4.2.5 正态分布-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 了解二项分布与正态曲线的关系， 了 解正态分布与标准正态分布的概念 . 2. 了解概率密度函数， 理解正态曲线的 性质 . 3. 掌握利用正态曲线的性质解决简单的 求概率或面积问题 . 要 点 精 析 要点 1 正态曲线 1. 定义： 当 n 充分大时， 随机变量 X～ B （ n ， p ） 的直观表示总是具有中间高、 两边 低的 “钟形”， 称为正态曲线， 它对应的函 数为 φ μ ， σ （ x ） ＝ 1 滓 2仔 姨 e - （ x-滋 ） 2 2滓 2 ， 其中 μ＝E （ X ）， 滓＝ D （ X ） 姨 . 2. 性质： （ 1 ） 正态曲线关于直线 x＝μ 对称 （即 μ 决定正态曲线对称轴的位置）， 具有中间高、 两边低的特点 . （ 2 ） 正态曲线与 x 轴所围成的图形面积 为 1. （ 3 ） 滓 决定正态曲线的 “胖瘦”， 滓 越 大， 说明标准差越大， 数据的集中程度越 弱， 所以曲线越 “胖”； 滓 越小， 说明标准 差越小， 数据的集中程度越强， 所以曲线 越 “瘦” . 3. 面积： 正态曲线与 x 轴在区间 ［ μ ， μ＋滓 ］ 内所围的面积约为 0.341 3 ， 在区间 ［ μ＋滓 ， μ＋2滓 ］ 内所围的面积约为 0.135 9 ， 在区间 ［ μ＋2滓 ， μ＋3滓 ］ 内所围面积约为 0.021 5. 如图： 例 1 （ 1 ） 已知随机变量服从正态分 布， 其正态曲线如图 1 所示， 则总体的均值 μ＝ ， 方差 滓 2 ＝ . （ 2 ） （多选题） 一次教学质量检测中， 甲、 乙、 丙三科考试成绩的正态曲线如图 2 所示， 下列说法中不正确的是 （ ） A. 甲科总体的标准差最小 B. 丙科总体的平均数最小 C. 乙科总体的标准差及平均数都比甲 小， 比丙大 D. 甲、 乙、 丙总体的平均数不相同 解析： （ 1 ） 从给出的正态曲线可知 ， 该正态曲线关于直线 x＝20 对称， 最大值是 4.2.5 正态分布 x y O 10 15 20 25 30 35 405 1 2 仔 姨 x/ 分 y/ 人 O 甲 乙 丙 0.341 3 0.135 9 0.021 5 μ-3滓 μ-2滓 μ-滓 μ μ+滓 μ+3滓μ+2滓 图 1 图 2 图 4-1-2 64 第四章 概率与统计 学 1 2 仔 姨 ， ∴ μ＝20 ， 1 2仔 姨 · 滓 ＝ 1 ２ 仔 姨 ， 解得 滓＝ 2 姨 ， 因此总体的均值 μ＝20 ， 方差 滓 2 ＝ （ 2 姨 ） 2 ＝2. （ 2 ） 由题中图象可知三科总体的平均数 （均值） 相等， 由正态分布密度曲线的性质， 可知 滓 越大， 正态曲线越 “矮胖”， 滓 越小， 正态曲线越 “瘦高”， 故三科总体的标准差 从小到大依次为甲、 乙、 丙 . 反思感悟 利用正态曲线的特点求参数 μ ， 滓 ： （ 1 ） 正态曲线是单峰的， 它关于直线 x＝μ 对称， 由此特点结合图象求出 μ. （ 2 ） 正 态 曲 线 在 x ＝μ 处 达 到 峰 值 1 滓 2仔 姨 ， 由此特点结合图象可求出 滓. 变式训练 1 （多选题） 下面给出的关于正态曲线的 四个叙述中， 正确的有 （ ） A. 曲线在 x 轴上方， 且与 x 轴不相交 B. 当 x>μ 时， 曲线下降， 当 x<μ 时， 曲 线上升 C. 当 μ 一定时， 滓 越小， 总体分布越分 散， 滓 越大， 总体分布越集中 D. 曲线关于直线 x＝μ 对称， 且当 x＝μ 时， 位于最高点 要点 2 利用正态分布求概率 1. 正态分布定义 一般地， 如果随机变量 X 落在区间 ［ a ， b ］ 内的概率， 总是等于 φ μ ， 滓 （ x ）对应的正态 曲线与 x 轴在区间 ［ a ， b ］ 内围成的面积， 则称 X 服从参数为 μ 与 滓 的正态分布， 记 作 X～N （ μ ， 滓 2 ）， 此时 φ μ ， 滓 （ x ）称为 X 的概率 密度函数， μ 是 X 的均值， 滓 是 X 的标准 差， 滓 2 是 X 的方差 . 2. 三个特殊区间内取值的概率值 P （ |X－μ|≤滓 ） ＝P （ μ－滓≤X≤μ＋滓 ） ≈68.3% ， P （ |X－μ|≤2滓 ） ＝P （ μ－2滓≤X≤μ＋2滓 ） ≈95.4% ， P （ |X－μ|≤3滓 ） ＝P （ μ－3滓≤X≤μ＋3滓 ） ≈99.7%. 3. “ 3滓 原则” X 约有 99.7% 的可能会落在距均值 3 个 标准差的范围之内 ， 也就是说 ， 只有约 0.3% 的可能会落入这一范围之外 （这样的事 件可看成小概率事件） . 这一结论通常称为 正态分布的 “ 3滓 原则” . 例 2 设 ξ～N （ 1 ， 2 2 ）， 试求： （ 1 ） P （ －1≤ξ≤3 ）； （ 2 ） P （ 3≤ξ≤5 ） . 