九年级数学期中模拟卷（广东省卷专用，人教版九上第21～24章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期期中模拟考试

2024-2025学年九年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） 20．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转+第24章圆。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 3．若二次函数有最小值为，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） A． B． C． D．3 8．如图，在四边形中，点，，，分别是四边的中点，若四边形是矩形，且其周长是，则四边形的面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 9．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 10．已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．已知是方程的两个根，则 ． 12．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 13．如图，在中，， 将绕点A逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接，则的度数为 ．    14．如图，为的切线，经过圆心O，且，则 度． 15．如图，已知是圆O的直径，，是圆的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）用适当方法解方程． (1)； (2)． 17．（8分）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 18．（8分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 19．（9分）关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程两实根 满足，求的值． 20．（9分）已知是的直径，弦与相交，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若D为上的点，且，过点D作与的延长线交于点P，求证：是的切线． 21．（9分）如图，抛物线与坐标轴交于点A，． (1)求a的值； (2)P为线段上的一点（不与点O，A重合），将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C恰好落在该抛物线上，求点C的坐标． 22．（12分）已知：抛物线的图象与轴交于点，点与点的纵坐标相同，一次函数的图象与二次函数交于，两点，且点坐标为． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，直线将分成面积比为的两部分，求点坐标． 23．（12分）【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第 21 章一元二次方程+第 22 章二次函数+第 23 章旋转+第 24 章圆。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程(𝑘 − 1)𝑥 + 3𝑥 + 𝑘 − 1 = 0的一个根为 0，则 k的值为（ ） A．𝑘 = 0 B．𝑘 = 1 C．𝑘 = −1 D．𝑘 = 1或𝑘 = −1 3．若二次函数𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑎有最小值为7，则𝑎的值为（ ） A．−6 B．6 C．8 D．−8 4．若𝐴(−4, 𝑦 )，𝐵(−3, 𝑦 )，𝐶(1, 𝑦 )为二次函数𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 − 5的图象上的三点，则𝑦 ，𝑦 ，𝑦 的大小关 系是（ ） A．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 B．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 C．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 D．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 5．如图⊙𝑂的直径𝐴𝐵垂直于弦𝐶𝐷，垂足是𝐸，∠𝐴 = 22.5°，𝑂𝐶 = 8，𝐶𝐷的长为（ ） A．2√2 B．4 C．4√2 D．8√2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 6．如图，⊙𝑂是正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的外接圆，若⊙𝑂的半径为 6，则四边形𝐴𝐶𝐷𝐹的周长是（ ） A．6 + 6√3 B．12 + 6√3 C．12 + 12√3 D．6 + 12√3 7．如图，平行于 x轴的直线𝐴𝐶分别交抛物线𝑦 = 𝑥 (𝑥 ≥ 0)与𝑦 = (𝑥 ≥ 0)于 B、C两点，过点 C作 y轴 的平行线交𝑦 于点 D，直线𝐷𝐸∥𝐴𝐶，交𝑦 于点 E，则 =（ ） A．3 − √3 B．3 + √3 C．√3 D．3 8．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别是四边的中点，若四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是矩形，且其周长是40， 则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积的最大值是（ ） A．80 B．160 C．200 D．225 9．我们定义一种新函数：形如𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐|(𝑎 ≠ 0, 𝑏 − 4𝑎𝑐 > 0)的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小 组画出一个“鹊桥”函数𝑦 = |𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐|的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A．当𝑥 = 1时，函数的最大值是 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 B．函数值𝑦随𝑥的增大而增大，则𝑥 ≥ 3 C．关于𝑥的方程|𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐| = 3的所有实数根的和为 4 D．当直线𝑦 = 𝑥 +𝑚与该图象恰有三个公共点时，则𝑚 = 1 10．已知如图正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为 4，点𝐸为边𝐵𝐶上一动点，𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐸于𝐹，将𝐵𝐹绕着点𝐵顺时针旋转90°得 到𝐵𝐺，连接𝐹𝐺，当点𝐸从点𝐵运动到点𝐶时，点𝐺的运动路径长为（ ） A．4 B．2√2 C．π D．2π 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．已知𝛼，𝛽是方程𝑥 + 2024𝑥 − 1 = 0的两个根，则𝛼 + 𝛽 + 𝛼𝛽 = ． 12．将抛物线𝑦 = −2𝑥 + 3向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后所得抛物线的表达式为 ． 13．如图，在Rt △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，∠𝐵𝐴𝐶 = 32° .将△ 𝐴𝐵𝐶绕点 A逆时针旋转，使点𝐶落在边𝐴𝐵上的 𝐸处，点𝐵落在𝐷处，连接𝐵𝐷，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为 ． 14．如图，𝐴𝑃为⊙𝑂的切线，𝐵𝑃经过圆心 O，且∠𝑃 = 36°，则∠𝐴𝐶𝐵 = 度． 15．