4.2.1 随机变量 及其与事件的联系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 通过实例， 了解离散型随机变量的 概念 . 2. 通过实例， 理解离散型随机变量与事 件的联系 . 要 点 精 析 要点 1 随机变量的概念及分类 思考 随机变量与随机试验的结果的 关系是怎样的？ 例 1 下列变量中， 哪些是随机变量？ 哪些是离散型随机变量？ 并说明理由 . （ 1 ） 某机场一年中每天运送乘客的 数量； （ 2 ） 某单位办公室一天中接到电话的 次数； （ 3 ） 2021 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间 所查酒驾的人数； （ 4 ） 一瓶果汁的容量为 （ 500±2 ） mL. 解： （ 1 ） 某机场一年中每天运送乘客 的数量可能为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 是随机变化 的， 因此是随机变量， 也是离散型随机变量 . （ 2 ） 某单位办公室一天中接到电话的次 数可能为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 是随机变化的， 因此是随机变量， 也是离散型随机变量 . （ 3 ） 2021 年 5 月 1 日到 10 月 1 日期间， 所查酒驾的人数可能为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 是 随机变化的， 因此是随机变量， 也是离散型 随机变量 . （ 4 ） 由于果汁的容量在 498～502 mL 之 间波动， 是随机变量， 但不是离散型随机 变量 . 变式训练 1 指出下列随机变量是不是离散型随机变 量， 并说明理由 . （ 1 ） 从 10 张已编好号码的卡片 （ 1 号到 10 号） 中任取一张， 被取出的卡片的号数； （ 2 ） 一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑 球， 从中任取 3 个， 其中所含白球的个数； （ 3 ） 某林场的树木最高达 30 m ， 则此 4.2 随机变量 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 概念 一般地 ， 如果随机试验的样本空间为 Ω ， 而且对于 Ω 中的每一个样本点， 变量 X 都 对应有唯一确定的实数值， 就称 X 为一个 随机变量 表示 随机变量一般用大写英文字母 X ， Y ， Z ， …或小写希腊字母 ξ ， η ， ζ ， …表示 取值 随机变量的取值由随机试验的结果决定 取值 范围 随机变量所有可能的取值组成的集合， 称 为这个随机变量的取值范围 分类 离散型随机 变量 随机变量的所有可能取值可以 一一列举出来 连续型随机 变量 随机变量的取值范围包含一个 区间， 不能一一列举出来 42 第四章 概率与统计 学 林场中树木的高度； （ 4 ） 某加工厂加工的某种铜管的外径与 规定的外径尺寸之差 . 要点 2 随机变量的取值及其表示的事件 随机变量与事件的关系： 一般地， 如果 X 是一个随机变量， a ， b 都是任意实数， 那 么 X＝a ， X≤b ， X>b 等都表示事件， 而且： （ 1 ） 当 a≠b 时， 事件 X＝a 与 X＝b 互斥； （ 2 ） 事件 X≤a 与 X>a 相互对立， 因此 P （ X≤a ） ＋P （ X>a ） ＝1. 例 2 （ 1 ） 射手对目标进行射击， 击中 目标得 1 分， 未击中目标得 0 分， 该射手在 一次射击中的得分用 ξ 表示， 已知 P （ ξ＝0 ） ＝ 0.3 ， 则 P （ ξ＝1 ） ＝ ； （ 2 ） 某人参加一次比赛， 比赛共设三 关， 第一、 二关各有两个必答题， 如果每关 两个问题都答对， 可进入下一关， 第三关有 三个问题， 只要答对其中两个问题， 则闯关 成功 . 每过一关可一次性获得价值分别为 1 000 元、 3 000 元、 6 000 元的奖品 （不重 复设奖）， 用 X 表示此人所获奖品的价值， 写出 X 的所有可能取值及每个值所表示的 事件 . 解析： （ 1 ） ξ 可能取值为 0 ， 1 ， 当 ξ＝0 时， 表明该射手在本次射击中没有击中目 标； 当 ξ＝1 时， 表明该射手在本次射击中击 中目标， 这两个事件是对立的， 所以 P （ ξ＝ 1 ） ＝1－P （ ξ＝0 ） ＝0.7. （ 2 ） 解 ： X 的可能取值为 0 ， 1 000 ， 3 000 ， 6 000. X＝0 ， 表示第一关就没有通过； X＝1 000 ， 表示第一关通过， 而第二关没有 通过； X＝3 000 ， 表示第一、 二关通过， 而 第三关没有通过； X＝6 000 ， 表示三关都通过 . 反思感悟 随机变量的取值及表示的事件问题的 关注点： （ 1 ） 关键： 明确随机变量的所有可能 取值， 以及取每一个值时对应的意义， 即 一个随机变量的取值可能对应一个或多个 随机试验的结果 . （ 2 ） 注意： 解答过程中不要漏掉某些 试验结果 . （ 3 ） 公式： 互斥事件与对立事件的概 率公式 . 变式训练 2 盒中有 9 个正品和 3 个次品零件， 每次 从中取一个零件， 如果取出的是次品， 则不 再放回， 直到取出正品为止， 设取得正品前 已取出的次品数为 X. （ 1 ） 写出 X 的所有可能取值； （ 2 ） 写出 X＝1 所表示的事件； （ 3 ） 求 X＝1 的概率 . 43 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 3 随机变量之间的关系 一般地， 如果 X 是一个随机变量， a ， b 都是实数且 a≠0 ， 则 Y＝aX＋b 也是一个随机 变量 . 由于 X＝t 的充要条件是 Y＝at＋b ， 因此 P （ X＝t ） ＝P （ Y＝at＋b ） . 例 3 已知随机变量 X 与 Y 的不同取值 及对应的概率如下表， 则 a＋2b 等于 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 由表知， P （ X＝1 ） ＝P （ Y＝4 ）， ∴a＋ b＝4 ， ① P （ X＝2 ） ＝P （ Y＝7 ）， ∴2a＋b＝7 ， ② 由 ①② 得， a＝3 ， b＝1 ， ∴a＋2b＝5. 故选 C. 变式训练 3 把下表补充完整： 表一 表二 数 学 文 化 “石头、 剪刀、 布”， 又称 “猜丁壳”， 是一种流传多年的猜拳游戏， 起源于中国， 然后传到日本、 朝鲜等地， 随着亚欧贸易的 不断发展， 它传到了欧洲， 到了近代逐渐风 靡世界 . 其游戏规则是 ： “石头 ” 胜 “剪 刀”， “剪刀” 胜 “布”， 而 “布” 又胜 “石 头” . 若所出的拳相同， 则为和局 . 小明和小 华两位同学进行 “五局三胜制” 的 “石头、 剪刀、 布” 游戏比赛， 若小华胜， 设小华参 加比赛局数为 X. （ 1 ） 写出 X 的所有可能取值； （ 2 ） 小华获胜的概率是多少 . 解 ： （ 1 ） X 的所有可能取值为 3 ， 4 ， 5 ， 6. （ 2 ） 根据 “石头” 胜 “剪刀”， “剪刀” 胜 “布”， 而 “布” 又胜 “石头”， 可得每局 比赛中小华胜小明、 小华与小明和局和小华 输给小明的概率都为 1 3 ， 小华获胜有三种 情况： ① 小华连胜三局， 概率为 p 1 = 1 3 3 # 3 = 1 27 ； ② 小华前三局中两胜另一局不胜， 第三 局小华胜 ， 概率为 p 2 =C 2 3 1 3 3 3 2 2 3 3 3 1 3 3 3 = 2 27 ； ③ 小华前四局中两胜， 另两局不胜， 第五 局小华胜， 概率为 p 3 =C 2 4 1 3 3 3 2 2 3 3 3 2 1 3 3 3 = 8 81 . ∴ 小华获胜的概率是 p=p 1 +p 2 +p 3 = 1 27 + 2 27 + 8 81 = 17 81 . X 2 4 P （ X ） 0.7 Y=2X-3 1 5 P （ Y ） 0.3 X 1 2 P （ X ） 0.4 0.6 Y＝aX＋b 4 7 P （ Y ） 0.4 0.6 44 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 P （ B ） = 2 4 = 1 2 ， P （ C ） = 2 4 = 1 2 ， ∴P （ A ） =P （ B ） =P （ C ）， 故 A 正确； P （ BC ） =P （ B ） P （ C ） = 1 2 × 1 2 = 1 4 ， P （ AC ） = C 1 2 C 1 2 4×4 = 1 4 ， P （ AB ） = C 1 2 C 1 2 4×4 = 1 4 ， ∴P （ BC ） =P （ AC ） =P （ AB ）， 故 B 正确； P （ ABC ） = C 1 2 C 1 2 4×4 = 1 4 ， 故 C 错误； P （ A ）· P （ B ）· P （ C ） = 1 2 × 1 2 × 1 2 = 1 8 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 8. ABC 【解析】 利用古典概型概率公式计算可得 P （ A ） =0.5 ， P （ B ） =0.5 ， P （ C ） =0.5 ， P （ AB ） =0.25 ， P （ AC ） = 0.25 ， P （ BC ） =0.25. 可以验证 P （ AB ） =P （ A ） P （ B ）， P （ AC ） =P （ A ） P （ C ）， P （ BC ） =P （ B ） P （ C ） . ∴ 根据事件相互独立的 定义， 事件 A 与 B 相互独立， 事件 B 与 C 相互独立， 事 件 A 与 C 相互独立 . 9. 0.75 【解析】 ∵P （ A|B ） = P （ AB ） P （ B ） ， ∴P （ AB ） =0.3. ∴P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 0.3 0.4 =0.75. 10. 3 88 【解析】 依题意可分类： ① 甲同学选马， 则 有 C 1 2 C 1 9 =18 种情况符合要求； ② 甲同学选牛， 则有 C 1 3 C 1 9 =27 （种） 情况符合要求 . 三位同学抽取礼物的所有情 况有 A 3 12 种， 则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物 的概率 P= 18+27 A 3 12 = 3 88 . 11. 1 5 1 5 【解析 】 记 “第 i 个人抽中中奖彩票” 为事件 A i ， 显然 P （ A 1 ） = 1 5 ， 而 P （ A 2 ） =P ［ A 2 ∩ （ A 1 ∪A 1 ）］ = P （ A 2 ∩A 1 ） +P （ A 2 ∩A 1 ） =P （ A 2 A 1 ） +P （ A 2 A 1 ） =P （ A 1 ） P （ A 2 |A 1 ） + P （ A 1 ） P （ A 2 |A 1 ） = 1 5 ×0+ 4 5 × 1 4 = 1 5 ， P （ A 3 ） =P ［ A 3 ∩ （ A 1 A 2 + A 1 A 2 +A 1 A 2 +A 1 A 2 ）］ =P （ A 1 A 2 A 3 ） +P （ A 1 A 2 A 3 ） +P （ A 1 A 2 A 3 ） + P （ A 1 A 2 A 3 ） =0+0+0+P （ A 3 A 1 A 2 ） =P （ A 1 ） P （ A 2 |A 1 ） P （ A 3 |A 1 A 2 ） = 4 5 × 3 4 × 1 3 = 1 5 . 12. 9 22 【解析】 由题意知， A 1 ， A 2 ， A 3 是两两互斥 的事件 ， 且 A 1 ∪A 2 ∪A 3 =Ω ， ∴P （ B ） =P ［ B∩ （ A 1 ∪A 2 ∪ A 3 ）］ =P （ BA 1 ） +P （ BA 2 ） +P （ BA 3 ） =P （ A 1 ） P （ B|A 1 ） +P （ A 2 ）· P （ B|A 2 ） +P （ A 3 ） P （ B|A 3 ） = 5 10 × 5 11 + 2 10 × 4 11 + 3 10 × 4 11 = 9 22 . 13. 解 ： 设 “第一次抽到舞蹈节目 ” 为事件 A ， “第二次抽到舞蹈节目” 为事件 B ， 则 “第一次和第二 次都抽到舞蹈节目” 为事件 AB. （ 1 ） 从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 次的事件数 为 n （ Ω ） =A 2 6 =30 ， 根据分步乘法计数原理 n （ A ） =A 1 4 A 1 5 =20 ， 于是 P （ A ） = n （ A ） n （ Ω ） = 20 30 = 2 3 . （ 2 ） ∵n （ AB ） =A 2 4 =12 ， 于是 P （ AB ） = n （ AB ） n （ Ω ） = 12 30 = 2 5 . （ 3 ） 方法一： 由 （ 1 ） （ 2 ） 可得， 在第一次抽到舞 蹈节目的条件下， 第二次抽到舞蹈节目的概率为 P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 2 5 2 3 = 3 5 . 方法二： ∵n （ AB ） =12 ， n （ A ） =20 ， ∴P （ B|A ） = n （ AB ） n （ A ） = 12 20 = 3 5 . 14. 解： 设 A 1 = “第一次患病心肌受损害”， A 2 = “第 二次患病心肌受损害”， 则所求概率为 P （ A 1 A 2 ） . 由题意 可知， P （ A 1 ） =0.3 ， P （ A 2 |A 1 ） =0.6. 又 P （ A 1 ） =1-P （ A 1 ） =0.7 ， P （ A 2 |A 1 ） =1-P （ A 2 |A 1 ） =0.4 ， ∴P （ A 1 A 2 ） =P （ A 1 ） P （ A 2 |A 1 ） =0.7× 0.4=0.28. 4.2 随机变量 4.2.1 随机变量及其与事件的联系 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 只要取出一张， 便有一个号码， 因此被取出的卡片号数可以一一列出， 符合离散型随机 变量的定义 . （ 2 ） 从 10 个球中取 3 个球， 所得的结果有以下几 种： 3 个白球、 2 个白球和 1 个黑球、 1 个白球和 2 个黑 球、 3 个黑球， 即其结果可以一一列出， 符合离散型随 机变量的定义 . （ 3 ） 林场树木的高度是一个随机变量 ， 它可以取 （ 0 ， 30 ］ 内的一切值， 无法一一列举， 不是离散型随机 变量 . （ 4 ） 实际测量值与规定值之间的差值无法一一列 出， 不是离散型随机变量 . 变式训练 2 解： （ 1 ） X 可能取的值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. （ 2 ） X=1 表示的事件为 “第一次取得次品， 第二次 取得正品” . （ 3 ） P （ X=1 ） = 3×9 12×11 = 9 44 . 变式训练 3 0.3 0.7 【解析】 ∵ 当 X=2 时， Y=2X-3=1 ， ∴P （ X=2 ） =P （ Y=1 ） =0.3 ； ∵ 当 X=4 时， Y=2X-3=5 ， ∴P （ Y= 5 ） =P （ X=4 ） =0.7. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） √ 2. C 【解析】 ∵ 掷一枚质地均匀的骰子试验中， 所 有可能结果有 6 个， 故 “出现的点数” 这一随机变量的 取值为 6 个 . 故选 C. 3. D 【解析】 若 X 是离散型随机变量， 根据随机变 量之间的关系， 则 Y 必是离散型随机变量 . 故选 D. 4. AB 【解析】 ξ=4 可能出现的结果是一枚是 3 点， 一枚是 1 点或两枚都是 2 点 . 故选 AB. 5. {-2 ， -1 ， 0} 【解析】 ∵ 随机变量 X 的取值范围 是 {-1 ， 0 ， 1} ， 且 Y=X-1 ， ∴-1-1=-2 ， 0-1=-1 ， 1-1= 56 参 考 答 案 0 ， ∴Y 的取值范围是 {-2 ， -1 ， 0} . 6. （ 1 ， 6 ）， （ 2 ， 6 ）， （ 3 ， 6 ）， （ 4 ， 6 ）， （ 5 ， 6 ） 练习手册 效果评价 1. AB 2. A 【解析】 ∵ 随机变量 Y=2X ， 当 X=1 时， Y=2 ， ∴P （ Y=2 ） = P （ X=1 ） =0.1. 故选 A. 3. C 【解析】 击中目标或子弹打完就停止射击， 射 击次数为 X=5 ， 则说明前 4 次均未击中目标 . 故选 C. 4. C 【解析】 X 可能的取值为 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， …， 19 ， 共有 17 个 . 故选 C. 5. C 【解析】 A 中取到产品的件数是一个常量， 不 是变量； B ， D 也是一个定值 . 而 C 中取到次品的件数 可能是 0 ， 1 ， 2 ， 是随机变量 . 故选 C. 6. 1 3 【解析】 事件 X>4 表示点数朝上的为 5 点或 6 点， ∴P （ X>4 ） =P （ X=5 ） +P （ X=6 ） = 1 6 + 1 6 = 1 3 . 7. 0.5 【解析 】 由题意 ， 事件 Y=4 是 X=-2 与 X=2 的并事件， ∴P （ Y=4 ） =P （ X=-2 ） +P （ X=2 ） =0.2+0.3=0.5. 8. 第 6 次能打开房门 【解析】 X 可能取值为 1 ， 2 ， 3 ， …， 10 ， X=n 表示第 n 次能打开房门 . 9. 解： 这名同学可能有回答全对、 两对一错、 两错 一对、 全错四种结果， 相应得分分别为 300 分、 200 分、 100 分、 0 分 . （ 1 ） X 的取值范围是 {300 ， 200 ， 100 ， 0} . （ 2 ） ∵ 事件 X>0 为 “不得 0 分”， X<300 为 “不得 满分”， ∴X=0 与 X>0 是对立事件， X=300 与 X<300 是 对立事件 . 又 P （ X=0 ） =0.06 ， P （ X=300 ） =0.43 ， ∴P （ X>0 ） = 1-P （ X=0 ） =1-0.06=0.94 ； P （ X<300 ） =1-P （ X=300 ） =1- 0.43=0.57. 10. 解： （ 1 ） 由题意得， X 可能的取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ∴X 的取值范围是 {0 ， 1 ， 2 ， 3} . （ 2 ） 由题 意 可 得 Y=5X+6 ， 而 X 可 能 的 取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， ∴Y 对应的值为 5×0+6 ， 5×1+6 ， 5×2+ 6 ， 5×3+6 ， 即 Y 的可能取值为 6 ， 11 ， 16 ， 21. 显然， Y 为离散型随机变量 . （ 3 ） ∵X>2 ， ∴Y=5X+6>16 ， ∴P （ Y>16 ） =P （ X>2 ） = 1 12 ， ∴P （ Y≤16 ） =1- P （ Y>16 ） =1- 1 12 = 11 12 . 提升练习 11. C 【解析】 ∵1 次试验的成功次数为 0 或 1 ， 故 X 可能取值有两种 ， 即 0 ， 1. 又 “成功率是失败率的 2 倍”， ∴P （ X=1 ） = 2 3 . 故选 C. 12. {0 ， 1 ， 2 ， 3} 【解析 】 ∵x ， y 可能取的值为 1 ， 2 ， 3 ， ∴0≤|x-2|≤1 ， 0≤|x-y|≤2 ， ∴0≤X≤3 ， ∴X 的取值范围为 {0 ， 1 ， 2 ， 3} . 13. 20 【解析】 ξ=6 表示前 5 局中胜 3 局， 第 6 局一 定获胜， 共有 C 1 2 · C 3 5 =20 （种） . 14. {0 ， 1 ， 2 ， 3} 0.95 【解析】 甲可能在 3 次射 击中， 一次也未中， 也可能中 1 次、 2 次、 3 次， 故 ξ 的 可能取值为 0 ， 1 ， 2 ， 3. ∵ 一次也未中的概率为 0.05 ， 即 P （ ξ=0 ） =0. 05 ， ∴P （ ξ>0 ） =1-0.05=0.95. 15. 24 【解析】 后 3 个数是从 6 ， 7 ， 8 ， 9 四个数中 取 3 个组成的， 共有 A 3 4 =24 （个） . 16. 解： 样本空间 Ω={ （ 1 ， 1 ）， （ 1 ， 2 ）， （ 1 ， 3 ）， （ 1 ， 4 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 1 ， 6 ） ， （ 2 ， 1 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 3 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 5 ） ， （ 2 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 2 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 4 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 3 ， 6 ） ， （ 4 ， 1 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 3 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 5 ） ， （ 4 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 2 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 4 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 5 ， 6 ） ， （ 6 ， 1 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 3 ） ， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 5 ）， （ 6 ， 6 ） } ， 共 36 个样本点， 所得点 数之和为 X ， 则 X 的取值范围是 {2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ， 12} . （ 1 ） “ X=6 ” 表示的事件为 （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ）， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ）， 共 5 个样本点， ∴P （ X=6 ） = 5 36 . （ 2 ） 所得点数和为偶数的样本空间 Ω={ （ 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 3 ） ， （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 2 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 2 ， 6 ） ， （ 3 ， 1 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 3 ， 5 ） ， （ 4 ， 2 ） ， （ 4 ， 4 ） ， （ 4 ， 6 ） ， （ 5 ， 1 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 4 ）， （ 6 ， 6 ） } ， 共 18 个样本点， 所得点数之和是偶 数为 Y ， 则 Y 的取值范围是 {2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10 ， 12} ， “ Y=6 ” 表示的事件为 （ 1 ， 5 ） ， （ 2 ， 4 ） ， （ 3 ， 3 ） ， （ 4 ， 2 ）， （ 5 ， 1 ）， 共 5 个样本点， ∴P （ Y=6 ） = 5 18 . 4.2.2 离散型随机变量的分布列 学习手册 变式训练 1 解 ： ∵ 1 10 <X< 7 10 ， ∴X= 1 5 ， 2 5 ， 3 5 . ∴P 1 10 <X< 7 10 0 # =P X= 1 5 0 5 +P X= 2 5 5 5 +P X= 3 5 0 5 = 1 15 + 2 15 + 3 15 = 2 5 . 变式训练 2 解： 由已知可得 9c 2 -c+3-8c=1 ， ∴9c 2 -9c+ 2=0 ， ∴c= 1 3 或 2 3 . 检验： 当 c= 1 3 时， 9c 2 -c=9× 1 3 0 5 2 - 1 3 = 2 3 >0 ， 3-8c=3- 8 3 = 1 3 >0 ； 当 c= 2 3 时 ， 9c 2 -c=9× 2 3 0 5 2 - 2 3 >1 ， 3-8c=3- 16 3 <0 （不适合， 舍去） . 故 c= 1 3 . 故所求分布列为 变式训练 3 解： 由题意知， X 服从两点分布， P （ X=0 ） X 0 1 P 2 3 1 3 57