解： ∵ξ～N （ 1 ， 2 2 ）， ∴ μ＝1 ， 滓＝2. （ 1 ） P （ －1≤ξ≤3 ） ＝P （ 1－2≤ξ≤1＋2 ） ＝ P （ μ－滓≤ξ≤μ＋滓 ） ≈0.683. （ 2 ） ∵P （ 3 ≤ξ ≤5 ） ＝P （ －3 ≤ξ ≤－1 ） ， ∴P （ 3≤ξ≤5 ） ＝ 1 2 ［ P （ －3≤ξ≤5 ） －P （ －1≤ξ≤ 3 ）］ ＝ 1 2 ［ P （ 1－4≤ξ≤1＋4 ） －P （ 1－2≤ξ≤1＋2 ）］ ＝ 1 2 ［ P （ μ－2滓≤ξ≤μ＋2滓 ） －P （ μ－滓≤ξ≤μ＋滓 ）］ ≈ 1 2 × （ 0.954－0.683 ） ＝0.135 5. 变式训练 2 若例 2 条件不变， 求 P （ ξ>5 ）的值 . 65 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 利用正态分布的对称性求概率： 由于正态曲线是关于直线 x＝μ 对称的， 且概率的和为 1 ， 故关于直线 x＝μ 对称的 区间上概率相等 . 如： ①P （ X<a ） ＝1－P （ X≥a ）； ②P （ X<μ－a ） ＝P （ X>μ＋a ） . 变式训练 3 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N （ 2 ， σ 2 ）， 且 P （ ξ<4 ） ＝0.8 ， 则 P （ 0<ξ<2 ）等于 （ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 要点 3 正态分布的应用 例 3 有一种精密零件， 其尺寸 X （单 位： mm ） 服从正态分布 N （ 20 ， 4 ） . 若这批 零件共有 5 000 个， 试求： （ 1 ） 这批零件中尺寸在 18～22 mm 间的 零件所占的百分比； （ 2 ） 若规定尺寸在 24～26 mm 间的零件 不合格， 则这批零件中不合格的零件大约有 多少个？ 解 ： （ 1 ） ∵X ～N （ 20 ， 4 ） ， ∴ μ ＝20 ， σ＝2 ， ∴μ－σ＝18 ， μ＋σ＝22 ， 于是尺寸在 18～ 22 mm 间的零件所占的百分比大约是 68.3%. （ 2 ） ∵μ－3σ＝14 ， μ＋3σ＝26 ， μ－2σ＝16 ， μ＋2σ＝24 ， ∴ 尺寸在 24～26 mm 间的零件所 占的百分比大约是 99.7%－95.4% 2 ＝2.15%. ∴ 尺寸在 24～26 mm 间的零件大约有 5 000× 2.15%≈108 （个） . 反思感悟 求正态变量 X 在某区间内取值的概率 的基本方法： （ 1 ） 根据题目中给出的条件确定 μ 与 σ 的值 . （ 2 ） 将待 求 问 题 向 ［ μ －σ ， μ ＋σ ］ ， ［ μ－2σ ， μ＋2σ ］， ［ μ－3σ ， μ＋3σ ］ 这三个区 间进行转化 . （ 3 ） 利用 X 在上述区间的概率、 正态 曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 求出最后结果 . 变式训练 4 在某次大型考试中， 某班同学的成绩服 从正态分布 N （ 80 ， 5 2 ）， 现在已知该班同学 中成绩在 80～85 分的有 17 人， 该班成绩在 90 分以上的同学有多少人？ 要点 4 标准正态分布 1. 标准正态分布的定义： μ＝0 且 σ＝1 的 正态分布称为标准正态分布 . 2. Φ （ a ）的概念： 如果 X～N （ 0 ， 1 ）， 那 么对于任意 a ， 通常记 Φ （ a ） ＝P （ X<a ）， 即 Φ （ a ）表示 N （ 0 ， 1 ） 对应的正态曲线与 x 轴 在区间 （ －∞ ， a ） 内所围的面积 . 66 第四章 概率与统计 学 3. Φ （ a ）的性质： Φ （ －a ） ＋Φ （ a ） ＝1. 例 4 设随机变量 X～N （ 0 ， 1 ） . （ 1 ） 求 Φ （ －3 ）的值； （ 2 ） 若 Φ （ 0.42 ） ＝0.662 8 ， 求 Φ （ －0.42 ） . 解 ： （ 1 ） ∵X ～N （ 0 ， 1 ） ， ∴Φ （ －3 ） ＝ P （ X<－3 ） ＝ 1 2 ［ 1－P （ －3≤X≤3 ）］ ≈ 1 2 × （ 1－0.997 ） ＝0.001 5. （ 2 ） ∵X～N （ 0 ， 1 ） 且 Φ （ 0.42 ） ＝0.662 8 ， ∴ 由 Φ （ －a ） ＋Φ （ a ） ＝1 得， Φ （ －0.42 ） ＝1－Φ （ 0.42 ） ＝1－0.662 8＝0.337 2. 反思感悟 求标准正态分布的概率问题的关注点： （ 1 ） 标准正态曲线特点： 关于 y 轴对 称， σ＝1. （ 2 ） Φ （ a ）的含义： Φ （ a ） ＝P （ X<a ） . （ 3 ） 理论基础： ① 当 a＝±1 ， ±2 ， ±3 时， 利用 P （ μ－σ≤ X≤μ＋σ ）， P （ μ－2σ≤X≤μ＋2σ ）， P （ μ－3σ≤ X≤μ＋3σ ） 的概率值； ② 当 a 为其他值时， 可查表求解 . 