= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 记事件 B i 为第二台机器 3 年内换掉 i+7 个零件 （ i= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）， 由题知 P （ A 1 ） =P （ A 3 ） =P （ A 4 ） =P （ B 1 ） =P （ B 3 ） =P （ B 4 ） = 0.2 ， P （ A 2 ） =P （ B 2 ） =0.4. 设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X ， 则 X 的可能取值为 16 ， 17 ， 18 ， 19 ， 20 ， 21 ， 22. P （ X=16 ） =P(A 1 ） P （ B 1 ） =0.2×0.2=0.04 ， P （ X=17 ） =P （ A 1 ） P （ B 2 ） +P （ A 2 ） P （ B 1 ） =0.2×0.4+0.4×0.2= 0.16 ， P （ X=18 ） =P （ A 1 ） P （ B 3 ） +P （ A 2 ） P （ B 2 ） +P （ A 3 ） P （ B 1 ） =0.2× 0.2+0.2×0.2+0.4×0.4=0.24 ， P （ X=19 ） =P （ A 1 ） P （ B 4 ） +P （ A 2 ） P （ B 3 ） +P （ A 3 ） P （ B 2 ） + P （ A 4 ） P （ B 1 ） =0.2×0.2+0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4=0.24 ， P （ X=20 ） =P （ A 2 ） P （ B 4 ） +P （ A 3 ） P （ B 3 ） +P （ A 4 ） P （ B 2 ） =0.4× 0.2+0.2×0.4+0.2×0.2=0.2 ， P （ X=21 ） =P （ A 3 ） P （ B 4 ） +P （ A 4 ） P （ B 3 ） =0.2×0.2+0.2×0.2= 0.08 ， P （ X=22 ） =P （ A 4 ） P （ B 4 ） =0.2×0.2=0.04. （ 2 ） 要令 P （ X≤n ） ≥0.5. ∵0.04+0.16+0.24<0.5 ， 0.04+ 0.16+0.24+0.24≥0.5 ， 则 n 的最小值为 19. （ 3 ） 购买零件所需费用含两部分， 一部分为购买机 器时购买零件的费用， 另一部分为备件不足时额外购买 的费用 . 当 n=19 时， 费用的期望为 19×200+500×0.2+1 000× 0.08+1 500×0.04=4 040 ； 当 n=20 时， 费用的期望为 20×200+500×0.08+1 000× 0.04=4 080. ∴ 应选用 n=19. 10. 解： （ 1 ） 设双方 10 ∶ 10 平后的第 k 个球甲获胜 为事件 A k （ k＝1 ， 2 ， 3 ， …）， 则 P （ X＝2 ） ＝P （ A 1 A 2 ） +P （ A 1 A 2 ） ＝P （ A 1 ） P （ A 2 ） +P （A 1 ） P （A 2 ） ＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5. （ 2 ） P （ X＝4 且甲获胜） ＝P （ A 1 A 3 A 3 A 4 ） +P （ A 1 A 2 A 3 A 4 ） ＝P （ A 1 ） P （ A 2 ） P （ A 3 ） P （ A 4 ） +P （ A 1 ） P （ A 2 ） P （ A 3 ） P （ A 4 ） ＝ （ 0.5×0.4+0.5×0.6 ） ×0.5×0.4＝0.1. 11. 解 ： （ 1 ） 由已知得 0.70=a+0.20+0.15 ， 故 a= 0.35. b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. （ 2 ） 甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3×0.05+4× 0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00. 12. 解： （ 1 ） 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率 为 f （ p ） =C 2 20 p 2 （ 1-p ） 18 . 因此 f ′ （ p ） =C 2 20 ［ 2p （ 1-p ） 18 -18p 2 （ 1-p ） 17 ］ =2C 2 20 p （ 1-p ） 17 （ 1- 10p ） . 令 f ′ （ p ） =0 ， 得 p=0.1. 当 p∈ （ 0 ， 0.1 ） 时， f ′ （ p ） >0 ； 当 p∈ （ 0.1 ， 1 ） 时， f ′ （ p ） <0. ∴f （ p ）的最大值点为 p 0 =0.1. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， p=0.1. ① 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数， 依题意知 Y~B （ 180 ， 0.1 ）， X=20×2+25Y ， 即 X=40+25Y. ∴EX=E （ 40+25Y ） =40+25EY=490. ② 如果对余下的产品作检验， 则这一箱产品所需要 的检验费为 400 元 . 由于 EX>400 ， 故应该对余下的产品作检验 . 13. 解： （ 1 ） 利用模型 ① ， 该地区 2018 年的环境基 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 人次 ≤400 人次 >400 空气质量好 33 37 空气质量不好 22 8 X 16 P 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 22 0.04 21 0.08 80 参 考 答 案 础 设 施 投 资 额 的 预 测 值 为 y 赞 =-30.4 +13.5 ×19 =226.1 （亿元） . 利用模型 ② ， 该地区 2018 年的环境基础设施投资额 的预测值为y 赞 =99+17.5×9=256.5 （亿元） . （ 2 ） 利用模型 ② 得到的预测值更可靠 . 理由如下： ⅰ. 从折线图可以看出， 2000 年至 2016 年的数据对 应的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t 上下 . 这说明 利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型 ① 不能很 好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 . 