2.4.2圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 一 二 三 学习目标 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 会进行圆的一般方程与标准方程的互化，提升逻辑推理的核心素养. 能根据圆的一般方程解决与圆有关的轨迹问题. 学习目标 复习回顾 1.圆的标准方程是什么？ 2.如何判断点与圆的位置关系？ 判断d与r的关系，d为点与圆心的距离。 （1）d=r，点在圆上 （2）d>r，点在圆外 （3）d<r，点在圆内 直线的方程中有标准方程与一般式方程。在圆的方程表达式中也是有标准方程与一般式方程。 这节课，我们将在上节课的基础上学习圆的另一种方程表达式：一般式方程。 新知探究 我们知道, 方程(xￚ1)2+(yￚ2)2=4表示以(1,ￚ2)为圆心, 2为半径的圆. x2+y2ￚ2x+4y+1=0 问题1 一般地，把(x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？ 二次项 D E F 一次项 常数项 结论：任何一个圆的标准方程可以写成下面二元二次方程的形式 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问题2 是不是任何一个形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？所表示的曲线都是圆呢？ 尝试 判断下列方程分别表示什么图形？ 圆 圆心为(1,-2), 半径为2 点(1, 2) 不表示任何图形 (3)x2+y2-2x-4y+6=0 (1)x2+y2-2x+4y+1=0 (2)x2+y2-2x-4y+5=0 结论：形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示不一定都表示圆. 新知探究 新知探究 问题3 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D, E, F满足什么条件时, 这个方程表示圆? (1)当D2+E2-4F>0时, 表示以 为圆心,以 为半径的圆 (3)当D2+E2-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形. (2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解 ，表示一个点 . 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方, 并把常数项移到右边, 得 因此, 当 时, 方程①表示一个圆, 我们把方程①叫做圆的一般方程. 圆的一般方程 当D2+E2-4F>0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 圆心为 半径为 思考 圆的一般方程形式上有什么特点？ ①x2与y2系数相同并且不等于0 ②没有xy这样的二次项 概念生成 新知探究 问题4 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程的特点在于它明确地指出了圆心和半径. 圆的一般方程突出了方程形式上的特点，是一个关于x, y的二元二次方程, 其特点是缺少xy项, x2, y2项的系数相等且不为零. 巩固练习 课本P88 解：(1) 圆心坐标为(3, 0), 半径长为3； (2) 圆心坐标为(0, -b), 半径长为|b|； 1. 求下列各圆的圆心坐标和半径: 巩固练习 课本P88 解：(1) 方程表示一个点(0, 0)； (2) 方程表示圆心坐标为(1, -2), 半径长为1的圆； 2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由: 典例解析 例1 求过三点O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解1: 设所求的圆方程为 ∴所求圆方程为 解2: 设所求的圆方程为 ∴所求圆方程为 反思 这两种方法都是用待定系数法求方程，它们的区别优劣是什么？ 求圆的方程常用待定系数法, 其大致步骤是: (1) 根据题意, 选择标准方程或一般方程; (2) 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组; (3) 解出a, b, r或D, E, F, 得到标准方程或一般方程. 典例解析 例1 求过三点O(0,0), M1(1,1), M2(4,2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. • l′ • x O(0,0) y M1(1,1) • • M2(4,2) l 解3： 巩固练习 课本P88 3.如图, 在四边形ABCD中, AB=6, CD=3, 且AB//CD, AD=BC, AB与CD间的距离为3. 求等腰梯形ABCD的外接圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径. • A B D C -3 x O y 3 3 先建系 典例解析 例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程. • x O y A • • B(4,3) • M 1 3 4 分析：点A的运动引起点M的运动，而点A在圆上运动，点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，建立点M的坐标与点A的坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式，求出点M的轨迹方程. 解：(相关点代入法) 由于B(4,3), 且M是A, B的中点 设点M(x, y), A(x0, y0) 新知探究 例3 动点P与定点A(-1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为-1，求点P的轨迹方程。 解：(直接法) 方法归纳 (2)相关点法：若动点P(x, y)依赖于某圆上的一个动点Q(x0, y0)而运动,把x0, y0用x,y表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中,得P点的轨迹方程. (1)直接法: 根据题目条件,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化简、证明. 求动点的轨迹方程的常用方法 跟踪练习 已知一动点到点的距离是它到点 的距离的3倍,则动点 的轨迹方程是_________________. [解析] 设动点的坐标为,则 , 即 , 整理得 故动点的轨迹方程为 1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为： 方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）. ---几何特征 . 2. 圆的一般方程为： 方程特征：突出了圆方程形式上的特点. 3. 求轨迹方的常用方法：代入法和直接法. ----代数特征 . 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ $$