4.2.2 离散型随机变量的分布列-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

参 考 答 案 0 ， ∴Y 的取值范围是 {-2 ， -1 ， 0} . 6. （ 1 ， 6 ）， （ 2 ， 6 ）， （ 3 ， 6 ）， （ 4 ， 6 ）， （ 5 ， 6 ） 练习手册 效果评价 1. AB 2. A 【解析】 ∵ 随机变量 Y=2X ， 当 X=1 时， Y=2 ， ∴P （ Y=2 ） = P （ X=1 ） =0.1. 故选 A. 3. C 【解析】 击中目标或子弹打完就停止射击， 射 击次数为 X=5 ， 则说明前 4 次均未击中目标 . 故选 C. 4. C 【解析】 X 可能的取值为 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， …， 19 ， 共有 17 个 . 故选 C. 5. C 【解析】 A 中取到产品的件数是一个常量， 不 是变量； B ， D 也是一个定值 . 而 C 中取到次品的件数 可能是 0 ， 1 ， 2 ， 是随机变量 . 故选 C. 6. 1 3 【解析】 事件 X>4 表示点数朝上的为 5 点或 6 点， ∴P （ X>4 ） =P （ X=5 ） +P （ X=6 ） = 1 6 + 1 6 = 1 3 . 7. 0.5 【解析 】 由题意 ， 事件 Y=4 是 X=-2 与 X=2 的并事件， ∴P （ Y=4 ） =P （ X=-2 ） +P （ X=2 ） =0.2+0.3=0.5. 8. 第 6 次能打开房门 【解析】 X 可能取值为 1 ， 2 ， 3 ， …， 10 ， X=n 表示第 n 次能打开房门 . 9. 解： 这名同学可能有回答全对、 两对一错、 两错 一对、 全错四种结果， 相应得分分别为 300 分、 200 分、 100 分、 0 分 . （ 1 ） X 的取值范围是 {300 ， 200 ， 100 ， 0} . （ 2 ） ∵ 事件 X>0 为 “不得 0 分”， X<300 为 “不得 满分”， ∴X=0 与 X>0 是对立事件， X=300 与 X<300 是 对立事件 . 又 P （ X=0 ） =0.06 ， P （ X=300 ） =0.43 ， ∴P （ X>0 ） = 1-P （ X=0 ） =1-0.06=0.94 ； P （ X<300 ） =1-P （ X=300 ） =1- 0.43=0.57. 10. 解： （ 1 ） 由题意得， X 可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ∴X 的取值范围是 {0 ， 1 ， 2 ， 3} . （ 2 ） 由题 意 可 得 Y=5X+6 ， 而 X 可 能 的 取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ∴Y 对应的值为 5×0+6 ， 5×1+6 ， 5×2+ 6 ， 5×3+6 ， 即 Y 的可能取值为 6 ， 11 ， 16 ， 21. 显然， Y 为离散型随机变量 . （ 3 ） ∵X>2 ， ∴Y=5X+6>16 ， ∴P （ Y>16 ） =P （ X>2 ） = 1 12 ， ∴P （ Y≤16 ） =1- P （ Y>16 ） =1- 1 12 = 11 12 . 提升练习 11. C 【解析】 ∵1 次试验的成功次数为 0 或 1 ， 故 X 可能取值有两种 ， 即 0 ， 1. 又 “成功率是失败率的 2 倍”， ∴P （ X=1 ） = 2 3 . 故选 C. 12. {0 ， 1 ， 2 ， 3} 【解析 】 ∵x ， y 可能取的值为 1 ， 2 ， 3 ， ∴0≤|x-2|≤1 ， 0≤|x-y|≤2 ， ∴0≤X≤3 ， ∴X 的取值范围为 {0 ， 1 ， 2 ， 3} . 13. 20 【解析】 ξ=6 表示前 5 局中胜 3 局， 第 6 局一 定获胜， 共有 C 1 2 · C 3 5 =20 （种） . 14. {0 ， 1 ， 2 ， 3} 0.95 【解析】 甲可能在 3 次射 击中， 一次也未中， 也可能中 1 次、 2 次、 3 次， 故 ξ 的 可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. ∵ 一次也未中的概率为 0.05 ， 即 P （ ξ=0 ） =0. 05 ， ∴P （ ξ>0 ） =1-0.05=0.95. 15. 24 【解析】 后 3 个数是从 6 ， 7 ， 8 ， 9 四个数中 取 3 个组成的， 共有 A 3 4 =24 （个） . 16. 解： 样本空间 Ω={ （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 2 ）， （ 1 ， 3 ）， （ 1 ， 4 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 1 ， 6 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 5 ） ， （ 2 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 3 ， 6 ） ， （ 4 ， 1 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 5 ） ， （ 4 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 2 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 4 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 5 ， 6 ） ， （ 6 ， 1 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 3 ） ， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 5 ）， （ 6 ， 6 ） } ， 共 36 个样本点， 所得点 数之和为 X ， 则 X 的取值范围是 {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12} . （ 1 ） “ X=6 ” 表示的事件为 （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ）， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ）， 共 5 个样本点， ∴P （ X=6 ） = 5 36 . （ 2 ） 所得点数和为偶数的样本空间 Ω={ （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 6 ） } ， 共 18 个样本点， 所得点数之和是偶 数为 Y ， 则 Y 的取值范围是 {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12} ， “ Y=6 ” 表示的事件为 （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ）， 共 5 个样本点， ∴P （ Y=6 ） = 5 18 . 4.2.2 离散型随机变量的分布列 学习手册 变式训练 1 解 ： ∵ 1 10 <X< 7 10 ， ∴X= 1 5 ， 2 5 ， 3 5 . ∴P 1 10 <X< 7 10 0 # =P X= 1 5 0 5 +P X= 2 5 5 5 +P X= 3 5 0 5 = 1 15 + 2 15 + 3 15 = 2 5 . 变式训练 2 解： 由已知可得 9c 2 -c+3-8c=1 ， ∴9c 2 -9c+ 2=0 ， ∴c= 1 3 或 2 3 . 检验： 当 c= 1 3 时， 9c 2 -c=9× 1 3 0 5 2 - 1 3 = 2 3 >0 ， 3-8c=3- 8 3 = 1 3 >0 ； 当 c= 2 3 时 ， 9c 2 -c=9× 2 3 0 5 2 - 2 3 >1 ， 3-8c=3- 16 3 <0 （不适合， 舍去） . 故 c= 1 3 . 故所求分布列为 变式训练 3 解： 由题意知， X 服从两点分布， P （ X=0 ） X 0 1 P 2 3 1 3 57 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 = C 2 199 C 2 ２00 = 99 100 ， ∴P （ X=1 ） =1- 99 100 = 1 100 . ∴ 随机变量 X 的分 布列为 变式训练 4 解： 由 η 1 =-ξ+ 1 2 ， 对于 ξ=-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 得 η 1 = 5 2 ， 3 2 ， 1 2 ， - 1 2 ， - 3 2 ， - 5 2 ， 相应的概 率值为 1 12 ， 1 4 ， 1 3 ， 1 12 ， 1 6 ， 1 12 . 故 η 1 的分布列为 由 η 2 =ξ 2 -2ξ ， 对于 ξ=-2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 得 η 2 = 8 ， 3 ， 0 ， -1 ， 0 ， 3. ∴P （ η 2 =8 ） = 1 12 ， P （ η 2 =3 ） = 1 4 + 1 12 = 1 3 ， P （ η 2 =0 ） = 1 3 + 1 6 = 1 2 ， P （ η 2 =-1 ） = 1 12 . 故 η 2 的分布列为 变式训练 5 解： （ 1 ） 记 “第一次检测出的是次品且第 二次检测出的是正品” 为事件 A. P （ A ） = A 1 2 A 1 3 A 2 5 = 3 10 . （ 2 ） X 的可能取值为 200 ， 300 ， 400. P （ X=200 ） = A 2 2 A 2 5 = 1 10 ， P （ X=300 ） = A 3 3 +C 1 2 C 1 3 A 2 2 A 3 5 = 3 10 ， P （ X=400 ） =1-P （ X= 200 ） -P （ X=300 ） =1- 1 10 - 3 10 = 6 10 = 3 5 . 故 X 的分布列为 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） √ （ 3 ） × 2. C 【解析】 P （ X=1 ） <0 不符合 P （ X=x i ） ≥0 的特点， 也不符合 P （ X=1 ） +P （ X=2 ） +P （ X=3 ） =1 的特点 . ∴C 项不 是随机变量的分布列 . 故选 C. 3. C 【解析 】 根据两点分布概率的特点知 ， a=1- 0.4=0.6. 故选 C. 4. C 【解析】 由分布列的性质可知 p=1- 1 6 - 1 3 - 1 6 = 1 3 . 故选 C. 5. A 【解析】 A 中随机变量 X 的取值有 6 个， 不服 从两点分布， 其他可以 . 故选 A. 6. 0 ， 1 ， 2 【解析】 由题意知， Y= 1 2 X 且 X∈{0 ， 2 ， 4} ， 得 Y∈{0 ， 1 ， 2}. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 由随机变量 X 的分布列， 知 P （ X<-1 ） =0.1 ， P （ X<0 ） =0.3 ， P （ X<1 ） =0.5 ， P （ X<2 ） =0.8 ， 则当 P （ X<a ） =0.8 时， 实数 a 的取值范围是 （ 1 ， 2 ］ . 故选 C. 2. A 【解析】 由 0.1+0.2+0.2+0.2+m=1 ， 得 m=0.3. ∴P （ Y=2 ） =P （ X=4 ） =0.3. 故选 A. 3. C 【解析】 ξ 的分布列为 由 a 3 + a 9 + a 27 =1 ， 解得 a= 27 13 . 故选 C. 4. ABC 【解析】 根据离散型随机变量的概率分布列 中 ， 概率和为 1. ∵0+ 1 2 +0+0+ 1 2 =1 ， ∴A 满足题意 ； ∵0.1 +0.2 +0.3 +0.4 =1 ， ∴B 满 足 题 意 ； ∵p + （ 1 -p ） =1 ， （ 0≤p≤1 ）， ∴C 满足题意； ∵ 1 1×2 + 1 2×3 + … + 1 7×8 =1- 1 2 + 1 2 - 1 ３ + … + 1 7 - 1 8 =1- 1 8 = 7 8 ≠1 ， ∴D 不满足题意 . 故 选 ABC. 5. D 【解析】 X 的分布列为 ∴ a 2 + a 6 + a 12 + a 20 =1 ， 解得 a= 5 4 ， ∴P 1 2 <X< 5 2 2 ' = P （ X=1 ） +P （ X=2 ） = a 2 + a 6 = 2 3 a= 5 6 . 