2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近， 这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长 趋势， 利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y 赞 = 99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投 资额的变化趋势， 因此利用模型 ② 得到的预测值更可靠 . ⅱ. 从计算结果看， 相对于 2016 年的环境基础设施 投资额 220 亿元， 由模型 ① 得到的预测值 226.1 亿元的 增幅明显偏低， 而利用模型 ② 得到的预测值的增幅比较 合理 . 说明利用模型 ② 得到的预测值更可靠 . 14. 解： （ 1 ） 第一种生产方式的平均数为x 1 =84 ， 第 二种生产方式平均数为x 2 =74.7 ， ∴ x 1 > x 2 ， ∴ 第一种生产方式完成任务的平均时间大于 第二种， ∴ 第二种生产方式的效率更高 . （ 2 ） 由茎叶图数据得到 m=80 ， ∴ 列联表为 （ 3 ） χ 2 = n （ ad-bc ） 2 （ a+b ）（ c+d ）（ a+c ）（ b+d ） = 40× （ 15×15-5×5 ） 2 20×20×20×20 =10>6.635 ， ∴ 有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异 . 15. 解 ： （ 1 ） 由题可知尺寸落在 （ μ-3σ ， μ+3σ ） 之内的概率为 0.997 4 ， 落在 （ μ-3σ ， μ+3σ ） 之外的概率 为 0.002 6. P （ X=0 ） =C 0 16 （ 1-0.997 4 ） 0 ×0.997 4 16 ≈0.959 2 ， P （ X≥1 ） =1-P （ X=0 ） ≈1-0.959 2=0.040 8 ， 由题可知 X~B （ 16 ， 0.002 6 ）， ∴E （ X ） =16×0.002 6=0.041 6. （ 2 ） ① 尺寸落在 （ μ-3σ ， μ+3σ ） 之外的概率为 0.002 6 ， 由正态分布知尺寸落在 （ μ-3σ ， μ+3σ ） 之外 为小概率事件， 因此上述监控生产过程的方法合理 . ②μ-3σ=9.97-3×0.212=9.334 ， μ+3σ=9.97+3×0.212= 10.606 ， （ μ-3σ ， μ+3σ ） = （ 9.334 ， 10.606 ） . ∵9.22埸 （ 9.334 ， 10.606 ）， ∴ 需对当天的生产过程检查 . 因此剔除 9.22 ， 剔除数据之后： μ= 9.97×16-9.22 15 =10.02. σ 2 = ［（ 9.95 -10.02 ） 2 + （ 10.12 -10.02 ） 2 + （ 9.96 -10.02 ） 2 + （ 9.96-10.02 ） 2 + （ 10.01-10.02 ） 2 + （ 9.92-10.02 ） 2 + （ 9.98-10.02 ） 2 + （ 10.04 -10.02 ） 2 + （ 10.26 -10.02 ） 2 + （ 9.91 -10.02 ） 3 + （ 10.13 - 10.02 ） 2 + （ 10.02-10.02 ） 2 + （ 10.04-10.02 ） 2 + （ 10.05-10.02 ） 2 + （ 9.95-10.02 ） 2 ］ × 1 15 ≈0.008 ， ∴σ= 0.008 姨 ≈0.09. 第三章章末测试卷 1. D 【解析】 首先将黑球和白球排列好， 再插入红 球 . 情况 1 ： 黑球和白球按照黑白相间排列 （“黑白黑白 黑白” 或 “白黑白黑白黑”）， 此时将红球插入 6 个球组 成的 7 个空中即可， 因此共有 2×7=14 （种 ）； 情况 2 ： 黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起 （“黑白白 黑白黑” “黑白黑白白黑” “白黑黑白黑白” “白黑白 黑黑白”）， 此时红球只能插入两个相同颜色的球之中， 共 4 种 . 综上所述， 共有 14+4=18 （种） . 故选 D. 2. A 【解析】 x- 1 x & 5 展开式的通项为 T r+1 =C r 5 x 5-r - 1 x x & r = C r 5 （ -1 ） r x 5-2r ， 取 r=1 ， T 2 =C 1 5 （ -1 ） 1 x 3 =-5x 3 ， 系数为 -5. 故选 A. 3. B 【解析】 分情况讨论： 若 A 和 B 两个社区， 一个 社区 1 个志愿者， 另一个社区 3 个志愿者， 则只需让甲 或乙单独去一个社区即可， 共 2×2=4 （种） 情况； 若 A 和 B 两个社区分别有两个志愿者， 则共有C 1 2 ×2=4 （种） 情况； 因此共 4+4=8 （种） 不同的分配方案 . 故选 B. 4. D 【解析】 ∵ 甲不参加生物竞赛， ∴ 可安排甲参 加另外 3 科比赛或甲不参加任何比赛 . 当甲参加另外 3 科比赛时， 共有C 1 3 A 3 4 =72 （种） 参赛方案； 当甲不参加 任何比赛时， 共有A 4 4 =24 （种） 参赛方案 . 综上所述， 所 有的参赛方案有 72+24=96 （种） . 故选 D. 5. D 【解析】 现有 3 双不同的鞋子， 从中随机取出 2 只， 基本事件总数 n=C 2 6 =15 ， 取出的鞋都是左脚包含 的基本事件个数 m=C 2 3 =3 ， 则取出的鞋都是左脚的概率 是 P= m n = 3 15 = 1 5 . 故选 D. 6. B 【解析】 由题意可知三年修完 4 门课程， 则每 位 同 学 每 年 所 修 课 程 数 为 1 ， 1 ， 2 或 0 ， 1 ， 3 或 0 ， 2 ， 2. 若是 1 ， 1 ， 2 ， 则先将 4 门学科分成三组， 共 C 1 4 C 1 2 C 2 2 A 2 2 种不同方式 . 再分配到三个学年共有A 3 3 种不同分 配方式， 由乘法原理可得共有 C 1 4 C 1 3 C 2 2 A 2 2 ·A 3 3 =36 （种） . 若 是 0 ， 1 ， 3 ， 则先将 4 门学科分成三组共C 1 4 C 1 3 种不同方 式， 再分配到三个学年共有A 3 3 种不同分配方式， 由乘法 原理可得共有C 1 4 C 1 3 ·A 3 3 =24 （种） . 若是 0 ， 2 ， 2 ， 则先将 4 门学科分成三组共 C 2 4 C 2 2 A 2 2 种不同方式， 再分配到三个学 年共有A 3 3 种不同分配方式， 由乘法原理可得共有 C 2 4 C 2 2 A 2 2 · A 3 3 =18 （种） . ∴ 每位同学的不同选修方式有 36+24+18= 78 （种）， 故选 B. 7. A 【解析】 根据题意， 每位同学均有 3 种不同的 选择方案， ∴4 名同学选择的方案共有 3 4 种不同的方案 . 超过 m 不超过 m 合计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 合计 20 20 40 81 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 要 点 精 析 要点 1 条件概率与全概率公式 1. 