如图，已知𝐴𝐵是圆 O的直径，𝐴𝐵 = 4，𝐵𝐶是圆𝑂的切线，圆 O与𝐴𝐶交于点 F，点 E是𝐵𝐶的中点，四 边形𝐴𝐹𝐸𝑂是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8 分）用适当方法解方程． (1)2𝑥 − 4𝑥 − 1 = 0； (2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 2 − 2𝑥． 17．（8 分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的坐标分别为𝐴(−2,5)，𝐵(−3,0)，𝐶(1,2)．将△𝐴𝐵𝐶绕 原点𝑂顺时针旋转90°得到△𝐴 𝐵 𝐶 ，点𝐴，𝐵，𝐶的对应点分别为𝐴 ，𝐵 ，𝐶 ． (1)画出旋转后的△ 𝐴 𝐵 𝐶 ； (2)直接写出点𝐶 的坐标； (3)求△𝐴𝐵𝐶的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（8分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元．市场调查发现，这种双肩包每 天的销售量 y（单位：个）与销售单价 x（单位：元）有如下关系：𝑦 = −𝑥 + 60(30 ≤ 𝑥 ≤ 60)．设这种双 肩包每天的销售利润为 w元． (1)求 w与 x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售 利润，销售单价应定为多少元？ 19．（9 分）关于𝑥的一元二次方程𝑥 + (2𝑚 − 3)𝑥 + 𝑚 + 1 = 0． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求𝑚的取值范围； (2)若方程两实根 𝑥 , 𝑥 满足 + = 1，求𝑚的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 20．（9 分）已知𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷与𝐴𝐵相交，∠𝐵𝐴𝐶 = 40°． (1)如图①，若 D为𝐴𝐵⌢的中点，求∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐵𝐷的大小； (2)如图②，若 D为𝐴𝐵⌢上的点，且∠𝑂𝐶𝐷 = 25°，过点 D作𝐷𝑃 ∥ 𝐴𝐶与𝐴𝐵的延长线交于点 P，求证：𝐷𝑃是⊙𝑂的 切线． 21．（9 分）如图，抛物线𝑦 = 𝑎(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)与坐标轴交于点 A，𝐵(0,−2)． (1)求 a的值； (2)P为线段𝑂𝐴上的一点（不与点 O，A重合），将线段𝐵𝑃绕点 P逆时针旋转90°得到线段𝐶𝑃，点 C恰好落在 该抛物线上，求点 C的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 22．（12 分）已知：抛物线𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 + 4 +𝑚的图象与𝑦轴交于点𝐶，点𝐵与点𝐶的纵坐标相同，一次函数 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏的图象与二次函数交于𝐴，𝐵两点，且𝐴点坐标为(−1,0)． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点𝑃，直线𝑃𝐶将△ 𝐴𝐵𝐶分成面积比为1: 2的两部分，求𝑃点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 23．（12 分）【问题探究】 如图1，⊙𝑂为△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝐴𝐵是直径，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶，点𝐷是直径𝐴𝐵左侧的圆上一点，连接𝐷𝐴，𝐷𝐵，𝐷𝐶，将 △ 𝐴𝐶𝐷绕点𝐶逆时针旋转得到△𝐵𝐶𝐸，若𝐶𝐷 = 4，求四边形𝐴𝐷𝐵𝐶的面积； 【问题解决】 如图2，⊙𝑂为等边△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆，半径为2，点𝐷在弧𝐴𝐵⌢上运动（不与点𝐴，𝐵重合）．连接𝐷𝐴，𝐷𝐵，𝐷𝐶．设线段 𝐷𝐶的长为𝑥，四边形𝐴𝐷𝐵𝐶的面积为𝑆．求𝑆与𝑥的函数关系式，𝑆是否有最大值，若有，求出其最大值；若没 有，说明理由． 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C B D C A C C C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．-2025 12． 13．/16度 14．3 15． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分） 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，； …………….. （4分） （2）解：， ， ， ， 或， ，． …………….. （8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； …………….. （3分） （2）解：由（1）可知，点的坐标； …………….. （4分） （3）解：如图所示： ． …………….. （8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：， …………….. （2分） 与之间的函数解析式（）； …………….. （4分） （2）解：当时，， 解得，， …………….. （6分） ， ∴不符合题意，舍去， …………….. （7分） 即该地摊销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． …………….. （8分） 19．（9分） 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 则当时，方程有两个不相等的实数根； …………….. （3分） （2）∵ ∴，， …………….. （5分） ∵， ∴， …………….. （6分） ∴， ∴，， …………….. （7分） ∵方程两实根 ， ∴， ∴， …………….. （8分） ∴． …………….. （9分） 20．（9分） 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， …………….. （1分） ∵， ∴； …………….. （2分） ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴； …………….. （4分） （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， …………….. （5分） ∵， ∴， ∴， ∴， …………….. （8分） ∵是的半径， ∴是的切线． …………….. （9分） 21．（9分） 【详解】（1）解：将点代入， 解得：； …………….. （2分） （2）解：设点，过点C作轴于点D，则， ∴， 又根据旋转的性质可知：， …………….. （4分） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， …………….. （7分） 又∵点C恰好落在该抛物线上， ∴， 解得：（舍去）， ∴点C的坐标为． …………….. （9分） 22．（12分） 【详解】（1）解：点在抛物线 上， ， 二次函数的解析式为， …………….. （2分） 点的坐标为，则点的坐标为， 设直线的解析式为， 由 解得 ， 直线的解析式为， 即二次函数的解析式为，一次函数的解析式是． …………….. （5分） （2）解：由题得，二次函数对称轴为， 直线将分成面积比为的两部分，，，点的横坐标为， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为，即点， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为， …………….. （7分） 设直线为，将、代入， 则得， 故直线为， …………….. （10分） 当时，，即此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或． …………….. （12分） 23．（12分） 【详解】解：问题探究：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点、点、点三点共线，   …………….. （2分） ∵是直径， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． …………….. （5分） 问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点，点，点三点共线， …………….. （8分） ∵，， ∴是等边三角形， ∵， …………….. （10分） ∴． 