21.2　解一元二次方 （课时2）知识题型讲练 -2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方（课时2） 一、学习目标 1.会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程. 2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性. 3.通过求根公式探索并理解根与系数的关系,会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数..通过对代数式的熟练变形,能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值. 二、知识要点 知识点1　因式分解法 因式分解法：先因式分解，使方程华为两个一次是的乘积等于0的形式，再使这两个一次是分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 理论依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或； 因式分解法的一般步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②化积：把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③转化：令每一个因式都等于零，转化为两个一元一次方程； ④求解：解出这两个一元一次方程的解，它们的解就是原方程的解. 对整式进行因式分解的方法： ①提公因式法：提出各项的公因式，把方程的左边分解为两个一次因式的积； ②公式法：利用完全平方公式、平方差公式，把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③十字相乘法：先把一元二次方程的二次项系数化为1，再把常数项分解为两个数的乘积， 并且使得这两个数的和恰好为一次项系数，即：，找到两个数p和q，使得p×q=n，并且满足p+q=m，则方程可分解为：，则可得，即得解. 知识点2　一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系：①两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比. ②一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则律：x1+x2= - ，x1x2=. ③利用求根公式推导根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1=，x2=，则x1+x2= - ，x1x2=. 三、典例剖析 类型1　用因式分解法解一元二次方程 【例题1】解下列方程: (1) x(x-2)+x-2=0; (2) 5x2-2x-=x2-2x+. 解：(1) 因式分解，得(x-2)(x+1)=0. 于是得x-2=0，或x+1=0. 所以x1=2，x2=-1. (2)移项、合并同类项,得4x2-1=0. 因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0. 于是得2x+1=0,或2x-1=0, x1=-，x2=. 【例题2】用因式分解法解下列方程． （1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0； （2）2（t﹣1）2+t＝1． 解：（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0， ∴[（2x﹣3）+（x﹣2）][（2x﹣3）﹣（x﹣2）]＝0， ∴（3x﹣5）（x﹣1）＝0， ∴3x﹣5＝0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1； （2）2（t﹣1）2+t＝1， ∴2（t﹣1）2+t﹣1＝0， ∴（t﹣1）（2t﹣1）＝0， ∴t1＝1，t2． 〔方法归纳〕利用因式分解法解一元二次方程的步骤:①移项.将方程的右边化为0;②化积.将方程的左边因式分解成两个一次因式的乘积;③转化.令每个一次因式都等于0,转化为两个一元一次方程;④求解.解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 【真题剖析1】（2024安徽·中考真题）解方程： 〔知识点〕因式分解法解一元二次方程 〔分析〕本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题.先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案． 〔详解〕解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【真题剖析2】（2024黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x2﹣5x+6＝0 〔知识点〕因式分解法解一元二次方程 〔分析〕本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤. 〔详解〕解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【迁移训练】用因式分解法解下列方程: (1)4x2-9=0; (2)(y-1)2+3y(y-1)=0; (3)3x2-12x+12=0. 类型2　用合适的方法解一元二次方程 【例题】选择合适的方法解一元二次方程: (1)4(x-5)2=16; (2)3x2+2x-3=0; (3)x2+x+(x+)=0. 解：(1)原方程可化为(x-5)2=4, ∴x-5=±2, ∴x1=7,x2=3. (2)∵b2-4ac=22-4×3×(-3)=4+36=40, ∴x=. ∴x1=,x2=. (3)原式可化为(x+)(x+)=0, ∴x+=0或x+=0, ∴x1=-，x2=-. 【真题剖析】（2023广州•中考真题）解方程：x2﹣6x+5＝0． 解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0，x﹣5＝0， x1＝1，x2＝5． 〔方法归纳〕①若一元二次方程可化为(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的形式,则宜选用直接开平方法;②若一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数,则宜选用配方法;③若一元二次方程整理后右边为0,且左边能进行因式分解,则宜选用因式分解法;④若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,则宜选用公式法. 【迁移训练】用适当的方法解下列一元二次方程： (1)(x-1)2=25; (2)(x+2)2=3(x+2); (3)x2+4x=2; (4)x2-5x-1=0. 类型3　一元二次方程的根与系数的关系 【例题1】根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1，x2的和与积: (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2. 解：(1)x1+x2=6，x1x2=-15. (2)x1+x2=-，x1x2=-3. (3)方程化为4x2-5x+1=0, x1+x2=，x1x2=. 〔易错警示〕利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意:①一元二次方程必须有两个实数根(Δ≥0);②x1+x2=-中的负号与方程中a,b的符号不要混淆. 【例题2】已知α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根，则α2﹣2α﹣β的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2024 C．2024 D．2023 解：因为α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根， 所以α2﹣α﹣2024＝0，α+β＝1， 所以α2﹣α＝2024， 所以α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝2024﹣1＝2023． 