3.2 二项式定理与杨辉三角-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

参 考 答 案 ② 将剩下的 2 个小球全排列， 放入剩下的 2 个小盒 中， 有 A 2 2 种放法 . 则没有空盒的放法有 C 1 3 C 2 4 A 2 2 =36 （种） . 12. 54 【解析】 根据题意知， 甲、 乙都没有得到冠 军， 且乙不是最后一名， 分两种情况讨论： ① 甲是最后一名 ， 则乙可以是第二名 、 第三名或 第四名， 即乙有 3 种名次排列情况， 剩下的三人有 A 3 3 = 6 （种） 名次排列情况， 此时有 3×6=18 （种） 名次排列 情况； ② 甲不是最后一名， 则甲、 乙需要排在第二、 三、 四名， 有 A 2 3 =6 （种） 名次排列情况， 剩下的三人有 A 3 3 = 6 （种） 名次排列情况， 此时有 6×6=36 （种） 名次排列 情况 . 综上可知， 一共有 36+18=54 （种） 不同的名次排列 情况 . 13. 解： （ 1 ） 将取出的 4 个球分成三类： ① 取 4 个 红球， 没有白球， 有 C 4 4 种取法； ② 取 3 个红球， 1 个白 球， 有 C 3 4 C 1 6 种取法； ③ 取 2 个红球， 2 个白球， 有 C 2 4 C 2 6 种取法， 故共有 C 4 4 +C 3 4 C 1 6 +C 2 4 C 2 6 =115 （种） 取法 . （ 2 ） 设取 x 个红球 ， y 个白球 ， 则 x+y=5 ， 2x+y≥7 ， 0≤x≤4 ， 0≤y≤6 6 % % % % % $ % % % % % & ， 故 x=2 ， y= = 3 或 x=3 ， y= = 2 或 x=4 ， y=1 = . 因此 ， 符合题意的取法有 C 2 4 C 3 6 +C 3 4 C 2 6 +C 4 4 C 1 6 =186 （种） . 14. 解： （ 1 ） 只需从其他 18 人中选 3 人即可， 共 有 C 3 18 =816 （种） 选法 . （ 2 ） 只需从其他 18 人中选 5 人即可， 共有 C 5 18 =8 568 （种） 选法 . （ 3 ） 分两类： 甲、 乙中有 1 人参加； 甲、 乙都参加 . 则共有 C 1 2 C 4 18 +C 3 18 =6 936 （种） 选法 . （ 4 ） 方法一 （直接法）： 至少有 1 名内科医生和 1 名外科医生的选法可分 4 类： 1 内 4 外； 2 内 3 外； 3 内 2 外； 4 内 1 外 . ∴ 共有 C 1 12 C 4 8 +C 2 12 C 3 8 +C 3 12 C 2 8 +C 4 12 C 1 8 =14 656 （种 ） 选法 . 方法二 （间接法）： 从无限制条件的选法总数中减 去 5 名都是内科医生和 5 名都是外科医生的选法种数所 得的结果即为所求， 即共有 C 5 20 - （ C 5 12 +C 5 8 ） =14 656 （种） 选法 . 3.2 二项式定理与杨辉三角 第 1 课时 二项式定理 学习手册 变式训练 1 解： 原式 =C 0 5 （ x-1 ） 5 +C 1 5 （ x-1 ） 4 +C 2 5 （ x-1 ） 3 + C 3 5 （ x-1 ） 2 +C 4 5 （ x-1 ） +C 5 5 -1= ［（ x-1 ） +1 ］ 5 -1=x 5 -1. 变式训练 2 解 ： （ 1 ） 第 3 项的二项式系数为 C 2 6 =15 ， 又 T 3 =C 2 6 （ 2 x 姨 ） 4 - 1 x 姨 姨 * 2 =240x ， ∴ 第 3 项的系数为 240. （ 2 ） T k+1 =C k 6 （ 2 x 姨 ） 6-k - 1 x 姨 姨 , k = （ -1 ） k 2 6-k C k 6 x 3-k ， 令 3-k=2 ， 解得 k=1 ， ∴ 含 x 2 的项为第 2 项， 且 T 2 =-192x 2 . 变式训练 3 -20 【解析】 由二项展开式的通项公式可 知， 含 x 2 y 7 的项可表示为 x · C 7 8 xy 7 -y · C 6 8 x 2 y 6 ， 故 （ x-y ）· （ x+y ） 8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 C 7 8 -C 6 8 =8-28=-20. 变式训练 4 98 【解析】 三角形数阵中， 每一行的数由 二项式系数 C k n ， k=0 ， 1 ， 2 ， …， n 组成 . 设在第 n 行中 有 C k-1 n C k n = k n-k+1 = 4 5 ， C k n C k+1 n = k+1 n-k = 5 6 ， 那么 9k-4n=4 ， 5n-11k=6 = ， 解得 n=98 ， k=44 = . 因此答案为 98. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） × （ 4 ） 姨 （ 5 ） × 2. D 【解析】 T k+1 =C k 5 x 5-k - 1 x 姨 , k ， 5-k+ （ -k ） =3 ， k=1 ， x 3 项的二项式系数为 C 1 5 （ -1 ） 4 =5. 故选 D. 3. C 【解析】 T k+1 =C k 5 （ x 2 ） 5-k - 2 x 3 姨 , k ， 2 （ 5-k ） + （ -3k ） = 0 ， k=2 ， 常数项为 C 2 5 （ x 2 ） 5-2 - 2 x 3 姨 , 2 =40. 故选 C. 4. A 【解析】 S= （ x-1 ） 3 +3 （ x-1 ） 2 +3 （ x-1 ） +1=x 3 + （ -3+ 3 ） x 2 + （ 3-6+3 ） x-1+1=x 3 . 故选 A. 5. 11 【解析】 n+1=12 ， 则 n=11. 6. 3 n 【解析】 原式 = （ 2+1 ） n =3 n . 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 原式 = （ 1-2 ） n = （ -1 ） n . 故选 C. 2. A 【解析】 x 姨 - 2 x 姨 , 6 的展开式中的常数项为 C 2 6 （ x 姨 ） 4 · - 2 x 姨 , 2 =60. 故选 A. 3. B 【解析】 由通项知 T 4 =C 3 9 x 6 1 x 姨 , 3 =84x 3 . 故选 B. 4. A 【解析】 在通项 T k+1 =C k 10 （ - 2 姨 y ） k x 10-k 中 ， 令 k=4 ， 即得 （ x- 2 姨 y ） 10 的展开式中 x 6 y 4 项的系数为 C 4 10 × （ - 2 姨 ） 4 =840. 故选 A. 5. D 【解析】 （ 1-x ） 5 中 x 3 的系数为 -C 3 5 =-10 ， - （ 1- x ） 6 中 x 3 的系数为 -C 3 6 ·（ -1 ） 3 =20 ， 故 （ 1-x ） 5 - （ 1-x ） 6 的展 开式中 x 3 的系数为 10. 故选 D. 6. 1 2 【解析】 二项展开式的通项为 T k+1 =C k 10 x 10-k a k ， 当 10-k=7 时， k=3 ， T 4 =C 3 10 a 3 x 7 ， 则 C 3 10 a 3 =15 ， 故 a= 1 2 . 7. 