3.1.1 基本计数原理-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第三章 排列、 组合与二项式定理 学 学 习 目 标 1. 理解分类加法计数原理与分步乘法计 数原理 . 2. 会用这两个基本计数原理分析和解决 一些简单的实际计数问题 ． 要 点 精 析 要点 1 分类加法计数原理 完成一件事， 如果有 n 类办法， 且第一 类办法中有 m 1 种不同的方法， 第二类办法 中有 m 2 种不同的方法……第 n 类办法中有 m n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝ m 1 ＋m 2 ＋ … ＋m n 种不同的方法 ． 例 1 设集合 A＝{1 ， 2 ， 3 ， 4} ， m ， n∈ A ， 则方程 x 2 m ＋ y 2 n ＝1 表示焦点位于 x 轴上的 椭圆有 （ ） A． 6 个 B． 8 个 C． 12 个 D． 16 个 解析： ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上， ∴m>n. 当 m＝4 时 ， n＝1 ， 2 ， 3 ； 当 m＝3 时 ， n＝ 1 ， 2 ； 当 m＝2 时， n＝1 ， 即所求的椭圆共有 3＋2＋1＝6 （个） ． 故选 A. 反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下问 题： （ 1 ） 明确题目中所指的 “完成一件事” 是什么事， 完成这件事可以有哪些方法， 怎样才算是完成这件事 ． （ 2 ） 无论哪类方案中的哪种方法都可 以独立完成这件事， 而不需要再用到其他 的方法， 即各类方法之间是互斥的、 并列 的、 独立的 ． 变式训练 1 （ 1 ） 若本例条件不变， 结论变为 “则方 程 x 2 m ＋ y 2 n ＝1 表示焦点位于 y 轴上的椭圆” 有 （ ） A． 6 个 B． 8 个 C． 12 个 D． 16 个 （ 2 ） 若本例结论不变， 条件变为 “设集 合 A＝{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， m ， n∈A ”， 则这样 的椭圆有 （ ） A． 8 个 B． 10 个 C． 12 个 D． 16 个 第三章 排列、 组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 基本计数原理 1 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 2 某校高三共有三个班， 各班人数如下 表： （ 1 ） 从三个班中任选 1 名学生担任学生 会主席， 有多少种不同的选法？ （ 2 ） 从高三 （ 1 ） 班、 （ 2 ） 班男生中或 从高三 （ 3 ） 班女生中选 1 名学生担任学生 会生活部部长， 有多少种不同的选法？ 要点 2 分步乘法计数原理 完成一件事， 如果需要分成 n 个步骤， 且： 做第一步有 m 1 种不同的方法， 做第二 步有 m 2 种不同的方法……做第 n 步有 m n 种 不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m 1 × m 2 × … ×m n 种不同的方法 ． 思考 如何区分 “完成一件事” 是分 类还是分步？ 例 2 已知集合 M＝{－3 ， －2 ， －1 ， 0 ， 1 ， 2} ， P （ a ， b ） 表示平面上的点 （ a ， b∈M ） ． 问： （ 1 ） P （ a ， b ） 可表示平面上多少个不同 的点？ （ 2 ） P （ a ， b ） 可表示平面上多少个第二 象限的点？ 解： （ 1 ） 确定平面上的点 P （ a ， b ） 可分 两步完成： 第一步， 确定 a 的值， 共有 6 种方法； 第二步， 确定 b 的值， 也有 6 种方法 ． 