故选：D． 【真题剖析1】（2024四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 〔知识点〕一元二次方程的根与系数的关系 〔分析〕本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 〔详解〕解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 【真题剖析2】（2024四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 〔知识点〕一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 〔分析〕本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（）利用根和系数的关系即可求解；（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 〔详解〕解：（1）由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 【迁移训练1】若α，β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根,则+的值是(　 　) A.- B. C.-3 D.3 【迁移训练2】设x1,x2是方程x2+mx-5=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,则m= . 四、巩固训练 1.（2024贵州·中考真题）一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 2.选择合适的方法解一元二次方程: (1)4(x-5)2=16; (2)3x2+2x-3=0; (3)x2+x+(x+)=0. 3.用适当的方法解下列一元二次方程: (1)(x-1)2=25; (2)(x+2)2=3(x+2); (3)x2+4x=2; (4)x2-5x-1=0. 4.已知x1,x2是一元二次方程2x2-4x+1=0的两个实数根,则x1·x2等于(　 　) A.-2 B.- C. D.2 5.两个实数根的和为3的一元二次方程是 (　 　) A.x2-3x-4=0 B.x2+3x-4=0 C.x2-3x+4=0 D.x2+3x+4=0 6.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是3,m的值是 . 7.已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则+= . 五、学习小结 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤. 2..选择合适的方法解一元二次方程. 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-,x1x2=. 六、课后作业 1．解方程 (1)；(2)． 2．已知关于x的方程． (1)若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根； (2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 3.已知方程x2+4x+1＝0的两根是α、β． （1）求|α﹣β|的值； （2）求的值． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方（课时2） 一、学习目标 1.会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程. 2.能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性. 3.通过求根公式探索并理解根与系数的关系,会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数..通过对代数式的熟练变形,能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值. 二、知识要点 知识点1　因式分解法 因式分解法：先因式分解，使方程华为两个一次是的乘积等于0的形式，再使这两个一次是分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 理论依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或； 因式分解法的一般步骤： ①移项：将方程的右边化为0； ②化积：把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③转化：令每一个因式都等于零，转化为两个一元一次方程； ④求解：解出这两个一元一次方程的解，它们的解就是原方程的解. 对整式进行因式分解的方法： ①提公因式法：提出各项的公因式，把方程的左边分解为两个一次因式的积； ②公式法：利用完全平方公式、平方差公式，把方程的左边分解为两个一次因式的积； ③十字相乘法：先把一元二次方程的二次项系数化为1，再把常数项分解为两个数的乘积， 并且使得这两个数的和恰好为一次项系数，即：，找到两个数p和q，使得p×q=n，并且满足p+q=m，则方程可分解为：，则可得，即得解. 知识点2　一元二次方程的根与系数的关系 根与系数的关系：①两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比. ②一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则律：x1+x2= - ，x1x2=. ③利用求根公式推导根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1=，x2=，则x1+x2= - ，x1x2=. 三、典例剖析 类型1　用因式分解法解一元二次方程 【例题1】解下列方程: (1) x(x-2)+x-2=0; (2) 5x2-2x-=x2-2x+. 解：(1) 因式分解，得(x-2)(x+1)=0. 于是得x-2=0，或x+1=0. 所以x1=2，x2=-1. (2)移项、合并同类项,得4x2-1=0. 因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0. 于是得2x+1=0,或2x-1=0, x1=-，x2=. 【例题2】用因式分解法解下列方程． （1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0； （2）2（t﹣1）2+t＝1． 解：（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0， ∴[（2x﹣3）+（x﹣2）][（2x﹣3）﹣（x﹣2）]＝0， ∴（3x﹣5）（x﹣1）＝0， ∴3x﹣5＝0或x﹣1＝0， ∴x1，x2＝1； （2）2（t﹣1）2+t＝1， ∴2（t﹣1）2+t﹣1＝0， ∴（t﹣1）（2t﹣1）＝0， ∴t1＝1，t2． 〔方法归纳〕利用因式分解法解一元二次方程的步骤:①移项.将方程的右边化为0;②化积.将方程的左边因式分解成两个一次因式的乘积;③转化.令每个一次因式都等于0,转化为两个一元一次方程;④求解.解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 【真题剖析1】（2024安徽·中考真题）解方程： 〔知识点〕因式分解法解一元二次方程 〔分析〕本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题.先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案． 〔详解〕解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【真题剖析2】（2024黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x2﹣5x+6＝0 〔知识点〕因式分解法解一元二次方程 〔分析〕本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤. 