8 28 【解析】 T k+1 =C k n （ x 2 3 姨 ） n-k 1 x 姨 , k =C k n x 2n-5k 3 ， 由题意知， k=2 时， 2n-5k 3 =2 ， ∴n=8 ， 此时该项的系数 43 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 为 C 2 8 =28. 8. -40 【解析】 （ x 2 -x-2 ） 4 = ［ x 2 - （ x+2 ）］ 4 ， 展开后只有 （ x+2 ） 4 与 -C 3 4 x 2 （ x+2 ） 3 中含 x 3 项， 其系数和为 C 1 4 ×2-C 3 4 × C 2 3 ×2 2 =-40. 9. 解： （ 1 ） ∵T 3 =C 2 n （ x 姨 ） n-2 - 2 x x # 2 =4C 2 n x n-6 2 ， T 2 = C 1 n （ x 姨 ） n-1 - 2 x x x =-2C 1 n x n-3 2 ， 依题意得 4C 2 n +2C 1 n =162 ， ∴2C 2 n +C 1 n =81 ， ∴n 2 =81. 又 n∈N + ， 故 n=9. （ 2 ） 设第 k+1 项含 x 3 项， 则 T k+1 =C k 9 （ x 姨 ） 9-k - 2 x x x k = （ -2 ） k C k 9 x 9-3k 2 ， ∴ 9-3k 2 =3 ， k=1 ， ∴ 含 x 3 的项为 T 2 =-2C 1 9 x 3 = -18x 3 ， 二项式系数为 C 1 9 =9. 10. 解： 由题设知， m+n=19 ， 又 m ， n∈N + ， ∴1≤ m≤18 ， x 2 的系数为 C 2 m +C 2 n = 1 2 （ m 2 -m ） + 1 2 （ n 2 -n ） =m 2 - 19m+171. ∴ 当 m=9 或 10 时， x 2 的系数有最小值为 81 ， 此时 x 7 的系数为 C 7 9 +C 7 10 =156. 提升练习 11. AD 【解析】 二项式 1 x +x x x 3 n 的展开式的通项公 式为 T k+1 =C k n x 4k-n ， 由通项公式可知， 当 n=4k （ k∈N + ） 和 n=4k-1 （ k∈N + ） 时， 展开式中分别存在常数项和一次 项， 故选 AD. 12. B 【解析】 方法一： （ 1- x 姨 ） 6 的展开式的通 项为 C m 6 ·（ - x 姨 ） m =C m 6 （ -1 ） m x m 2 ， （ 1+ x 姨 ） 4 的展开式的 通项为 C n 4 （ x 姨 ） n =C n 4 x n 2 ， 其中 m=0 ， 1 ， 2 ， …， 6 ， n= 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4. 令 m 2 + n 2 =1 ， 得 m+n=2 ， 于是 （ 1- x 姨 ） 6 （ 1+ x 姨 ） 4 的展开式中 x 的系数等于 C 0 6 ·（ -1 ） 0 · C 2 4 +C 1 6 ·（ -1 ） 1 · C 1 4 +C 2 6 · （ -1 ） 2 · C 0 4 =-3. 方法二 ： （ 1- x 姨 ） 6 （ 1+ x 姨 ） 4 = ［（ 1- x 姨 ）（ 1+ x 姨 ）］ 4 （ 1- x 姨 ） 2 = （ 1-x ） 4 （ 1-2 x 姨 +x ）， 于是 （ 1- x 姨 ） 6 （ 1+ x 姨 ） 4 的展开式中 x 的系数为 C 0 4 · 1+C 1 4 ·（ -1 ） 1 · 1=-3. 故选 B. 13. D 【解析】 1 x 2 - x x 1 5 的展开式的通项为 T k+1 =C k 5 · 1 x 2 x x 5-k ·（ -1 ） k = （ -1 ） k C k 5 x 1 10-2k . 令 10-2k=2 或 10-2k=0 ， 解 得 k=4 或 k=5. 故 （ x 2 +2 ）· 1 x 2 - x x 1 5 的展开式的常数项是 （ -1 ） 4 ×C 4 5 +2× （ -1 ） 5 ×C 5 5 =3. 故选 D. 14. （ 1 ） 10 （ 2 ） 6 【解析】 二项展开式的通项为 T k+1 =C k n 1 2 x x x 2 n-k · - 1 x 姨 x x k = （ -1 ） k 1 2 x x n-k C k n x 2n- 5 2 k . （ 1 ） ∵ 第 9 项为常数项， ∴ 当 k=8 时， 2n- 5 2 k=0 ， 解得 n=10. （ 2 ） 要使 20- 5 2 k 为整数 ， 需 k 为偶数 ， 由于 k= 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …， 9 ， 10 ， 故符合要求的有 6 项， 分别为 展开式的第 1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11 项 . 15. ［ 5 ， +∞ ） 【解析】 ∵ x 2 + 1 2x x 6 的展开式的中间 项为第 4 项， 即 f （ x ） =T 4 =C 3 6 （ x 2 ） 6-3 1 2x x x 3 = 5 2 x 3 ， 又 ∵f （ x ） ≤mx 在 x∈ 2 姨 2 ， 2 姨姨 ) 上恒成立 ， ∴ 5 2 x 3 ≤mx ， 即 m≥ 5 2 x 2 在 x∈ 2 姨 2 ， 2 姨姨 , 上恒成立， ∴m≥ 5 2 × （ 2 姨 ） 2 =5. 16. 解： （ 1 ） 当 m=3 ， n=4 时， f （ x ） g （ x ） = （ 1+x ） 3 （ 1+2x ） 4 . （ 1+x ） 3 展开式的通项为 C k 3 x k ， （ 1+2x ） 4 展开式的通项为 C k 4 （ 2x ） k ， f （ x ） g （ x ） 的展开式中含 x 2 的项为 1 · C 2 4 （ 2x ） 2 +C 1 3 x · C 1 4 （ 2x ） +C 2 3 x 2 · 1=51x 2 . （ 2 ） h （ x ） =f （ x ） +g （ x ） = （ 1+x ） m + （ 1+2x ） n . ∵h （ x ）的展开 式中 x 的项的系数为 12 ， ∴C 1 m +2C 1 n =12 ， 即 m+2n=12 ， ∴m=12-2n. x 2 的系数为 C 2 m +4C 2 n =C 2 12-2n +4C 2 n = 1 2 （ 12-2n ）（ 11-2n ） +2n （ n-1 ） =4n 2 -25n+ 66=4 n- 25 8 x x 2 + 431 16 ， n∈N + ， ∴ 当 n=3 ， m=6 时， 含 x 2 的 项的系数取得最小值 . 第 2 课时 二项式系数的性质、 杨辉三角 及二项式定理的应用 学习手册 变式训练 1 34 【解析】 由题意设第 n 行的第 14 个数与 第 15 个数的比为 2 ∶ 3 ， 它等于二项展开式的第 14 项和 第 15 项的二项式系数的比， ∴C 13 n ∶ C 14 n =2 ∶ 3 ， 即 14 n-13 = 2 3 ， 解得 n=34 ， ∴ 在第 34 行中， 从左至右第 14 个数与 第 15 个数的比为 2 ∶ 3. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵a 0 +a 1 +a 2 + … +a 5 =1 ， -a 0 +a 1 -a 2 + … +a 5 =-3 5 . ∴a 0 +a 2 +a 4 = 1+3 5 2 =122. （ 2 ） ∵a 0 是 （ 2x-1 ） 5 的展开式中 x 5 的系数， ∴a 0 =2 5 = 32. 