求条件概率有两种方法： 一种是基于 样本空间 Ω ， 先计算 P （ A ）和 P （ AB ）， 再利用 P （ B|A ） ＝ P （ AB ） P （ A ） 求解； 另一种是缩小样本空 间， 即以 A 为样本空间计算 AB 的概率 . 2. 掌握条件概率与全概率运算， 重点提 升逻辑推理和数学运算的核心素养 . 例 1 甲、 乙、 丙三人同时对飞机进行 射击， 三人击中的概率分别为 0.4 ， 0.5 ， 0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为 0.2 ， 被两 人击中而击落的概率为 0.6 ， 若三人都击中， 飞机必定被击落， 求飞机被击落的概率 . 解： 设 B＝ “飞机被击落”， A i ＝ “飞机被 i 人击中”， i＝1 ， 2 ， 3 ， 则 B＝A 1 B＋A 2 B＋A 3 B. 依题意 ， P （ B |A 1 ） ＝0.2 ， P （ B |A 2 ） ＝0.6 ， P （ B|A 3 ） ＝1. 由全概率公式 P （ B ） ＝P （ A 1 ） P （ B|A 1 ） ＋P （ A 2 ） P （ B|A 2 ） ＋P （ A 3 ） P （ B|A 3 ）， 为求 P （ A i ）， 设 H i ＝ “飞机被第 i 人击中”， i＝1 ， 2 ， 3 ， 可 求得： P （ A 1 ） ＝P （ H 1 H 2 H 3 ＋H 1 H 2 H 3 ＋H 1 H 2 H 3 ）， P （ A 2 ） ＝P （ H 1 H 2 H 3 ＋H 1 H 2 H 3 ＋H 1 H 2 H 3 ）， P （ A 3 ） ＝P （ H 1 H 2 H 3 ）， 将数据代入计算得 P （ A 1 ） ＝0.36 ， P （ A 2 ） ＝0.41 ， P （ A 3 ） ＝0.14 ， 于是 P （ B ） ＝P （ A 1 ） P （ B|A 1 ） ＋P （ A 2 ） P （ B|A 2 ） ＋P （ A 3 ） P （ B|A 3 ） ＝ 0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458 ， 即飞机被 击落的概率为 0.458. 反思感悟 条件概率的计算要注意以下几点： （ 1 ） 明白是在谁的条件下， 计算谁的 概率 . （ 2 ） 明确 P （ A ）， P （ B|A ）以及 P （ AB ）三 者间的关系， 实现三者间的互化 . （ 3 ） 理解全概率公式 P （ A ） ＝ n i=1 移 P （ B i ） P （ A|B i ） 中化整为零的计算思想 . 变式训练 1 抛掷红、 黄两颗骰子， 当红色骰子的点 数为 4 或 6 时， 两颗骰子的点数之积大于 20 的概率是 （ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 5 要点 2 n 次独立重复试验及二项分布 1. 独立重复试验是相互独立事件概率的 延伸， 其试验结果出现的次数 X～B （ n ， p ）， 即 P （ X＝k ） ＝C k n p k （ 1－p ） n－k . 2. 学习该部分知识重点提升数学建模及 数学运算的核心素养 . 例 2 在一次抗洪抢险中， 准备用射击 的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油 罐， 已知只有 5 发子弹， 第一次命中只能使 汽油流出， 第二次命中才能引爆， 每次射击 第四章 章末复习课 78 第四章 概率与统计 学 是相互独立的， 且命中的概率都是 2 3 . （ 1 ） 求油罐被引爆的概率； （ 2 ） 如果引爆或子弹打光则停止射击， 设射击次数为 ξ ， 求 ξ 不小于 4 的概率 . 解： （ 1 ） 油罐引爆的对立事件为油罐 没有引爆， 没有引爆的可能情况是射击 5 次 只击中一次或一次也没有击中， 故该事件的 概率为 P＝C 1 5 × 2 3 × 1 3 3 " 4 ＋ 1 3 3 " 5 ， 所以所求的 概率为 1－P＝1－ C 1 5 × 2 3 × 1 3 3 " 4 ＋ 1 3 3 " 5 5 $ ＝ 232 243 . （ 2 ） 当 ξ＝4 时， 记事件为 A ， 则 P （ A ） ＝ P （ ξ＝4 ） ＝C 1 ３ × 2 3 × 1 3 3 " 2 × 2 3 ＝ 4 27 ， 当 ξ＝5 时， 意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击 中， 记为事件 B ， 则 P （ B ） ＝P （ ξ＝5 ） ＝C 1 ４ × 2 3 × 1 3 3 " 3 ＋ 1 3 3 " 4 ＝ 1 9 ， ∴ 所求概率为 P （ A∪B ） ＝ P （ A ） ＋P （ B ） ＝ ４ ２7 ＋ 1 9 ＝ 7 ２7 . 反思感悟 与二项分布有关的问题关键是二项分 布的判定， 可从以下几个方面判定： （ 1 ） 每次试验中， 事件发生的概率是 相同的 . （ 2 ） 各次试验中的事件是相互独立的 . （ 3 ） 每次试验只有两种结果： 事件要 么发生， 要么不发生 . （ 4 ） 随机变量是这 n 次独立重复试验 中某事件发生的次数 . 变式训练 2 一家医药研究所从中草药中提取并合成 了甲、 乙两种抗 “ H 病毒” 的药物， 经试 验， 服用甲、 乙两种药物痊愈的概率分别为 1 2 ， 1 3 ， 现已进入药物临床试用阶段， 每 个试用组由 4 位该病毒的感染者组成， 其中 2 人试用甲种抗病毒药物， 2 人试用乙种抗 病毒药物， 如果试用组中， 甲种抗病毒药物 治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数， 那么称该组为 “甲类组” . （ 1 ） 求一个试用组为 “甲类组 ” 的 概率； （ 2 ） 观察 3 个试用组， 用 η 表示这 3 个 试用组中 “甲类组” 的个数， 求 η 的分布列 和均值 . 要点 3 离散型随机变量的均值与方差 1. 均值和方差都是随机变量的重要的数 字特征， 方差是建立在均值的基础之上， 它 表明了随机变量所取的值相对于它的均值的 集中与离散程度， 二者的联系密切， 在现实 生产生活中的应用比较广泛 . 2. 掌握均值和方差的计算， 重点提升逻 辑推理和数据分析的核心素养 . 79 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 例 3 某联欢晚会举行抽奖活动， 举办 方设置了甲、 乙两种抽奖方案， 方案甲的中 奖率为 2 3 ， 中奖可以获得 2 分； 方案乙的中 奖率为 2 5 ， 中奖可以获得 3 分； 未中奖则不 得分 . 每人有且只有一次抽奖机会， 每次抽 奖中奖与否互不影响， 晚会结束后凭分数兑 换奖品 . （ 1 ） 若小明选择方案甲抽奖， 小红选择 方案乙抽奖， 记他们的累计得分为 X ， 求 X≤3 的概率； （ 2 ） 若小明、 小红两人都选择方案甲或 都选择方案乙进行抽奖， 问： 他们选择何种 方案抽奖， 累计得分的均值较大？ 