当时，有最大值，． …………….. （12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转+第24章圆。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选：A． 2．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， 解得或1； 又， 即； 所以． 故选：C 3．若二次函数有最小值为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得： ， ∵，即开口向上， ∴当时，二次函数有最小值， ∵二次函数有最小值为， ∴，解得：； 故选． 4．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的对称轴为，， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∵， ∴， ∵，则，， ∴时的函数值与的函数值相等，且， ∴， ∴， 故选：B ． 5．如图的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， 故选D． 6．如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则， 点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 7．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：设A点坐标为，， 则，解得， ∴点B， ∴点C， ∵轴， ∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为， ∴点D的坐标为， ∵， ∴点E的纵坐标为3a， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 8．如图，在四边形中，点，，，分别是四边的中点，若四边形是矩形，且其周长是，则四边形的面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，， ∵点，，，分别是四边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积为：， ∵四边形的周长是， ∴ ∴， 设， ∴， ∴四边形的面积为：， 整理得：四边形的面积为：， ∴当时，四边形的面积有最大值为， 故选：C． 9．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 【答案】C 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故A选项错误； 由图象可知当时，其对称轴为直线，则有当或时，y随x的增大而减小，当或时，y随x的增大而增大，故B选项错误； 如图， 由图可知：与，与分别关于对称轴对称，根据对称性可知：，，所以关于的方程的所有实数根的和为4，故C选项正确； 如图，明显当直线与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故D选项错误； 故选C． 10．已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，设的中点分别为，连接， 则， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 点从点运动到点， 点从点运动到点， 的长， ，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 和对应， 点的运动路径长与点的运动路径长相等， 点的运动路径长为， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．已知是方程的两个根，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 12．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位后，所得抛物线的表达式是： 即． 故答案为：． 13．如图，在中，， 将绕点A逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接，则的度数为 ．    【答案】/16度 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16°． 14．如图，为的切线，经过圆心O，且，则 度． 【答案】63 【详解】如图所示，连接． ∵为的切线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 15．如图，已知是圆O的直径，，是圆的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示， 四边形是平行四边形， ，， 是圆的直径， ，， ∴，， 点是的中点， 是的中点， ∴， 是圆的切线， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分） 用适当方法解方程． (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，； …………….. （4分） （2）解：， ， ， ， 或， ，． …………….. （8分） 17．（8分） 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； …………….. （3分） （2）解：由（1）可知，点的坐标； …………….. （4分） （3）解：如图所示： ． …………….. （8分） 18．（8分） 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【详解】（1）解：， …………….. （2分） 与之间的函数解析式（）； …………….. （4分） （2）解：当时，， 解得，， …………….. （6分） ， ∴不符合题意，舍去， …………….. （7分） 即该地摊销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． …………….. （8分） 19．（9分） 关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程两实根 满足，求的值． 【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 则当时，方程有两个不相等的实数根； …………….. （3分） （2）∵ ∴，， …………….. （5分） ∵， ∴， …………….. （6分） ∴， ∴，， …………….. （7分） ∵方程两实根 ， ∴， ∴， …………….. （8分） ∴． …………….. （9分） 20．（9分） 已知是的直径，弦与相交，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若D为上的点，且，过点D作与的延长线交于点P，求证：是的切线． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， …………….. （1分） ∵， ∴； …………….. （2分） ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴； …………….. （4分） （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， …………….. （5分） ∵， ∴， ∴， ∴， …………….. （8分） ∵是的半径， ∴是的切线． …………….. （9分） 21．（9分） 如图，抛物线与坐标轴交于点A，． (1)求a的值； (2)P为线段上的一点（不与点O，A重合），将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C恰好落在该抛物线上，求点C的坐标． 【详解】（1）解：将点代入， 解得：； …………….. （2分） （2）解：设点，过点C作轴于点D，则， ∴， 又根据旋转的性质可知：， …………….. （4分） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点， …………….. （7分） 又∵点C恰好落在该抛物线上， ∴， 解得：（舍去）， ∴点C的坐标为． …………….. （9分） 22．（12分） 已知：抛物线的图象与轴交于点，点与点的纵坐标相同，一次函数的图象与二次函数交于，两点，且点坐标为． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，直线将分成面积比为的两部分，求点坐标． 【详解】（1）解：点在抛物线 上， ， 二次函数的解析式为， …………….. （2分） 点的坐标为，则点的坐标为， 设直线的解析式为， 由 解得 ， 直线的解析式为， 即二次函数的解析式为，一次函数的解析式是． …………….. （5分） （2）解：由题得，二次函数对称轴为， 直线将分成面积比为的两部分，，，点的横坐标为， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为，即点， 当与直线相交，交点为线段的三等分点（靠近点）时，点的坐标为， …………….. （7分） 设直线为，将、代入， 则得， 故直线为， …………….. （10分） 当时，，即此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或． …………….. （12分） 23．（12分） 【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 【详解】解：问题探究：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点、点、点三点共线，   …………….. （2分） ∵是直径， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． …………….. （5分） 问题解决：如图，将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴点，点，点三点共线， …………….. （8分） ∵，， ∴是等边三角形， ∵， …………….. （10分） ∴． 当时，有最大值，． …………….. （12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第 21 章一元二次方程+第 22 章二次函数+第 23 章旋转+第 24 章圆。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选：A． 2．若一元二次方程(𝑘 − 1)𝑥 + 3𝑥 + 𝑘 − 1 = 0的一个根为 0，则 k的值为（ ） A．𝑘 = 0 B．𝑘 = 1 C．𝑘 = −1 D．𝑘 = 1或𝑘 = −1 【答案】C 【详解】解：把𝑥 = 0代入一元二次方程(𝑘 − 1)𝑥 + 3𝑥 + 𝑘 − 1 = 0， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 得𝑘 − 1 = 0， 解得𝑘 = −1或 1； 又𝑘 − 1 ≠ 0， 即𝑘 ≠ 1； 所以𝑘 = −1． 故选：C 3．若二次函数𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑎有最小值为7，则𝑎的值为（ ） A．−6 B．6 C．8 D．−8 【答案】C 【详解】解：由题意得： 𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑎 = (𝑥 + 1) + 𝑎 − 1， ∵ 1＞0，即开口向上， ∴ 当𝑥 = −1时，二次函数有最小值， ∵ 二次函数𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑎有最小值为7， ∴ 𝑎 − 1 = 7，解得：𝑎 = 8； 故选C． 4．若𝐴(−4, 𝑦 )，𝐵(−3, 𝑦 )，𝐶(1, 𝑦 )为二次函数𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 − 5的图象上的三点，则𝑦 ，𝑦 ，𝑦 的大小关 系是（ ） A．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 B．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 C．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 D．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 【答案】B 【详解】解：二次函数𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 − 5的对称轴为𝑥 = − × = −2，𝑎 = 1 > 0， ∴ 当𝑥 < −2时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥 > −2时，𝑦随𝑥的增大而增大； ∵ −4 < −3 < −2， ∴ 𝑦 < 𝑦 ， ∵ 𝑥 = −2，则1 − (−2) = 3，−2 − (−5) = 3， ∴ 𝑥 = 1时的函数值与𝑥 = −5的函数值相等，且−5 < −4， ∴ 𝑦 < 𝑦 ， ∴ 𝑦 < 𝑦 < 𝑦 ， 故选：B ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 5．如图⊙ 𝑂的直径𝐴𝐵垂直于弦𝐶𝐷，垂足是𝐸，∠𝐴 = 22.5°，𝑂𝐶 = 8，𝐶𝐷的长为（ ） A．2√2 B．4 C．4√2 D．8√2 【答案】D 【详解】解：∵ ∠𝐴 = 22.5°， ∴ ∠𝐵𝑂𝐶 = 2∠𝐴 = 45°， ∵ ⊙ 𝑂的直径𝐴𝐵垂直于弦𝐶𝐷， ∴ 𝐶𝐷 = 2𝐶𝐸，∠𝐶𝐸𝑂 = 90°， ∴ △ 𝐶𝐸𝑂是等腰直角三角形， ∴ 𝑂𝐸 = 𝐶𝐸， 又∵ 𝑂𝐶 = 8，∠𝐶𝐸𝑂 = 90°， ∴ 𝑂𝐸 = 𝐶𝐸 = √𝑂𝐶 − 𝑂𝐸 ， 即𝑂𝐸 = √8 − 𝑂𝐸 ， 解得𝑂𝐸 = 4√2， ∴ 𝑂𝐸 = 𝐶𝐸 = 4√2， ∵ 𝐶𝐷 = 2𝐶𝐸， ∴ 𝐶𝐷 = 8√2， 故选 D． 6．如图，⊙ 𝑂是正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的外接圆，若⊙ 𝑂的半径为 6，则四边形𝐴𝐶𝐷𝐹的周长是（ ） A．6 + 6√3 B．12 + 6√3 C．12 + 12√3 D．6 + 12√3 【答案】C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】解：如图，连接𝑂𝐴，𝑂𝐹，𝑂𝐷，过点𝑂作𝑂𝑀 ⊥ 𝐷𝐹于点𝑀，则𝐹𝑀 = 𝐷𝑀 = 𝐷𝐹， ∵点𝑂是正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的中心， ∴ ∠𝐴𝑂𝐹 = ° = 60°， ∵ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐹， ∴△ 𝐴𝑂𝐹是正三角形， ∴ 𝐴𝐹 = 𝑂𝐴 = 6， 在Rt △ 𝐹𝑂𝑀中，∠𝑂𝐹𝑀 = 90° − 60° = 30°，𝑂𝐹 = 6， ∴ 𝐹𝑀 = √ 𝑂𝐹 = 3√3， ∴ 𝐷𝐹 = 2𝐹𝑀 = 6√3， ∴四边形𝐴𝐶𝐷𝐹的周长是2𝐴𝐹 + 2𝐷𝐹 = 12 + 12√3， 故选：C 7．如图，平行于 x轴的直线𝐴𝐶分别交抛物线𝑦 = 𝑥 (𝑥 ≥ 0)与𝑦 = (𝑥 ≥ 0)于 B、C两点，过点 C作 y轴 的平行线交𝑦 于点 D，直线𝐷𝐸∥𝐴𝐶，交𝑦 于点 E，则 =（ ） A．3 − √3 B．3 + √3 C．√3 D．3 【答案】A 【详解】解：设 A点坐标为(0, 𝑎)，(𝑎 > 0)， 则𝑥 = 𝑎，解得𝑥 = √𝑎， ∴ 点 B(√𝑎, 𝑎)， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 点 C(√3𝑎, 𝑎)， ∵ 𝐶𝐷∥𝑦轴， ∴ 点 D的横坐标与点 C的横坐标相同，为√3𝑎， ∴ 点 D的坐标为(√3𝑎，3𝑎)， ∵ 𝐷𝐸∥𝐴𝐶， ∴ 点 E的纵坐标为 3a， ∴ 点 E的坐标为(3√𝑎，3𝑎)， ∴ 𝐷𝐸 = 3√𝑎 − √3𝑎， ∴ = √ √ √ = 3 − √3． 故选：A． 8．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别是四边的中点，若四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是矩形，且其周长是40， 则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积的最大值是（ ） A．80 B．160 C．200 D．