21.2　解一元二次方 （课时1）知识题型讲练【培优讲义】2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方（课时1） 一、学习目标 1.理解解一元二次方程“降次——转化”的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.能熟练解形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的一元二次方程. 2.了解配方法解一元二次方程的意义.掌握配方法解一元二次方程的步骤,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 3.掌握一元二次方程的根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理..理解一元二次方程求根公式的推导过程.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. 二、知识要点 知识点1　直接开平方法 直接开平方法：依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“转化”为两个一元一次方程求解，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解． 理论依据：平方根的意义 解法步骤：（1）将方程转化为的形式．（2）分三种情况降次求解：①当p＞0时，②当p=0时，③当p＜0时，方程无实数解． 知识点2　配方法 配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如的方程，再运用直接开平方的方法求解． 解法步骤：用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； 二除：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数，把二次项的系数化为； 三配：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方的形式，即配成的形式； 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接开平方解方程；如果方程的右边是一个负数，则原方程无实数解. 即若时，方程的解为，若时，方程无实数解. 注意事项：解方程时，可根据方程的特点选择合适的步骤，灵活处理. 知识点3　公式法 公式法：解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 一元二次方程根的判别式：一般地,式子叫做方程根的判别式,通常用希腊字母△表示,即. 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：设一元二次方程为，其根的判别式为：，则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 公式法的一般步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定的值； ③代入中计算其值，判断方程是否有实数根； ④若，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根． 注意事项：①应用公式法求解一元二次方程时，先计算减少计算量．②求根公式对于任何一个一元二次方程都适用. 三、典例剖析 类型1　用直接开平方法解一元二次方程 【例题1】解下列方程: (1)3x2-27=0; (2)(x+3)2=4; (3)4(x-2)2-36=0; (4)x2+2x+1=9. 解：(1)移项，得3x2=27. 方程两边同时除以3，得x2=9. 方程两边开平方，得x=±3. ∴x1=3，x2=-3. (2)方程两边同时乘3，得(x+3)2=12. 方程两边开平方，得x+3=±2. ∴x1=2-3，x2=-2-3. (3)移项,得4(x-2)2=36. 方程两边同时除以4，得(x-2)2=9. 方程两边开平方，得x-2=±3. ∴x1=5，x2=-1. (4)根据完全平方公式,可将原方程变形为(x+1)2=9. 方程两边开平方，得x+1=±3. 即x+1=3或x+1=-3, ∴x1=2，x2=-4. 【例题2】用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣1）2； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 解：（1）（x﹣1）2 （x﹣1）2， 则x﹣1＝±， 解得：x1，x2； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． x﹣3＝±（5﹣2x）， 解得：x1，x2＝2． 〔方法归纳〕用直接开平方法解一元二次方程,先将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的形式,再根据平方根的意义求解.形如(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的一元二次方程的解法:运用整体思想,把mx+n看成一个整体,将方程两边开平方,得mx+n=±,所以mx=-n±,x=. 【真题剖析1】（2024吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（  ） A． B． C． D． 〔知识点〕解一元二次方程——直接开平方法 〔分析〕本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 〔详解〕解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【真题剖析2】（2024四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 〔知识点〕一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程——直接开平方法 〔分析〕本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 〔详解〕解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选：A. 