根据分步乘法计数原理， 得 P （ a ， b ） 可 表示平面上的点的个数是 6×6＝36. （ 2 ） 确定第二象限的点 ， 可分两步 完成： 第一步， 确定 a ， 由于 a<0 ， ∴ 有 3 种 不同的确定方法； 第二步， 确定 b ， 由于 b>0 ， ∴ 有 2 种 不同的确定方法 ． 根据分步乘法计数原理， 得 P （ a ， b ） 可 表示第二象限点的个数为 3×2＝6. 反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般 思路： （ 1 ） 分步： 将完成这件事的过程分成 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三 （ 1 ） 班 30 20 50 高三 （ 2 ） 班 30 30 60 高三 （ 3 ） 班 35 20 55 2 第三章 排列、 组合与二项式定理 学 若干步 ． （ 2 ） 计数： 求出每一步中的方法数 ． （ 3 ） 结论： 将每一步中的方法数相乘 得最终结果 ． 变式训练 3 从 －1 ， 0 ， 1 ， 2 这四个数中选三个不同 的数作为函数 f （ x ） ＝ax 2 ＋bx＋c 的系数， 可组 成不同的二次函数共 个， 其中不同的 偶函数共 个 ． （用数字作答） 要点 3 两个基本计数原理的综合应用 例 3 现有 5 幅不同的国画， 2 幅不同 的油画， 7 幅不同的水彩画 ． （ 1 ） 从中任选一幅画布置房间， 有几种 不同的选法？ （ 2 ） 从这些国画、 油画、 水彩画中各选 一幅布置房间， 有几种不同的选法？ （ 3 ） 从这些画中选出两幅不同种类的画 布置房间， 有几种不同的选法？ 解： （ 1 ） 分为三类： 从国画中选， 有 5 种不同的选法； 从油画中选， 有 2 种不同的 选法； 从水彩画中选， 有 7 种不同的选法 ． 根据分类加法计数原理， 共有 5＋2＋7＝14 （种） 不同的选法 ． （ 2 ） 分为三步： 国画、 油画、 水彩画各 有 5 种、 2 种、 7 种不同的选法， 根据分步 乘法计数原理， 共有 5×2×7＝70 （种） 不同 的选法 ． （ 3 ） 分为三类： 第一类是一幅选自国 画， 一幅选自油画， 由分步乘法计数原理 知， 有 5×2＝10 （种） 不同的选法； 第二类是一幅选自国画， 一幅选自水彩 画， 有 5×7＝35 （种） 不同的选法； 第三类是一幅选自油画， 一幅选自水彩 画， 有 2×7＝14 （种） 不同的选法 ． ∴ 共有 10＋35＋14＝59 （种） 不同的选法 ． 反思感悟 使用两个基本计数原理的原则： 使用两个原理解题时， 一定要从 “分 类” “分步” 的角度入手， “分类” 是对 于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的 几类， 逐类解决， 用分类加法计数原理； “分步” 就是把问题分化为几个互相关联的 步骤， 然后逐步解决， 这时可用分步乘法 计数原理 ． 变式训练 4 如图， 甲地到乙地有 3 条公路可走， 从 乙地到丙地有 2 条公路可走， 从甲地不经过 乙地到丙地有 2 条水路可走 ． 则从甲地到丙 地共有多少种不同的走法？ 甲 乙 丙 图 3-1-1 3 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 数 学 文 化 例 1 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜 想的研究中取得了世界领先的成果 ． 哥德巴 赫猜想是 “每个大于 2 的偶数可以表示为两 个素数的和”， 在不超过 20 的素数中， 随机 选取两个不同的数， 其和等于 20 的概率是 （ ） A. 1 １2 B. 1 １５ C. 1 １８ D. 1 １４ 解析： 在不超过 20 的素数中有 2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 11 ， 13 ， 17 ， 19 共 8 个， 随机选取两个 不同的数共有 7+6+5+4+3+2+1＝28 （种）， 随机选取两个不同的数， 其和等于 20 有 2 种， 故可得随机选取两个不同的数， 其和等 于 20 的概率 P＝ 1 １４ ， 故选 D. 