故选 D. 6. 19 20 1 20 【解析】 X=0 表示抽取的一个产品为合 格品， 概率为 95% ， 即 a= 19 20 ； X=1 表示抽取的一个产 品为次品， 概率为 5% ， 即 b= 1 20 . 7. 0.1 10 【解析】 由题意知 P （ X<4 ） =3P （ X=1 ） =0.3 ， ∴P （ X=1 ） =0.1. 又 nP （ X=1 ） =1 ， ∴n=10. 8. 25 27 【解析】 P （ X<2 ） =P （ X=0 ） +P （ X=1 ） = C 1 5 C 1 5 C 1 5 C 1 6 C 1 6 C 1 6 + C 2 3 C 1 5 C 1 5 C 1 6 C 1 6 C 1 6 = 200 216 = 25 27 . 9. 解： 由分布列的性质知 ： 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1 ， ∴m=0.3. 首先列表为 X 0 1 P 99 100 1 100 η 1 5 2 3 2 1 2 - 1 2 - 3 2 - 5 2 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 η 2 -1 P 1 12 8 1 12 0 1 2 3 1 3 X 400 P 3 5 200 1 10 300 3 10 ξ 3 P a 27 1 a 3 2 a 9 X 4 P a 20 1 a 2 3 a 12 2 a 6 58 参 考 答 案 从而由上表得两个分布列为 （ 1 ） 2X+1 的分布列 （ 2 ） |X-1| 的分布列 10. 解： ξ 的所有可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， “ ξ=0 ” 表 示入选 3 人全是男生， 则 P （ ξ=0 ） = C 3 8 C 3 10 = 7 15 ， “ ξ=1 ” 表示 入选 3 人 中 恰 有 1 名 女 生 ， 则 P （ ξ=1 ） = C 1 2 C 2 8 C 3 10 = 7 15 ， “ ξ=2 ” 表示入选 3 人中有 2 名女生， 则 P （ ξ=2 ） = C 2 2 C 1 8 C 3 10 = 1 15 . 因此 ξ 的分布列为 提升练习 11. B 【解析】 根据分布列的性质， 知随机变量的所 有取值的概率之和为 1 ， 可解得 x=2 ， y=5 ， 故 P 3 2 <X< 11 3 3 " = P （ X=2 ） +P （ X=3 ） =0.35. 故选 B. 12. B 【解析 】 ξ=8 表示 3 个篮球中一个编号是 8 ， 另外两个从剩余 7 个号中选 2 个， 有 C 2 7 种方法， 即 21 种 . 故选 B. 13. BD 【解析 】 由分布列的性质得 a+b+c=3b=1 ， ∴b= 1 3 . ∴P （ |X|=1 ） =P （ X=1 ） +P （ X=-1 ） =1-P （ X=0 ） =1- 1 3 = 2 3 . 故选 BD. 14. 1 8 【解析】 由分布列的性质 ， 知 a+b= 1 2 ， 而 a 2 +b 2 ≥ （ a+b ） 2 2 = 1 8 （当且仅当 a=b= 1 4 时等号成立） . 15. 2 5 【解析】 X 的可能取值为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 则 第 1 次取到白球的概率为 P （ X=1 ） = 1 5 ， 第 2 次取到白球 的概率为 P （ X=2 ） = 4×1 5×4 = 1 5 ， 第 3 次取到白球的概率为 P （ X=3 ） = 4×3×1 5×4×3 = 1 5 ， 第 4 次取到白球的概率为 P （ X=4 ） = 4×3×2×1 5×4×3×2 = 1 5 ， 第 5 次取到白球的概率为 P （ X=5 ） = 4×3×2×1×1 5×4×3×2×1 = 1 5 ， ∴P （ 1<X≤3 ） =P （ X=2 ） +P （ X=3 ） = 2 5 . 16. 解 ： （ 1 ） 由 x 2 -x-6≤0 得 -2≤x≤3 ， 即 S= {x|-2≤x≤3}. 