又 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 5 =1 ， ∴a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =-31. 变式训练 3 解： ∵ （ x 2 -2x-3 ） 10 =a 0 +a 1 （ x-1 ） +a 2 （ x-1 ） 2 + … +a 20 （ x-1 ） 20 ， 令 x-1=t ， 展开式化为 （ t 2 -4 ） 10 =a 0 +a 1 t+a 2 t 2 + … +a 20 t 20 . （ 1 ） a 2 =C 9 10 （ -4 ） 9 =-4 9 ×10. （ 2 ） 令 t=1 ， 得 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 20 =3 10 ， 令 t=-1 ， 得 a 0 - a 1 +a 2 - … +a 20 =3 10 ， ∴a 1 +a 3 +a 5 + … +a 19 =0. （ 3 ） 由 （ 2 ） 得 a 0 +a 2 +a 4 + … +a 20 =3 10 . 44 参 考 答 案 变式训练 4 解： ∵ x 姨 - 2 x 2 2 # n 的展开式的通项是 T k+1 = C k n （ x 姨 ） n-k · - 2 x 2 2 2 k = （ -2 ） k C k n x n-5k 2 （ 0≤k≤n ， k∈N ）， ∴T 5 =T 4+1 =2 4 C 4 n x n 2 -10 ， T 3 =T 2+1 =2 2 C 2 n x n 2 -5 . ∵ 2 4 C 4 n 2 2 C 2 n = 10 1 ， ∴n 2 -5n-24=0 ， 解得 n=8 或 n=-3 （舍去） . （ 1 ） 令 x=1 ， 则 x 姨 - 2 x 2 2 2 8 = （ 1-2 ） 8 =1 ， 即所求各项 系数的和为 1. （ 2 ） 展开式的通项为 T k+1 = （ -2 ） k C k 8 x 8-5k 2 （ 0≤k≤8 ， k∈N ） . 令 8-5k 2 = 3 2 ， 解得 k=1 ， ∴ 展开式中含 x 3 2 的项 为 T 2 =T 1+1 = （ -2 ） 1 C 1 8 x 3 2 =-16x 3 2 . （ 3 ） 展开式的第 k 项、 第 （ k+1 ） 项、 第 （ k+2 ） 项的 系数的绝对值分别为 C k-1 8 2 k-1 ， C k 8 2 k ， C k+1 8 2 k+1 . 若第 （ k+1 ） 项的系数绝对值最大， 则有 C k-1 8 2 k-1 ≤C k 8 2 k ， C k 8 2 k ≥C k+1 8 2 k+1 1 ， 解得 5≤k≤6 ， 故系数的绝对值最大的项为第 6 项和第 7 项 ， 即 T 6 =-1 792x - 17 2 ， T 7 =1 792x -11 . 变式训练 5 （ 1 ） 证明 ： 原式 =4 · 6 n +5n-4=4 ·（ 5+1 ） n + 5n-4=4 ·（ C 0 n · 5 n +C 1 n · 5 n-1 +C 2 n · 5 n-2 + … +C n n ） +5n-4 =4 （ C 0 n · 5 n +C 1 n · 5 n-1 + … +C n-2 n · 5 2 +C n-1 n · 5 1 ） +4C n n +5n-4 =4 （ C 0 n · 5 n +C 1 n · 5 n-1 + … +C n-2 n · 5 2 ） +20n+4+5n-4 =4 （ C 0 n · 5n+C 1 n · 5 n-1 + … +C n-2 n · 5 2 ） +25n. 以上各项均为 25 的整数倍， 故 2 n+2 · 3 n +5n-4 能被 25 整除 . （ 2 ） 解 ： 0.998 6 = （ 1-0.002 ） 6 =1+C 1 6 ·（ -0.002 ） +C 2 6 · （ -0.002 ） 2 + … +C 6 6 ·（ -0.002 ） 6 . 由题意知 T 3 =C 2 6 （ -0.002 ） 2 =15×0.002 2 =0.000 06<0.001 ， 且第 3 项以后 （包括第 3 项） 的项的绝对值都远小 于 0.001 ， 故 0.998 6 = （ 1-0.002 ） 6 ≈1-6×0.002=0.988. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） × 2. A 【解析】 二项式系数和为 2 n =32 ， ∴n=5. 故选 A. 3. BC 【解析 】 由于 n=11 为奇数 ， 则展开式中第 11+1 2 项和第 11+1 2 +1 2 2 项， 即第 6 项和第 7 项的二项式 系数相等， 且最大 . 故选 BC. 4. C 【解析】 ∵ （ 2-x ） 6 =a 0 +a 1 （ 1+x ） +a 2 （ 1+x ） 2 + … +a 6 （ 1+ x ） 6 ， 令 x=0 ， ∴a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 +a 6 =2 6 =64. 故选 C. 5. C 【解析】 根据观察可知， 每一行除开始和末尾 的数外， 中间的数分别是上一行相邻两个数的和， 当 a= 7 时， 上面一行的第一个数为 6 ， 第二个数为 16 ， ∴b= 6+16=22. 故选 C. 6. 1 64 【解析】 令 x=1 ， 得各项系数的和为 1 ； 各 二项式系数之和为 2 6 =64. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 第 k 项的二项式系数是 C k-1 n ， 由于 C k-1 n =C n-k+1 n ， 故第 （ n-k+2 ） 项的二项式系数与第 k 项的二项 式系数相同 . 故选 D. 2. B 【解析】 ∵ 展开式中只有第 7 项的二项式系数 最大， ∴n=12. ∵ 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的 二项式系数之和， ∴ 展开式中奇数项的二项式系数之和 为 2 12 2 =2 11 . 故选 B. 3. C 【解析 】 令 x=1 ， ∴ （ 1+a ） 5 =243=3 5 ， ∴1+a=3 ， ∴a=2. 故选 C. 4. A 【解析 】 由 C 2n+6 20 =C n+2 20 ， 可得 n=4 （ n=-4 舍 ） . 令 x=-1 ， 得 a 0 -a 1 +a 2 - … + （ -1 ） n a n =81. 故选 A. 5. B 【解析】 ∵ 二项展开式中所有项的二项式系数 之和为 2 n ， 而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数 项的二项式系数之和相等， 故由题意得 2 n-1 =1 024 ， ∴n= 11 ， ∴ 展开式共 12 项， 中间项为第 6 项、 第 7 项， 其系 数为 C 5 11 =C 6 11 =462. 故选 B. 6. 