第22章 二次函数 章末检测试卷-2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年九年级上学期数学（人教版） 第22章 二次函数 章末检测试卷 参考答案及解析 一、选择题（本题包括8小题，每小题3分，共24分。每小题只有1个选项符合题意） 1.B 2.A 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 3.D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 4. B 5.D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 6.C　 7.B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、一次函数、二次函数图象综合判断、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确． 【详解】解：由图可知， ∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，， 则， ∵抛物线与轴的交点在，之间， ∴， 则，故①错误； 设抛物线与轴另一个交点， ∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点， ∴，解得， 则，故②错误； ∵，，， ∴，解得，故③正确； 根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图， 方程两根为满足，故④正确； 故选：B． 8.D 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 二、填空题（本题包括5小题，每空3分，共15分） 9.（1，4） 10. 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 11. 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 12.（1+，3）或（2，﹣3） 13. 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为：. 三、解答题（本大题8个小题，共61分） 14．（5分）解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3． ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）． （2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0． （3）∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4．设P（x，y），则S△PAB=AB•|y|=2|y|=10， ∴|y|=5，∴y=±5． ①当y=5时，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4， 此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）； ②当y=﹣5时，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程无解； 综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）． 15．（6分）【答案】(1)； (2)的长为． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为，把代入求解即可；（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为，由，把代入求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为，点A的坐标为， 设缆索所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索所在抛物线的函数表达式为， ∵， ∴把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴的长为． 16．（7分）解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点， ∴对称轴是x==﹣1． 又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（﹣2，3）； （2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数）， 根据题意得，解得， 所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； （3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1． 17.（7分）【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 18．（7分）解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3）， 设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3， 把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=﹣， 则抛物线是y=﹣（x﹣4）2+3， 当x=0时，y=﹣×16+3=3﹣=＜2.44米， 故能射中球门； （2）当x=2时，y=﹣（2﹣4）2+3=＞2.52， ∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门， 当y=2.52时，y=﹣（x﹣4）2+3=2.52， 解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），∴2﹣1.6=0.4（m）， 答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．　 19．（7分）【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元. 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 20．（10分）【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解；（3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 21．（12分）【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学（人教版） 第22章 二次函数 章末检测试卷 （总分：100分 时间：90分钟） 一、选择题（本题包括8小题，每小题3分，共24分。每小题只有1个选项符合题意） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（2024内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（　　） A． B． C． D． 3．（2024陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 4.抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大 5．（2024四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2024四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①； ②； ③； ④若方程两根为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题包括5小题，每空3分，共15分） 9．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　　． 10．（2024吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ． 11．（2024四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是　　． y3＞y1＞y2 13．（2024广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 三、解答题（本大题8个小题，共61分） 14．（5分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标． 15．（6分）（2024陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．      已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离，，缆索的最低点P到的距离（桥塔的粗细忽略不计） (1)求缆索所在抛物线的函数表达式； (2)点E在缆索上，，且，，求的长． 16．（7分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． （1）请直接写出D点的坐标． （2）求二次函数的解析式． （3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围． 17．（7分）（2024湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 18．（7分）如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况） （2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？ 19．（7分）（2024广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 20．（10分）（2024四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（12分）（2024四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$