变式训练 5 设随机变量 X ～N （ 0 ， 1 ） ， Φ （ 0.25 ） ＝ 0.598 7 ， Φ （ 0.51 ） ＝0.691 5 ， 求： （ 1 ） Φ （ －0.25 ）； （ 2 ） P （ 0.25<X≤0.51 ） . 数 学 文 化 例 重庆奉节县柑橘栽培始于汉代， 历 史悠久 . 奉节脐橙果皮中厚、 脆而易剥， 酸 甜适度， 汁多爽口， 余味清香， 荣获农业部 优质水果、 中国国际农业博览会金奖等荣 誉 . 据统计， 奉节脐橙的果实横径 （单位： mm ） 服从正态分布 N （ 80 ， 5 2 ）， 则果实横径 在 ［ 75 ， 90 ） 的概率为 （ ） 附 ： 若 X~N （ μ ， σ 2 ） ， 则 P （ μ-啄<X≤μ+啄 ） = 0.682 6 ， P （ μ-2啄<X≤μ+2啄 ） =0.954 4. A. 0.682 6 B. 0.841 3 C. 0.818 5 D. 0.954 4 解析： 由题意， μ=80 ， 啄＝5 ， 则 P （ 75< X≤85 ） =0.682 6 ， P （ 70<X≤90 ） =0.954 4. ∴P （ 85<X≤90 ） = 1 2 × （ 0.954 4-0.682 6 ） = 0.135 9. ∴P （ 75 <X≤90 ） =0.682 6 +0.135 9 = 0.818 5. 则果 实 横 径 在 ［ 75 ， 90 ） 的 概 率 为 0.818 5. 故选 C. 67 参 考 答 案 ∴X 的分布列为 ∵X~B 3 ， 4 5 ! " ， ∴E （ X ） =3× 4 5 = 12 5 . （ 3 ） 由题意得 2×2 列联表如下： K 2 = 200× （ 90×10-70×30 ） 2 160×40×80×120 = 75 16 =4.687 5<6.635 ， ∴ 没有 99% 的把握认为是否关注网约车安全问题与 年龄有关 . 21. 解： （ 1 ） 第二局中可能乙当裁判 ， 其概率为 1 2 ， 也可能丙当裁判， 其概率为 2 3 ， ∴ 第三局甲当裁判的概率为 1 3 × 1 3 + 2 3 × 1 2 = 4 9 . 答： 第三局甲当裁判的概率为 4 9 . （ 2 ） Y 的可能取值为 0 ， 1 ， 2. P （ Y=0 ） = 2 3 × 1 2 × 2 3 = 2 9 ， P （ Y=1 ） = 1 3 × 1 3 × 2 3 + 2 3 × 1 2 ! " + 2 3 × 1 2 + 2 3 × 1 2 × 1 3 = 17 27 ， P （ Y=2 ） = 1 3 × 2 3 × 1 2 + 1 3 × 1 3 ! " = 4 27 ， ∴Y 的分布列为 Y 的数学期望 E （ Y ） =0× 2 9 +1× 17 27 +2× 4 27 = 25 27 . 22. 解： （ 1 ） 当 m=1 时， 记事件 A ： “所取子集的 元素既有奇数又有偶数”， 则集合 {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} 的非空子集数为 2 5 -1=31 ， 其中非空子集的元素全为奇数的子集数为 2 3 -1=7 ， 全为偶数的子集数为 2 2 -1=3 ， ∴P （ A ） = 31- （ 7+3 ） 31 = 21 31 . （ 2 ） 当 m=2 时， ξ 的所有可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4. 则 P （ ξ=0 ） = C 2 5 +C 2 10 +C 2 10 +C 2 5 C 2 31 = 22 93 ， P （ ξ=1 ） = C 1 5 C 2 5 +C 2 5 C 3 5 +C 3 5 C 4 5 +C 4 5 C 5 5 C 2 31 = 205 465 = 41 93 ， P （ ξ=2 ） = C 1 5 C 3 5 +C 2 5 C 4 5 +C 3 5 C 5 5 C 2 31 = 110 465 = 22 93 ， P （ ξ=3 ） = C 1 5 C 4 5 +C 2 5 C 5 5 C 2 31 = 35 465 = 7 93 ， P （ ξ=4 ） = C 1 5 C 5 5 C 2 31 = 5 465 = 1 93 . 分布列如下： ∴ξ 的数学期望 E （ ξ ） =1× 41 93 +2× 22 93 +3× 7 93 +4× 1 93 = 110 93 . 23. 