5 【解析】 （ 7a+b ） 10 的展开式中二项式系数的和为 C 0 10 +C 1 10 + … +C 10 10 =2 10 ， 令 （ x+3y ） n 中 x=y=1 ， 则由题设知， 4 n =2 10 ， 即 2 2n =2 10 ， 解得 n=5. 7. 35 8 x 4 【解析】 由 C 0 n +C 1 n +C 2 n =37 ， 得 1+n+ 1 2 n （ n-1 ） = 37 ， 解得 n=8 （负值舍去）， 则第 5 项的二项式系数最 大， T 5 =C 4 8 · 1 4 4 ·（ 2x ） 4 = 35 8 x 4 . 8. 7 【解析 】 令 x=-1 ， ∴2 8 =a 0 +a 1 +a 2 + … +a 11 +a 12 . 令 x=-3 ， ∴0=a 0 -a 1 +a 2 - … -a 11 +a 12 ， ∴2 8 =2 （ a 1 +a 3 + … +a 11 ）， ∴a 1 + a 3 + … +a 11 =2 7 ， ∴log 2 （ a 1 +a 3 + … +a 11 ） =log 2 2 7 =7. 9. 解： 设 （ 2x-3y ） 9 =a 0 x 9 +a 1 x 8 y+a 2 x 7 y 2 + … +a 9 y 9 . （ 1 ） 二项式系数之和为 C 0 9 +C 1 9 +C 2 9 + … +C 9 9 =2 9 . （ 2 ） 各项系数之和为 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 9 ， 令 x=1 ， y=1 ， ∴a 0 +a 1 +a 2 + … +a 9 = （ 2-3 ） 9 =-1. （ 3 ） 令 x=1 ， y=-1 ， 可得 a 0 -a 1 +a 2 - … -a 9 =5 9 ， 又 a 0 + a 1 +a 2 + … +a 9 =-1 ， 将两式相加可得 a 0 +a 2 +a 4 +a 6 +a 8 = 5 9 -1 2 ， 即所有奇数项系数之和为 5 9 -1 2 . 10. 解： （ 1 ） （ 1+mx ） n 的展开式的通项公式为 T k+1 = C k n （ mx ） k =m k · C k n · x k ， ∴ 2 n =128 ， m 2 C 2 n =84 ， m>0 0 , , , + , , , - ， 解得 n=7 ， m=2 1 . （ 2 ） （ 1+mx ） n = （ 1+2x ） 7 ， 令 （ 1+2x ） 7 =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + … + a 7 x 7 ， 令含 x 的奇数次幂的系数和为 a 1 +a 3 +a 5 +a 7 . 令 x=1 ， 得 3 7 =a 0 +a 1 +a 2 + … +a 7 ， 令 x=-1 ， 得 -1=a 0 -a 1 +a 2 -a 3 +a 4 -a 5 + a 6 -a 7 ， 两式相减， 得 a 1 +a 3 +a 5 +a 7 = 3 7 +1 2 =1 094 ， ∴ 含 x 的奇 数次幂的系数和为 1 094. 提升练习 11. B 【解析】 ∵T k+1 =C k n （ 3x ） k =3 k C k n x k ， 又由已知得 3 5 C 5 n =3 6 C 6 n ， 即 C 5 n =3C 6 n ， ∴n=7 ， 因此， x 4 的二项式系数为 C 4 7 =35 ， 故选 B. 45 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 12. C 【解析】 由于 2×10 10 +a=2× （ 11-1 ） 10 +a ， 2×10 10 + a （ 0≤a<11 ） 能被 11 整除 ， 又根据二项展开式可知 ， 2× （ 11-1 ） 10 被 11 除的余数为 2 ， 从而可知 2+a 能被 11 整除， 可知 a=9. 故选 C. 13. CD 【解析】 ∵ 展开式的第 5 项为 T 5 =C 4 n x n-4 3 -4 ， ∴ 令 n-4 3 -4=1 ， 解得 n=19. ∴ 展开式中系数最大的项是第 10 项和第 11 项 . 故选 CD. 14. 6 【解析】 （ x+y ） 2m 的展开式中二项式系数的最大 值为 C m 2m ， ∴a=C m 2m . 同理， b=C m+1 2m+1 . ∵13a=7b ， ∴13 · C m 2m =7 · C m+1 2m+1 . ∴13 · （ 2m ）！ m ！ m ！ =7 · （ 2m+1 ）！ （ m+1 ）！ m ！ . ∴m=6. 15. AD 【解析】 只要令 x=0 ， y=1 ， 即得到 （ 1+ax+ by ） n 的展开式中不含 x 的项的系数的和为 （ 1+b ） n ， 令 x=1 ， y=0 ， 即得到 （ 1+ax+by ） n 的展开式中不含 y 的项的 系数的和为 （ 1+a ） n . 如果 a ， b 是正值， 这些系数的和也 就是系数绝对值的和 ， 如果 a ， b 中有负值 ， 相应地 ， 分别令 y=-1 ， x=0 ； x=-1 ， y=0. 此时的和式分别为 （ 1-b ） n ， （ 1-a ） n ， 由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为 （ 1+|b| ） n ， （ 1+|a| ） n . 根据题意得， （ 1+|b| ） n =243=3 5 ， （ 1+ |a| ） n =32=2 5 ， 因此 n=5 ， |a|=1 ， |b|=2. 故选 AD. 16. 解： （ 1 ） 由题意可得 2 n =256 ， 解得 n=8 ， ∴ 展 开式的通项为 T k+1 =C k 8 m k x k 2 ， ∴ 含 x 项的系数为 C 2 8 m 2 = 112 ， 解得 m=2 或 m=-2 （舍去） . 故 m ， n 的值分别为 2 ， 8. （ 2 ） 展开式中偶数项的二项式系数之和为 C 1 8 +C 3 8 + C 5 8 +C 7 8 =2 8-1 =128. （ 3 ） ∵ （ 1+2 x 姨 ） 8 （ 1-x ） = （ 1+2 x 姨 ） 8 -x （1+2 x 姨 ） 8 ， ∴ 含 x 2 项的系数为 C 4 8 2 4 -C 2 8 2 2 =1 008. 阶段性练习卷 （二） 1. C 【解析】 原式 = （ 2+1 ） n =3 n . 故选 C. 2. C 【解析 】 1+ 1 x 2 2 $ （ 1+x ） 6 展开式中含 x 2 的项为 1·C 2 6 x 2 + 1 x 2 · C 4 6 x 4 =30x 2 ， 故 x 2 的系数为 30. 故选 C. 3. B 【解析】 （ x 姨 + x 3 姨 ） 12 的展开式的通项为 T r+1 = C r 12 （ x 姨 ） 12-r （ x 3 姨 ） r =C r 12 x 6- r 6 （ 0≤r≤12 ）， 6- r 6 （ 0≤ r≤12 ） 为正整数， 有 3 项， 即 r=0 ， r=6 ， r=12. 故选 B. 4. C 【解析】 ax- 1 x x & 6 的展开式的通项公式为 T k+1 = C k 6 （ ax ） 6-k - 1 x x & k = （ -1 ） k a 6-k C k 6 x 6-2k . 当 k=3 时 ， 常数项为 （ -1 ） 3 a 3 C 3 6 =-20 ， 解得 a=1. 故选 C. 5. B 【解析】 由题图知， 下一行的数是其肩上两数 的和， ∴4+a=10 ， 得 a=6. 