解： （ 1 ） 由已知得， 小明中奖的概率 为 2 3 ， 小红中奖的概率为 2 5 ， 两人中奖与 否互不影响， 记 “这 2 人的累计得分 X≤3 ” 的事件为 A ， 则 A 事件的对立事件为 “ X＝ 5 ” . ∵P （ X ＝5 ） ＝ 2 3 × 2 5 ＝ 4 15 ， ∴P （ A ） ＝1 － P （ X＝5 ） ＝ 11 15 ， ∴ 这两人的累计得分 X≤3 的 概率为 11 15 . （ 2 ） 设小明、 小红都选择方案甲抽奖中 奖的次数为 X 1 ， 都选择方案乙抽奖中奖的次 数为 X 2 ， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分 的均值为 E （ 2X 1 ）， 选择方案乙抽奖累计得分 的均值为 E （ 3X 2 ）， 由已知， X 1 ～B 2 ， 2 3 3 # ， X 2 ～B 2 ， 2 5 3 5 ， ∴E （ X 1 ） ＝2× 2 3 ＝ 4 3 ， E （ X 2 ） ＝ 2× 2 5 ＝ 4 5 . ∴E （ 2X 1 ） ＝2E （ X 1 ） ＝ 8 3 ， E （ 3X 2 ） ＝ 3E （ X 2 ） ＝ 12 5 . E （ 2X 1 ） >E （ 3X 2 ）， 他们都选择方 案甲进行抽奖时， 累计得分的均值最大 . 反思感悟 求离散型随机变量 X 的均值与方差的 步骤： （ 1 ） 理解 X 的意义， 写出 X 可能的全 部取值 . （ 2 ） 求 X 取每个值的概率或求出函数 P （ X＝k ） . （ 3 ） 写出 X 的分布列 . （ 4 ） 由分布列和均值的定义求出 E （ X ） . （ 5 ） 由方差的定义， 求 D （ X ）， 若 X～ B （ n ， p ）， 则可直接利用公式求， E （ X ） ＝np ， D （ X ） ＝np （ 1－p ） . 变式训练 3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子 （骰子质地均匀， 且各面分别刻有 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3 六个数字） . （ 1 ） 设随机变量 η 表示一次掷得的点数 和， 求 η 的分布列； （ 2 ） 若连续投掷 10 次， 设随机变量 ξ 表 示一次掷得的点数和大于 5 的次数 ， 求 E （ ξ ）， D （ ξ ） . 80 第四章 概率与统计 学 要点 4 正态分布 1. 正态分布是连续型随机变量 X 的一 种分布， 其在概率和统计中占有重要地位， 尤其统计学中的 3σ 原则在生产生活中有广 泛的应用 . 2. 熟记正态分布的特征及应用 3σ 原则 解决实际问题是本章的两个重点， 在学习中 提升直观想象、 数据分析的素养 . 例 4 在某校举行的数学竞赛中， 全体 参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布 N （ 70 ， 100 ） . 已知成绩在 90 分以上的学生 有 12 人 . （ 1 ） 试问此次参赛学生的总数约为多 少人； （ 2 ） 若成绩在 80 分以上为优， 试问此 次竞赛成绩为优的学生约为多少人 . 解 ： （ 1 ） 设参赛学生的成绩 为 X ， ∵X～N （ 70 ， 100 ）， ∴μ＝70 ， σ＝10 ， 则 P （ X> 90 ） ＝P （ X<50 ） ＝ 1 2 ［ 1－P （ 50≤X≤90 ）］ ＝ 1 2 ［ 1－ P （ μ－2σ≤X≤μ＋2σ ）］ ≈ 1 2 × （ 1－0.954 ） ＝0.023 ， 12÷0.023≈522 （人） . 因此， 此次参赛学生 的总数约为 522 人 . （ 2 ） 由 P （ X>80 ） ＝P （ X<60 ） ＝ 1 2 ［ 1－P （ 60≤ X≤80 ）］ ＝ 1 2 ［ 1－P （ μ－σ≤X≤μ＋σ ）］ ≈ 1 2 × （ 1－ 0.683 ） ＝0.158 5 ， 522×0.158 5≈83 （人） . 因 此 ， 此 次 竞 赛 成 绩 为 优 的 学 生 约 为 83 人 . 反思感悟 正态曲线的应用及求解策略： （ 1 ） 正态曲线是轴对称图形， 常借助 其对称性解题 . （ 2 ） 正态分布的概率问题常借助 ［ μ－ σ ， μ＋σ ］， ［ μ－2σ ， μ＋2σ ］， ［ μ－3σ ， μ＋ 3σ ］ 三个区间内的概率值求解 . （ 3 ） 注意正态曲线与频率分布直方图 的结合 . 变式训练 4 为提高城市居民生活幸福感， 某城市公 交公司大力确保公交车的准点率， 减少居民 乘车候车时间， 为此， 该公司对某站台乘客 的候车时间进行统计 . 乘客候车时间受公交 车准点率、 交通拥堵情况、 节假日人流量增 大等情况影响 . 在公交车准点率正常、 交通 拥堵情况正常、 非节假日的情况下， 乘客候 车时间随机变量 X 满足正态分布 N （ μ ， σ 2 ） . 在公交车准点率正常、 交通拥堵情况正常、 非节假日的情况下， 调查了大量乘客的候车 时间， 经过统计得到如图所示的频率分布直 方图 . （ 1 ） 在直方图各组中， 以该组区间的中 点值代表该组的各个值， 试估计 μ ， σ 2 的值； （ 2 ） 在统计学中， 发生概率低于千分之 三的事件叫小概率事件， 一般认为， 在正常 情况下， 一次试验中， 小概率事件是不能发 生的 . 在交通拥堵情况正常、 非节假日的某 频率 组距 12 16 204 8 0.10 0.05 0.025 候车时间 /min 0 图 Z-4-1 81 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 天 ， 随机调查了该站的 10 名乘客的候车 时间， 发现其中有 3 名乘客候车时间超过 15 min ， 试判断该天公交车准点率是否正 常， 说明理由 . ［参考数据： 19.2 姨 ≈4.38 ， 21.4 姨 ≈4.63 ， 26.6 姨 ≈5.16 ， 0.841 5 7 ≈ 0.298 8 ， 0.841 5 6 ≈0.355 1 ， 0.158 5 3 ≈0.004 0 ， 0.158 5 4 ≈0.000 6 ， P （ μ－σ≤X≤μ＋σ ） ≈0.683 ， P （ μ－2σ≤X≤μ＋2σ ） ≈0.954 ， P （ μ－3σ≤X≤ μ＋3σ ） ≈0.997 ］ 要点 5 变量的相关性 1. 变量的相关关系与样本相关系数是学 习一元线性回归模型的前提和基础， 前者可 借助散点图从直观上分析变量间的相关性， 后者从数量上准确刻画了两个变量的相关 程度 . 2. 在学习该部分知识时， 体会直观想象 和数学运算的素养 . 例 5 （ 1 ） 下列两个变量具有相关关 系且不是函数关系的是 （ ） A. 圆的半径与面积 B. 匀速行驶的车辆的行驶距离与时间 C. 庄稼的产量与施肥量 D. 人的身高与视力 （ 2 ） 在一次试验中， 测得 （ x ， y ） 的四 组值分别为 （ 1 ， 2 ）， （ 2 ， 0 ）， （ 4 ， －4 ）， （ －1 ， 6 ）， 则 y 与 x 的相关系数为 . 