专题07 一次函数的动点问题及面积问题（四大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题07 一次函数的动点问题及面积问题 图形面积问题 1．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知点，，如果点在直线上，且的面积等于，则点的坐标是 ． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，经过点A的直线平分的面积，与y轴交于点C，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点为直线上一动点，当的面积为四边形面积的时，点的坐标为 ． 4．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点，直线恰好将平均分成面积相等的两部分，则k的值是 ． 5．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是，，，，和．若直线l：将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分、则 ． 6．（23-24八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在两点，求的面积； 7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图所示，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标； (2)若P是x轴正半轴上的点，且，求的面积． 动点路程与面积问题 8．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A时停止运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，则y与x之间的关系大致可以用图象表示为（　　） A．B． C． D． 10．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，四边形是长方形，点从边上点出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点，最后沿运动到点，设点运动的路程为，的面积为，图是关于变化的函数图象，根据图象下列判断不正确的是（    ） A． B．点为的中点 C．当时，的面积为 D．当时，长度的最小值为 11．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 12．（23-24八年级上·重庆·期中）如图1，长方形中，，点从B出发，沿方向运动，经过D，C，到B停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发t秒后的面积与t（秒）的关系图象． (1)直接写出，，； (2)设点离开点B的路程为，求出路程与运动时间t（秒）的关系式； (3)直接写出，当点出发多少秒后，． 13．（23-24八年级上·广东佛山·期中）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)当点在边上时，求与之间的函数关系式； (3)如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由． 14．（23-24八年级上·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 动点坐标与面积问题 15．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为直线上的动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．    (1)直接写出点B的坐标；点C的坐标； (2)直接写出的面积为：________． (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值． 17．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，直线：与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴上，且．    (1)若点是直线上在第二象限内的一个动点，试求出在点P的运动过程中，的面积S与x的函数关系式： (2)试探究：在（1）的条件下，当的面积为，求点P的坐标． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点，是直线上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若，求点的坐标． 19．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)直接写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ） (2)点是轴上一点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值． 20．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 动点的存在性问题 21．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 22．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 23．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 24．（23-24八年级上·河南南阳·期中）已知：如图，在长方形中，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒． (1)请用含t的式子表达的面积； (2)是否存在某个t值，使得和全等？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由. 25．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．的边在x轴上，A、C两点的坐标分别为、，，且，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，设的面积为S，请你表示出S与t的函数关系，并判断是否一次函数； (3)当P在线段上运动时，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标以及此时对应的t值；若不存在，请说明理由． 26．（23-24 八年级上·广东东莞·期中）如图，直线、的函数关系式分别是：和，动点在上运动． (1)求点的坐标，并回答当取何值时？ (2)点在运动过程中，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)是否存在点，使将分成的两部分面积之比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按的路径运动，的面积与运动时间t（s）的关系如图2所示，若，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（    ） A．