故选 B. 6. D 【解析】 由已知得 bx n +1=b ［（ x-1 ） +1 ］ n +1=a 0 +a 1 （ x- 1 ） + … +a n （ x-1 ） n ， ∴a 1 =C n-1 n · b=nb=9 ， a 2 =C n-2 n · b= n （ n-1 ） b 2 = 36 ， ∴n-1=8 ， n=9 ， ∴b=1. 故选 D. 7. ACD 【解析】 对任意实数 x ， 有 （ 2x-3 ） 9 =a 0 +a 1 （ x- 1 ） +a 2 （ x-1 ） 2 +a 3 （ x-1 ） 3 + … +a 9 （ x-1 ） 9 = ［ -1+2 （ x-1 ）］ 9 ， ∴a 2 =-C 2 9 ×2 2 =-144 ， 故 A 正确 ； 令 x=1 ， 可得 a 0 =-1 ， 故 B 不正确； 令 x=2 ， 可得 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 9 =1 ， 故 C 正 确； 令 x=0 ， 可得 a 0 -a 1 +a 2 + … -a 9 =-3 9 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 8. ACD 【解析】 考虑 n+1 个同学时的情况， 若 n+1 个同学都拿到其他同学的卡片， 则第 n+2 个同学可以与 其中任何一个交换卡片， 若 n+1 个同学只有一个拿着自 己的卡片， 则第 n+2 个同学必须与该同学交换卡片， 故 a n+2 = （ n+1 ） a n+1 + （ n+1 ） a n ， D 正确； a n+2 - （ n+2 ） a n+1 =- ［ a n+1 - （ n+ 1 ） a n ］， 而 a 1 =0 ， a 2 =1 ， 故 a n -na n-1 = （ -1 ） n ， 故 a n =n ！ n i=2 移 （ -1 ） i i ！ ， 代入数据可得 a 4 =9 ， 故当 n=4 时， 每个人抽到的卡片都 不是自己的概率为 a 4 4 ！ = 3 8 ， A 正确； 当 n=5 时， 恰有一 人抽到自己的卡片的概率为 5a 4 5 ！ = 3 8 ， B 错误； 甲和乙恰 好互换了卡片的概率为 （ n-2 ）！ n ！ = 1 n-1 - 1 n ， C 正确 . 故选 ACD. 9. 240 【解析】 ∵T r+1 =C r 6 x 2 （ 6-r ） 2 r x -r =2 r C r 6 x 12-3r ， 由 12-3r= 0 ， 得 r=4 ， ∴ x 2 + 2 x & 6 的展开式中常数项是 C 4 6 · 2 4 =C 2 6 · 16=15×16=240 ， 故常数项为 240. 10. 60 【解析】 ∵ 二项展开式的通项公式为 T k+1 = C k 6 （ 2 x 姨 ） 6-k - 1 x 姨 x & k =C k 6 （ -1 ） k · 2 6-k · x 3-k ； 令 3-k=-1 ， ∴k=4 ； 故展开式中含 1 x 项的系数为 C 4 6 ×2 2 =60. 11. 2 【解析】 令 x=1 ， 得 a 0 =-2. 令 x=2 ， 得 a 0 +a 1 + a 2 + … +a 11 =0. ∴a 1 +a 2 +a 3 + … +a 11 =2. 12. 1 21 2 【解析】 由二项展开式可得 （ 1+x ） 5 =C 0 5 + C 1 5 x+C 2 5 x 2 +C 3 5 x 3 +C 4 5 x 4 +C 5 5 x 5 =1+5x+10x 2 +10x 3 +5x 4 +x 5 ， ∴a 0 =1 ， a 1 =5 ， a 2 =10 ， a 3 =10 ， a 4 =5 ， a 5 =1 ， 故 a 0 1 + a 1 2 + a 2 3 + a 3 4 + a 4 5 + a 5 5 =1+ 5 2 + 10 3 + 10 4 + 5 5 + 1 6 = 21 2 . 13. 解： （ 1 ） 由题设知 m+n=19 ， ∴m=19-n ， 含 x 2 项的系数为 C 2 m +C 2 n =C 2 19-n +C 2 n = （ 19-n ）（ 18-n ） 2 + n （ n-1 ） 2 = n 2 -19n+171= n- 19 2 x & 2 + 323 4 . ∵n∈N * ， ∴ 当 n=9 或 n=10 时， x 2 项的系数的最小值为 1 2 x $ 2 + 323 4 =81. （ 2 ） 当 n=9 ， m=10 或 n=10 ， m=9 时， x 2 项的系数取 最小值， 此时 x 7 项的系数为 C 7 10 +C 7 9 =C 3 10 +C 2 9 =156. 14. 解： （ 1 ） 由题意知： T r+1 =C r n 2 r x 2n- 5 2 r ， 则第 4 项 的系数为 C 3 n 2 3 ， 倒数第 4 项的系数为 C n-3 n 2 n-3 ， 则有 46 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 能用计数原理证明二项式定理 . 2. 掌握二项式定理及其展开式的通项 公式 . 3. 会用二项式定理解决与二项展开式有 关的简单问题 ． 要 点 精 析 要点 1 二项式定理的正用、 逆用 二项式定理 一般地， 当 n 是正整数时， 有 （ a+b ） n =C 0 n a n +C 1 n a n-1 b+ … +C k n a n-k b k + … +C n n b n . 上述公式称为二项式定理， 等式右边的 式子称为 （ a+b ） n 的展开式， 它共有 n+1 项， 其中 C k n a n-k b k 是展开式中的第 k+1 项 （通常 用 T k+1 表示）， C k n 称为第 k+1 项的二项式系数 . 例 1 （ 1 ） 求 3 x 姨 + 1 x 姨 姨 # 4 的展开式； （ 2 ） 化简： C 0 n （ x+1 ） n -C 1 n （ x+1 ） n-1 +C 2 n （ x+ 1 ） n-2 - … + （ -1 ） k C k n （ x+1 ） n-k + … + （ -1 ） n C n n . 解： （ 1 ） 方法一 ： 3 x 姨 + 1 x 姨 姨 姨 4 = C 0 4 （ 3 x 姨 ） 4 +C 1 4 （ 3 x 姨 ） 3 · 1 x 姨 +C 2 4 （ 3 x 姨 ） 2 · 1 x 姨 姨 姨 2 +C 3 4 （ 3 x 姨 ） 1 x 姨 姨 姨 3 +C 4 4 1 x 姨 姨 姨 4 = 81x 2 +108x+54+ 12 x + 1 x 2 . 方法二 ： 3 x 姨 + 1 x 姨 姨 姨 4 = 3x+1 x 姨 姨 姨 4 = 1 x 2 （ 1+3x ） 4 = 1 x 2 ·［ 1+C 1 4 · 3x+C 2 4 （ 3x ） 2 +C 3 4 （ 3x ） 3 + C 4 4 （ 3x ） 4 ］ = 1 x 2 （ 1+12x+54x 2 +108x 3 +81x 4 ） = 1 x 2 + 12 x +54+108x+81x 2 . （ 2 ） 原式 =C 0 n （ x+1 ） n （ -1 ） 0 +C 1 n （ x+1 ） n-1 （ -1 ） +C 2 n （ x+1 ） n-2 （ -1 ） 2 + … +C k n （ x+1 ） n-k （ -1 ） k + … + C n n （ -1 ） n = ［（ x+1 ） + （ -1 ）］ n =x n . 