解 ： （ 1 ） 由题可知 ， 当 0≤n≤83 时 ， y=120 元； 当 n＞83 时， y=120+ （ n-83 ） ×5=5n-295 ， ∴ 乙公司的快递员一日工资 y （单位： 元） 与送件 数 n 的函数关系为 y= 120 ， 0≤n≤83 ， 5n-295 ， n>83 3 . （ 2 ） ①X 的所有可能取值为 152 ， 154 ， 156 ， 158 ， 160 ， 将频率视为概率， 由条形图可知， P （ X=152 ） =0.1 ， P （ X=154 ） =0.2 ， P （ X=156 ） =0.1 ， P （ X=158 ） =0.4 ， P （ X= 160 ） =0.2. ∴X 的分布列为 数学期望 E （ X ） =152×0.1+154×0.2+156×0.1+158×0.4+ 160×0.2=156.8 （元） . ② 设乙公司的日工资为 Y 元， 则 E （ Y ） =120+0×0.1+5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.3= 141.5 （元） . 由于 E （ X ） ＞E （ Y ）， ∴ 小王应该到甲公司应聘 “快递 员” 的工作 . 4.2.5 正态分布 学习手册 变式训练 1 ABD 【解析】 只有 C 错误， 因为当 μ 一定 时， 曲线的形状由 σ 确定 ， σ 越小 ， 曲线越 “瘦高 ”， 总体分布越集中； σ 越大， 曲线越 “矮胖”， 总体分布越 分散 . 故选 ABD. 变式训练 2 解： P （ ξ>5 ） ＝P （ ξ<-3 ） ＝ 1 2 ［ 1-P （ -3≤ξ≤5 ）］ ＝ 1 2 ［ 1-P （ 1-4≤ξ≤1＋4 ）］ ＝ 1 2 ［ 1-P （ μ-2σ≤ξ≤μ＋2σ ）］ ≈ 1 2 × （ 1-0.954 ） ＝0.023. 变式训练 3 C 【解析】 ∵ 随机变量 ξ 服从正态分布 N （ 2 ， σ 2 ）， ∴ μ＝2 ， 对称轴是 ξ＝2. ∵P （ ξ<4 ） ＝0.8 ， ∴P （ ξ≥4 ） ＝ P （ ξ≤0 ） ＝0.2 ， ∴P （ 0<ξ<4 ） ＝0.6 ， ∴P （ 0<ξ<2 ） ＝0.3. 故选 C. X 3 P 64 125 2 48 125 0 1 125 1 12 125 合计关注网约车安全 不关注网约车安全 青少年 12090 30 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 Y 2 P 4 27 0 2 9 1 17 27 ξ 4 P 1 93 0 22 93 1 41 93 2 22 93 3 7 93 X 160 P 0.2 152 0.1 154 0.2 156 0.1 158 0.4 67 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 变式训练 4 解： ∵ 成绩服从正态分布 N （ 80 ， 5 2 ）， ∴ μ＝ 80 ， σ＝5 ， 则 μ-σ＝75 ， μ＋σ＝85. ∴ 成绩在 ［ 75 ， 85 ］ 内的同学占全班同学的 68.3% ， 成绩在 ［ 80 ， 85 ］ 内的同学占全班同学的 34.15%. 设该班有 x 名同学， 则 x · 34.15%＝17 ， 解得 x≈50. ∵μ-2σ＝80-10＝70 ， μ＋2σ＝80＋10＝90 ， ∴ 成绩在 ［ 70 ， 90 ］ 内的同学占全班同学的 95.4% ， 成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 2.3%. 即有 50×2.3%≈1 （人）， 即成绩在 90 分以上的仅有 1 人 . 变式训练 5 解： （ 1 ） Φ （ -0.25 ） ＝1-Φ （ 0.25 ） ＝1-0.598 7＝ 0.401 3. （ 2 ） P （ 0.25<X≤0.51 ） ＝P （ X<0.51 ） -P （ X<0.25 ） ＝ Φ （ 0.51 ） -Φ （ 0.25 ） ＝0.691 5-0.598 7＝0.092 8. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） √ （ 4 ） √ 2. B 【解析】 由正态函数的定义可知， 总体的均值 μ＝10 ， 方差 σ 2 ＝4 ， 即 σ＝2. 故选 B. 3. D 【解析】 由随机变量 ξ 服从正态分布 N （ 0 ， 1 ）， 可得 P （ ξ<-1.9 ） ＝Φ （ -1.9 ）， P （ ξ<1.9 ） ＝Φ （ 1.9 ）， 又 Φ （ -1.9 ） ＋Φ （ 1.9 ） ＝1 ， ∴P （ ξ<1.9 ） ＝1-P （ ξ<-1.9 ） ＝ 1-0.028＝0.972. 故选 D. 4. B 【解析】 P （ 3<ξ<6 ） ＝ 1 2 ［ P （ -6<ξ<6 ） -P （ -3<ξ<3 ）］ ≈ 1 2 × （ 95.4%-68.3% ） ＝13.55%. 故选 B. 5. 2 【解析】 ∵ξ～N （ 2 ， 9 ）， 又 P （ ξ>c＋1 ） ＝P （ ξ<c-1 ）， ∴ c+1+c-1 2 ＝2 ， ∴c＝2. 6. 0.8 【解析】 易得 P （ 0<X<1 ） ＝P （ 1<X<2 ）， 故 P （ 0< X<2 ） ＝2P （ 0<X<1 ） ＝2×0.4＝0.8. 