5 B．8 C． D． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）如下图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 6．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，已知点，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，两点，，分别是线段，上的动点，当的值最小时，点的坐标为 ． 7．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，C是y轴上的一个动点，将沿着直线翻折后得到，当点B的对应点落在x轴上时，点C的坐标为 ． 8．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，且a，b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，将线段以1个单位长度秒的速度向右平移至（点P与点A对应），运动时间为t秒，当三角形的面积不大于6时，求t的取值范围； (3)如图2，M为第三象限的一动点，且轴，连接并延长交直线于点N，设点M、N的横坐标分别为m、n，直接写出___________．（用含n的式子表示） 10．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，点D是的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，的面积记为y．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是______． 11．（23-24八年级上·重庆·期中）如图1，在梯形中，，点E在边上且．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于t的函数表这式并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 ； (3)结合函数图象，若直线与函数图象有1个交点，则t的取值范围是 ． 12．（23-24八年级上·四川达州·期中）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间x（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间x（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题： (1)甲、乙机器人在1分钟时路程差________米，2分钟时路程差________米； (2)图①中当时，求出线段的函数解析式和a的值； (3)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？ 13．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 14．（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在长方形中，，．点P从A点出发，沿A、B、C、D路线运动，到D点停止；点P的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数关系图象． (1)根据图②中提供的信息，求a、b及图②中c的值； (2)设点P离开点A的路程为，请求出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数的动点问题及面积问题 图形面积问题 1．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知点，，如果点在直线上，且的面积等于，则点的坐标是 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， 设所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图形上， ∴设， 如图所示， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，，即； 当时，，即； 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且，点A的坐标为，经过点A的直线平分的面积，与y轴交于点C，将直线向上平移2个单位长度后得到直线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，点A的坐标为， ∴， ∴， ∵直线平分的面积， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把代入得： ， 解得 ∴直线解析式为， ∵将直线向上平移2个单位长度后得到直线， ∴，，， ∴， 故选：C． 3．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点为直线上一动点，当的面积为四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：在中，令，则， ， 在中，令，则，当，则， ， ∴， 解，得， ， ，， ； P在上方时，过点P作交x轴于点M，连接，如图：   ， ， 的面积是四边形的面积的， ， ，即， ， ， ， 设直线为：， 将代入得：， ， 直线为：， 解，得， ， 当P在下方时，过点作交x轴于点，如图：   ， ， 的面积是四边形的面积的， ， ，即， ， ， ， 设直线为：， 将代入得：， ， 直线为：， 解，得， ， 综上所述，P得坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及四边形、三角形面积，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是通过作平行，转化三角形的面积． 4．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点，直线恰好将平均分成面积相等的两部分，则k的值是 ． 【答案】 【详解】解：当时，， ∴经过点，即点B， ∵直线恰好将平均分成面积相等的两部分， ∴直线经过的中点， 设的中点为C， ∵， ∴C的坐标为，即， 代入，得， 解得． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是，，，，和．若直线l：将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分、则 ． 【答案】 【详解】解：设直线l：将多边形的边交于点两点， 当时，， ∴ 当时， ∴， ∴， ∵直线l：将多边形分割成面积相等的两部分， ∴ ∴， 解得． 故答案为： 6．（23-24八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直线上存在两点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到， ∴，， ∴一次函数的表达式． （2）∵是直线上两点， ∴，， 解得：， ∴， ． 7．