【迁移训练1】解下列方程： (1)x2-121=0;　 (2)2(x-1)2=338. 【迁移训练2】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2． 类型2　用配方法解一元二次方程 【例题1】解下列方程： (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x； (3)3x2-6x+4=0. 解：(1)移项，得x2-8x=-1. 配方，得x2-8x+42=-1+42，(x-4)2=15. 由此可得x-4=±， x1=4+，x2=4-. (2)移项，得2x2-3x=-1. 二次项系数化为1，得x2-x=-. 配方，得x2-x+=-+， =. 由此可得x-=±, x1=1，x2=. (3)移项，得3x2-6x=-4. 二次项系数化为1，得x2-2x=-. 配方，得x2-2x+12=-+12， (x-1)2=-. 因为实数的平方不会是负数， 所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立,即原方程无实数根. 【例题2】用配方法解方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）2x2﹣3x+1＝0． 解：（1）移项，得x2﹣4x＝﹣1， 配方，得x2﹣4x+4＝3， 即（x﹣2）2＝3， 开方，得x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （2）移项，得2x2﹣3x+1＝0， 二次项系数化为1，得x2x， 配方，得x2x， （x）2， 开方，得x±， ∴x1＝1，x2； 〔方法归纳〕用配方法解一元二次方程的一般步骤:①一移(移项):将常数项移到方程右边,含未知数的项移到方程左边;②二化(二次项系数化为1):方程左、右两边同时除以二次项系数;③三配(配方):方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;④四开(开平方求根):利用平方根的意义直接开平方. 【真题剖析1】（2023内蒙古赤峰•中考真题）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A.（x+2）2＝3 B.（x+2）2＝17 C.（x﹣2）2＝5 D.（x﹣2）2＝17 〔知识点〕配方法解一元二次方程 〔分析〕经过移项、配方、开方，即可得解． 〔详解〕解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5． 故选：C． 【真题剖析2】（2024内蒙古呼和浩特•中考一模）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 〔知识点〕配方法解一元二次方程 〔分析〕根据配方法解一元二次方程的步骤，对所给一元二次方程进行配方即可． 〔详解〕解：由2x2﹣5x﹣1＝0得， 2x2﹣5x＝1， x2， x2， ． 故选：A． 【迁移训练1】用配方法解方程:x2+5x=-4,方程两边都应加上的数是 . 【迁移训练2】在横线上填上适当的数,使等式成立. (1)x2+12x+ =(x+6)2; (2)x2+ x+2=(x+)2. 类型3　用根的判别式判别一元二次方程根的情况 【例题1】不解方程,判别下列方程的根的情况. (1)2x2+3x-4=0;　　　　　(2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0. 解：(1)∵a=2,b=3,c=-4, Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41>0, ∴原方程有两个不等的实数根. (2)原方程化为一般形式为16y2-24y+9=0. ∵a=16,b=-24,c=9, Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可化为5x2-7x+5=0. ∵a=5,b=-7,c=5, Δ=b2-4ac=49-100<0, ∴原方程无实数根. 〔易错警示〕应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时,必须先将方程化为一般形式,确定方程中a,b,c的值后再判断. 【例题2】若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取 值范围是（　　） A．a≠2 B．a≥1且a≠2 C．a＞1且a≠2 D．a＞1 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴a﹣2≠0，Δ＝22﹣4×（a﹣2）×（﹣1）＝4a﹣4＞0， 解得：a＞1且a≠2． 故选：C． 【真题剖析1】（2024黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 〔知识点〕一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 〔分析〕本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 〔详解〕解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 【真题剖析2】（2024四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 〔知识点〕根据一元二次方程根的情况求参数 〔分析〕本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 〔详解〕解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 【迁移训练1】下列一元二次方程中,没有实数根的是(　 　) A.x2-2x-3=0 B.x2+2x+1=0 C.x2-x+1=0 D.x2=1 【迁移训练2】关于x的一元二次方程kx2+3x-1=0有实数根,则k的取值范围是(　 　) A.k≤- B.k≤-且k≠0 C.k≥- D.k≥-且k≠0 类型4　用公式法解一元二次方程 【例题1】用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; 解：(1)a=1,b=-4,c=-7. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. 方程有两个不等的实数根x===2±,即x1=2+,x2=2-. (2)a=2,b=-2,c=1. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x2=-=-=. (3)方程化为5x2-4x-1=0. a=5,b=-4,c=-1. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不等的实数根 x===, 即x1=1,x2=-. 【例题2】用公式法解下列方程： (1)； (2)x2+17=8x. 解： (1)， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； (2)方程化为x2-8x+17=0. a=1，b=-8，c=17. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0. 方程无实数根. 〔方法归纳〕(1)用公式法解一元二次方程的步骤:①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值;②求出b2-4ac的值;③若b2-4ac≥0,将a,b,c的值代入求根公式计算,得出方程的解. (2)用公式法解一元二次方程时,要注意三点:①必须把方程化为一般形式,再确定系数;②确定系数a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-”;③一定要计算b2-4ac的值,只有当b2-4ac≥0时,才能代入求根公式求方程的根. 【真题剖析1】（2024四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 〔知识点〕公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 〔分析〕本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 〔详解〕解：（1）∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【真题剖析2】（2024年惠阳区•月考真题）用公式法解下列方程： （1）3x2﹣7x+3＝﹣1； （2）x（x﹣2）＝3﹣x． 〔知识点〕用公式法解一元二次方程 〔分析〕（1）用公式法计算即可． （2）用公式法计算即可． 〔详解〕解：（1）3x2﹣7x+3＝﹣1， 3x2﹣7x+4＝0， Δ＝（﹣7）2﹣4×3×4＝1＞0， ∴， ∴； （2）x（x﹣2）＝3﹣x， x2﹣2x＝3﹣x， x2﹣x﹣3＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴， ∴． 【迁移训练1】用公式法解方程:x2+4x-5=0. 【迁移训练2】关于x的一元二次方程x2-x+m=0没有实数根,则m的取值范围是 . 四、巩固训练 1.用直接开平方法解下列方程: (1)x2-27=0; (2)(x-2)2=6; (3)3(x-3)2=75; (4)(y+4)(y-4)-9=0. 2.用配方法解下列方程: (1)x2-2x-3=0; (2)2x2-7x+6=0; (3)(2x-1)2=x(3x+2)-7. 3.用公式法解下列方程: (1)x2+x-12=0; (2)x2-x-=0; (3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x; (5)x2+2x=0; (6)x2+2x+10=0. 五、学习小结 1.本节课主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法? 学了本节课还有哪些疑惑?说一说. 2.用配方法解一元二次方程的步骤.用配方法解一元二次方程的注意事项. 3.本节课主要学习了哪些知识? 学了本节课还有哪些疑惑?说一说! 六、课后作业 （一）选择题 1.下列方程，一定是一元二次方程的是（ ）. A.ax2+bx+c=0 B.8x+2=10 C. D.5x2+y=0 2.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）. A. 任意实数 B.m≠-1 C. m>1 D. m>0 3.如果关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，那么p的值是（ ）. A. 1 B.±1 C.2 D.±2 4.若将关于y的方程化成一般形式后为，则m，n的值依次为（ ）. A. 1，0 B.0，1 C.-1，0 D.0，-1 5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，则a-b的值为（ ）. A. 1 B.-1 C.0 D.-2 6.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为（ ）. A. B. C. D. （二）填空题 1.一元二次方程的一般形式为 ，二次项系数与一次项系数的和为 . 2.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值 . （三）解答题 1.已知m是关于x的一元二次方程的一个根，试求的值. 2. 先化简，再求值：，其中m是方程的根． 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学（人教版）知识题型讲练 第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方（课时1） 一、学习目标 1.理解解一元二次方程“降次——转化”的数学思想,并能应用它解决一些具体问题.能熟练解形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的一元二次方程. 2.了解配方法解一元二次方程的意义.掌握配方法解一元二次方程的步骤,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 3.掌握一元二次方程的根的判别式,并能运用根的判别式进行相关的计算或推理..理解一元二次方程求根公式的推导过程.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程. 