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 函数 f （ x ） =x 2 +2x-ξ 没有零点， 则方程 x 2 +2x-ξ=0 没有实数根 ， 则 Δ=4+4ξ<0 ， 故 ξ<-1 ， 故 P （ ξ<-1 ） =0.5 ， 则 μ=-1 ， 故 P （ 0<ξ≤1 ） = 1 2 ［ P （ -3<ξ<1 ） - P （ -2<ξ<0 ）］ = 1 2 （ 0.954 4-0.682 6 ） =0.135 9 ， 故选 B. 2. C 【解析】 由题意可得， μ=100 ， 且 P （ 80<ξ<120 ） = 0.7 ， 则 P （ ξ≤80 或 ξ≥120 ） =1-P （ 80<ξ<120 ） =1-0.7=0.3. ∴P （ ξ≥120 ） = 1 2 P （ ξ≤80 或 ξ≥120 ） =0.15. 则他速度超过 120 的概率为 0.15. 故选 C. 3. D 【解析】 根据相关系数的定义， 两个随机变量 的线性相关性越强， 则相关系数 r 的绝对值越接近于 1 ， 故 A 错误； 若 X 是随机变量， 则 E （ 2X+1 ） =2E （ X ） +1 ， D （ 2X+1 ） =4D （ X ）， 故 B 错误； ∵ 随机变量 ξ~N （ 0 ， 1 ）， ∴P （ ξ>1 ） =P （ ξ<-1 ） =p ， ∴P （ ξ>-1 ） ＝1-p ， 故 C 错误； 随机 变量 ξ 的可能取值为 0 ， 1 ， 故 P （ ξ=0 ） =1-p ， P （ ξ=1 ） =p ， E （ ξ ） =p ， D （ ξ ） = （ 0-p ） 2 × （ 1-p ） + （ 1-p ） 2 ×p=p （ 1-p ） ≤ 1-p+p 2 2 & 2 = 1 4 ， 当且仅当 p=1-p ， 即 x= 1 2 时， 等号成 立， 故 D 正确 . 故选 D. 4. B 【解析】 ∵ 随机变量 ξ 服从正态分布 N （ 2 ， σ 2 ）， ∴ 正态分布曲线的对称轴为 x=2. 又 P （ ξ≤4 ） =0.74 ， ∴P （ 0≤ξ≤2 ） = 1 2 （ P （ ξ≤4 ） -P （ ξ<0 ）） = 1 2 （ P （ ξ≤4 ） -P （ ξ> 4 ）） = 0.74-0.26 2 =0.24. 故选 B. 5. B 【解析】 由题意， P 阴 影 =1-P （ 0<Z≤1 ） =1- 1 2 × 0.682 6=1-0.341 3=0.658 7 ， 则落入阴影部分点的个数的 估计值为 10 000×0.658 7=6 587. 故选 B. 6. B 【解析】 由题意， 得 c+c-2 2 =2 ， ∴c=3. 故选 B. 7. B 【解析】 ∵ξ 服从正态分布 N （ 1 ， σ 2 ） （ σ 2 >0 ）， ∴ 正态曲线关于直线 x=1 对称 . 又 ξ 在 （ 0 ， 1 ） 内取值的 概率为 0.4 ， ∴ξ 在 （ 1 ， 2 ） 内取值的概率为 0.4 ， ξ 在 （ 0 ， 2 ） 内取值的概率为 0.8. 故选 B. 8. C 【解析】 ∵X~N （ -2.4 ）， ∴ 阴影部分的面积 S= P （ 0≤X≤2 ） = 1 2 ［ P （ -6≤x≤2 ） -P （ -4≤x≤0 ）］ = 1 2 （ 0.954 5- 0.682 7 ） =0.135 9 ， 则在正方形中随机投一点， 该点落在 阴影内的概率为 P= 0.135 9 4 ， ∴ 落入阴影部分的点的个 数的估计值为 10 000× 0.135 9 4 =339.75≈340. 故选 C. 9. BC 【解析】 由正态分布的性质 P （ 8<ξ <11 ） =1- P （ x≤8 ） -P （ x≥11 ）， 关于 ξ=9.5 对称 ， 则 P （ x≥11 ） = P （ x≤8 ） =0.1 ， p （ 8<ξ<11 ） =0.8 ， 故 A 错误； E （ ξ ） =9.5 ， 故 B 正确； 5 人成绩服从二项分布， 即 X∽B （ 5 ， 0.8 ）， 故 C 正确； E （ X ） =5×0.8=4 ， 故 D 错误 . 故选 BC. 10. ABC 【解析】 由图象可知甲图象关于直线 x=0.4 对称 ， 乙图象关于直线 x=0.8 对称 ， ∴μ 1 =0.4 ， μ 2 =0.8 ， 故 A 正确， C 正确； ∵ 甲图象比乙图象更 “高瘦 ”， ∴ 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右， 故 B 正确； ∵ 乙图象的最大值为 1.99 ， 即 1 2π √ σ 2 =1.99 ， ∴σ 2 ≠1.99 ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 11. AD 【解析】 正态密度分布曲线关于直线 x=110 对称， 在 （ 90 ， 130 ） 内的概率为 0.6 ， ∴P （ ξ<90 ） = 1-0.6 2 =0.2 ， 则 E （ X ） =5×0.2=1 ， D （ X ） =5×0.2×0.8=0.8. 