第3章 排列、组合与二项式定理 本章综合-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第三章 排列、 组合与二项式定理 学 要 点 精 析 要点 1 两个计数原理 1. 分类加法计数原理和分步乘法计数原 理是本章内容的学习基础， 在进行计数过程 中， 常因分类不明导致增 （漏） 解， 因此在 解题中既要保证类与类的互斥性， 又要关注 总数的完备性 . 2. 掌握两个计数原理， 提升逻辑推理和 数学运算素养 . 例 1 （ 1 ） 现有 16 张不同的卡片， 其 中红色、 黄色、 蓝色、 绿色卡片各 4 张， 从 中任取 3 张， 要求这 3 张卡片不能是同一颜 色， 且绿色卡片至多 1 张， 则不同的取法种 数为 （ ） A. 484 B. 472 C. 252 D. 232 （ 2 ） 车间有 11 名工人， 其中 5 名男工 是钳工， 4 名女工是车工， 另外两名老师傅 既能当车工又能当钳工， 现在要在这 11 名 工人里选派 4 名钳工、 4 名车工修理一台机 床， 则有多少种选派方法？ （ 1 ） 解析： 根据题意， 不考虑特殊情 况， 共有 C 3 16 种取法， 其中每一种卡片各取 3 张， 有 4C 3 4 种取法， 取 2 张绿色卡片有 C 2 4 · C 1 12 种取法， 故所求的取法共有 C 3 16 -4C 3 4 -C 2 4 · C 1 12 =472 （种） . 故选 B. （ 2 ） 解： 方法一： 设 A ， B 代表两名老 师傅 . A ， B 都不在内的选派方法有 C 4 5 C 4 4 = 5 （种）， A ， B 都在内且当钳工的选派方法有 C 2 2 C 2 5 C 4 4 =10 （种）， A ， B 都在内且当车工的选派方法有 C 2 2 C 4 5 C 2 4 =30 （种）， A ， B 都在内且一人当钳工， 一人当车 工的选派方法有 A 2 2 C 3 5 C 3 4 =80 （种）， A ， B 有一人在内且当钳工的选派方法 有 C 1 2 C 3 5 C 4 4 =20 （种）， A ， B 有一人在内且当车工的选派方法 有 C 1 2 C 4 5 C 3 4 =40 （种）， ∴ 共有 C 4 5 C 4 4 +C 2 2 C 2 5 C 4 4 +C 2 2 C 4 5 C 2 4 +A 2 2 C 3 5 C 3 4 + C 1 2 C 3 5 C 4 4 +C 1 2 C 4 5 C 3 4 =185 （种） 选派方法 . 方法二： 5 名男钳工有 4 名被选上的方 法有 C 4 5 C 4 4 +C 4 5 C 3 4 C 1 2 +C 4 5 C 2 4 C 2 2 =75 （种）， 5 名男钳工有 3 名被选上的方 法 有 C 3 5 C 1 2 C 4 4 +C 3 5 C 3 4 A 2 2 =100 （种）， 5 名男钳工有 2 名被选上的方 法 有 C 2 5 C 2 2 C 4 4 =10 （种）， ∴ 共有 75+100+10=185 （种） 选派方法 . 方法三： 4 名女车工都被选上的方法有 C 4 4 C 4 5 +C 4 4 C 3 5 C 1 2 +C 4 4 C 2 5 C 2 2 =35 （种）， 4 名女车工有 3 名被选上的方 法 有 C 3 4 C 1 2 C 4 5 +C 3 4 C 3 5 A 2 2 =120 （种）， 4 名女车工有 2 名被选上的方 法 有 C 2 4 C 2 2 C 4 5 =30 （种）， ∴ 共有 35+120+30=185 （种） 选派方法 . 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤： 第三章 章末复习课 27 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 （ 1 ） 明确完成的这件事是什么 . （ 2 ） 思考如何完成这件事 . （ 3 ） 判断它属于分类还是分步， 是先 分类后分步， 还是先分步后分类 . （ 4 ） 选择计数原理进行计算 . 变式训练 1 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 这 6 个数字中 ， 任取 3 个数字组成无重复数字的三位数， 其 中， 若有 1 和 3 时， 3 必须排在 1 的前面； 若只有 1 和 3 中的一个时， 它应排在其他数 字的前面， 这样不同的三位数共有 个 . （用数字作答） 要点 2 排列与组合的综合应用 1. 排列、 组合是两类特殊的计数求解方 式， 在计数原理求解中起着举足轻重的作 用， 解决排列与组合的综合问题要树立先选 后排， 特殊元素 （特殊位置） 优先的原则 . 2. 明确排列和组合的运算， 重点提升数 学建模及数学运算的素养 . 例 2 在高三 （ 1 ） 班元旦晚会上， 有 6 个演唱节目， 4 个舞蹈节目 . （ 1 ） 当要求 4 个舞蹈节目排在一起时， 有多少种不同的节目安排顺序？ （ 2 ） 当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安 排 1 个演唱节目时， 有多少种不同的节目安 排顺序？ （ 3 ） 若已定好节目单， 后来情况有变， 需加上诗朗诵和快板 2 个节目， 但不能改变 原来节目的相对顺序， 有多少种不同的节目 演出顺序？ 解： （ 1 ） 第一步先将 4 个舞蹈节目捆 绑起来， 看成 1 个节目， 与 6 个演唱节目一 起排， 有 A 7 7 =5 040 （种） 方法； 第二步再松 绑， 给 4 个舞蹈节目排序， 有 A 4 4 =24 （种） 方法 . 根据分步乘法计数原理， 一共有 5 040× 24=120 960 （种） 安排顺序 . （ 2 ） 第一步将 6 个演唱节目排成一列 （如图中的 “ □ ”）， 一共有 A 6 6 =720 （种 ） 方法 . ×□×□×□×□×□×□× 第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾 或两个节目中间 （即图中 “ × ” 的位置）， 这 样相当于 7 个 “ × ” 选 4 个来排， 一共有 A 4 7 =840 （种） 方法 . 根据分步乘法计数原理， 一共有 720× 840= 604 800 （种） 安排顺序 . （ 3 ） 若所有节目没有顺序要求， 全部排 列， 则有 A 12 12 种排法， 但原来的节目已定好 顺序， 需要消除， 所以节目演出的顺序有 A 12 12 A 10 10 =A 2 12 =132 （种） . 反思感悟 解决排列、 组合综合问题要注意以下 几点： （ 1 ） 首先要分清该问题是排列问题还 是组合问题 . （ 2 ） 对于含有多个限制条件的复杂问 题， 应认真分析每个限制条件， 再考虑是 分类还是分步， 分类时要不重不漏， 分步 时要步步相接 . （ 3 ） 对于含有 “至多” “至少” 的问 题， 常采用间接法， 此时要考虑全面， 排 除干净 . 28 第三章 排列、 组合与二项式定理 学 变式训练 2 6 个女生 （其中有 1 个领唱） 和 2 个男 生分成两排表演 . （ 1 ） 若每排 4 人， 共有多少种不同的排法？ （ 2 ） 领唱站在前排， 男生站在后排， 每 排 4 人， 有多少种不同的排法？ 要点 3 二项式定理及其应用 1. 二项式定理有比较广泛的应用， 可用 于代数式的化简、 变形、 证明整除、 近似计 算、 证明不等式等， 其原理可以用于三项式 相应展开式项的系数求解 . 2. 二项式原理所体现的是一种数学运算 素养 . 例 3 若 （ 2x+ 3 姨 ） 4 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 + a 4 x 4 ， 则 （ a 0 +a 2 +a 4 ） 2 - （ a 1 +a 3 ） 2 的值为 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 解析： 在 （ 2x+ 3 姨 ） 4 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 + a 4 x 4 中， 令 x=1 ， 得 （ 2+ 3 姨 ） 4 =a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ； 令 x=-1 ， 得 （ -2+ 3 姨 ） 4 =a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +a 4 . 两式相乘， 得 （ 2+ 3 姨 ） 4 ·（ -2+ 3 姨 ） 4 = （ a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ）·（ a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +a 4 ） . ∴ （ a 0 +a 2 +a 4 ） 2 - （ a 1 +a 3 ） 2 = （ -4+3 ） 4 =1. 故选 C. 反思感悟 “赋值法” 在二项展开式中的应用： （ 1 ） 观察： 先观察二项展开式左右两 边式子的结构特征 . （ 2 ） 赋值： 结合待求和上述特征， 对 变量 x 赋值， 常见的赋值有 x=-1 ， x=0 ， x= 1 等， 具体视情况而定 . （ 3 ） 解方程： 赋值后结合待求建立方 程 （组）， 求解即可 . 变式训练 3 若 （ x 2 +1 ）（ x-3 ） 9 =a 0 +a 1 （ x-2 ） +a 2 （ x-2 ） 2 + a 3 （ x-2 ） 3 + … +a 11 （ x-2 ） 11 ， 则 a 1 +a 2 +a 3 + … +a 11 的 值为 . 例 4 已知在 x 姨 - 2 x 3 姨 姨 # n 的展开式 中， 第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 56 ∶ 3. 求： （ 1 ） 展开式中的所有有理项； （ 2 ） 展开式中系数的绝对值最大的项； （ 3 ） n+9C 2 n +81C 3 n + … +9 n-1 C n n 的值 . 解： （ 1 ） 由 C 4 n （ -2 ） 4 ∶ C 2 n （ -2 ） 2 =56 ∶ 3 ， 解得 n=10 （负值舍去）， 通项为 T k+1 =C k 10 （ x 姨 ） 10-k - 2 x 3 姨 姨 姨 k = （ -2 ） k C k 10 x 5- 5k 6 ， 当 5- 5k 6 为整数时， k 可取 0 ， 6 ， 于是 有理项为 T 1 =x 5 和 T 7 =13 440. （ 2 ） 设第 （ k+1 ） 项系数的绝对值最大， 则 C k 10 2 k ≥C k-1 10 2 k-1 ， C k 10 2 k ≥C k+1 10 2 k+1 1 ， 解得 得 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * k≤ 22 3 ， k≥ 19 3 . 29 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 又 ∵k∈{1 ， 2 ， 3 ， …， 9} ， ∴k=7. 当 k=7 时， T 8 =-15 360x - 5 6 ， 又 ∵ 当 k=0 时， T 1 =x 5 ， 当 k=10 时， T 11 = （ -2 ） 10 x - 10 3 =1 024x - 10 3 ， ∴ 系数的绝对值最大的项为 T 8 =-15 360x - 5 6 . （ 3 ） 原式 =10+9C 2 10 +81C 3 10 + … +9 10-1 C 10 10 = 9C 1 10 +9 2 C 2 10 +9 3 C 3 10 + … +9 10 C 10 10 9 = C 0 10 +9C 1 10 +9 2 C 2 10 +9 3 C 3 10 + … +9 10 C 10 10 -1 9 = （ 1+9 ） 10 -1 9 = 10 10 -1 9 . 反思感悟 二项式特定项的求解策略： （ 1 ） 确定二项式中的有关元素： 一般 是根据已知条件， 列出等式， 从而可解得 所要求的二项式中的有关元素 . （ 2 ） 确定二项展开式中的常数项： 先 写出其通项公式 ， 令未知数的指数为 0 ， 从而确定项数， 然后代入通项公式， 即可 确定常数项 . （ 3 ） 求二项展开式中条件项的系数 ： 先写出其通项公式， 再由条件确定项数， 然后代入通项公式求出此项的系数 . （ 4 ） 确定二项展开式中的系数最大或 最小项： 利用二项式系数的性质 . 变式训练 4 已知 （ x 姨 - x 3 姨 ） n 的展开式中所有项 的二项式系数之和为 1 024. （ 1 ） 求展开式的所有有理项 （指数为整 数）； （ 2 ） 求 （ 1-x ） 3 + （ 1-x ） 4 + … + （ 1-x ） n 的展 开式中 x 2 项的系数 . 真 题 体 验 1. （ 2019 ·全国 Ⅲ 卷） （ 1+2x 2 ）（ 1+x ） 4 的 展开式中 x 3 的系数为 （ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 2. （ 2018 ·全国 Ⅲ 卷） x 2 + 2 x x $ 5 的展开式 中 x 4 的系数为 （ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 3. （ 2020 ·全国 Ⅰ 卷） x+ y 2 x x & （ x+y ） 5 的展 开式中 x 3 y 3 的系数为 （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. （ 2020 ·全国 Ⅱ 卷） 4 名同学到 3 个小 区参加垃圾分类宣传活动， 每名同学只去 1 个小区， 每个小区至少安排 1 名同学， 则不 同的安排方法共有 种 . 5. （ 2020 ·全国 Ⅲ 卷） x 2 + 2 x x & 6 的展开式 中常数项是 . （用数字作答） 6. （ 2021 ·全国 Ⅱ 卷） 将 5 名北京冬奥会 志愿者分配到花样滑冰、 短道速滑、 冰球和 冰壶 4 个项目进行培训， 每名志愿者只分到 1 个项目， 每个项目至少分配 1 名志愿者， 则不同的分配方案共有 （ ） A. 60 种 B. 120 种 C. 240 种 D. 480 种 30 参 考 答 案 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.1 条件概率 学习手册 变式训练 1 解： 甲抽到的数大于 4 的情形有 （ 5 ， 1 ）， （ 5 ， 2 ） ， （ 5 ， 3 ） ， （ 5 ， 4 ） ， （ 5 ， 5 ） ， （ 5 ， 6 ） ， （ 6 ， 1 ） ， （ 6 ， 2 ） ， （ 6 ， 3 ） ， （ 6 ， 4 ） ， （ 6 ， 5 ） ， （ 6 ， 6 ）， 共 12 个样本点， 其中甲、 乙抽到的两数之和 等于 7 的情形有 （ 5 ， 2 ） ， （ 6 ， 1 ） ， 共 2 个样本点 . ∴P （ B|A ） = 2 12 = 1 6 . 变式训练 2 解： 设 A= “在班内任选 1 名学生， 该学生 属于第一小组”， B= “在班内任选 1 名学生， 该学生是团员” . （ 1 ） P （ A ） = 10 40 = 1 4 . （ 2 ） P （ B ） = 15 40 = 3 8 . （ 3 ） P （ A∩B ） = 4 40 = 1 10 . C 3 n 2 3 C n-3 n 2 n-3 = 1 2 ， 即 1 2 n-6 = 1 2 ， ∴n=7. （2 ） 由 （ 1） 可得 T r+1 =C r 7 2 r x 14- 5 2 r （ r=0 ， 1 ， …， 7 ）， 当 r=0 ， 2 ， 4 ， 6 时 ， 所有的有理项为 T 1 ， T 3 ， T 5 ， T 7 ， 即 T 1 =C 0 7 2 0 x 14 =x 14 ， T 3 =C 2 7 2 2 x 9 =84x 9 ， T 5 =C 4 7 2 4 x 4 =560x 4 ， T 7 = C 6 7 2 6 x -1 =448x -1 . （ 3 ） 设 展 开 式 中 第 （ r +1 ） 项 的 系 数 最 大 ， 则 C r 7 2 r ≥C r+1 7 2 r+1 ， C r 7 2 r ≥C r-1 7 2 r-1 1 圯 r+1≥2 （ 7-r ）， 2 （ 8-r ） ≥ 1 r 圯 13 3 ≤r≤ 16 3 ， ∴r=5 ， 故系数最大项为 T 6 =C 5 7 2 5 x 3 2 =672x 3 2 . 第三章 章末复习课 变式训练 1 60 【解析】 1 与 3 是特殊元素， 以此为分 类标准进行分类 . 分三类： ① 没有数字 1 和 3 时， 满足条件的三位数有 A 3 4 个； ② 只有 1 和 3 中的一个时 ， 满足条件的三位数有 2A 2 4 个； ③ 同时有 1 和 3 时， 把 3 排在 1 的前面， 再从其余 4 个数字中选 1 个数字插入 3 个空中的 1 个即可， 满足 条件的三位数有 C 1 4 · C 1 3 个 . ∴ 满足条件的三位数共有 A 3 4 +2A 2 4 +C 1 4 · C 1 3 =60 （个） . 变式训练 2 解： （ 1 ） 要完成这件事分三步 . 第一步， 从 8 人中选 4 人站在前排， 另 4 人站在后 排， 共有 C 4 8 C 4 4 种不同的排法； 第二步， 前排 4 人进行全排列 ， 有 A 4 4 种不同的 排法； 第三步， 后排 4 人进行全排列 ， 有 A 4 4 种不同的 排法 . 由分步乘法计数原理知， 有 C 4 8 C 4 4 A 4 4 A 4 4 =40 320 （种） 不同的排法 . （ 2 ） 思路与 （ 1 ） 相同， 有 C 3 5 A 4 4 A 4 4 =5 760 （种） 不 同的排法 . 变式训练 3 5 【解析】 令 x=2 ， 得 a 0 = （ 2 2 +1 ）（ 2-3 ） 9 =-5 ， 令 x=3 ， 则 a 0 +a 1 +a 2 +a 3 + … +a 11 = （ 3 2 +1 ）（ 3-3 ） 9 =0 ， ∴a 1 +a 2 + a 3 + … +a 11 =-a 0 =5. 变式训练 4 解： （ 1 ） 由题意得， 2 n =1 024 ， ∴n=10 ， ∴ 展开式的通项为 T k+1 =C k 10 （ x 姨 ） 10-k （ - x 3 姨 ） k = （ -1 ） k C k 10 · x 10-k 2 + k 3 = （ -1 ） k C k 10 x 5- k 6 （ k=0 ， 1 ， …， 10 ）， 令 5- k 6 ∈Z ， 得 k=0 ， 6. ∴ 有理项为 T 1 =C 0 10 x 5 =x 5 ， T 7 =C 6 10 x 4 =210x 4 . （ 2 ） ∵C k n +C k-1 n =C k n+1 ， ∴C k-1 n =C k n+1 -C k n ， ∴x 2 项的系数为 C ２ ３ +C ２ ４ + … +C ２ 10 = （ C 3 4 -C 3 3 ） + （ C 3 5 -C 3 4 ） + … + （ C 3 11 -C 3 10 ） =C 3 11 -C 3 3 = 164. 真题体验 1. A 【解析 】 展开式中含 x 3 的项可以由 “ 1 与 x 3 ” 和 “ 2x 2 与 x ” 的乘积组成， 则 x 3 的系数为 C 3 4 +2C 1 4 =4+8= 12. 故选 A. 2. C 【解析】 x 2 + 2 x ) 5 的展开式的通项公式为 T k+1 = C k 5 ·（ x 2 ） 5-k · 2 x x x k =C k 5 · 2 k · x 10-3k ， 令 10-3k=4 ， 解得 k=2. 故 展开式中 x 4 的系数为 C 2 5 · 2 2 =40. 故选 C. 3. C 【解析】 方法一： ∵ x+ y 2 x x （ x+y ） 5 = x+ y 2 x x （ x 5 + 5x 4 y+10x 3 y 2 +10x 2 y 3 +5xy 4 +y 5 ）， ∴x 3 y 3 的系数为 10+5=15. 方法二： 当 x+ y 2 x x 中取 x 时， x 3 y 3 的系数为 C 3 5 ， 当 x+ y 2 x x 中取 y 2 x 时， x 3 y 3 的系数为 C 1 5 ， ∴x 3 y 3 的系数为 C 3 5 +C 1 5 =10+5=15. 故选 C. 4. 36 【解析】 将 4 名同学分成人数为 2 ， 1 ， 1 的 3 组， 有 C 2 4 =6 （种） 分法， 再将 3 组同学分到 3 个小区， 共有 A 3 3 =6 （种） 分法， 由分步乘法计数原理可得不同 的安排方法共有 6×6=36 （种） . 5. 240 【解析 】 x 2 + 2 x x 6 的展开式的通项为 T r+1 = C r 6 （ x 2 ） 6-r 2 x x x r =C r 6 2 r x 12-3r ， 令 12-3r=0 ， 解得 r=4 ， ∴ 常数 项为 C 4 6 2 4 =240. 6. C 【解析】 由题意知， 必须有 2 个人一组， 其他 各组只有 1 个人， ∴ 分配方法有 C 2 5 C 1 4 A 3 3 =240 （种） . 故 选 C. 第四章 概率与统计 47