225 【答案】C 【详解】解：连接𝐴𝐶，𝐵𝐷， ∵ 点𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别是四边的中点， ∴ 𝐻𝐸 = 𝐵𝐷，𝐸𝐹 = 𝐴𝐶，𝐻𝐸 ∥ 𝐵𝐷，𝐸𝐹 ∥ 𝐴𝐶， ∵ 四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是矩形， ∴ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷， ∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为：𝑆 = 𝐴𝐶 × 𝐵𝐷， ∵ 四边形𝐸𝐹𝐺𝐻的周长是40， ∴ 2(𝐻𝐸 + 𝐸𝐹) = 40 ∴ 𝐻𝐸 + 𝐸𝐹 = 20， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 设𝐻𝐸 = 𝑥， ∴ 𝐸𝐹 = 20 − 𝑥， ∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为：𝑆 = 𝐴𝐶 × 𝐵𝐷 = × 2𝐸𝐹 × 2𝐻𝐸 = × 2(20 − 𝑥) × 2𝑥， 整理得：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为：𝑆 = −2(𝑥 − 10) + 200， ∴ 当𝐻𝐸 = 10时，四边形的面积有最大值为200， 故选：C． 9．我们定义一种新函数：形如𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐|(𝑎 ≠ 0, 𝑏 − 4𝑎𝑐 > 0)的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小 组画出一个“鹊桥”函数𝑦 = |𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐|的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A．当𝑥 = 1时，函数的最大值是 4 B．函数值𝑦随𝑥的增大而增大，则𝑥 ≥ 3 C．关于𝑥的方程|𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐| = 3的所有实数根的和为 4 D．当直线𝑦 = 𝑥 + 𝑚与该图象恰有三个公共点时，则𝑚 = 1 【答案】C 【详解】解：由图象可知该函数没有最大值；故 A 选项错误； 由图象可知当𝑦 = 𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐时，其对称轴为直线𝑥 = = 1，则有当𝑥 < −1或1 < 𝑥 < 3时，y随 x的增 大而减小，当−1 ≤ 𝑥 ≤ 1或𝑥 ≥ 3时，y随 x的增大而增大，故 B 选项错误； 如图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 由图可知：𝑥 与𝑥 ，𝑥 与𝑥 分别关于对称轴对称，根据对称性可知：𝑥 + 𝑥 = 2，𝑥 + 𝑥 = 2，所以关于𝑥的 方程|𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐| = 3的所有实数根的和为 4，故 C 选项正确； 如图，明显当直线𝑦 = 𝑥 + 𝑚与该图象恰有三个公共点时，m的值有两个值；故 D 选项错误； 故选 C． 10．已知如图正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为 4，点𝐸为边𝐵𝐶上一动点，𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐸于𝐹，将𝐵𝐹绕着点𝐵顺时针旋转90°得 到𝐵𝐺，连接𝐹𝐺，当点𝐸从点𝐵运动到点𝐶时，点𝐺的运动路径长为（ ） A．4 B．2√2 C．π D．2π 【答案】C 【详解】解：如图，连接𝐴𝐶，设𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐴𝐶的中点分别为𝐼、𝐻、𝐽，连接𝐹𝐼、𝐻𝐺、𝐽𝐼， 则𝐽𝐼 ∥ 𝐵𝐶， ∴ ∠𝐽𝐼𝐵 = 180° − ∠𝐴𝐵𝐶 = 90°， ∵ 𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐸， ∴ 𝐹𝐼 = 𝐴𝐵 = 2， ∴点𝐹在以𝐼为圆心，2 为半径的圆弧上运动， ∵点𝐸从点𝐵运动到点𝐶， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴点𝐹从点𝐵运动到点𝐽， ∴ 𝐵𝐽⌢的长= × 2 ⋅ π ⋅ 2 = π， ∵ 𝐵𝐺 = 𝐵𝐹，∠𝐹𝐵𝐺 = 90°， ∴ ∠𝐺𝐵𝐻 + ∠𝐸𝐵𝐹 = 90°， ∵ ∠𝐹𝐵𝐼 + ∠𝐸𝐵𝐹 = 90° ∴ ∠𝐺𝐵𝐻 = ∠𝐹𝐵𝐼， ∵ 𝐵𝐻 = 𝐵𝐼 = 2， ∴△ 𝐺𝐵𝐻 ≌△ 𝐹𝐵𝐼， ∴ 𝐻𝐺 = 𝐼𝐹 = 2， ∴点𝐺在以𝐻为圆心，2 为半径的圆弧上运动， ∵ 𝐺和𝐹对应， ∴点𝐺的运动路径长与点𝐹的运动路径长相等， ∴点𝐺的运动路径长为π， 故选：C． 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．已知𝛼，𝛽是方程𝑥 + 2024𝑥 − 1 = 0的两个根，则𝛼 + 𝛽 + 𝛼𝛽 = ． 【答案】−2025 【详解】解：根据题意得：𝛼 + 𝛽 = −2024，𝛼𝛽 = −1， ∴ 𝛼 + 𝛽 + 𝛼𝛽 = −2024 + (−1) = −2025， 故答案为：−2025． 12．将抛物线𝑦 = −2𝑥 + 3向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【答案】𝑦 = −2(𝑥 + 1) + 2 【详解】解：抛物线𝑦 = −2𝑥 + 3先向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后，所得抛物线的表达式是： 𝑦 = −2(𝑥 + 1) + 3 − 1 即𝑦 = −2(𝑥 + 1) + 2． 故答案为：𝑦 = −2(𝑥 + 1) + 2． 13．如图，在Rt △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，∠𝐵𝐴𝐶 = 32° .将△ 𝐴𝐵𝐶绕点 A逆时针旋转，使点𝐶落在边𝐴𝐵上的 𝐸处，点𝐵落在𝐷处，连接𝐵𝐷，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【答案】16°/16 度 【详解】解：∵ 将△ 𝐴𝐵𝐶绕点 A逆时针旋转， ∴ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐸 = 32°， ∴ ∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐷， ∴ ∠𝐴𝐷𝐵 = × (180° − 32°) = 74°， ∵ ∠𝐴𝐸𝐷 = 90°， ∴ ∠𝐴𝐷𝐸 = 90° − ∠𝐷𝐴𝐸 = 58°， ∴ ∠𝐵𝐷𝐸 = ∠𝐴𝐷𝐵 − ∠𝐴𝐷𝐸 = 74° − 58° = 16°． 故答案为：16°． 14．如图，𝐴𝑃为⊙ 𝑂的切线，𝐵𝑃经过圆心 O，且∠𝑃 = 36°，则∠𝐴𝐶𝐵 = 度． 【答案】63 【详解】如图所示，连接𝐴𝑂． ∵ 𝐴𝑃为⊙ 𝑂的切线， ∴ 𝑂𝐴 ⊥ 𝐴𝑃． ∴ ∠𝑂𝐴𝑃 = 90°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ ∠𝐴𝑂𝑃 = 180° − ∠𝑂𝐴𝑃 − ∠𝑃 = 54°． ∴ ∠𝐵𝑂𝐴 = 180° − ∠𝐴𝑂𝑃 = 126°． ∴ ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐵𝑂𝐴 = 63°． 故答案为：63． 15．如图，已知𝐴𝐵是圆 O的直径，𝐴𝐵 = 4，𝐵𝐶是圆𝑂的切线，圆 O与𝐴𝐶交于点 F，点 E是𝐵𝐶的中点，四 边形𝐴𝐹𝐸𝑂是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】𝜋 − 2 【详解】解：连接𝑂𝐹，如图所示， ∵四边形𝐴𝐹𝐸𝑂是平行四边形， ∵ 𝐸𝐹∥𝑂𝐴，𝐸𝐹 = 𝑂𝐴， ∵ 𝐴𝐵是圆𝑂的直径， ∴ 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵，𝐴𝑂 = 𝐵𝑂， ∴ 𝐸𝐹∥𝐴𝐵，𝐸𝐹 = 𝐴𝐵， ∵点𝐸是𝐵𝐶的中点， ∴ 𝐹是𝐴𝐶的中点， ∴ 𝑂𝐹∥𝐵𝐶， ∵ 𝐵𝐶是圆𝑂的切线， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶 = 90°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴ ∠𝐴𝑂𝐹 = ∠𝐴𝐵𝐶 = 90°， ∵ 𝑂𝐹 = 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 = × 4 = 2， ∴ 𝑆阴影 = 𝑛𝜋𝑟 360 − 1 2 𝑂𝐹 ⋅ 𝑂𝐴 = 90°𝜋 × 2 360 − 1 2 × 2 × 2 = 𝜋 − 2． 