反思感悟 （ 1 ） （ a+b ） n 的二项展开式有 n+1 项， 是和的形式， 各项的幂指数规律是： ① 各 项的次数和等于 n ； ② 字母 a 按降幂排列， 从第一项起， 次数由 n 逐项减 1 直到 0 ； 字 母 b 按升幂排列， 从第一项起， 次数由 0 逐项加 1 直到 n. （ 2 ） 逆用二项式定理可以化简多项式， 体现的是整体思想 . 注意分析已知多项式的 特点， 向二项展开式的形式靠拢 . 变式训练 1 化简： （ x-1 ） 5 +5 （ x-1 ） 4 +10 （ x-1 ） 3 +10 （ x- 1 ） 2 +5 （ x-1 ） . 第 1课时 二项式定理 3.2 二项式定理与杨辉三角 20 第三章 排列、 组合与二项式定理 学 要点 2 二项展开式的通项的应用 二项展开式的通项 （ a+b ） n 展开式的第 k+1 项称二项展开式 的通项， 记作 T k+1 =C k n a n-k b k . 思考 二项式系数与二项展开式中项 的系数相同吗？ 例 2 在 x 姨 + 1 2 x 4 姨 姨 # 8 中， 求： （ 1 ） 展开式中含 x 的一次项； （ 2 ） 展开式中所有的有理项 . 解： T k+1 =C k 8 （ x 姨 ） 8-k · 1 2 x 4 姨 姨 姨 k =C k 8 · 2 -k · x 4- 3 4 k . （ 1 ） 令 4- 3 4 k=1 ， 解得 k=4. ∴ 含 x 的一 次项为 T 5 =C 4 8 2 -4 x= 35 8 x. （ 2 ） 令 4- 3 4 k∈Z ， 且 0≤k≤8 ， 则 k= 0 ， 4 ， 8 ， ∴ 含 x 的有理项分别为 T 1 =x 4 ， T 5 = 35 8 x ， T 9 = 1 256x 2 . 反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法： （ 1 ） 对于常数项， 隐含条件是字母的 指数为 0 （即 0 次项） . （ 2 ） 对于有理项， 一般是先写出通项 公式， 求其所有的字母的指数恰好都是整 数的项 . 解这类问题必须合并通项公式中同 一字母的指数， 根据具体要求， 令其属于 整数集， 再根据数的整除性来求解 . （ 3 ） 对于二项展开式中的整式项， 其 通项公式中同一字母的指数应是非负整数， 求解方式与求有理项一致 . 变式训练 2 在 2 x 姨 - 1 x 姨 姨 姨 6 的展开式中， 求： （ 1 ） 第 3 项的二项式系数及系数； （ 2 ） 含 x 2 的项 . 要点 3 求两个多项式积的特定项 例 3 （ 1 ） 若 （ 1+ax ）（ 1+x ） 5 的展开式 中， 含 x 2 的项的系数为 5 ， 则 a 等于 （ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 （ 2 ） （ 1+2x ） 3 （ 1-x ） 4 的展开式中， 含 x 项的系数为 （ ） A. 10 B. -10 C. 2 D. -2 解析： （ 1 ） 由二项式定理得 （ 1+x ） 5 的 展开式的通项为 T k+1 =C k 5 · x k ， ∴ （ 1+ax ）（ 1+x ） 5 的展开式中含 x 2 的项的系数为 C 2 5 +C 1 5 · a=5 ， ∴a=-1 ， 故选 D. （ 2 ） （ 1+2x ） 3 （ 1-x ） 4 的展开式中含 x 项 的系数是由两个因式相乘而得到的， 即第一 个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式 的一次项与常数项， 为 C 0 3 ·（ 2x ） 0 · C 1 4 ·（ -x ） 1 + C 1 3 ·（ 2x ） 1 · C 0 4 · 1 4 ·（ -x ） 0 ， 其系数为 C 0 3 ×C 1 4 × （ -1 ） +C 1 3 ×2×C 0 4 =-4+6=2. 21 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 求多项式积的特定项的方法——“双通 法”： 所谓的 “双通法” 是根据多项式与多项 式的乘法法则得到 （ a+bx ） n （ s+tx ） m 的展开式 中一般项为 T k+1 · T r+1 =C k n a n-k （ bx ） k · C r m s m-r （ tx ） r ， 再依据题目中对指数的特殊要求， 确定 r 与 k 所满足的条件， 进而求出 r ， k 的取值情况 . 变式训练 3 （ x-y ）（ x+y ） 8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 （用数字作答） . 要点 4 二项式的展开式中特定项的求法 例 4 求（ 1+2x-3x 2 ） 5 的展开式中 x 5 的系数 . 解： 方法一 ： ∵ （ 1+2x-3x 2 ） 5 = ［ 1+ （ 2x- 3x 2 ）］ 5 =1+5 （ 2x-3x 2 ） +10 （ 2x-3x 2 ） 2 +10 （ 2x-3x 2 ） 3 + 5 （ 2x-3x 2 ） 4 + （ 2x-3x 2 ） 5 =1+5x （ 2-3x ） +10x 2 （ 2- 3x ） 2 +10x 3 （ 2-3x ） 3 +5x 4 （ 2-3x ） 4 +x 5 （ 2-3x ） 5 . ∴x 5 的系数为上式各项中含 x 5 的项的系数和， 即 10C 2 3 · 2 1 ·（ -3 ） 2 +5C 1 4 · 2 3 ·（ -3 ） 1 +2 5 =92. 方法二： ∵ （ 1+2x-3x 2 ） 5 = （ 1-x ） 5 ·（ 1+3x ） 5 = （ 1-5x+10x 2 -10x 3 +5x 4 -x 5 ）·（ 1+15x+90x 2 +270x 3 + 405x 4 +243x 5 ）， ∴ 展开式中 x 5 的系数为 243- 5×405+270×10-10×90+5×15-1=92. 方法三： （ 1+2x-3x 2 ） 5 相当于 5 个 （ 1+ 2x-3x 2 ） 相乘， 因此要求展开式中含 x 5 项的 系数， 只需借助二项式定理的原理求解即 可： C 5 5 （ 2x ） 5 +C 3 5 （ 2x ） 3 · C 1 2 （ -3x 2 ）· 1+C 1 5 （ 2x ）· C 2 4 （ -3x 2 ） 2 · 1 2 =92x 5 . 故展开式中 x 5 的系数为 92. 反思感悟 本例的求解采用了三种方法， 其中方 法三是最优解， 其求解应用了二项式定理 的原理， 避免了方法一、 二计算的繁杂 . 在 学习中要重视数学运算方法的择优， 提升 数学运算素养 . 数 学 文 化 例 将杨辉三角中的奇数换成 1 ， 偶数 换成 0 ， 便可以得到如图的 “ 0 — 1 三角” . 在 “ 0 — 1 三角” 中， 从第 1 行起， 设第 n （ n∈N + ） 次出现全行为 1 时， 1 的个数为 a n ， 则 a 3 等于 （ ） A. 26 B. 27 C. 7 D. 8 解析： 第 3 次出现全行为 1 ， 这说明杨 辉三角中这一行全是奇数， 即 C k n （ k=0 ， 1 ， 2 ， …， n ） 是奇数， 经验证可知， 第 3 次出 现全行为 1 时， 1 的个数为 8 ， 即 a 3 =8. 变式训练 4 在如图三角形数阵中， 从第 3 行开始 , 每一行除 1 以外， 其他每一个数字是它上一 行的左右两个数字之和 . 已知这个三角形数 阵开头几行如图所示， 若在此数阵中存在某 一行， 满足该行中有三个相邻的数字之比为 4 ∶ 5 ∶ 6 ， 则这一行是第 （填数字）行 . 第 0 行 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 … 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 … 第 0 行 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 第 6 行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 图 3-2-2 图 3-2-1 22 第三章 排列、 组合与二项式定理 学 学 习 目 标 1. 理解二项式系数的性质并灵活运用 . 2. 了解杨辉三角， 会用杨辉三角求二项 式乘方次数不大时的各项的二项式系数 . 3. 会用二项式定理解决整除问题 . 要 点 精 析 要点 1 与杨辉三角有关的问题 杨辉三角及其性质 当 n 依次取 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， …时， （ a+b ） n 展开式的二项式系数如图所示： 图中所示的二项式系数表在我国称为 “杨辉三角”， 它至少具有以下性质： （ 1 ） 每一行都是对称的， 且两端的数都 是 1 ； （ 2 ） 从第三行起， 不在两端的任意一个 数， 都等于上一行中与这个数相邻的两数 之和 . 例 1 杨辉三角如图所示， 杨辉三角中 的第 5 行除去两端数字 1 以外， 均能被 5 整 除， 则具有类似性质的行是 （ ） A. 第 6 行 B. 第 7 行 C. 第 8 行 D. 第 9 行 解析： 由题意， 第 6 行为 1 ， 6 ， 15 ， 20 ， 15 ， 6 ， 1 ， 第 7 行为 1 ， 7 ， 21 ， 35 ， 35 ， 21 ， 7 ， 1 ， 故第 7 行除去两端数字 1 以外， 均能 被 7 整除 . 故选 B. 反思感悟 解决与杨辉三角有关问题的一般思路： （ 1 ） 通过观察找出每一行数据间的相 互联系以及行与行间数据的相互联系 . （ 2 ） 然后将数据间的这种联系用数学 式表达出来， 使问题得解 . （ 3 ） 注意观察方向： 横看、 竖看、 斜 看、 连续看、 隔行看， 从多角度观察 . 变式训练 1 如图所示， 在由二项式系数所构成的杨 辉三角中， 第 行中从左至右的第 14 个数与第 15 个数的比为 2 ∶ 3. 第 2课时 二项式系数的性质、 杨辉三角及二项式定理的应用 61 120156 15 1 464 1 1 133 1 12 1 1 1 11 10105 5 第 0 行 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 … 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … 第 0 行 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 … 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … 图 3-2-3 图 3-2-4 23 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 二项展开式的系数问题和二项 式系数的性质 思考 若 （ a+b ） n 的展开式中第 5 项的 二项式系数最大， 则 n 的值可以为多少？ 例 2 已知 （ 2x-1 ） 5 =a 0 x 5 +a 1 x 4 +a 2 x 3 +a 3 x 2 + a 4 x+a 5 ， 求下列各式的值： （ 1 ） a 0 +a 1 +a 2 + … +a 5 ； （ 2 ） |a 0 |+|a 1 |+|a 2 |+ … +|a 5 | ； （ 3 ） a 1 +a 3 +a 5 . 解： （ 1 ） 令 x=1 ， 得 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 5 =1. （ 2 ） 令 x=-1 ， 得 -3 5 =-a 0 +a 1 -a 2 +a 3 -a 4 +a 5 . 由 （ 2x-1 ） 5 的通项 T k+1 =C k 5 （ -1 ） k · 2 5-k · x 5-k ， 知 a 1 ， a 3 ， a 5 为负值， ∴|a 0 |+|a 1 |+|a 2 |+ … + |a 5 |=a 0 - a 1 +a 2 -a 3 +a 4 -a 5 =3 5 =243. （ 3 ） 由 a 0 +a 1 +a 2 + … +a 5 =1 ， -a 0 +a 1 -a 2 + … + a 5 =-3 5 ， 得 2 （ a 1 +a 3 +a 5 ） =1-3 5 ， ∴a 1 +a 3 +a 5 = 1-3 5 2 =-121. 变式训练 2 在例 2 的条件下， 求下列各式的值： （ 1 ） a 0 +a 2 +a 4 ； （ 2 ） a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 . 反思感悟 二项展开式中系数和的求法 （ 1 ） 对形如 （ ax +b ） n ， （ ax 2 +bx +c ） m （ a ， b ， c∈R ， m ， n∈N + ） 的式子求其展开 式的各项系数之和， 常用赋值法， 只需令 x=1 即可， 对 （ ax+by ） n （ a ， b∈R ， n∈N + ） 的式子求其展开式的各项系数之和， 只需 令 x=y=1 即可 . （ 2 ） 一般地， 若 f （ x ） =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + … +a n x n ， 则 f （ x ）展开式中各项系数之和为 f （ 1 ）， 奇数项系数之和为 a 0 +a 2 +a 4 + … = f （ 1 ） +f （ -1 ） 2 ， 偶数项系数之和为 a 1 +a 3 +a 5 + … = f （ 1 ） -f （ -1 ） 2 . 变式训练 3 已知 （ x 2 -2x-3 ） 10 =a 0 +a 1 （ x-1 ） +a 2 （ x-1 ） 2 + … +a 20 （ x-1 ） 20 . （ 1 ） 求 a 2 的值； （ 2 ） 求 a 1 +a 3 +a 5 + … +a 19 的值； （ 3 ） 求 a 0 +a 2 +a 4 + … +a 20 的值 . 对称性 在 （ a＋b ） n 的展开式中， 与首末两端 “等 距离” 的两个二项式系数相等， 即 C m n ＝ C n-m n 增减性与 最大值 增减性： 当 k< n+1 2 时， 二项式系数是逐 渐增大的； 当 k> n+1 2 时， 二项式系数是 逐渐减小的 ． 