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图所示，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标； (2)若P是x轴正半轴上的点，且，求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【详解】（1）在函数中，令，则， 解得， ∴点A的坐标为， 在函数中，令，则， ∴点B的坐标为， （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 动点路程与面积问题 8．（23-24八年级上·四川宜宾·期中）如图1，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．10 B．12 C． D． 【答案】D 【详解】解：由图象可知：当时，， ，即， 解得， ∵点D是BC的中点， ∴， 当时，面积发生转折，此时点P和点A重合， ∴， 在中，，，， 由勾股定理可得，． 故选：D． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，动点P从点B出发，沿运动，至点A时停止运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，则y与x之间的关系大致可以用图象表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，当点P在上运动时，，即随着的增大而增大； 当点P在上运动时，，即不变； 当点P在上运动时，，即随着的增大而减小； ∴函数图象如下； 故选：D． 10．（23-24八年级上·湖北荆门·期中）如图，四边形是长方形，点从边上点出发，沿直线运动到长方形内部一点处，再从该点沿直线运动到顶点，最后沿运动到点，设点运动的路程为，的面积为，图是关于变化的函数图象，根据图象下列判断不正确的是（    ） A． B．点为的中点 C．当时，的面积为 D．当时，长度的最小值为 【答案】D 【详解】解：由题意知，当与重合时，，最大， 当点在上运动，逐渐减小，直至与重合时，则， ∴时，的最大值， ∴， ∴， 故正确，不符合题意； 由题意知，当时，点在上，，，如图， ， ∴， ∴点是的中点，故正确，不符合题意； 当时，与重合，连接， ∴，故正确，不符合题意； 作，延长交于，如图， 当时，点在上运动，， 即， ∵， ∴ 解得， ∴当时，长度的最小值即为的值，故错误，符合题意； 故选：． 11．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿、、运动至点停止，设点的运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则长方形的周长是 ． 【答案】16 【详解】解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，而当点运动到点，之间时，的面积不变， 函数图象上横轴表示点运动的路程，时，不发生变化，说明，时，接着变化，说明， ，， 长方形的周长是：， 故答案为：16 12．（23-24八年级上·重庆·期中）如图1，长方形中，，点从B出发，沿方向运动，经过D，C，到B停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发t秒后的面积与t（秒）的关系图象． (1)直接写出，，； (2)设点离开点B的路程为，求出路程与运动时间t（秒）的关系式； (3)直接写出，当点出发多少秒后，． 【答案】(1)5；；4 (2) (3)或 【详解】（1）解：根据图象可得：a秒时的面积为12，即， ， ， ； 6.5秒时，点P与点D重合， ； 点P从点D运动到点B的速度为每秒， ， 长方形中，， ； （2）解：点P速度为每秒时：； 点P速度为每秒时：； 综上，； （3）解：点P在上时， 当点P加速前： ， （舍去，不符合题意）， 当点P加速后： ， ； 当点P运动到点C时，所需时间为：（秒）， 点P在上时，， ， ， 综上，当点出发或时，． 13．（23-24八年级上·广东佛山·期中）综合运用：已知：如题图1，在四边形中，，，，为边的中点，为四边形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)当点在边上时，求与之间的函数关系式； (3)如题图2，当点在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请画出此时点的位置，并写出必要的画图步骤；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，画图见解析 【详解】（1）， 当时，在上，如图所示： ， ，为中点 （2）当点在上时有以下2种情况： ①当在线段上时，即时， ． ②当在线段上时，即时， ． 综上所述：． （3）存在点使得周长最小， 如图所示，作法：延长到，使得， 即点与点关于对称，连接交于点， 则点为所求作的点． 14．（23-24八年级上·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 动点坐标与面积问题 15．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为直线上的动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点为直线上的动点，且 ∴设解析式为 把代入，解得 即解析式为， 设点P的坐标为， ∵，，，点在边上，且，点为的中点， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 解得 ∴ 故选：B 16．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，直线和直线相交于点A，分别与y轴交于B，C两点．    (1)直接写出点B的坐标；点C的坐标； (2)直接写出的面积为：________． (3)在x轴上有一动点，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点D，E，若，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为或4 【详解】（1）把代入得，， 把代入得，， ，； （2）令，解得， ， ， ，， ， ∴的面积为； （3）由题意可知，，， ， 解得或， 的值为或4． 17．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，直线：与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴上，且．    (1)若点是直线上在第二象限内的一个动点，试求出在点P的运动过程中，的面积S与x的函数关系式： (2)试探究：在（1）的条件下，当的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴当，， 当，则， ∴，， 如图，    ∴， ∴的面积S与x的函数关系式为； （2）把代入得， 解得， 把代入得， ∴P点的坐标为． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点在直线上，直线经过点和点，是直线上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 点坐标为， 直线经过点和点， 设为， 将，代入， 得， 解得， 为； （2）解：如图所示， ①当点Q在线段上时，如图中点， 当时，， ， ； ， 当时，， ， ， ， 此时， 设， 得， 解得， ， ； ②当点Q在线段的延长线上时，如图中点， 此时， 设， 得， 解得， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或； （3）解：当点Q在线段上时，如图中点， 作，交直线于点， ， ，即， ， 即点也是满足题意的点Q， 作，垂足分别为M、N， ，， ， ， 是直角三角形，其中， ， ， ， ， ， ， ， ， 设点，则， ， 可得， 解得， ， ， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法、全等三角形的判定的性质、翻折问题、一次函数与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题，本题的计算量比较大． 19．（23-24八年级上·陕西榆林·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)直接写出点，的坐标：（ ， ），（ ， ） (2)点是轴上一点，若的面积为，求点的坐标； (3)如图，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值． 【答案】(1)4，0；； (2)或； (3)或或. 【详解】（1）把代入，解得， ∴点的坐标为 把代入， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：4，0；； （2）过点作轴，垂足为， ∵的面积为， ∴ ，即，解得， ∵点，， ∴点的坐标为或； （3）当，时，过点作轴，垂足为，交直线于点， ∵轴，直线轴, ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 当，时，过点作轴, 垂足为，过点作轴，垂足为 同理可证 ， ∵， ∵，， ∴， ∴， 当，时，过点C作直线，垂足为，过点作, 垂足为， 同理可证 ， ∴， 设， ∵，， ∵， ∴， ∴，解得： ， ∴， 综上所述，若以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，或或. 20．（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2) (3)或． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：如图所示，过点作轴， ∵点是线段上的一个动点（不与，重合）， ∴，， ∴的面积， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图所示，过点作轴于M， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关系式等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 动点的存在性问题 21．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． (1)若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； (2)动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P（，） (2)存在，13 【详解】（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 22．（23-24八年级上·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点．    (1)求m和的值； (2)函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①11；②存在，或 【详解】（1）解：把点代入函数， 得： 所以点坐标为 把点代入函数，得：， 所以； （2）①当时，，所以 所以函数的图象与轴的交点A的坐标为， 由（1）得：   ∴函数的表达式为 当时，， ∴， ∴函数的图象与轴的交点D的坐标为， ∴ 由题意得：，则， 过点C作轴，垂足为点F，    ∵， ∴ 当的面积为6时，即，      ∴， 解之得：， 所以当t的值为11时，的面积为6 存在，或． 理由：当时，， 所以函数的图象与y轴的交点B的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 当时，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 解得； 当，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，当或时，为直角三角形． 23．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段上，设的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，4或或或8 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； ①设，则，过作于，如图1所示： 则， ∴， ②存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 、当时，， ， ； 、当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 、当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 24．（23-24八年级上·河南南阳·期中）已知：如图，在长方形中，，．延长到E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒． (1)请用含t的式子表达的面积； (2)是否存在某个t值，使得和全等？若存在，求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，满足条件的t值为或． 【详解】（1）解：①当P在上时， 如图，由题意得， ∴； ②当P在上时，， ∴； ③当P在上时，由题意得 ∴； 综上，； （2）解：当P在上时，由题意得， ∴， ∵，为公共边， ∴要使，则需，如图1所示： ∵， ∴， ∴， 即当时，； 当P在上时，由题意得， ∵，， ∴， ∵，为公共边， ∴要使，则需，如图2所示： 即， ∴， 即当时，； 综上所述：当或时，和全等． 25．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．的边在x轴上，A、C两点的坐标分别为、，，且，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)求A、C两点的坐标； (2)连接，设的面积为S，请你表示出S与t的函数关系，并判断是否一次函数； (3)当P在线段上运动时，是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有P点的坐标以及此时对应的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的坐标是，的坐标是 (2)，是一次函数 (3)存在，点P的坐标为、、，相对应的时间分别是、1.5、 【详解】（1）解： ， ，， ，， 的坐标是，的坐标是； （2）解：， ， ①当时，在线段上，如图1， ，， 的面积； ②当时，和重合，此时不存在，即； ③当时，在射线上，如备用图2， ，， 的面积； 综上，，是一次函数． （3）解：在线段上运动使是等腰三角形，分三种情况， ①为顶角时，即， 为中垂线， ， 点坐标为， ； ②为顶角时， 根据勾股定理可得，， 或8（舍弃）， 点坐标为， ； ③为顶角时，，设， 根据勾股定理，在中， 解得， ， 点坐标为， ； 综上，存在一点、、相对应的时间分别是、1.5、使是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及偶次方和算术平方根的非负性，三角形的面积，坐标与图形性质、勾股定理等知识点的综合运用，解题的关键是（2）（3）需要求出符合条件的所有情况，是一道比较容易出错的题目． 26．（23-24 八年级上·广东东莞·期中）如图，直线、的函数关系式分别是：和，动点在上运动． (1)求点的坐标，并回答当取何值时？ (2)点在运动过程中，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)是否存在点，使将分成的两部分面积之比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【详解】（1）将和联立并解得：， 解得：， 故点，则， 当时，； （2），则， ①当时， 则点的横坐标对应在轴上的点为的中点， 故点； ②当时， ， 故点，； ③当时，如图，过点P作， 则， 直线：与x轴夹角为， 是等腰直角三角形， ， 故点； （3）将分成的两部分面积之比为， 则或， 故点或． 1．（23-24八年级上·河南郑州·期中）已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按的路径运动，的面积与运动时间t（s）的关系如图2所示，若，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 【答案】C 【详解】解：由题得五段函数分别是点在、、、、上所形成的， 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， ， 点在上运动的时间， ， 点在上运动的时间， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（    ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】解：由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为0时，的长为6， 当时，， 由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为时，的值最大，最大为6， 当点运动到和点重合时，的值最大， ，， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故选：D． 3．（23-24八年级上·河南南阳·期中）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当点P由点A向点D运动，即时，y的值为0； 当点P在上运动，即时，y随着x的增大而增大； 当点P在上运动，即时，y不变； 当点P在上运动，即时，y随x的增大而减小． 故选：B． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点，点在直线l上，已知M是x轴上的动点，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：将代入直线得：， ∴直线， 令，即， 解得：， 则A点坐标为， 将代入，得：， 解得：， ∴P点坐标为， ①如图，当时，则轴， ∴；    ②如图，当时，过点P作轴于N，则，    ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 综上，当以A，P，M为顶点的三角形是直角三角形时，点M的坐标为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数法，正确分类讨论是解题的关键． 5．（23-24八年级上·四川成都·期中）如下图，直线过点，且与轴交于点，点是轴上的一个动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， 将点代入直线， 可得， ∴， ∴， 如下图，作点关于轴的对称点，连接交轴与点，连接， 则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， 此时的周长取最小值， ∵， ∴， ∴的周长取最小值为． 故答案为：． 6．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）如图，已知点，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，两点，，分别是线段，上的动点，当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，点关于的对称点，过点作交于， 则的最小值， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点的横坐标是， 是线段上的动点， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，C是y轴上的一个动点，将沿着直线翻折后得到，当点B的对应点落在x轴上时，点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得，，当点B的对应点落在x轴上时， 设，， 直线分别与x轴、y轴交于A，B两点， 令，，令，， ，， ， ， ，解得：或（舍）， ， ， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，灵活运用勾股定理及坐标间的距离公式是解题的关键． 8．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 【答案】(1)5；24；9 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵图形的相邻两边垂直，，，，， ∴，， 当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小， ∴，； （2）解：当点M在上运动时，点M到的距离为： ， ∴此时的面积为： ． （3）解：当点M在上运动时，， 解得：； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，的面积小于，不可能是； 综上分析可知：当或时，面积为． 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，且a，b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，将线段以1个单位长度秒的速度向右平移至（点P与点A对应），运动时间为t秒，当三角形的面积不大于6时，求t的取值范围； (3)如图2，M为第三象限的一动点，且轴，连接并延长交直线于点N，设点M、N的横坐标分别为m、n，直接写出___________．