例 2 我国古代典籍 《周 易》 用 “卦” 描述万物的变化 ． 每一 “重卦” 由从下到上排列 的 6 个爻组成 ， 爻分为阳爻 “——” 和阴爻 “— —”， 如图就是一重卦 ． 在所有重卦中随机取一重卦， 则有多少种 情况？ 解： 一共有 2 6 =64 （种） 可能， 故 64 种 . 变式训练 5 如图， 小明从街道的 E 处出发， 先到 F 处与小红会合， 再一起到位于 G 处的老年公 寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以 选择的最短路径条数为 （ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 9 G E F 图 3-1-2 图 3-1-3 4 参 考 答 案 3.1 排列与组合 3.1.1 基本计数原理 学习手册 变式训练 1 （ 1 ） A 【解析】 ∵ 椭圆的焦点在 y 轴上， ∴m<n ， 当 m=1 时， n=2 ， 3 ， 4 ； 当 m=2 时， n=3 ， 4 ； 当 m=3 时， n=4 ， 即所求的椭圆共有 3+2+1=6 （个） . （ 2 ） B 【解析】 ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上， ∴m>n. 当 m=5 时， n=1 ， 2 ， 3 ， 4 ； 当 m=4 时， n=1 ， 2 ， 3 ； 当 m= 3 时， n=1 ， 2 ； 当 m=2 时， n=1. 即所求的椭圆共有 4+ 3+2+1=10 （个） . 变式训练 2 解： （ 1 ） 从三个班中任选 1 名学生担任学 生会主席， 共有三类不同的方案： 第一类， 从高三 （ 1 ） 班中选出 1 名学生， 有 50 种 不同的选法； 第二类， 从高三 （ 2 ） 班中选出 1 名学生， 有 60 种 不同的选法； 第三类， 从高三 （ 3 ） 班中选出 1 名学生， 有 55 种 不同的选法 . 根据分类加法计数原理知， 从三个班中任选 1 名学 生担任学生会主席， 共有 50+60+55=165 （种） 不同的 选法 . （ 2 ） 从高三 （ 1 ） 班、 （ 2 ） 班男生中或从高三 （ 3 ） 班女生中选 1 名学生担任学生会生活部部长， 共有三类 不同的方案： 第一类， 从高三 （ 1 ） 班男生中选出 1 名学生， 有 30 种不同的选法； 第二类， 从高三 （ 2 ） 班男生中选出 1 名学生， 有 30 种不同的选法； 第三类， 从高三 （ 3 ） 班女生中选出 1 名学生， 有 20 种不同的选法 . 根据分类加法计数原理知， 从高三 （ 1 ） 班、 （ 2 ） 班男生中或从高三 （ 3 ） 班女生中选 1 名学生担任学生 会生活部部长， 共有 30+30+20=80 （种） 不同的选法 . 变式训练 3 18 6 【解析】 一个二次函数对应着 a ， b ， c （ a≠0 ） 的一组取值， a 的取法有 3 种， b 的取法有 3 种， c 的取法有 2 种， 由分步乘法计数原理知， 共有不 同的二次函数 3×3×2=18 （个） . 若二次函数为偶函数， 则 b=0. a 的取法有 3 种， c 的取法有 2 种， 由分步乘法计数原理知， 共有不同的偶 函数 3×2=6 （个） . 变式训练 4 解： 要从甲地到丙地共有两类不同的方案： 第一类， 从甲地经乙地到丙地， 共需两步完成： 第一步， 从甲地到乙地 ， 有 3 条公路可走 ； 第二 步， 从乙地到丙地， 有 2 条公路可走 . 根据分步乘法计数原理， 从甲地经乙地到丙地有 3× 2=6 （种） 不同的走法 . 第二类， 从甲地不经乙地到丙地 ， 有 2 条水路可 走， 即有 2 种不同的走法 . 由分类加法计数原理知， 从甲地到丙地共有 6+2=8 （种） 不同的走法 . 变式训练 5 B 【解析】 E→F 有 6 种走法， F→G 有 3 种 走法， 由乘法原理知， 共 6×3=18 （种） 走法， 故选 B. 