二、知识要点 知识点1　直接开平方法 直接开平方法：依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“转化”为两个一元一次方程求解，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解． 理论依据：平方根的意义 解法步骤：（1）将方程转化为的形式．（2）分三种情况降次求解：①当p＞0时，②当p=0时，③当p＜0时，方程无实数解． 知识点2　配方法 配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如的方程，再运用直接开平方的方法求解． 解法步骤：用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； 二除：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数，把二次项的系数化为； 三配：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方的形式，即配成的形式； 四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接开平方解方程；如果方程的右边是一个负数，则原方程无实数解. 即若时，方程的解为，若时，方程无实数解. 注意事项：解方程时，可根据方程的特点选择合适的步骤，灵活处理. 知识点3　公式法 公式法：解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根. 一元二次方程根的判别式：一般地,式子叫做方程根的判别式,通常用希腊字母△表示,即. 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：设一元二次方程为，其根的判别式为：，则 ①方程有两个不相等的实数根． ②方程有两个相等的实数根． ③方程没有实数根． 公式法的一般步骤： ①把一元二次方程化为一般式； ②确定的值； ③代入中计算其值，判断方程是否有实数根； ④若，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根． 注意事项：①应用公式法求解一元二次方程时，先计算减少计算量．②求根公式对于任何一个一元二次方程都适用. 三、典例剖析 类型1　用直接开平方法解一元二次方程 【例题1】解下列方程: (1)3x2-27=0; (2)(x+3)2=4; (3)4(x-2)2-36=0; (4)x2+2x+1=9. 解：(1)移项，得3x2=27. 方程两边同时除以3，得x2=9. 方程两边开平方，得x=±3. ∴x1=3，x2=-3. (2)方程两边同时乘3，得(x+3)2=12. 方程两边开平方，得x+3=±2. ∴x1=2-3，x2=-2-3. (3)移项,得4(x-2)2=36. 方程两边同时除以4，得(x-2)2=9. 方程两边开平方，得x-2=±3. ∴x1=5，x2=-1. (4)根据完全平方公式,可将原方程变形为(x+1)2=9. 方程两边开平方，得x+1=±3. 即x+1=3或x+1=-3, ∴x1=2，x2=-4. 【例题2】用直接开平方法解下列方程： （1）（x﹣1）2； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． 解：（1）（x﹣1）2 （x﹣1）2， 则x﹣1＝±， 解得：x1，x2； （2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2． x﹣3＝±（5﹣2x）， 解得：x1，x2＝2． 〔方法归纳〕用直接开平方法解一元二次方程,先将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的形式,再根据平方根的意义求解.形如(mx+n)2=p(m≠0,p≥0)的一元二次方程的解法:运用整体思想,把mx+n看成一个整体,将方程两边开平方,得mx+n=±,所以mx=-n±,x=. 【真题剖析1】（2024吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（  ） A． B． C． D． 〔知识点〕解一元二次方程——直接开平方法 〔分析〕本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 〔详解〕解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【真题剖析2】（2024四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 〔知识点〕一元二次方程的定义、一元二次方程的解、解一元二次方程——直接开平方法 〔分析〕本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 〔详解〕解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选：A. 【迁移训练1】解下列方程： (1)x2-121=0;　 (2)2(x-1)2=338. 解：(1)x1=11,x2=-11. (2)x1=14,x2=-12. 【迁移训练2】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2． 解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2， 开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． 类型2　用配方法解一元二次方程 【例题1】解下列方程： (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x； (3)3x2-6x+4=0. 解：(1)移项，得x2-8x=-1. 配方，得x2-8x+42=-1+42，(x-4)2=15. 由此可得x-4=±， x1=4+，x2=4-. (2)移项，得2x2-3x=-1. 二次项系数化为1，得x2-x=-. 配方，得x2-x+=-+， =. 由此可得x-=±, x1=1，x2=. (3)移项，得3x2-6x=-4. 二次项系数化为1，得x2-2x=-. 