精品解析：山东省泰安市新泰第一中学老校区（新泰中学）2025届高三上学期第一次适应训练数学试题

新泰中学高三上学期第一次阶段性数学测试 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，，满足，，，则（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法不正确的是（ ） A. 已知，若，则组成集合 B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 10. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称，且，若当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在单调递减 C. 关于对称 D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ） A. 在上是增函数 B. 是奇函数 C. 的值域是 D. 的值域是 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知是第二象限角，，现将角的终边逆时针旋转后得到角，若，则__________． 13. 已知，则=______ 14. 已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数. （1）若，且函数的定义域和值域均为，求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数，． （1）若，写出它的单调递增区间； （2）若对于的任意实数，都有成立，试求实数的范围． 17. 已知函数. （1）若，求在上的值域； （2）若关于的方程有解，求的取值范围. 18 已知函数 （1）若，求的值； （2）证明：函数的图象关于对称； （3）现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求函数在点处切线方程； （2）若函数在其定义域上有唯一零点，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰中学高三上学期第一次阶段性数学测试 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出集合的元素，再根据集合交运算即可求解. 【详解】即， 解得， 由题意得， 则. 故选：. 2. 已知命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可. 【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则为“，”. 故选：B. 3. 已知，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数与对数的关系，将指数式化为对数式，最后根据对数函数的单调性判断即可； 【详解】解：因为，，， 所以，，， 因为在定义域上单调递增，所以 所以， 所以 故选：A 【点睛】本题考查指数与对数互化以及对数函数的性质的应用，属于基础题. 4. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称. 则，，且，， 故. 故选：B 5. 已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数与对数的性质，求得集合，根据是的必要不充分条件，得到是的真子集，结合集合的运算，即可求解. 【详解】由，即，解得或，故或， 又由，即，解得，故， 因为是的必要不充分条件，即是的真子集， 可得或，解得或，即 故选：D. 6. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知：. 故选：B 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 8. 已知正实数满足，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，，，令，，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断. 【详解】因为，，为正实数，且满足，，， 则，，， 所以，，， 则，，， 令，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示： 由图可知. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小关系问题，准确画出函数图象是关键. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法不正确的是（ ） A. 已知，若，则组成集合为 B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，考虑时，，满足要求，可判断A；B选项，考虑时，两种情况讨论可得充要条件为，可判断B；C选项，由，可求定义域判断C；D选项，根据不等式的解集得到且为方程的两个根，由韦达定理得到的关系，计算可判断D. 【详解】A选项，，又， 当时，，满足，当时，， 当时，，满足，当时，，满足， 综上，组成集合为，A说法不正确； B选项，当时，不等式为恒成立，可得对一切实数恒成立， 当时，由对一切实数恒成立， 可得，解得， 综上所述：不等式对一切实数恒成立的充要条件是， 所以不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是，故B正确； C选项，因为的定义域为，所以，解得， 故的定义域为，C说法不正确； D选项，不等式解集为， 则且为方程的两个根，故， 则，故，D说法不正确. 故选：ACD. 10. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称，且，若当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在单调递减 C. 关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数图象的对称性以及，可得，即可判断选项A，利用，结合赋值法以及周期函数的定义，即可判断选项B，利用函数的周期性即可判断选项C，利用周期性和奇偶性将所求函数值转化为，即可得到答案． 【详解】解：因为函数的定义域为，且函数图象关于直线对称， 则恒成立， 又，所以， 故，即， 所以函数是偶函数，故选项A正确； 因为， 所以，即， 故函数是周期为6的周期函数， 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项B错误； 因为为偶函数且图象关于对称， 则有，， 所以， 则的图象关于直线对称，故选项C正确； 因为函数是周期为6的偶函数， 则．故选项D正确． 故选：ACD． 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ） A. 在上是增函数 B. 是奇函数 C. 的值域是 D. 的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性判断A，再由特殊值判断B，根据函数求值域判断CD. 【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增， 且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确； ∵，， ∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误； ∵，∴，，，∴， 即，∴，故C错误，D正确. 故选：BC 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知是第二象限角，，现将角的终边逆时针旋转后得到角，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由两角和的正切公式先得，进一步由两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题意，且，， 解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则=______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数式和对数式的互化可得，结合对数运算性质可得的值，化简为，即可得答案. 【详解】由于，故， 故， 则. 故答案为：1 14. 已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将 整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决. 【详解】由题意得，即或， 图象如图所示， 关于的方程有5个不同的实数根， 则或，解得， 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数. （1）若，且函数定义域和值域均为，求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）图象开口向上，对称轴为，故在上单调递减，进而得，解得； （2）根据题意对恒成立，故且在恒成立，再分别求函数，的最大值和，的最小值即可得答案. 【详解】（1）∵的图象开口向上，对称轴为， ∴在上单调递减， ∴，即，解得. （2）不等式对恒成立， 即对恒成立， 故且在恒成立， 令，， 所以， 所以. 令， 所以， 所以. 综上：. 【点睛】本题考查二次函数的最值，二次函数在区间上恒成立问题，考查独立参数法和数学运算能力，是中档题. 16. 已知函数，． （1）若，写出它的单调递增区间； （2）若对于的任意实数，都有成立，试求实数的范围． 【答案】（1）与 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再根据复合函数单调区间的求法求解； （2）先利用偶函数及条件判断区间上的单调性，结合二次函数的知识求解. 【小问1详解】 当时，，此函数是一个复合函数，外层是增函数， 令可解得，或，或， 即函数的定义域是； 又， 所以内层函数在与上增函数， 所以复合函数在与上是增函数， 所以函数的单调递增区间为与. 【小问2详解】 因为对于的任意实数，都有成立，所以时为增函数； 易知，所以函数为偶函数， 所以当时为减函数． 对于时，，； 设，由题意得：，或； 则或. 17. 已知函数. （1）若，求在上的值域； （2）若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1），令，则，根据二次函数在区间上的最值求法即可求解； （2）令，则问题转化为在上有解，从而得到，求解即可. 【小问1详解】 时， 令，则. ，即， 而的对称轴为， 所以函数在上单调递增， ，即. 在上的值域为； 【小问2详解】 令，则 有解， 在上有解， ，解得， 的取值范围为. 18. 已知函数 （1）若，求的值； （2）证明：函数的图象关于对称； （3）现在已经得知函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入数据直接计算即可； （2）计算得到证明； （3）根据单调性和对称性得到恒成立，考虑和两种情况，利用均值不等式计算最值得到答案. 【小问1详解】 由题设，解得； 【小问2详解】 ， ， 故，即函数的图象关于对称； 【小问3详解】 函数的图象关于对称， 函数在上是严格减函数，在上是严格增函数， 不等式恒成立，等价于，整理得 当时，不等式成立，此时； 当时，，而，当时等号成立， 故，即； 综上所述：的取值范围为. 19 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若函数在其定义域上有唯一零点，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程， （2）将问题等价转化成在有唯一实数解.构造函数，和利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解. 【小问1详解】 当时，， 且， 函数在点处的切线方程， 即. 【小问2详解】 在其定义域上有唯一零点， 方程， 即在有唯一实数解. 设，则. 令，即 的两个根分别为 （舍去），. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，取最小值， 要使在有唯一零点，则须即 设函数当时是增函数，至多有一解. 方程的解为，即，解得， 实数的值为. 【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$