解析： （ 1 ） 对于 A ， 圆的半径与面积 是确定的关系， 是函数关系； 对于 B ， 匀速 行驶的车辆的行驶距离与时间是确定的关 系， 是函数关系； 对于 C ， 庄稼的产量与施 肥量在一定范围内有相关关系， 不是函数关 系； 对于 D ， 人的身高与视力， 不具有相关 关系， 也不是函数关系 . 故选 C. （ 2 ） 方法一 ： x＝1.5 ， y＝1 ， 4 i=1 移 x 2 i ＝22 ， 4 i=1 移 y 2 i ＝56 ， 4 i=1 移 x i y i ＝－20 ， 相 关 系 数 r ＝ -20-4×1.5×1 （ 22-4×1.5 2 ）（ 56-4×1 2 ） 姨 ＝－1. 方法二： 观察四个点， 发现其在一条单 调递减的直线上， 故 y 与 x 的相关系数为 －1. 反思感悟 变量相关性的判断的两种方法： （ 1 ） 散点图法： 直观形象 . （ 2 ） 公式法： 可用公式精确计算， 需 注意特殊情形的相关系数 . 如点在一条直线 上， |r |＝1 ， 且当 r＝1 时， 正相关； 当 r＝－1 时， 负相关 . 变式训练 5 （ 1 ） 已知变量 x 和 y 满足关系 y＝－2x＋1 ， 变量 y 与 z 正相关， 下列结论中正确的是 （ ） A. x 与 y 正相关， x 与 z 负相关 B. x 与 y 正相关， x 与 z 正相关 C. x 与 y 负相关， x 与 z 负相关 D. x 与 y 负相关， x 与 z 正相关 82 第四章 概率与统计 学 （ 2 ） 如图所示， 给出了样本容量均为 7 的 A ， B 两组样本数据的散点图， 已知 A 组 样本数据的相关系数为 r 1 ， B 组数据的相关 系数为 r 2 ， 则 （ ） A. r 1 ＝r 2 B. r 1 <r 2 C. r 1 >r 2 D. 无法判定 要点 6 一元线性回归模型及其应用 1. 该知识点是具有线性相关关系的两变 量的一种拟合应用， 目的是借助函数的思想 对实际问题做出预测和分析 . 2. 主要培养数学建模和数据分析的素养 . 例 6 一商场对每天进店人数和商品销 售件数进行了统计对比， 得到如下表格： 其中 i＝1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7. （ 1 ） 以每天进店人数为横坐标， 每天商 品销售件数为纵坐标， 画出散点图； （ 2 ） 求回归直线方程 （结果保留到小数 点后两位）； （ 3 ） 预测进店人数为 80 时商品销售的 件数 （结果保留整数） . 参考公式： 回归直线方程 y ＾ = b ＾ x+ a ＾ ， b ＾ ＝ n i=1 移 x i y i -nxy n i=1 移 x 2 i -nx 2 ， a ＾ ＝y－ b ＾ x. 解： （ 1 ） 由表中数据， 画出 7 个数据 点， 可得散点图如图所示 . （ 2 ） ∵ 7 i=1 移 x i y i ＝3 245 ， x＝25 ， y≈15.429 ， 7 i=1 移 x 2 i ＝5 075 ， 7x 2 ＝4 375 ， ∴ b ＾ ＝ 7 i=1 移 x i y i -7xy 7 i=1 移 x 2 i -7x 2 ≈ 0.778 ， a ＾ ＝y－ b ＾ x≈－4.02. ∴ 回归直线方程是 y ＾ ＝ 0.78x－4.02. （ 3 ） 进店人数为 80 时， 商品销售的件 数 y ＾ ＝0.78×80－4.02≈58 （件） . 反思感悟 解决回归分析问题的一般步骤： （ 1 ） 画散点图 . 根据已知数据画出散 点图 . （ 2 ） 判断变量的相关性并求回归直线 方程 . 通过观察散点图， 直观感知两个变量 是否具有相关关系； 在此基础上， 利用最 小二乘法求回归系数， 然后写出回归直线 方程 . x y O A 组数 x y O B 组数 图 Z-4-2 人数 x i 10 15 20 25 30 35 40 件数 y i 4 7 12 15 20 23 27 10 15 20 25 30 35 405 30 25 20 15 10 5 x y O 10 15 20 25 30 35 405 30 25 20 15 10 5 x y O 图 Z-4-3 图 Z-4-4 83 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 3 ） 实际应用 . 依据求得的回归直线方 程解决实际问题 . 变式训练 6 某地收集到的新房屋的销售价格 （单 位： 万元） 和房屋面积 （单位： m 2 ） 的数据 如下表： （ 1 ） 画出数据对应的散点图； （ 2 ） 求回归直线方程； （ 3 ） 根据 （ 2 ） 的结果， 估计当房屋面 积为 150 m 2 时的销售价格 . 要点 7 非线性回归方程 1. 在实际问题中， 并非所有的变量关系 均满足线性关系， 故要选择适当的函数模型 去拟合样本数据， 再通过代数变换， 把非线 性问题线性化 . 2. 体现数学建模的优劣， 提升数据分析 的素养 . 例 7 某公司为确定下一年度投入产品 的宣传费， 需了解年宣传费 x （单位： 千元） 对年销售量 y （单位： t ） 和年利润 z （单位： 千元） 的影响， 于是对近 8 年的宣传费 x i 和 年销售量 y i （ i＝1 ， 2 ， …， 8 ） 的数据进行了 初步处理， 得到如图所示的散点图及一些统 计量的值 . 注： 表中 w i ＝ x i 姨 ， w＝ 1 8 8 i=1 移 w i . （ 1 ） 根据散点图判断， y ＾ ＝ a ＾ ＋ b ＾ x 与 y ＾ ＝ c ＾ ＋ d ＾ x 姨 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣 传费 x 的回归方程模型？ （给出判断即可， 不必说明理由） （ 2 ） 根据 （ 1 ） 的判断结果及表中数据， 建立 y 关于 x 的回归方程 . （ 3 ） 已知这种产品的年利润 z 与 x ， y 之 间的关系为 z＝0.2y－x ， 根据 （ 2 ） 的结果回 答下列问题： ① 当年宣传费 x＝49 时， 年销售量及年 利润的预报值是多少？ ② 年宣传费 x 为何值时， 年利润的估计 值最大？ 解 ： （ 1 ） 由散点图可以判断 ， y ＾ ＝ c ＾ ＋ d ＾ x 姨 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程模型 . 房屋面积 /m 2 115 110 80 135 105 销售价格 / 万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 620 600 580 560 540 520 500 480 年销售量 y/t 年宣传费 x/ 千元 x y w 8 i=1 移 （ x i - x ） 2 8 i=1 移 （ w i - w ） 2 8 i=1 移 （ x i - x ）（ y i -y ） 8 i=1 移 （ w i - w ）（ y i -y ） 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 图 Z-4-5 84 第四章 概率与统计 学 （ 2 ） 令 w＝ x 姨 ， 先建立 y 关于 w 的回 归直线方程 . 