故答案为：𝜋 − 2． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8 分） 用适当方法解方程． (1)2𝑥 − 4𝑥 − 1 = 0； (2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 2 − 2𝑥． 【详解】（1）解：2𝑥 − 4𝑥 − 1 = 0， 𝑥 − 2𝑥 − = 0， 𝑥 − 2𝑥 = ， 𝑥 − 2𝑥 + 1 = + 1 ， (𝑥 − 1) = ， 𝑥 − 1 = ± √ ， 𝑥 = √ + 1，𝑥 = − √ + 1； …………….. （4 分） （2）解：(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 2 − 2𝑥， (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 2𝑥 − 2 = 0， (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 2(𝑥 − 1) = 0， (𝑥 − 1)(𝑥 + 4) = 0， 𝑥 − 1 = 0或𝑥 + 4 = 0， 𝑥 = 1，𝑥 = −4． …………….. （8 分） 17．（8 分） 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△ 𝐴𝐵𝐶的三个顶点的坐标分别为𝐴(−2,5)，𝐵(−3,0)，𝐶(1,2)．将△ 𝐴𝐵𝐶绕原点𝑂顺 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 时针旋转90°得到△ 𝐴 𝐵 𝐶 ，点𝐴，𝐵，𝐶的对应点分别为𝐴 ，𝐵 ，𝐶 ． (1)画出旋转后的△ 𝐴 𝐵 𝐶 ； (2)直接写出点𝐶 的坐标； (3)求△ 𝐴𝐵𝐶的面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∴△ 𝐴 𝐵 𝐶 即为所求； …………….. （3 分） （2）解：由（1）可知，点𝐶 的坐标(2, −1)； …………….. （4 分） （3）解：如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ∴ 𝑆△ = 4 × 5 − × 1 × 5 − × 2 × 4 − × 3 × 3 = 9． …………….. （8 分） 18．（8 分） 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 y（单位：个）与销售单价 x（单位：元）有如下关系：𝑦 = −𝑥 + 60(30 ≤ 𝑥 ≤ 60)．设这种双肩包每天的销 售利润为 w元． (1)求 w与 x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售 利润，销售单价应定为多少元？ 【详解】（1）解：𝑤 = (𝑥 − 30) · 𝑦 = (−𝑥 + 60)(𝑥 − 30)， = −𝑥 + 90𝑥 − 1800 …………….. （2 分） 𝑤与𝑥之间的函数解析式𝑤 = −𝑥 + 90𝑥 − 1800（30 ≤ 𝑥 ≤ 60）； …………….. （4 分） （2）解：当𝑤 = 200时，−𝑥 + 90𝑥 − 1800 = 200， 解得𝑥 = 40，𝑥 = 50， …………….. （6 分） ∵ 50 > 48， ∴ 𝑥 = 50不符合题意，舍去， …………….. （7 分） 即该地摊销售这种双肩包每天要获得 200 元的销售利润，销售单价应定为 40 元． …………….. （8 分） 19．（9 分） 关于𝑥的一元二次方程𝑥 + (2𝑚 − 3)𝑥 + 𝑚 + 1 = 0． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求𝑚的取值范围； (2)若方程两实根 𝑥 , 𝑥 满足 + = 1，求𝑚的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 【详解】（1）∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ Δ = (2𝑚 − 3) − 4 × 1 × (𝑚 + 1) > 0， ∴ 𝑚 < ， 则当𝑚 < 时，方程有两个不相等的实数根； …………….. （3 分） （2）∵ 𝑥 + (2𝑚 − 3)𝑥 + 𝑚 + 1 = 0 ∴ 𝑥 + 𝑥 = −2𝑚 + 3，𝑥 𝑥 = 𝑚 + 1， …………….. （5 分） ∵ + = ( ) = 1， ∴ ( ) = 1， …………….. （6 分） ∴ 𝑚 + 4𝑚 − 5 = 0， ∴ 𝑚 = 1，𝑚 = −5， …………….. （7 分） ∵ 方程两实根 ， ∴ Δ = (2𝑚 − 3) − 4 × 1 × (𝑚 + 1) ≥ 0， ∴ 𝑚 ≤ ， …………….. （8 分） ∴ 𝑚 = −5． …………….. （9 分） 20．（9 分） 已知𝐴𝐵是⊙ 𝑂的直径，弦𝐶𝐷与𝐴𝐵相交，∠𝐵𝐴𝐶 = 40°． (1)如图①，若 D为𝐴𝐵⌢的中点，求∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐵𝐷的大小； (2)如图②，若 D为𝐴𝐵⌢上的点，且∠𝑂𝐶𝐷 = 25°，过点 D作𝐷𝑃 ∥ 𝐴𝐶与𝐴𝐵的延长线交于点 P，求证：𝐷𝑃是⊙ 𝑂的 切线． 【详解】（1）解：∵ 𝐴𝐵是⊙ 𝑂的直径， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°， …………….. （1 分） ∵ ∠𝐵𝐴𝐶 = 40°， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ ∠𝐴𝐵𝐶 = 180° − ∠𝐴𝐶𝐵 − ∠𝐵𝐴𝐶 = 50°； …………….. （2 分） ∵ D为𝐴𝐵⌢的中点， ∴ 𝐴𝐷⌢ = 𝐵𝐷⌢ ， ∴ ∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐵 = 45°， ∴ ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐷 = 45°； …………….. （4 分） （2）证明：如图所示，连接𝑂𝐷， ∵ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐶，𝑂𝐶 = 𝑂𝐷 ∴ ∠𝑂𝐶𝐴 = ∠𝑂𝐴𝐶 = 40°，∠𝑂𝐷𝐶 = ∠𝑂𝐶𝐷 = 25°， ∴ ∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝑂𝐶𝐴 + ∠𝑂𝐶𝐷 = 65°， …………….. （5 分） ∵ 𝐴𝐶 ∥ 𝐷𝑃， ∴ ∠𝑃𝐷𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐷 = 65°， ∴ ∠𝑂𝐷𝑃 = ∠𝑂𝐷𝐶 + ∠𝑃𝐷𝐶 = 90°， ∴ 𝑂𝐷 ⊥ 𝐷𝑃， …………….. （8 分） ∵ 𝑂𝐷是⊙ 𝑂的半径， ∴ 𝐷𝑃是⊙ 𝑂的切线． …………….. （9 分） 21．（9 分） 如图，抛物线𝑦 = 𝑎(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)与坐标轴交于点 A，𝐵(0, −2)． (1)求 a的值； (2)P为线段𝑂𝐴上的一点（不与点 O，A重合），将线段𝐵𝑃绕点 P逆时针旋转90°得到线段𝐶𝑃，点 C恰好落在 该抛物线上，求点 C的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 【详解】（1）解：将点𝐵(0, −2)代入𝑦 = 𝑎(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)， 解得：𝑎 = ； …………….. （2 分） （2）解：设点𝑃(𝑡, 0)，0 < 𝑡 < 4，过点 C作𝐶𝐷 ⊥ 𝑥轴于点 D，则∠𝑃𝐷𝐶 = 90° = ∠𝐵𝑂𝑃， ∴ ∠𝐶𝑃𝐷 + ∠𝑃𝐶𝐷 = 90°， 又根据旋转的性质可知：𝐵𝑃 = 𝐶𝑃，∠𝐵𝑃𝐶 = 90°， …………….. （4 分） ∴ ∠𝐵𝑃𝑂 + ∠𝐶𝑃𝐷 = 90°， ∴ ∠𝐵𝑃𝑂 = ∠𝑃𝐶𝐷， ∵ ∠𝑃𝐷𝐶 = ∠𝐵𝑂𝑃 ∠𝐵𝑃𝑂 = ∠𝑃𝐶𝐷 𝐵𝑃 = 𝐶𝑃 ， ∴ △ 𝐵𝑂𝑃≌ △ 𝑃𝐷𝐶(AAS)， ∴ 𝐶𝐷 = 𝑂𝑃 = 𝑡，𝑃𝐷 = 𝑂𝐵 = 2， ∴ 𝑂𝐷 = 𝑂𝑃 + 𝑃𝐷 = 𝑡 + 2， ∴ 点𝐶(𝑡 + 2, −𝑡)， …………….. （7 分） 又∵ 点 C恰好落在该抛物线上， ∴ −𝑡 = (𝑡 + 2 + 3)(𝑡 + 2 − 4)， 解得：𝑡 = 1，𝑡 = −10（舍去）， ∴ 点 C的坐标为(3, −1)． …………….. （9 分） 22．