（用含n的式子表示） 【答案】(1)， (2)的取值范围是或 (3) 【详解】（1）解：， ，， ，， 又，， ，； （2）解：过点作，交轴于点， 在直线上取，过点作轴于点，连接， 设点，则， ， ， 解得， ， ， ， ，且点不与点重合， 或， 的取值范围是或； （3）解：过点作于点，连接， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， ， 整理，得， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标，二次根式及绝对值的非负性，一次函数的面积问题，一元一次不等式的应用，求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的面积问题的解法是解题的关键． 10．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，点D是的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度从点D出发沿折线方向运动，到达点B时停止运动，设点P的运动时间为x秒，的面积记为y．    (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有且仅有两个交点，则b的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析，时，y随x增大而增大 (3) 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 当点P在上运动时，则， ∴； 当点P在上运动时，过点C作于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    综上所述，； （2）解：如图所示，函数图象即为所求； 由函数图象可知，时，y随x增大而增大；    （3）解：当直线恰好经过时，， 当直线恰好经过时，，解得， ∴由函数图象可知，当时， 直线与该函数图象有且仅有两个交点．    11．（23-24八年级上·重庆·期中）如图1，在梯形中，，点E在边上且．动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点D停止，点Q以每秒2个单位长度沿折线方向运动到点C停止．设运动时间为t秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于t的函数表这式并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 ； (3)结合函数图象，若直线与函数图象有1个交点，则t的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)作图见解析，函数y的最大值是24（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：在梯形中，， ，点在边上且. ，, 当时， 当时，如图，    综上所述：； （2）解：函数图象如图所示，函数的最大值是24；   ． 故答案为：函数的最大值是24（答案不唯一）； （3）解：把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 把代入得，，解得， 直线与y的图象有且只有一个交点， t的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质等知识点．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 12．（23-24八年级上·四川达州·期中）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的运动性能，进行5分钟定时跑测试已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“全速模式”下运动，乙开始时在“基本模式”下运动，中途停止运动进行1分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙运动的路程，（米）与运动时间x（分钟）之间的函数关系如图①所示；甲、乙运动的路程差d（米）（）与运动时间x（分钟）之间的函数关系如图②所示．请结合图像回答下列问题： (1)甲、乙机器人在1分钟时路程差________米，2分钟时路程差________米； (2)图①中当时，求出线段的函数解析式和a的值； (3)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下运动的速度分别是多少？ 【答案】(1)10，40 (2)解析式为； (3)乙机器人在“基本模式”下运动的速度是米分，乙机器人在“全速模式”下运动的速度是米分 【详解】（1）由图②可得，甲、乙机器人在1分钟时路程差米，2分钟时路程差米； 故答案为：10，40． （2）∵甲机器人在5分钟定时跑测试中运动的速度是30米/分钟， ∴运动5分钟甲机器人的路程为30×5=150米． 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵由图②可知，过点与． 设直线的解析式为, ∴ 解得：， ∴直线的解析式为： 由图②可知点G表示，两机器人相遇 ∴令时解得： ∴图①中a的值为 综上：解析式为；a的值为． （3）由（2）可知乙机器人在“全速模式”下运动的速度是米/分． ∵运动2分钟乙机器人的路程为20米，且1分钟～2分钟之间，乙处于静止， ∴0分钟～1分钟之间乙机器人的路程为20米， ∴乙机器人在“基本模式”下运动的速度是米分． 13．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：设点坐标为， 由题意可知：， ， 解得， 点在轴的负半轴上， ， 点坐标为． （2）当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 综上所述，． （3）当点在上运动时， 由题意可知，，， 当时，即， 解得，， 当时，即， 解得，， 当点在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分， 综上所述，或． 14．（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在长方形中，，．点P从A点出发，沿A、B、C、D路线运动，到D点停止；点P的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数关系图象． (1)根据图②中提供的信息，求a、b及图②中c的值； (2)设点P离开点A的路程为，请求出动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：长方形中，，， ，， 由图②知，a秒时，点P在线段上，， ， 解得， 由图②知，8秒时，点P与点B重合， 则， 解得， 由图②知，8秒至c秒，点P从点B运动到点D，速度为每秒， 则， 解得； （2）解：由（1）知，6秒时点P运动速度由每秒变为每秒，17秒时停止运动， 6秒时点P离开点A的路程为：， 可得， 因此动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$