配方，得x2-2x+12=-+12， (x-1)2=-. 因为实数的平方不会是负数， 所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立,即原方程无实数根. 【例题2】用配方法解方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）2x2﹣3x+1＝0． 解：（1）移项，得x2﹣4x＝﹣1， 配方，得x2﹣4x+4＝3， 即（x﹣2）2＝3， 开方，得x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （2）移项，得2x2﹣3x+1＝0， 二次项系数化为1，得x2x， 配方，得x2x， （x）2， 开方，得x±， ∴x1＝1，x2； 〔方法归纳〕用配方法解一元二次方程的一般步骤:①一移(移项):将常数项移到方程右边,含未知数的项移到方程左边;②二化(二次项系数化为1):方程左、右两边同时除以二次项系数;③三配(配方):方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;④四开(开平方求根):利用平方根的意义直接开平方. 【真题剖析1】（2023内蒙古赤峰•中考真题）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（　　） A.（x+2）2＝3 B.（x+2）2＝17 C.（x﹣2）2＝5 D.（x﹣2）2＝17 〔知识点〕配方法解一元二次方程 〔分析〕经过移项、配方、开方，即可得解． 〔详解〕解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5． 故选：C． 【真题剖析2】（2024内蒙古呼和浩特•中考一模）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 〔知识点〕配方法解一元二次方程 〔分析〕根据配方法解一元二次方程的步骤，对所给一元二次方程进行配方即可． 〔详解〕解：由2x2﹣5x﹣1＝0得， 2x2﹣5x＝1， x2， x2， ． 故选：A． 【迁移训练1】用配方法解方程:x2+5x=-4,方程两边都应加上的数是. 【迁移训练2】在横线上填上适当的数,使等式成立. (1)x2+12x+36=(x+6)2; (2)x2+2x+2=(x+)2. 类型3　用根的判别式判别一元二次方程根的情况 【例题1】不解方程,判别下列方程的根的情况. (1)2x2+3x-4=0;　　　　　(2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0. 解：(1)∵a=2,b=3,c=-4, Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41>0, ∴原方程有两个不等的实数根. (2)原方程化为一般形式为16y2-24y+9=0. ∵a=16,b=-24,c=9, Δ=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=0, ∴原方程有两个相等的实数根. (3)原方程可化为5x2-7x+5=0. ∵a=5,b=-7,c=5, Δ=b2-4ac=49-100<0, ∴原方程无实数根. 〔易错警示〕应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时,必须先将方程化为一般形式,确定方程中a,b,c的值后再判断. 【例题2】若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取 值范围是（　　） A．a≠2 B．a≥1且a≠2 C．a＞1且a≠2 D．a＞1 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴a﹣2≠0，Δ＝22﹣4×（a﹣2）×（﹣1）＝4a﹣4＞0， 解得：a＞1且a≠2． 故选：C． 【真题剖析1】（2024黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 〔知识点〕一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 〔分析〕本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 〔详解〕解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 【真题剖析2】（2024四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 〔知识点〕根据一元二次方程根的情况求参数 〔分析〕本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 〔详解〕解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 【迁移训练1】下列一元二次方程中,没有实数根的是(　C　) A.x2-2x-3=0 B.x2+2x+1=0 C.x2-x+1=0 D.x2=1 【迁移训练2】关于x的一元二次方程kx2+3x-1=0有实数根,则k的取值范围是(　D　) A.k≤- B.k≤-且k≠0 C.k≥- D.k≥-且k≠0 类型4　用公式法解一元二次方程 【例题1】用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; 解：(1)a=1,b=-4,c=-7. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. 方程有两个不等的实数根x===2±,即x1=2+,x2=2-. (2)a=2,b=-2,c=1. Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1=x2=-=-=. (3)方程化为5x2-4x-1=0. a=5,b=-4,c=-1. Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不等的实数根 x===, 即x1=1,x2=-. 【例题2】用公式法解下列方程： (1)； (2)x2+17=8x. 解： (1)， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； (2)方程化为x2-8x+17=0. a=1，b=-8，c=17. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0. 方程无实数根. 〔方法归纳〕(1)用公式法解一元二次方程的步骤:①把方程化为一般形式,确定a,b,c的值;②求出b2-4ac的值;③若b2-4ac≥0,将a,b,c的值代入求根公式计算,得出方程的解. (2)用公式法解一元二次方程时,要注意三点:①必须把方程化为一般形式,再确定系数;②确定系数a,b,c的值时,要注意符号,不要遗漏“-”;③一定要计算b2-4ac的值,只有当b2-4ac≥0时,才能代入求根公式求方程的根. 【真题剖析1】（2024四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 〔知识点〕公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 〔分析〕本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 〔详解〕解：（1）∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【真题剖析2】（2024年惠阳区•月考真题）用公式法解下列方程： （1）3x2﹣7x+3＝﹣1； （2）x（x﹣2）＝3﹣x． 〔知识点〕用公式法解一元二次方程 〔分析〕（1）用公式法计算即可． （2）用公式法计算即可． 〔详解〕解：（1）3x2﹣7x+3＝﹣1， 3x2﹣7x+4＝0， Δ＝（﹣7）2﹣4×3×4＝1＞0， ∴， ∴； （2）x（x﹣2）＝3﹣x， x2﹣2x＝3﹣x， x2﹣x﹣3＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， ∴， ∴． 【迁移训练1】用公式法解方程:x2+4x-5=0. 解:x1=-5,x2=1. 【迁移训练2】关于x的一元二次方程x2-x+m=0没有实数根,则m的取值范围是m>. 四、巩固训练 1.用直接开平方法解下列方程: (1)x2-27=0; (2)(x-2)2=6; (3)3(x-3)2=75; (4)(y+4)(y-4)-9=0. 解:(1)x1=9,x2=-9. (2)x1=2+,x2=2-. (3)x1=8,x2=-2. (4)y1=5,y2=-5. 2.用配方法解下列方程: (1)x2-2x-3=0; (2)2x2-7x+6=0; (3)(2x-1)2=x(3x+2)-7. 解:(1)移项,得x2-2x=3, 配方,得x2-2x+12=3+12, (x-1)2=4, 两边开平方得x-1=±2,所以x1=-1,x2=3. (2)移项,得2x2-7x=-6, 系数化为1,得x2-x=-3, 配方,得x2-x+=-3+, =, 两边开平方得x-=±, 所以x1=2,x2=. (3)去括号得4x2-4x+1=3x2+2x-7, 移项,合并同类项,得x2-6x=-8, 配方得x2-6x+9=-8+9,(x-3)2=1, 两边开平方得x-3=±1, 所以x1=2,x2=4. 3.用公式法解下列方程: (1)x2+x-12=0; (2)x2-x-=0; (3)x2+4x+8=2x+11; (4)x(x-4)=2-8x; (5)x2+2x=0; (6)x2+2x+10=0. 解:(1)a=1,b=1,c=-12, Δ=b2-4ac=1-4×1×(-12)=1+48=49>0, 方程有两个不等的实数根x===, 即x1=3,x2=-4. (2)a=1,b=-,c=-, Δ=(-)2-4×1×=3>0, x=, 即x1=,x2=. (3)原方程化为x2+2x-3=0, a=1,b=2,c=-3, Δ=4-4×1×(-3)=16, x==, 即x1=1,x2=-3. (4)原方程化为x2+4x-2=0, a=1,b=4,c=-2, Δ=16-4×1×(-2)=24, x==-2±, 即x1=-2+,x2=-2-. (5)a=1,b=2,c=0,Δ=4>0, x==-1±1, x1=0,x2=-2. (6)a=1,b=2,c=10, Δ=(2)2-4×1×10=20-40<0, 所以方程无实数解. 五、学习小结 1.本节课主要学习了哪些知识?学习了哪些数学思想和方法? 学了本节课还有哪些疑惑?说一说. 2.用配方法解一元二次方程的步骤.用配方法解一元二次方程的注意事项. 3.本节课主要学习了哪些知识? 学了本节课还有哪些疑惑?说一说! 六、课后作业 （一）选择题 1.下列方程，一定是一元二次方程的是（ ）. A.ax2+bx+c=0 B.8x+2=10 C. D.5x2+y=0 2.若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）. A. 任意实数 B.m≠-1 C. m>1 D. m>0 3.如果关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，那么p的值是（ ）. A. 1 B.±1 C.2 D.±2 4.若将关于y的方程化成一般形式后为，则m，n的值依次为（ ）. A. 1，0 B.0，1 C.-1，0 D.0，-1 5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，则a-b的值为（ ）. A. 1 B.-1 C.0 D.-2 6.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为（ ）. A. B. C. D. （二）填空题 1.一元二次方程的一般形式为 ，二次项系数与一次项系数的和为 . 2.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值 . （三）解答题 1.已知m是关于x的一元二次方程的一个根，试求的值. 2. 先化简，再求值：，其中m是方程的根． 参考答案 （一）1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. B （二）1. 6x2+10x-5=0 16 2. 1 （三）1.解： ∵m是关于x的一元二次方程的一个根， ∴，∴，. ∴. ∴. 2. 解：原式= = = =. m是方程的根， ∴，即. ∴原式==. 学科网（北京）股份有限公司— 1 — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$