随堂练习 1. （ 1 ） × （ 2 ） √ （ 3 ） √ 2. B 【解析】 ∵ 是分类， ∴ 用加法原理 3+4+2=9. 故 选 B. 3. B 【解析】 根据分类加法计数原理， 共有 3+2=5 （种） . 故选 B. 4. C 【解析】 要完成配套， 分两步： 第一步， 选上 衣， 从 4 件上衣中任选一件， 有 4 种不同的选法； 第二 步， 选长裤， 从 3 条长裤中任选一条， 有 3 种不同的选 法 . 故共有 4×3=12 （种） 不同的配法 . 故选 C. 5. 2 【解析】 写成没有重复数字的两位偶数分两步： 第一步， 个位数是偶数有 1 种选法； 第二步， 选十位数 有 2 种选法， 故可写出 1×2=2 （个） 没有重复数字的两 位偶数 . 6. 36 【解析】 第一步取数 b ， 有 6 种方法， 第二步 取数 a ， 也有 6 种方法， 根据分步乘法计数原理， 共有 6×6=36 （个） 虚数 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 不同的杂志本数为 4+3+2=9 ， 从其中 任选一本阅读， 共有 9 种选法 . 故选 B. 2. B 【解析】 根据题意知是分类 ， ∴9 +3=12 . 故 选 B. 3. D 【解析】 这件事可分为两步完成： 第一步， 在 集合 {2 ， 3 ， 7} 中任取一个 x 值有 3 种方法； 第二步， 在集合 {-31 ， -24 ， 4} 中任取一个 y 值有 3 种方法 . 根 据分步乘法计数原理知， 有 3×3=9 （个） 不同的点 . 故 第三章 排列、 组合与二项式定理 参 考 答 案 33 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 精编版 选 D. 4. B 【解析】 分两类： 第一类是从甲地经乙地到丙 地， 有 2×4=8 （种） 走法； 第二类是直接从甲地到丙地， 有 3 种走法 . ∴ 从甲地到丙地的不同走法种数共有 2×4+ 3. 故选 B. 5. C 【解析】 当 b=1 时， c=4 ； 当 b=2 时， c=4 ， 5 ； 当 b=3 时， c=4 ， 5 ， 6 ； 当 b=4 时， c=4 ， 5 ， 6 ， 7. 故共 有 1+2+3+4=10 （个） 这样的三角形 . 故选 C. 6. 16 【解析】 由分步乘法计数原理得共有 4×4=16 （种） 走法 . 7. 5 6 【解析】 对于图 1 ， 按要求接通电路， 只要 在 A 中的两个开关或 B 中的三个开关中合上一个即可， 故有 2+3=5 （种） 不同的方法 . 对于图 2 ， 按要求接通电 路必须分两步进行： 第一步， 合上 A 中的一个开关； 第 二步， 合上 B 中的一个开关， 故有 2×3=6 （种） 不同的 方法 . 8. 15 【解析 】 分三类 ： 第一类为一位整数 ， 有 3 个； 第二类为两位整数， 有 12 ， 13 ， 21 ， 23 ， 31 ， 32 ， 共 6 个； 第三类为三位整数， 有 123 ， 132 ， 213 ， 231 ， 312 ， 321 ， 共 6 个 . ∴ 可写出没有重复数字的整数有 3+ 6+6=15 （个） . 9. 解： （ 1 ） 选 1 人， 可分三类： 第一类， 从教师 中选 1 人， 有 3 种不同的选法； 第二类， 从男同学中选 1 人， 有 8 种不同的选法； 第三类， 从女同学中选 1 人， 有 5 种不同的选法 . 共有 3+8+5=16 （种） 不同的选法 . （ 2 ） 若从教师、 男同学、 女同学中各选 1 人， 分三 步进行： 第一步， 选教师， 有 3 种不同的选法； 第二步， 选男同学， 有 8 种不同的选法； 第三步， 选女同学， 有 5 种不同的选法 . 共有 3×8×5=120 （种） 不同的选法 . 10. 