（12 分） 已知：抛物线𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 + 4 + 𝑚的图象与𝑦轴交于点𝐶，点𝐵与点𝐶的纵坐标相同，一次函数𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏的 图象与二次函数交于𝐴，𝐵两点，且𝐴点坐标为(−1,0)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点𝑃，直线𝑃𝐶将△ 𝐴𝐵𝐶分成面积比为1: 2的两部分，求𝑃点坐标． 【详解】（1）解：∵点𝐴(−1,0)在抛物线 𝑦 = 𝑥² + 4𝑥 + 4 + 𝑚上， ∴ 𝑚 = −1， ∴二次函数的解析式为𝑦 = 𝑥² + 4𝑥 + 3， …………….. （2 分） ∴ 𝐶点的坐标为(0,3)，则𝐵点的坐标为(−4,3)， 设直线𝐵𝐴的解析式为𝑦 = 𝑘𝑥＋𝑏， 由 −𝑘 + 𝑏 = 0 −4𝑘 + 𝑏 = 3 解得 𝑘 = −1 𝑏 = −1 ， ∴直线𝐵𝐴的解析式为𝑦= − 𝑥 − 1， 即二次函数的解析式为𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 + 3，一次函数的解析式是𝑦 = −𝑥 − 1． …………….. （5 分） （2）解：由题得，二次函数对称轴为𝑥 = −2， ∵直线𝑃𝐶将△ 𝐴𝐵𝐶分成面积比为1: 2的两部分，𝐴(−1,0)，𝐵(−4,3)，点𝑃的横坐标为−2， ∴当𝐶𝑃与直线𝐴𝐵相交，交点为线段𝐴𝐵的三等分点𝐹（靠近点𝐴）时，点𝐹的坐标为(−2,1)，即点𝑃， 当𝐶𝑃与直线𝐴𝐵相交，交点为线段𝐴𝐵的三等分点𝐹 （靠近点𝐵）时，点𝐹 的坐标为(−3,2)， …………….. （7 分） 设直线𝐶𝐹 为𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑛，将𝐶(0,3)、𝐹 (−3,2)代入， 则 𝑛 = 3 −3𝑝 + 𝑛 = 2 得 𝑝 = 𝑛 = 3 ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 故直线𝐶𝐹 为𝑦 = 𝑥 + 3， …………….. （10 分） 当𝑥 = −2时，𝑦 = × (−2) + 3 = ，即此时点𝑃的坐标为 −2, ， 综上，点𝑃的坐标为(−2,1)或 −2, ． …………….. （12 分） 23．（12 分） 【问题探究】 如图1，⊙ 𝑂为△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝐴𝐵是直径，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶，点𝐷是直径𝐴𝐵左侧的圆上一点，连接𝐷𝐴，𝐷𝐵，𝐷𝐶，将 △ 𝐴𝐶𝐷绕点𝐶逆时针旋转得到△ 𝐵𝐶𝐸，若𝐶𝐷 = 4，求四边形𝐴𝐷𝐵𝐶的面积； 【问题解决】 如图2，⊙ 𝑂为等边△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆，半径为2，点𝐷在弧𝐴𝐵⌢上运动（不与点𝐴，𝐵重合）．连接𝐷𝐴，𝐷𝐵，𝐷𝐶．设线段 𝐷𝐶的长为𝑥，四边形𝐴𝐷𝐵𝐶的面积为𝑆．求𝑆与𝑥的函数关系式，𝑆是否有最大值，若有，求出其最大值；若没 有，说明理由． 【详解】解：问题探究：∵ 将△ 𝐴𝐶𝐷绕点𝐶逆时针旋转得到△ 𝐵𝐶𝐸， ∴ △ 𝐴𝐶𝐷 ≌△ 𝐵𝐶𝐸， ∴ ∠𝐷𝐴𝐶 = ∠𝐸𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐸 = ∠𝐴𝐶𝐷，𝐶𝐸 = 𝐶𝐷 = 4， ∵ 四边形𝐴𝐶𝐵𝐷是圆内接四边形， ∴ ∠𝐷𝐴𝐶 + ∠𝐷𝐵𝐶 = 180°， ∴ ∠𝐷𝐵𝐶 + ∠𝐸𝐵𝐶 = 180°， ∴ 点𝐷、点𝐵、点𝐸三点共线， …………….. （2 分） ∵ 𝐴𝐵是直径， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵 = 90°， ∴ ∠𝐷𝐶𝐸 = ∠𝐷𝐶𝐵 + ∠𝐵𝐶𝐸 = ∠𝐷𝐶𝐵 + ∠𝐴𝐶𝐷 = 90°， ∴ △ 𝐷𝐶𝐸为等腰直角三角形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∴ 𝑆四边形 = 𝑆△ + 𝑆△ = 𝑆△ + 𝑆△ = 𝑆△ = 𝐶𝐷 = × 4 = 8． …………….. （5 分） 问题解决：如图1，将△ 𝐴𝐷𝐶绕点𝐶逆时针旋转60°，得到△ 𝐵𝐻𝐶， ∴ 𝐶𝐷 = 𝐶𝐻，∠𝐷𝐴𝐶 = ∠𝐻𝐵𝐶， ∵ 四边形𝐴𝐶𝐵𝐷是圆内接四边形， ∴ ∠𝐷𝐴𝐶 + ∠𝐷𝐵𝐶 = 180°， ∴ ∠𝐷𝐵𝐶 + ∠𝐻𝐵𝐶 = 180°， ∴ 点𝐷，点𝐵，点𝐻三点共线， …………….. （8 分） ∵ 𝐷𝐶 = 𝐶𝐻，∠𝐶𝐷𝐻 = 60°， ∴ △ 𝐷𝐶𝐻是等边三角形， ∵ 𝑆四边形 = 𝑆△ + 𝑆△ = 𝑆△ = √ 𝐶𝐷 ， …………….. （10 分） ∴ 𝑆 = √ 𝑥 (2√3＜𝑥 ≤ 4)． 当𝑥 = 4时，𝑆有最大值，𝑆最大值 = 4√3． …………….. （12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期期中模拟卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8 分） 18．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9 分） 20．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转+第24章圆。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（    ） A． B． C． D．或 3．若二次函数有最小值为，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B、C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线，交于点E，则（   ） A． B． C． D．3 8．如图，在四边形中，点，，，分别是四边的中点，若四边形是矩形，且其周长是，则四边形的面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 9．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论正确的是（    ） A．当时，函数的最大值是4 B．函数值随的增大而增大，则 C．关于的方程的所有实数根的和为4 D．当直线与该图象恰有三个公共点时，则 10．已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．已知是方程的两个根，则 ． 12．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 13．如图，在中，， 将绕点A逆时针旋转，使点落在边上的处，点落在处，连接，则的度数为 ．    14．如图，为的切线，经过圆心O，且，则 度． 15．如图，已知是圆O的直径，，是圆的切线，圆O与交于点F，点E是的中点，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）用适当方法解方程． (1)； (2)． 17．（8分）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 18．（8分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 19．（9分）关于的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)若方程两实根 满足，求的值． 20．（9分）已知是的直径，弦与相交，． (1)如图①，若D为的中点，求和的大小； (2)如图②，若D为上的点，且，过点D作与的延长线交于点P，求证：是的切线． 21．（9分）如图，抛物线与坐标轴交于点A，． (1)求a的值； (2)P为线段上的一点（不与点O，A重合），将线段绕点P逆时针旋转得到线段，点C恰好落在该抛物线上，求点C的坐标． 22．（12分）已知：抛物线的图象与轴交于点，点与点的纵坐标相同，一次函数的图象与二次函数交于，两点，且点坐标为． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点，直线将分成面积比为的两部分，求点坐标． 23．（12分）【问题探究】 如图，为的外接圆，是直径，，点是直径左侧的圆上一点，连接，，，将绕点逆时针旋转得到，若，求四边形的面积； 【问题解决】 如图，为等边的外接圆，半径为，点在弧上运动（不与点，重合）．连接，，．设线段的长为，四边形的面积为．