由于 m ， n∈Z ， m ， n∈S 且 m+n=0 ， ∴A 包含的样本点为 （ -2 ， 2 ）， （ 2 ， -2 ）， （ -1 ， 1 ）， （ 1 ， -1 ）， （ 0 ， 0 ） . （ 2 ） 由于 m 的所有不同取值为 -2 ， -1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ∴ξ=m 2 的所有不同取值为 0 ， 1 ， 4 ， 9 ， 且有 P （ ξ=0 ） = 1 6 ， P （ ξ=1 ） = 2 6 = 1 3 ， P （ ξ=4 ） = 2 6 = 1 3 ， P （ ξ=9 ） = 1 6 . 故 ξ 的分 布列为 4.2.3 二项分布与超几何分布 学习手册 变式训练 1 ACD 【解析】 选项 A ： 试验出现的结果只 有两个， 点数为 6 和点数不为 6 ， 且点数为 6 的概率在 每一次试验中都为 1 6 ， 每一次试验都是独立的， 故随机 变量 X 服从二项分布； 选项 B ： 虽然每一次试验的结果 只有两个， 且每一次试验都是相互独立的， 且概率不发 生变化， 但随机变量 X 的取值不确定， 故随机变量 X 不 服从二项分布； 选项 C ： 甲、 乙获胜的概率一定， 且和 为 1 ， 举行 5 次比赛， 相当于进行了 5 次独立重复试验， 故 X 服从二项分布 ； 选项 D ： 由二项分布的定义可 知， X～B （ n ， 0.3 ） . 故选 ACD. 变式训练 2 解： （ 1 ） X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 且 P （ X=0 ） = C 3 3 C 3 8 = 1 56 ， P （ X=1 ） = C 1 5 C 2 3 C 3 8 = 15 56 ， P （ X=2 ） = C 2 5 C 1 3 C 3 8 = 30 56 = 15 28 ， P （ X=3 ） = C 3 5 C 0 3 C 3 8 = 10 56 = 5 28 ， 即 X 的分布列为 （ 2 ） 去执行任务的同学中有男有女的概率为 P=P （ X= 1 ） +P （ X=2 ） = 15 56 + 15 28 = 45 56 . 变式训练 3 12 25 3 5 【解析】 若放回抽取， 设取得红球 的个数为 X ， 则 X～B 2 ， 3 5 3 " ， 取出 2 个颜色不同的球 即事件 “ X=1 ”， ∴P （ X=1 ） =C 1 2 × 3 5 × 2 5 = 12 25 . 若不放回抽 X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 |X-1| 1 0 1 2 3 2X+1 1 7 9 P 0.2 0.3 0.3 3 0.1 5 0.1 |X-1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 ξ 2 P 1 15 0 7 15 1 7 15 ξ 9 P 1 6 0 1 6 4 1 3 1 1 3 X 3 P 5 28 0 1 56 2 15 28 1 15 56 59 第四章 概率与统计 学 学 习 目 标 1. 理解离散型随机变量的概念 . 2. 通过实例， 理解离散型随机变量分布 列的概念 . 3. 掌握离散型随机变量分布列的表示方 法和性质 . 4. 通过实例， 理解两点分布 . 要 点 精 析 要点 1 离散型随机变量的分布列及其 性质 1. 定义： 一般地， 当离散型随机变量 X 的取值范围是 {x 1 ， x 2 ， …， x n } 时， 如果对 任意 k∈{1 ， 2 ， …， n} ， 概率 P （ X＝x k ） ＝p k 都 是已知的， 则称 X 的概率分布是已知的 . 离 散型随机变量 X 的概率分布也可以用如下形 式的表格表示： 此表称为 X 的概率分布或分布列 . 2. 性质： （ 1 ） p k ≥0 ， k＝1 ， 2 ， 3 ， …， n. （ 2 ） n k=1 移 p k ＝p 1 ＋p 2 ＋ … ＋p n ＝1. 例 1 设随机变量 X 的分布列 P X= k 5 $ % ＝ak （ k＝1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ） . 求： （ 1 ） 常数 a 的值； （ 2 ） P X≥ 3 5 $ % 的值 . 