解： 分两类完成： 第一类， 当 A 或 B 中有一个为 0 时， 表示直线为 x=0 或 y=0 ， 共有 2 条； 第二类， 当 A ， B 都不取 0 时， 直线 Ax+By=0 被确 定需分两步完成： 第一步 ， 确定 A 的值 ， 从 1 ， 2 ， 3 ， 5 中选一个 ， 共有 4 种不同的方法； 第二步， 确定 B 的值， 共有 3 种 不同的方法 . 由分步乘法计数原理 ， 共确定 4×3=12 （条） 直线 . 由分类加法计数原理， 方程所表示的不同直线有 2+ 12=14 （条） . 11. D 【解析】 每个比赛项目的场馆选择都有 4 种， 于是总的方案共有 4×4×4=64 （种）， 在每一个场馆比赛 的项目超过两项即三项的安排方案有 1 种 ， 共 4 种选 择， 于是在同一个场馆比赛的项目不超过两项的安排方 案共有 64-4=60 （种） . 12. ABD 【解析】 当 m=n>0 时， 方程 x 2 m + y 2 n =1 表示 圆， 故有 3 个， A 正确； 当 m≠n 且 m ， n>0 时， 方程 x 2 m + y 2 n =1 表示椭圆， 故有 3×2=6 （个）， B 正确； 若椭 圆的焦点在 x 轴上， 则 m>n>0 ， 当 m=4 时， n=2 ， 3 ； 当 m=3 时， n=2 ， 即所求的椭圆共有 2+1=3 （个）， D 正确； 当 mn<0 时， 方程 x 2 m + y 2 n =1 表示双曲线， 故有 3×1+1×3= 6 （个）， C 错误 . 13. D 【解析】 因信息可以分开沿不同的路线同时传 递， 由分类加法计数原理， 完成从 A 向 B 传递有四种方 法： 12→5→3 ， 12→6→4 ， 12→6→7 ， 12→8→6 ， 故单 位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的 和为 3+4+6+6=19. 14. 13 【解析】 由已知得 ab≤1. 当 a=-1 时， b=-1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 有 4 种可能； 当 a=0 时， b=-1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 有 4 种可能； 当 a=1 时， b=-1 ， 0 ， 1 ， 有 3 种可能； 当 a= 2 时， b=-1 ， 0 ， 有 2 种可能 . ∴ （ a ， b ） 的个数为 4+4+ 3+2=13. 提升练习 15. A 【 解 析 】 先 把 集 合 中 的 元 素 分 成 5 组 ： {1 ， 10} ， {2 ， 9} ， {3 ， 8} ， {4 ， 7} ， {5 ， 6} ， 由于选 出的 5 个元素中， 任意两个元素的和都不等于 11 ， ∴ 从 每组中任选 1 个元素即可， 故共可组成 2×2×2×2×2=32 （个） 满足题意的子集 . 故选 A. 16. 解： 完成这件事可分为三类： 第一类是个位数字为 0 的比 2 000 大的四位偶数 ， 可以分三步完成： 第一步， 选取千位上的数字， 只有 2 ， 3 ， 4 ， 5 可 以选择， 有 4 种选法； 第二步， 选取百位上的数字， 除 0 和千位上已选定 的数字以外， 还有 4 个数字可以选择， 有 4 种选法； 第三步， 选取十位上的数字， 有 3 种选法 . 由分步乘法计数原理知， 这类数的个数为 4×4×3= 48. 第二类是个位数字为 2 的比 2 000 大的四位偶数 ， 可以分三步完成： 第一步， 选取千位上的数字， 除去 2 ， 1 ， 0 只有 3 个数字可以选择， 有 3 种选法； 第二步， 选取百位上的数字， 在去掉已经确定的首 尾 2 个数字之后 ， 还有 4 个数字可以选择 ， 有 4 种 选法； 第三步， 选取十位上的数字， 有 3 种选法 . 由分步乘法计数原理知， 这类数的个数为 3×4×3= 36. 第三类是个位数字为 4 的比 2 000 大的四位偶数 ， 其方法步骤同第二类 . 对以上三类用分类加法计数原理， 得所求无重复数字且比 2 000 大的四位偶数有 48+36+ 36=120 （个） . 34