最大值： 当 n 为偶数时， 中间一项的二 项式系数 C n n 2 最大； 当 n 为奇数时， 中间 两项的二项式系数 C n n-1 2 ， C n n+1 2 相等， 且同 时取得最大值 各二项式 系数的和 （ 1 ） C 0 n ＋C 1 n ＋C 2 n ＋ … ＋C n n ＝2 n ； （ 2 ） C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋ … ＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋ … ＝2 n－1 24 第三章 排列、 组合与二项式定理 学 要点 3 二项式系数性质的应用 例 3 已知 f （ x ） = （ x 2 3 姨 +3x 2 ） n 的展开式 中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992. 求： （ 1 ） 展开式中二项式系数最大的项； （ 2 ） 展开式中系数最大的项 . 解： 令 x=1 ， 则二项式各项系数的和为 f （ 1 ） = （ 1+3 ） n =4 n ， 又 ∵ 展开式中各项的二项式 系数之和为 2 n . 由题意知， 4 n -2 n =992. ∴ （ 2 n ） 2 - 2 n -992=0 ， ∴ （ 2 n +31 ） （ 2 n -32 ） =0 ， ∴2 n =-31 （舍去） 或 2 n =32 ， ∴n=5. （ 1 ） ∵n=5 为奇数， ∴ 展开式中二项式 系数最大的项为中间的两项， 它们分别为 T 3 =C 2 5 x 2 3 3 # 3 ·（ 3x 2 ） 2 =90x 6 ， T 4 =C 3 5 x 2 3 3 3 2 ·（ 3x 2 ） 3 = 270x 22 3 . （ 2 ） 展开式的通项公式为 T k+1 =C k 5 · 3 k · x 2 3 （ 5+2k ） ， 假设 T k+1 项系数最大， 则有 C k 5 · 3 k ≥C k-1 5 · 3 k-1 ， C k 5 · 3 k ≥C k+1 5 · 3 k+1 1 ， ∴ ∴ ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) * 5 ！ （ 5-k ）！ k ！ ×3≥ 5 ！ （ 6-k ）！（ k-1 ）！ ， 5 ！ （ 5-k ）！ k ！ ≥ 5 ！ （ 4-k ）！（ k+1 ）！ ×3 ， 即 3 k ≥ 1 6-k ， 1 5-k ≥ 3 k+1 ∴ ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) * ， ∴ 7 2 ≤k≤ 9 2 . ∵k∈N ， ∴k=4 ， ∴ 展开式中系数最大的项为 T 5 = C 4 5 x 2 3 （ 3x 2 ） 4 =405x 26 3 . 反思感悟 （ 1 ） 二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项， 根据二项式 系数的性质对 （ a+b ） n 中的 n 进行讨论 . ① 当 n 为奇数时， 中间两项的二项式 系数最大； ② 当 n 为偶数时， 中间一项的二项式 系数最大 . （ 2 ） 展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式 系数最大项是不同的， 需要根据各项系数 的正、 负变化情况进行分析 . 如求 （ a+bx ） n （ a ， b∈R ） 的展开式中系数的最大项， 一 般采用待定系数法 . 设展开式中各项系数分 别为 A 0 ， A 1 ， A 2 ， …， A n ， 且第 k+1 项最 大， 应用 A k ≥A k-1 ， A k ≥A k+1 1 ， 解出 k ， 即得出系数的 最大项 . 变式训练 4 已知 x 姨 - 2 x 2 2 3 n （ n∈N + ） 的展开式中 第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10 ∶ 1. 求： （ 1 ） 展开式中各项系数的和； （ 2 ） 展开式中含 x 3 2 的项； （ 3 ） 展开式中系数的绝对值最大的项 . 25 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 4 二项式定理的应用 例 4 （ 1 ） 试求 2 021 10 除以 8 的余数； （ 2 ） 求证： 3 2n+2 -8n-9 （ n∈N + ） 能被 64 整除 . （ 1 ） 解： 2 021 10 = （ 8×252+5 ） 10 . ∵ 其展开式中除末项为 5 10 外， 其余的 各项均含有 8 这个因数， ∴2 021 10 除以 8 的余数与 5 10 除以 8 的余 数相同 . 又 ∵5 10 =25 5 = （ 3×8+1 ） 5 ， 其展开式中除末 项为 1 外， 其余的各项均含有 8 这个因数， ∴5 10 除以 8 的余数为 1 ， 即 2 021 10 除以 8 的余数也为 1. （ 2 ） 证明： 3 2n+2 -8n-9= （ 8+1 ） n+1 -8n-9 =C 0 n+1 8 n+1 +C 1 n+1 8 n + … +C n+1 n+1 -8n-9 =C 0 n+1 8 n+1 +C 1 n+1 8 n + … +C n-1 n+1 8 2 + （ n+1 ） ×8+1- 8n-9=C 0 n+1 8 n+1 +C 1 n+1 8 n + … +C n-1 n+1 8 2 . ① ① 式中的每一项都含有 8 2 这个因数 ， 故原式能被 64 整除 . 反思感悟 利用二项式定理可以解决求余数和整 除的问题， 通常需将底数化成两数的和与 差的形式， 且这种转化形式与除数有密切 的关系 . 变式训练 5 （ 1 ） 求证： 2 n+2 · 3 n +5n-4 （ n∈N * ） 能被 25 整除； （ 2 ） 求 0.998 6 的近似值 ， 使误差小于 0.001. 数 学 文 化 例 （多选题） 我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的 《详解九章算法》 就给出了 著名的杨辉三角， 由此可见我国古代数学的 成就是非常值得中华民族自豪的 . 以下关于 杨辉三角的猜想中正确的是 （ ） A. 由 “与首末两端 ‘等距离’ 的两个 二项式系数相等” 猜想： C m n =C n-m n B. 由 “在相邻的两行中， 除 1 以外的每 一个数都等于它 ‘肩上’ 两个数的和” 猜 想： C r n+1 =C r-1 n +C r n C. 由 “第 n 行所有数之和为 2 n ” 猜想： C 0 n +C 1 n +C 2 n + … +C n n =2 n D. 由 “ 11 1 =11 ， 11 2 =121 ， 11 3 =1 331 ” 猜想： 11 5 =15 101 051 解析： 由组合数的互补性质可得 C m n = C n-m n ， 故 A 正确； 由组合数的性质可得 C r-1 n +C r n =C r n+1 ， 故 B 正确； 由二项式系数和的性质可得 C 0 n +C 1 n +C 2 n + … +C n n =2 n ， 故 C 正确； 11 5 = （ 10+1 ） 5 =10 5 +5×10 4 +10×10 3 +10×10 2 + 5×10+1=161 051 ， 故 D 错误 . 故选 ABC. 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 第 6 行 … 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 … 图 3-2-5 26