故选 AD. 12. CD 【解析】 由题意， 当满足 P （ Z≥59 ） = 1-P （ 17<Z≤59 ） 2 = 1-0.997 4 2 =0.001 3 时， 江先生仍旧 有可能迟到， 只不过发生的概率较小， 故 A 错误； 若 8 ： 02 分出门 ， ① 江先生开私家车 ， 由题意 ， 当满足 P （ Z≤52 ） = 1-P （ 24<Z<52 ） 2 +P （ 24<Z<52 ） =0.977 2 ， 此时 68 参 考 答 案 江先生开私家车不会迟到； ② 江先生乘坐地铁， 由题 意， 当满足 P （ Z≤48 ） = 1-P （ 40<Z<48 ） 2 +P （ 40<Z<48 ） = 0.977 2 ， 此时江先生乘坐地铁不会迟到 . 此时两种上班 方式， 江先生不迟到的概率相当， 故 B 错误； 若 8 ： 06 分出门， ① 江先生开私家车， 由题意， 当满足 P （ Z≤48 ） >P （ Z≤45 ） = 1-P （ 31<Z<45 ） 2 +P （ 31<Z<45 ） =0.841 3 ， 此时 江先生开私家车不会迟到； ② 江先生乘坐地铁， 由题 意， 当满足 P （ Z≤44 ） = 1 2 =0.5 时， 此时江先生乘坐地铁 不会迟到； 此时两种上班方式， 显然江先生开私家车不 迟到的可能性更大， 故选项 C 正确； 对于 D ， 若 8 ： 12 分出门， 江先生乘坐地铁上班， 由题意， 当满足 P （ Z≤ 38 ） = 1-P （ 38<Z<50 ） 2 =0.001 3 时， 江先生乘坐地铁不会 迟到， 此时不迟到的可能性极小， 故江先生乘坐地铁几 乎不可能上班不迟到， 故 D 正确 . 故选 CD. 13. ACD 【解析】 ∵ 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N （ 10 ， 10 2 ）， ∴μ=10 ， σ=10 ， ∴ 随机变量 X 的均值为 10 ， 方差为 100 ， 故 A 正确， B 错误； ∴ 由正态分布的对称 性可得， P （ X>10 ） = 1 2 ， 故 C 正确； ∴P （ X≥0 ） +P （ X<20 ） =1+P （ 0≤X<20 ） >1 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 14. 0.16 【解析 】 随机变量 X 服从正态分布 N （ 2 ， σ 2 ）， μ=2 ， ∴P （ X≤0 ） =P （ X≥4 ） =1-P （ X≤4 ） =0.16. 故答 案为 0.16. 15. 0.36 【解析】 由 4-a>a ， 可得 a<2 ， 再由随机变 量服从正态分布 X~N （ 2 ， σ 2 ）， 且 P （ X<a ） =0.32 ， 可得 P （ X>4-a ） =0.32. ∴P （ a<X<4-a ） =1-P （ X<a ） -P （ X>4-a ） = 0.36. 故答案为 0.36. 16. 5 3 【解析】 ∵ 随机变量 X 服从正态分布 N （ 3 ， 5 ）， 且 P （ X<2a-1 ） =P （ X>a+2 ）， ∴ 由正态分布的对称性可知 2a-1+a+1 2 =3 ， 解得 a= 5 3 . 故答案为 5 3 . 17. 8.186 【解析 】 ∵ 奉节脐橙的果实横径 （单位 ： mm ） 服从正态分布 N （ 80 ， 5 2 ）， ∴σ=5 ， P （ 80-5<X<80+ 5 ） =0.682 7 ， 即 P （ 75<X<85 ） =0.682 7. ∵P （ 80-10<X<80+ 10 ） =0.954 5 ， ∴P （ 70<X<80 ） =0.954 5 ， ∴P （ 85<X<90 ） = 0.954 5-0.682 7 2 =0.135 9 ， ∴ 果实横径在 ［ 75 ， 90 ） 的 概率 P=0.682 7+0.135 9=0.818 6 ， E （ X ） =nP=10×0.818 6= 8.186 ， 故答案为 8.186. 18. 0.4 【解析 】 ∵ 随机变量 ξ 服从正态分布 N （ 4 ， σ 2 ）， ∴ 其对称轴方程为 x=μ=4. 又 P （ ξ<2 ） =0.3 ， ∴P （ ξ>6 ） =P （ ξ<2 ） =0.3 ， 则 P （ 2<ξ<6 ） =1-2×0.3=0.4. 故答案为 0.4. 提升练习 19. 