解： 由题意， 所给分布列为 （ 1 ） 由分布列的性质得 a＋2a＋3a＋4a＋5a＝ 1 ， 解得 a＝ 1 15 . （ 2 ） 方 法 一 ： P X≥ 3 5 $ % ＝P X= 3 5 $ % ＋ P X= 4 5 $ % ＋P （ X＝1 ） ＝ 3 15 ＋ 4 15 ＋ 5 15 ＝ 4 5 . 方法二 ： P X≥ 3 5 $ % ＝1－P X≤ 2 5 $ % ＝1－ 1 15 + 2 15 $ % ＝ 4 5 . 变式训练 1 若例 1 条件不变， 求 P 1 10 <X< 7 10 $ % 的值 . 反思感悟 分布列的性质及其应用： （ 1 ） 利用分布列中各概率之和为 1 可 求参数的值， 此时要注意检验， 以保证每 个概率值均为非负数 . （ 2 ） 求随机变量在某个范围内的概率 时， 根据分布列， 将所求范围内各随机变 量对应的概率相加即可， 其依据是互斥事 件的概率加法公式 . 4.2.2 离散型随机变量的分布列 X x 1 x 2 … x k … x n P p 1 p 2 … p k … p n X 1 5 2 5 3 5 4 5 1 P a 2a 3a 4a 5a 45 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 2 若离散型随机变量 X 的分布列为 试求出离散型随机变量 X 的分布列 . 要点 2 两点分布 1. 两点分布： 如果随机变量 X 的分布 列为 则这个随机变量服从参数为 p 的两点分 布 （或 0鄄1 分布） . 2. 伯努利试验： 一个所有可能结果只有 两种的随机试验， 通常称为伯努利试验 . 两点分布也常称为伯努利分布， p 常常 被称为成功概率 . 思考 为什么两点分布也常称为伯努 利分布？ 例 2 在一次购物抽奖活动中， 在 10 张 奖券中有一等奖奖券 1 张 ， 二等奖奖券 3 张， 其余 6 张没有奖品 . 某顾客从 10 张奖券 中任意抽取 1 张， 求中奖次数 X 的分布列 . 解： 抽奖一次， 只有中奖和不中奖两种 情况 ， 故 X 的取值只有 0 和 1 两种情况 . P （ X＝1 ） ＝ C 1 4 C 1 10 ＝ 4 10 ＝ 2 5 ， 则 P （ X＝0 ） ＝1－P （ X＝1 ） ＝1－ 2 5 ＝ 3 5 . 因此 X 的分布列为 反思感悟 （ 1 ） 判断是否为两点分布的方法： ① 看取值 ： 随机变量只取两个值 0 和 1. ② 验概率： 检验 P （ X＝0 ） ＋P （ X＝1 ） ＝1 是 否成立 . （ 2 ） 特别情况： 有多个结果的随机试 验中， 如果我们只关心一个随机事件是否 发生， 可以利用两点分布来研究 . 变式训练 3 已知一批 200 件的待出厂产品中， 有 1 件不合格品， 现从中任意抽取 2 件进行检 查， 若用随机变量 X 表示抽取的 2 件产品中 的次品数， 求 X 的分布列 . X 1 0 P p 1-p X 0 1 P 3 5 2 5 X 0 1 P 9c 2 -c 3-8c 46 第四章 概率与统计 学 要点 3 求离散型随机变量的分布列 例 3 已知随机变量 ξ 的分布列为 分别求出随机变量 η 1 ＝ 1 2 ξ ， η 2 ＝ξ 2 的分 布列 . 解： 由 η 1 ＝ 1 2 ξ 知， 对于 ξ 取不同的值 －2 ， －1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 时， η 1 的值分别为 －1 ， － 1 2 ， 0 ， 1 2 ， 1 ， 3 2 ， ∴η 1 的分布列为 由 η 2 ＝ξ 2 知 ， 对于 ξ 的不同取值 －2 ， 2 及 －1 ， 1 ， η 2 分别取相同的值 4 与 1 ， 即 η 2 取 4 这个值的概率应是 ξ 取 －2 与 2 的概率 1 12 与 1 6 的和， η 2 取 1 这个值的概率应是 ξ 取 －1 与 1 的概率 1 4 与 1 12 的和， ∴η 2 的分布 列为 反思感悟 求离散型随机变量 η＝f （ ξ ）分布列的步 骤： （ 1 ） 确定 η 的取值， 由变量 ξ 与 η 的 关系确定 . （ 2 ） 确定每个 η 取值的概率 . （ 3 ） 列分布列 . 注意： 若 ξ 是一个随机变量， a ， b∈ R ， 则 η＝aξ＋b 也是一个随机变量 . 变式训练 4 已知随机变量 ξ 的分布列为 分别求出随机变量 η 1 ＝－ξ＋ 1 2 ， η 2 ＝ξ 2 －2ξ 的分布列 . 