〔详解〕解：∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 【迁移训练】用因式分解法解下列方程: (1)4x2-9=0; (2)(y-1)2+3y(y-1)=0; (3)3x2-12x+12=0. 解:(1)x1=,x2=-. (2)y1=1,y2=. (3)x1=x2=2. 类型2　用合适的方法解一元二次方程 【例题】选择合适的方法解一元二次方程: (1)4(x-5)2=16; (2)3x2+2x-3=0; (3)x2+x+(x+)=0. 解：(1)原方程可化为(x-5)2=4, ∴x-5=±2, ∴x1=7,x2=3. (2)∵b2-4ac=22-4×3×(-3)=4+36=40, ∴x=. ∴x1=,x2=. (3)原式可化为(x+)(x+)=0, ∴x+=0或x+=0, ∴x1=-，x2=-. 【真题剖析】（2023广州•中考真题）解方程：x2﹣6x+5＝0． 解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0，x﹣5＝0， x1＝1，x2＝5． 〔方法归纳〕①若一元二次方程可化为(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的形式,则宜选用直接开平方法;②若一元二次方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数,则宜选用配方法;③若一元二次方程整理后右边为0,且左边能进行因式分解,则宜选用因式分解法;④若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,则宜选用公式法. 【迁移训练】用适当的方法解下列一元二次方程： (1)(x-1)2=25; (2)(x+2)2=3(x+2); (3)x2+4x=2; (4)x2-5x-1=0. 解:(1)x1=6,x2=-4. (2)x1=-2,x2=1. (3)x1=-2+,x2=-2-. (4)x1=,x2=. 类型3　一元二次方程的根与系数的关系 【例题1】根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1，x2的和与积: (1)x2-6x-15=0; (2)3x2+7x-9=0; (3)5x-1=4x2. 解：(1)x1+x2=6，x1x2=-15. (2)x1+x2=-，x1x2=-3. (3)方程化为4x2-5x+1=0, x1+x2=，x1x2=. 〔易错警示〕利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意:①一元二次方程必须有两个实数根(Δ≥0);②x1+x2=-中的负号与方程中a,b的符号不要混淆. 【例题2】已知α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根，则α2﹣2α﹣β的值为（　　） A．﹣2023 B．﹣2024 C．2024 D．2023 解：因为α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根， 所以α2﹣α﹣2024＝0，α+β＝1， 所以α2﹣α＝2024， 所以α2﹣2α﹣β＝α2﹣α﹣（α+β）＝2024﹣1＝2023． 故选：D． 【真题剖析1】（2024四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 〔知识点〕一元二次方程的根与系数的关系 〔分析〕本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 〔详解〕解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 【真题剖析2】（2024四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 〔知识点〕一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 〔分析〕本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（）利用根和系数的关系即可求解；（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 〔详解〕解：（1）由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 【迁移训练1】若α，β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根,则+的值是(　B　) A.- B. C.-3 D.3 【迁移训练2】设x1,x2是方程x2+mx-5=0的两个根,且x1+x2-x1x2=1,则m=4. 四、巩固训练 1.（2024贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ B    ） A．， B．， C．， D．， 解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 2.选择合适的方法解一元二次方程: (1)4(x-5)2=16; (2)3x2+2x-3=0; (3)x2+x+(x+)=0. 解：(1)(x-5)2=4,∴x-5=±2,∴x1=7,x2=3. (2)∵b2-4ac=22-4×3×(-3)=4+36=40, ∴x=.∴x1=,x2=. (3)原式可化为(x+)(x+)=0, ∴x+=0或x+=0, ∴x1=-,x2=-. 3.用适当的方法解下列一元二次方程: (1)(x-1)2=25; (2)(x+2)2=3(x+2); (3)x2+4x=2; (4)x2-5x-1=0. 解:(1)x1=6,x2=-4. (2)x1=-2,x2=1. (3)x1=-2+,x2=-2-. (4)x1=,x2=. 4.已知x1,x2是一元二次方程2x2-4x+1=0的两个实数根,则x1·x2等于(　C　) A.-2 B.- C. D.2 5.两个实数根的和为3的一元二次方程是 (　A　) A.x2-3x-4=0 B.x2+3x-4=0 C.x2-3x+4=0 D.x2+3x+4=0 6.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是3,m的值是-4. 7.已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1,x2,则+=23. 五、学习小结 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤. 2..选择合适的方法解一元二次方程. 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的两根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-,x1x2=. 六、课后作业 1．解方程 (1)； (2)． 2．已知关于x的方程． (1)若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根； (2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 3.已知方程x2+4x+1＝0的两根是α、β． （1）求|α﹣β|的值； （2）求的值． 参考答案 1.【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 2.【分析】（1）将x=2代入方程得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，即可得到结论． 【详解】（1）∵x＝2是方程的解 ∴把x＝2代入方程得：4+2a-a﹣5＝0 解得a＝1 ∵ ∴ ∴ ∴a＝1，方程的另一个根为﹣3． （2）∵， ∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 3.【分析】（1）根据方程x2+4x+1＝0的两根为α、β，根据韦达定理，α+β＝﹣4，αβ＝1，即可得答案； （2）把化简后即可求值． 【解答】解：（1）由韦达定理得α+β＝﹣4，αβ＝1， |α﹣β|； （2）∵Δ＝32﹣4＝5＞0， ∴α≠β， 由韦达定理得α+β＝﹣4，αβ＝1， 这说明α，β同为负数， ∴． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$