由于 d ＾ ＝ 8 i=1 移 （ w i -w ）（ y i -y ） 8 i=1 移 （ w i -w ） 2 ＝ 108.8 1.6 ＝ 68 ， c ＾ ＝y－ d ＾ w＝563－68×6.8＝100.6 ， ∴y 关于 w 的回归直线方程为 y ＾ ＝100.6＋68w ， 因此 y 关 于 x 的回归方程为 y ＾ ＝100.6＋68 x 姨 . （ 3 ） ① 由 （ 2 ） 知， 当 x＝49 时， 年销售 量 y 的估计值 y ＾ ＝100.6＋68 49 姨 ＝576.6 ， 年利 润 z 的估计值 z ＾ ＝576.6×0.2－49＝66.32. ② 根据 （ 2 ） 的结果知， 年利润 z 的估 计值 z ＾ ＝0.2× （ 100.6＋68 x 姨 ） －x＝－x＋13.6 x 姨 ＋ 20.12 ， ∴ 当 x 姨 ＝ 13.6 2 ＝6.8 ， 即 x＝46.24 时， z ＾ 取得最大值 . 故当年宣传费为 46.24 千元时， 年利润 的估计值最大 . 反思感悟 非线性回归方程的求解策略： （ 1 ） 本例中， y 与 x 不是线性相关关 系， 但通过 w i ＝ x i 姨 ， 转换为 w 与 y 的线性 相关关系， 从而可利用线性回归分析间接 讨论 y 与 x 的相关关系 . （ 2 ） 可线性化的回归分析问题， 画出 已知数据的散点图， 选择跟散点图拟合得 最好的函数模型进行变量代换， 作出变换 后样本点的散点图， 用线性回归模型拟合 . 变式训练 7 电容器充电达到某电压值时作为时间 t 的计算原点， 此后电容器串联一电阻放电， 测定各时间的电压值 （ U ） 所得数据见下表： 设 U 与 t 之间具有近似关系 U≈U 0 e －αt （ U 0 ， α 为常数， e≈2.718 28 …）， 求 U 对 t 的回归方程 . 要点 8 独立性检验 1. 主要考查根据样本制作 2×2 列联表， 由 2×2 列联表计算 χ 2 ， 查表分析并判断相关 性结论的可信程度 . 2. 通过计算 χ 2 值， 进而分析相关性结 论的可信程度， 提升数学运算、 数据分析 素养 . 例 8 奥运会期间， 为调查某高校学生 是否愿意提供志愿者服务， 用简单随机抽样 方法从该校调查了 60 人， 结果如下： （ 1 ） 用分层随机抽样的方法在愿意提供 t/h 0 1 2 3 4 5 6 … U/V 100 75 55 40 30 20 15 … 7 10 8 5 性别 是否愿意提供志愿者服务 愿意 不愿意 男生 20 10 女生 10 20 85 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 志愿者服务的学生中抽取 6 人， 其中男生抽 取多少人？ （ 2 ） 能否有 99% 的把握认为该校高中生 是否愿意提供志愿者服务与性别有关？ 下面的临界值表供参考： χ 2 ＝ n （ ad-bc ） 2 （ a+b ）（ c+d ）（ a+c ）（ b+d ） ， 其中 n＝a＋ b＋c＋d. 解： （ 1 ） 由题意， 男生抽取 6× 20 20+10 ＝ 4 （人） . （ 2 ） 由表格数据可得， χ 2 ＝ 60× （ 20×20-10×10 ） 2 30×30×30×30 ≈6.667>6.635 ， 故有 99% 的把握认为该校高中生是否愿 意提供志愿者服务与性别有关 . 反思感悟 独立性检验问题的求解策略： 通过公式 χ 2 ＝ n （ ad-bc ） 2 （ a+b ）（ c+d ）（ a+c ）（ b+d ） ， 先计算 χ 2 ， 再与临界值表作比较， 最后得 出结论 . 变式训练 8 考察小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病的 关系， 经试验观察， 得到数据如下表： 试分析能否有 95% 的把握认为种子灭菌 与小麦发生黑穗病有关？ 真 题 体 验 1. （ 2018 ·全国 Ⅲ 卷） 某群体中的每位成 员使用移动支付的概率都为 p ， 各成员的支 付方式相互独立 . 设 X 为该群体的 10 位成 员中使用移动支付的人数， D （ X ） ＝2.4 ， P （ X＝ 4 ） ＜P （ X＝6 ）， 则 p 等于 （ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3 2. （ 2014 ·新课标 Ⅱ 卷） 某地区空气质量 监测资料表明， 一天的空气质量为优良的概 率是 0.75 ， 连续两天为优良的概率是 0.6 ， 已知某天的空气质量为优良， 则随后一天的 空气质量为优良的概率是 （ ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 3. （ 2019 ·全国 Ⅰ 卷） 甲、 乙两队进行篮 球决赛， 采取七场四胜制 （当一队赢得四场 胜利时， 该队获胜， 决赛结束） . 根据前期 比赛成绩， 甲队的主客场安排依次为 “主主 客客主客主 ” . 设甲队主场取胜的概率为 0.6 ， 客场取胜的概率为 0.5 ， 且各场比赛结 果相互独立， 则甲队以 4 ∶ 1 获胜的概率是 . α＝P （ χ 2 ≥k ） 0.10 0.05 0.001 k 2.706 3.841 10.828 0.010 6.635 0.005 7.879 种子灭菌 种子未灭菌 总计 黑穗病 26 184 210 无黑穗病 50 200 250 总计 76 384 460 86 第四章 概率与统计 学 4. （ 2021 ·八省联考） （多选题） 下列命 题中， 其中说法正确的是 （ ） A. 已知随机变量 X 服从二项分布 B （ n ， p ）， 若 E （ X ） =30 ， D （ X ） =20 ， 则 p= 2 3 B. 将一组数据中的每个数据都加上同 一个常数后， 方差恒不变 C. 设随机变量 孜 服从正态分布 N （ 0 ， 1 ）， 若 P （ 孜≥1 ） =p ， 则 P （ -1<孜<0 ） = 1 2 -p D. 某人在 10 次射击中， 击中目标的次 数为 X ， X~B （ 10 ， 0.8 ）， 则当 X=8 时概率 最大 5. （ 2020 ·全国 Ⅰ 卷） 某校一个课外学习 小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x （单位： ℃ ） 的关系， 在 20 个不同的温度条 件下进行种子发芽试验， 由试验数据 （ x i ， y i ） （ i＝1 ， 2 ， …， 20 ） 得到下面的散点图： 由此散点图， 在 10 ℃ 至 40 ℃ 之间， 下 面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 （ ） A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx 2 C. y＝a＋be x D. y＝a＋blnx 6. （ 2021 ·全国 Ⅱ 卷） 为加快新冠病毒检 测效率， 某检测机构采取 “ k 合 1 检测法”， 即将 k 个人的拭子样本合并检测， 若为阴 性， 则可以确定所有样本都是阴性的； 若为 阳性， 则还需要对本组的每个人再做检测 . 现有 100 人， 已知其中 2 人感染病毒 . （ 1 ） ① 若采用 “ 10 合 1 检测法”， 且两 名患者在同一组， 求总检测次数； ② 已知 10 人分成一组， 分 10 组， 两名 感染患者在同一组的概率为 1 11 ， 定义随机变 量 X 为总检测次数， 求检测次数 X 的分布 列和数学期望 E （ X ） . （ 2 ） 若采用 “ 5 合 1 检测法”， 检测次数 Y 的期望为 E （ Y ）， 试比较 E （ X ）和 E （ Y ）的 大小 （直接写出结果） . 发芽率 100% 80% 60% 40% 20% 0 10 20 30 40 温度 /℃ 0 图 Z-4-6 87 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 7. （ 2021 ·全国课标卷） 某学校组织 “一 带一路” 知识竞赛， 有 A ， B 两类问题 . 每 位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并 从中随机抽取一个问题回答， 若回答错误则 该同学比赛结束； 若回答正确则从另一类问 题中再随机抽取一个问题回答， 无论回答正 确与否， 该同学比赛结束 . A 类问题中的每 个问题回答正确得 20 分， 否则得 0 分； B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分， 否 则得 0 分 . 已知小明能正确回答 A 类问题的概率 为 0.8 ， 能正确回答 B 类问题的概率为 0.6 ， 且能正确回答问题的概率与回答次序无关 . （ 1 ） 若小明先回答 A 类问题， 记 X 为 小明的累计得分， 求 X 的分布列 . （ 2 ） 为使累计得分的期望最大， 小明应 选择先回答哪类问题？ 并说明理由 . 8. （ 2020 ·全国 Ⅲ 卷） 某学生兴趣小组随 机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级 和当天到某公园锻炼的人次， 整理数据得到 下表 （单位： 天）： （ 1 ） 分别估计该市一天的空气质量等级 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的概率 . （ 2 ） 求一天中到该公园锻炼的平均人次 的估计值 （同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表） . （ 3 ） 若某天的空气质量等级为 1 或 2 ， 则称这天 “空气质量好”； 若某天的空气质 量等级为 3 或 4 ， 则称这天 “空气质量不 好” . 根据所给数据， 完成下面的 2×2 列联 表， 并根据列联表， 判断是否有 95% 的把握 认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天 的空气质量有关？ 附： 字 2 ＝ n （ ad-bc ） 2 （ a+b ）（ c+d ）（ a+c ）（ b+d ） ， 空气质量 等级 锻炼人次 ［ 0 ， 200 ］ （ 200 ， 400 ］ （ 400 ， 600 ］ 1 （优） 2 16 25 2 （良） 5 10 12 3 （轻度 污染） 6 7 8 4 （中度 污染） 7 2 0 人次 ≤400 人次 >400 空气质量好 空气质量不好 P （ 字 2 ≥k ） 0.001 k 10.828 0.050 3.841 0.010 6.635 88 第四章 概率与统计 学 9. （ 2016 ·新课标 Ⅰ 卷） 某公司计划购买 2 台机器， 该种机器使用三年后即被淘汰， 机器有一易损零件， 在购进机器时， 可以额 外购买这种零件作为备件， 每个 200 元 . 在 机器使用期间， 如果备件不足再购买， 则每 个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购 买几个易损零件， 为此收集并整理了 100 台 这种机器在三年使用期内更换的易损零件 数， 得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频 率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概 率， 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易 损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买 的易损零件数 . （ 1 ） 求 X 的分布列 . （ 2 ） 若要求 P （ x≤n ） ≥0.5 ， 确定 n 的最 小值 . （ 3 ） 以购买易损零件所需费用的期望值 为决策依据， 在 n=19 与 n=20 之中选其一， 应选用哪个？ 10. （ 2019 ·全国 Ⅱ 卷） 11 分制乒乓球比 赛， 每赢一球得 1 分， 当某局打成 10 ∶ 10 平 后， 每球交换发球权， 先多得 2 分的一方获 胜， 该局比赛结束 . 甲、 乙两位同学进行单 打比赛， 假设甲发球时甲得分的概率为 0.5 ， 乙发球时甲得分的概率为 0.4 ， 各球的结果 相互独立 . 在某局双方 10 ∶ 10 平后， 甲先发 球， 两人又打了 X 个球该局比赛结束 . 求： （ 1 ） P （ X=2 ）； （ 2 ） 事件 “ X=4 且甲获胜” 的概率 . 频数 更换的易损零件数 8 9 10 11 40 20 0 图 Z-4-7 89 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 11. （ 2019 ·全国 Ⅲ 卷） 为了解甲、 乙两 种离子在小鼠体内的残留程度， 进行如下试 验： 将 200 只小鼠随机分成 A ， B 两组， 每 组 100 只， 其中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液， 每只小鼠给服的 溶液体积相同、 摩尔浓度相同 . 经过一段时 间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内 离子的百分比， 根据试验数据分别得到如下 直方图： 记 C 为事件： “乙离子残留在体内的百 分比不低于 5.5 ”， 根据直方图得到 P （ C ）的 估计值为 0.70. （ 1 ） 求乙离子残留百分比直方图中 a ， b 的值； （ 2 ） 分别估计甲、 乙离子残留百分比的 平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点 值代表） . 