例 4 一个箱子里装有 5 个大小相同 的球， 有 3 个白球， 2 个红球， 从中摸出 2 个球 . （ 1 ） 求摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率； （ 2 ） 用 X 表示摸出的 2 个球中的白球个 数， 求 X 的分布列 . 解： 一个箱子里装有 5 个大小相同的 球， 有 3 个白球， 2 个红球， 从中摸出 2 个 球， 有 C 2 5 ＝10 （种） 情况 . （ 1 ） 设摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的事件为 A ， P （ A ） ＝ C 1 3 C 1 2 10 ＝ 3 5 ， 即摸 η 2 0 1 4 9 P 1 3 1 3 1 4 1 12 ξ -2 -1 0 1 2 3 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 η 1 -1 - 1 2 0 1 2 1 3 2 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 ξ -2 -1 0 1 2 3 P 1 12 1 4 1 3 1 12 1 6 1 12 47 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率 为 3 5 . （ 2 ） 用 X 表示摸出的 2 个球中的白球个 数， X 的所有可能取值为 0 ， 1 ， 2. P （ X＝0 ） ＝ C 2 2 10 ＝ 1 10 ， P （ X＝1 ） ＝ C 1 3 C 1 2 10 ＝ 3 5 ， P （ X＝2 ） ＝ C 2 3 10 ＝ 3 10 . 故 X 的分布列为 变式训练 5 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起， 现需要通过检测将其区分， 每次随机检测一 件产品， 检测后不放回， 直到检测出 2 件次 品或者检测出 3 件正品时检测结束 . （ 1 ） 求第一次检测出的是次品且第二次 检测出的是正品的概率； （ 2 ） 已知每检测一件产品需要费用 100 元， 设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测 出 3 件正品时所需要的检测费用 （单位 ： 元）， 求 X 的分布列 . 数 学 文 化 例 某市卫生防疫部门为了控制某种病 毒的传染， 提供了批号分别为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的五批疫苗， 供全市所辖的三个区市民 接种， 每个区均能从中任选一个批号的疫苗 接种 . （ 1 ） 求三个区市民接种的疫苗批号中恰 好有两个区相同的概率； （ 2 ） 记三个区选择的疫苗批号的中位数 为 X ， 求 X 的分布列 . 解 ： （ 1 ） 设三个区市民接种的疫苗 批 号中恰好有两个区相同为事件 A ， 则 P （ A ） = C 2 5 · C 2 3 · A 2 2 5 3 = 12 25 . （ 2 ） X 的所有可能取值为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 则 P （ X=1 ） = 1+C 2 3 · C 1 4 5 3 = 13 125 ， P （ X=2 ） = 1+C 2 3 · C 1 4 +C 1 3 · A 3 3 5 3 = 31 125 ， P （ X=3 ） = 1+C 2 3 · C 1 4 +C 1 2 · C 1 2 · A 3 3 5 3 = 37 125 ， P （ X=4 ） = 1+C 2 3 · C 1 4 +C 1 3 · A 3 3 5 3 = 31 125 ， P （ X=5 ） = 1+C 2 3 · C 1 4 5 3 = 13 125 . 所以随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 13 125 31 125 37 125 31 125 13 125 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 48