解： （ 1 ） 由题意计算平均值为 μ=35×0.025+45× 0.15+55×0.20+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=0.875+ 6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65 ， 由于得分 Z 服从正 态分布 N （ 65 ， 210 ）， 且 210 姨 ≈14.5 ， ∴P （ 36＜Z≤79.50 ）=P（65-2×14.5＜Z≤65+14.5 ） =0.954 5- 1 2 × （ 0.954 5-0.682 7 ） =0.818 5. （ 2 ） 设得分不低于 μ 分的概率为 P ， 则 P （ Z≥μ ） = 0.5 ， X 的取值为 20 ， 40 ， 60 ， 80 ； 计算 P （ X=20 ） =0.5×0.75= 0.375 ， P （ X=40 ） =0.5×0.25+0.5×0.75×0.75=0.406 25 ， P （ X= 60 ） =0.5×0.75×0.25+0.5×0.25×0.75=0.187 5 ， P （ X=80 ） =0.5× 0.25×0.25=0.031 25. ∴X 的分布列为 ∴EX=20×0.375+40×0.406 25+60×0.187 5+80×0.031 25= 36. 20. 解： （ 1 ） 由题意可得 P （ 61＜d≤62 ） = 10 100 =0.1 ， P （ 62＜d≤63 ） = 3 100 =0.03 ， ∴P （ 59＜d≤60 ） =P （ 60＜d≤61 ） = 1 2 （ 1-2×0.03-0.14- 0.1 ） =0.35 ， ∴a= 0.03 1 =0.03 ， b= 0.1 1 =0.1 ， c= 0.35 1 =0.35 ， x = （ 57.5 +62.5 ） ×0.03 +58.5×0.14 + （ 59.5 +60.5 ） ×0.35 + 61.5×0.1=59.94≈60. （ 2 ） 由 （ 1 ） 可知从该工厂生产的新零件中随机选取 1 件， 长度 d 在 （ 59 ， 61 ］ 的概率 P=2×0.35=0.7 ， 且随 机变量 ξ 服从二项分布 ξ-B （ 3 ， 0. 7 ）， 方法一： ∴P （ ξ=0 ） =C 0 3 × （ 1-0.7 ） 3 =0.027 ， P （ ξ=1 ） =C 1 3 × 0.7× （ 1-0.7 ） 2 =0.189 ， P （ ξ=2 ） =C 2 3 ×0.7 2 × （ 1-0.7 ） =0.441 ， P （ ξ=3 ） =C 3 3 ×0.7 3 = 0.343 ， ∴ 随机变量 ξ 分布列为 Eξ=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1. 方法二： Eξ=3×0.7=2.1. （ 3 ） 由 （ 1 ） 及题意可知 x =60 ， σ=1. ∴P （x -σ＜X≤ x +σ ） =P （ 59＜X≤61 ） =0.7 ， |P （x -σ＜X≤ x +σ ） -0.682 6|=|0.7-0.682 6|=0.017 4≤ 0.03 ， P （x -2σ＜X≤ x +2σ ） =P （ 58＜X≤62 ） =0.14+0.35+0.35+ 0.1=0.94 ， |P （x -2σ＜X≤ x +2σ ） -0.954 4|=|0.94-0.954 4|=0.014 4≤ 0.03 ， X 80 P 0.031 25 20 0.375 40 0.406 25 60 0.187 5 ξ 3 P 0.343 0 0.027 1 0.189 2 0.441 69 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 这批新零件的长度 d 满足近似于正态分布 N （x ， 1 2 ） 的概率分布 . ∴ 能让该批零件出厂 . 21. 解： （ 1 ） 由频率分布表可知x = 55×3+65×12+75×72+85×8+95×5 100 =75 ， s 2 = （ -20 ） 2 ×3+ （ -10 ） 2 ×12+0 2 ×72+10 2 ×8+20 2 ×5 100 =52 ， ∴X～ N （ 75 ， 52 ） . ∵σ= 52 姨 ≈7.2 ， ∴67.8=μ-σ ， 89.4=μ+2σ ， ∴P （ 67.8＜X＜89.4 ） =P （ μ-σ＜X＜μ+2σ ） = 1 2 ［ P （ μ-σ<X< μ+σ ） +P （ μ-2σ<X<μ+2σ ）］ ≈ 1 2 （ 0.682 7+0.954 5 ） =0.818 6. （ 2 ） 从这 100 名教育工作者中任意选取 1 名， 其答 卷得分不低于 70 分且低于 90 分的概率为 72+8 100 = 4 5 ， 由 题意知， Y～B 3 ， 4 5 5 $ ， 则 P （ Y=0 ） = 1 5 5 & 3 = 1 125 ， P （ Y=1 ） =C 1 3 · 4 5 · 1 5 5 & 2 = 12 125 ， P （ Y=2 ） =C 2 3 · 4 5 5 & 2 · 1 5 ， P （ Y=3 ） = 4 5 5 & 3 = 64 125 ， ∴Y 的分布列为 ∴E （ Y ） =3× 4 5 = 12 5 ， D （ Y ） =3× 4 5 × 1 5 = 12 25 . 22. 