12. （ 2018 ·新课标 Ⅰ 卷） 某工厂的某种 产品成箱包装， 每箱 200 件， 每一箱产品在 交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不 合格品， 则更换为合格品， 检验时， 先从这 箱产品中任取 20 件作检验， 再根据检验结 果决定是否对余下的所有产品作检验， 设每 件产品为不合格品的概率都为 p （ 0<p<1 ）， 且各件产品是否为不合格品相互独立 . （ 1 ） 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品 的概率为 f （ p ）， 求 f （ p ）的最大值点 p 0 . （ 2 ） 现对一箱产品检验了 20 件， 结果 恰有 2 件不合格品， 以 （ 1 ） 中确定的 p 0 作 为 p 的值 . 已知每件产品的检验费用为 2 元， 若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每 件不合格品支付 25 元的赔偿费用 . ① 若不对该箱余下的产品作检验， 这一 箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X ， 求 EX. ② 以检验费用与赔偿费用和的期望值为 决策依据， 是否该对这箱余下的所有产品作 检验？ 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 0.20 0.15 0.10 0.05 0.30 百分比 频率 / 组距 0 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 0.20 0.15 b 0.05 a 百分比 频率 / 组距 0 甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图 图 Z-4-8 90 第四章 概率与统计 学 13. （ 2018 ·新课标 Ⅱ 卷） 下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位： 亿元） 的折线图 . 为了预测该地区 2018 年的环境基础设 施投资额， 建立了 y 与时间变量 t 的两个线 性回归模型 . 根据 2000 年至 2016 年数据 （时 间变量 t 的值依次为 1 ， 2 ， …， 7 ） 建立模 型 ① ： y ＾ =-30.4+13.5t ； 根据 2010 年至 2016 年的数据 （时间变量 t 的值依次为 1 ， 2 ， …， 7 ） 建立模型 ② ： y ＾ =99+17.5t. （ 1 ） 分别利用这两个模型， 求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值 . （ 2 ） 你认为用哪个模型得到的预测值更 可靠？ 并说明理由 . 14. （ 2018 ·新课标 Ⅲ 卷） 某工厂为提高 生产效率， 开展技术创新活动， 提出了完成 某项生产任务的两种新的生产方式 . 为比较 两种生产方式的效率， 选取 40 名工人， 将 他们随机分成两组， 每组 20 人， 第一组工 人用第一种生产方式， 第二组工人用第二种 生产方式 . 根据工人完成生产任务的工作时 间 （单位： min ） 绘制了如下茎叶图： （ 1 ） 根据茎叶图判断哪种生产方式的效 率更高？ 并说明理由 . （ 2 ） 求 40 名工人完成生产任务所需时 间的中位数 m ， 并将完成生产任务所需时间 超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列 联表： （ 3 ） 根据 （ 2 ） 中的列联表， 能否有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 字 2 = n （ ad-bc ） 2 （ a+b ）（ c+d ）（ a+c ）（ b+d ） ， 投资额 年份 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 2 0 1 5 220 209 184 171 148 129 122 56 53 47 42 42 37 19 25 35 11 2 0 1 6 2 0 1 4 2 0 1 3 2 0 1 2 2 0 1 1 2 0 1 0 2 0 0 9 2 0 0 8 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 2 0 0 3 2 0 0 2 2 0 0 1 2 0 0 0 第一种生产方式 第二种生产方式 8 9 7 6 2 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2 1 1 0 0 6 7 8 9 5 5 6 8 9 0 1 2 2 3 4 5 6 6 8 1 4 4 5 0 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 图 Z-4-9 第 14 题图 P （ 字 2 ≥k ） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 91 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 15. （ 2017 ·新课标 Ⅰ 卷） 为了监控某种 零件的一条生产线的生产过程， 检验员每天 从该生产线上随机抽取 16 个零件， 并测量 其尺寸 （单位： cm ） . 根据长期生产经验， 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件 的尺寸服从正态分布 N （ μ ， σ 2 ） . （ 1 ） 假设生产状态正常， 记 X 表示一天 内抽取的 16 个零件中其尺寸在 （ μ-3σ ， μ+ 3σ ） 之外的零件数， 求 P （ X≥1 ） 及 X 的数 学期望 . （ 2 ） 一天内抽检零件中， 如果出现了尺 寸在 （ μ-3σ ， μ+3σ ） 之外的零件， 就认为 这条生产线在这一天的生产过程可能出现了 异常情况， 需对当天的生产过程进行检查 . ① 试说明上述监控生产过程方法的合 理性； ② 下面是检验员在一天内抽取的 16 个 零件的尺寸： 经计算得 x= 1 16 16 i=1 移 x i =9.97 ， s= 1 16 16 i=1 移 （ x i -x ） 2 姨 = 1 16 16 i=1 移 x 2 i -16x 2 2 % 2 姨 ≈0.212 ， 其中 x i 为抽取的第 i 个零件的尺寸， i=1 ， 2 ， …， 16. 用样本平均数 x 作为 μ 的估计值 μ ＾ ， 用 样本标准差 s 作为 σ 的估计值 σ ＾ ， 利用估计 值判断是否需对当天的生产过程进行检查 . 剔除 （ μ ＾ -3 σ ＾ ， μ ＾ +3 σ ＾ ） 之外的数据， 用剩下 的数据估计 μ 和 σ （精确到 0.01 ） . 附： 若随机变量 Z 服从正态分布 N （ μ ， σ 2 ）， 则 P （ μ-3σ<Z<μ+3σ ） =0.997 4 ， 0.997 4 16 ≈0.959 2 ， 0.008 姨 ≈0.09. 9.95 10.12 9.98 10.04 10.26 9.91 10.05 9.95 9.96 9.96 10.13 10.02 10.01 9.92 9.22 10.04 92