求与的函数关系式，是否有最大值，若有，求出其最大值；若没有，说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转+第24章圆。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．若一元二次方程(𝑘 − 1)𝑥 + 3𝑥 + 𝑘 − 1 = 0的一个根为 0，则 k的值为（ ） A．𝑘 = 0 B．𝑘 = 1 C．𝑘 = −1 D．𝑘 = 1或𝑘 = −1 3．若二次函数𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 + 𝑎有最小值为7，则𝑎的值为（ ） A．−6 B．6 C．8 D．−8 4．若𝐴(−4, 𝑦 )，𝐵(−3, 𝑦 )，𝐶(1, 𝑦 )为二次函数𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 − 5的图象上的三点，则𝑦 ，𝑦 ，𝑦 的大小关 系是（ ） A．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 B．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 C．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 D．𝑦 < 𝑦 < 𝑦 5．如图⊙𝑂的直径𝐴𝐵垂直于弦𝐶𝐷，垂足是𝐸，∠𝐴 = 22.5°，𝑂𝐶 = 8，𝐶𝐷的长为（ ） A．2√2 B．4 C．4√2 D．8√2 6．如图，⊙𝑂是正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的外接圆，若⊙𝑂的半径为 6，则四边形𝐴𝐶𝐷𝐹的周长是（ ） A．6 + 6√3 B．12 + 6√3 C．12 + 12√3 D．6 + 12√3 7．如图，平行于 x轴的直线𝐴𝐶分别交抛物线𝑦 = 𝑥 (𝑥 ≥ 0)与𝑦 = (𝑥 ≥ 0)于 B、C两点，过点 C作 y 轴的平行线交𝑦 于点 D，直线𝐷𝐸∥𝐴𝐶，交𝑦 于点 E，则 =（ ） A．3 − √3 B．3 + √3 C．√3 D．3 8．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸，𝐹，𝐺，𝐻分别是四边的中点，若四边形𝐸𝐹𝐺𝐻是矩形，且其周长是40， 则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积的最大值是（ ） A．80 B．160 C．200 D．225 9．我们定义一种新函数：形如𝑦 = |𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐|(𝑎 ≠ 0, 𝑏 − 4𝑎𝑐 > 0)的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣 小组画出一个“鹊桥”函数𝑦 = |𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐|的图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A．当𝑥 = 1时，函数的最大值是 4 B．函数值𝑦随𝑥的增大而增大，则𝑥 ≥ 3 C．关于𝑥的方程|𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐| = 3的所有实数根的和为 4 D．当直线𝑦 = 𝑥 +𝑚与该图象恰有三个公共点时，则𝑚 = 1 10．已知如图正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为 4，点𝐸为边𝐵𝐶上一动点，𝐵𝐹 ⊥ 𝐴𝐸于𝐹，将𝐵𝐹绕着点𝐵顺时针旋转90°得 到𝐵𝐺，连接𝐹𝐺，当点𝐸从点𝐵运动到点𝐶时，点𝐺的运动路径长为（ ） A．4 B．2√2 C．π D．2π 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11．已知𝛼，𝛽是方程𝑥 + 2024𝑥 − 1 = 0的两个根，则𝛼 + 𝛽 + 𝛼𝛽 = ． 12．将抛物线𝑦 = −2𝑥 + 3向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后所得抛物线的表达式为 ． 13．如图，在Rt △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90°，∠𝐵𝐴𝐶 = 32° .将△ 𝐴𝐵𝐶绕点 A逆时针旋转，使点𝐶落在边𝐴𝐵上 的𝐸处，点𝐵落在𝐷处，连接𝐵𝐷，则∠𝐵𝐷𝐸的度数为 ． 14．如图，𝐴𝑃为⊙𝑂的切线，𝐵𝑃经过圆心 O，且∠𝑃 = 36°，则∠𝐴𝐶𝐵 = 度． 15．如图，已知𝐴𝐵是圆 O的直径，𝐴𝐵 = 4，𝐵𝐶是圆𝑂的切线，圆 O与𝐴𝐶交于点 F，点 E是𝐵𝐶的中点，四 边形𝐴𝐹𝐸𝑂是平行四边形，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8 分）用适当方法解方程． (1)2𝑥 − 4𝑥 − 1 = 0； (2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 2 − 2𝑥． 17．（8分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的坐标分别为𝐴(−2,5)，𝐵(−3,0)，𝐶(1,2)．将△𝐴𝐵𝐶绕 原点𝑂顺时针旋转90°得到△𝐴 𝐵 𝐶 ，点𝐴，𝐵，𝐶的对应点分别为𝐴 ，𝐵 ，𝐶 ． (1)画出旋转后的△ 𝐴 𝐵 𝐶 ； (2)直接写出点𝐶 的坐标； (3)求△𝐴𝐵𝐶的面积． 18．（8分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个 30 元．市场调查发现，这种双肩包 每天的销售量 y（单位：个）与销售单价 x（单位：元）有如下关系：𝑦 = −𝑥 + 60(30 ≤ 𝑥 ≤ 60)．设这种 双肩包每天的销售利润为 w元． (1)求 w与 x之间的函数解析式； (2)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 48 元，该商店销售这种双肩包每天要获得 200 元的销 售利润，销售单价应定为多少元？ 19．（9分）关于𝑥的一元二次方程𝑥 + (2𝑚 − 3)𝑥 + 𝑚 + 1 = 0． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求𝑚的取值范围； (2)若方程两实根 𝑥 , 𝑥 满足 + = 1，求𝑚的值． 20．（9分）已知𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，弦𝐶𝐷与𝐴𝐵相交，∠𝐵𝐴𝐶 = 40°． (1)如图①，若 D为𝐴𝐵⌢的中点，求∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐵𝐷的大小； (2)如图②，若D为𝐴𝐵⌢上的点，且∠𝑂𝐶𝐷 = 25°，过点D作𝐷𝑃 ∥ 𝐴𝐶与𝐴𝐵的延长线交于点 P，求证：𝐷𝑃是⊙𝑂的 切线． 21．（9分）如图，抛物线𝑦 = 𝑎(𝑥 + 3)(𝑥 − 4)与坐标轴交于点 A，𝐵(0,−2)． (1)求 a的值； (2)P为线段𝑂𝐴上的一点（不与点 O，A重合），将线段𝐵𝑃绕点 P逆时针旋转90°得到线段𝐶𝑃，点 C恰好落 在该抛物线上，求点 C的坐标． 22．（12 分）已知：抛物线𝑦 = 𝑥 + 4𝑥 + 4 +𝑚的图象与𝑦轴交于点𝐶，点𝐵与点𝐶的纵坐标相同，一次函数 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏的图象与二次函数交于𝐴，𝐵两点，且𝐴点坐标为(−1,0)． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)若抛物线对称轴上存在一点𝑃，直线𝑃𝐶将△ 𝐴𝐵𝐶分成面积比为1: 2的两部分，求𝑃点 坐标． 23．（12 分）【问题探究】 如图1，⊙𝑂为△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝐴𝐵是直径，𝐴𝐶 = 𝐵𝐶，点𝐷是直径𝐴𝐵左侧的圆上一点，连接𝐷𝐴，𝐷𝐵，𝐷𝐶，将 △ 𝐴𝐶𝐷绕点𝐶逆时针旋转得到△𝐵𝐶𝐸，若𝐶𝐷 = 4，求四边形𝐴𝐷𝐵𝐶的面积； 【问题解决】 如图2，⊙𝑂为等边△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆，半径为2，点𝐷在弧𝐴𝐵⌢上运动（不与点𝐴，𝐵重合）．连接𝐷𝐴，𝐷𝐵，𝐷𝐶．设线 段𝐷𝐶的长为𝑥，四边形𝐴𝐷𝐵𝐶的面积为𝑆．求𝑆与𝑥的函数关系式，𝑆是否有最大值，若有，求出其最大值； 若没有，说明理由．