解： （ 1 ） x =0.04×1+0.08×3+0.16×5+0.44×7+0.16× 9+0.1×11+0.02×13=6.96≈7 （千步） . （ 2 ） ∵ξ~N （ 7 ， 2.5 ）， ∴P （ 4.5<ξ<7 ） = 1 2 ×0.682 6= 0.341 3 ， P （ 2<ξ<7 ） = 1 2 ×0.954 4=0.477 2 ， ∴P （ 2<ξ<4.5 ） = 0.477 2-0.341 3=0.135 9 ， 走路步数 ξ∈ （ 2 ， 4.5 ） 的总人数为 400×0.135 9≈54 人 . （ 3 ） 由题意知 X 的可能取值为 400 ， 300 ， 200 ， 100 ， 0 ， P （ X=400 ） =C 2 2 ×0.12 2 =0.014 4 ， P （ X=300 ） =C 1 2 ×0.12× 0.76=0.182 4 ， P （ X=200 ） =C 1 2 ×0.12×0.12+C 2 2 ×0.76 2 =0.606 4 ， P （ X=100 ） =C 1 2 ×0.12×0.76=0.182 4 ， P （ X=0 ） =0.12 2 = 0.014 4 ， 则 X 的分布列为 EX=400×0.014 4 +300×0.182 4 +200 ×0.606 4 +100 × 0.182 4+0×0.014 4=200 元 . 23. 解： （ 1 ） 由已知过滤效果服从 N （ 0.97 ， 90.25× 10 -6 ）， 90.25×10 -6 = （ 9.5×10 -3 ） 2 ， σ=9.5×10 -3 =0.009 5 ， 则 0.936<0.97-0.009 5×3=0.941 5 ， 生产的口罩中出现过滤效果在 3σ 以外的值， 发生 的可能性很小， 一旦发生， 认为停止生产， 故该质检员 的要求有道理 . （ 2 ） ① 不妨记： “ N95 口罩的过滤效果” 为 Y ， 一 只口罩为 “优质品” 的概率为 P （ Y>0.951 ） =P （ Y>0.97-2× 0.009 5 ） =1- 1 2 - P （0.97-2σ<Y<0.97+2σ ） 2 5 & =0.977 2. ② 依题意， X∽B （ 1 000 ， 0.977 2 ）， 记 n=1 000 ， p= 0.977 2 ， P （ X=k ） =C k n p k （ 1-p ） n-k （ k=0 ， 1 ， 2 ， …， 10 3 ）， C k n p k （ 1-p ） n-k ≥C k-1 n p k-1 （ 1-p ） n-k+1 ， C k n p k （ 1-p ） n-k ≥C k+1 n p k+1 （ 1-p ） n-k- - 1 圯 p k ≥ 1-p 1 001-k ， 1-p 1 000-k ≥ p k+1 1 . . . . - . . . . / 圯1 001p-1≤k≤1 001p圯k=978. 阶段性练习卷 （五） 1. C 【解析】 由分布列性质可知 a+b= 1 2 ， 而 a 2 +b 2 ≥ （ a+b ） 2 2 = 1 8 ， 当且仅当 a=b= 1 4 时取等号 . 故选 C. 2. A 【解析】 设随机变量 X 表示取出次品的件数， 则 P （ X=0 ） = C 0 2 C 3 13 C 3 15 = 22 35 . 故选 A. 3. A 【解析】 甲打完 4 局才胜， 说明在前三局中甲 胜两局， 且在第 4 局中获胜， 其概率为 P=C 2 3 3 5 5 & 2 × 2 5 × 3 5 =C 2 3 3 5 5 & 3 × 2 5 . 故选 A. 4. D 【解析】 设这名学生在途中遇到红灯的次数为 X ， 则 X～B 5 ， 1 3 & ， ∴P （ X=k ） =C k 5 1 3 5 & k · 2 3 5 & 5-k ， k=0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5. 至少遇到一次红灯的概率为 P （ X≥1 ） =1-P （ X=0 ） =1- 2 3 5 & 5 = 211 243 . 故选 D. 5. C 【解析】 设语文书有 n （ n≥2 ） 本， 则数学书有 （ 7-n ） 本 . 则 2 本都是语文书的概率为 C 2 n C 0 7-n C 2 7 = 2 7 ， 由组 合数公式得 n 2 -n-12=0 ， 解得 n=4 （ n=-3 舍去） . 故选 C. 6. C 【解析】 ∵P （ μ-3σ≤ξ≤μ+3σ ） ≈0.997 ， ∴ 不属 于区间 （ μ-3σ ， μ+3σ ） 内的零件个数约为 1 000× （ 1- 0.997 ） =3. 故选 C. 7. ABD 【解析】 A ， B 显然满足独立重复试验的条 件， 而 C 虽然是有放回地摸球， 但随机变量 X 的定义是 直到摸出白球为止， 也就是说， 前面摸出的一定是红球， 最后一次是白球， 不符合二项分布的定义 . D 显然满足 超几何分布的条件 . 故选 ABD. X 400 P 0.014 4 0 0.014 4 100 0.182 4 200 300 0.606 4 0.182 4 X 0 3 P 1 125 64 125 1 12 125 2 48 125 70