专题12 双曲线中定点定值定线四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题11 双曲线中定点定值定线四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、双曲线中定点………………………………………………………………2 类型二、双曲线中定值 6 类型三、双曲线中定直线 9 类型四、双曲线中探索性、存在性问题 12 压轴能力测评（10题） 16 1.双曲线中定点 (1)证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 (2)证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。 注：当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 ①设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 ②设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 2.双曲线中定值 （1）双曲线中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 3.双曲线中定直线 求定直线是一个较难处理的题型。一般有两种思维： (1)利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。 4.双曲线中探索性、存在性问题 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。 类型一、双曲线中定点 例．已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点. （1）求双曲线的方程； （2）若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】（1）设双曲线的两渐近线方程分别为，， 点到双曲线两渐近线的距离乘积为， 由题意可得：，解得，， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为， 由，互相垂直得的方程， 联立方程得，消得， 成立，所以，， 所以点坐标为， 联立方程得，所以，， 所以点坐标为， 根据对称性判断知定点在轴上， 直线的方程为， 则当时，， 所以直线恒过定点，定点坐标为. 【变式训练1】已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，. （1）求双曲线C的方程； （2）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，直线PQ恒过定点（-2，0） 【解析】（1）因为，所以，， 设双曲线C的焦距为2c，由双曲线的对称性知 设双曲线C的右焦点为F'，则，得， 则，故双曲线C的方程为. （2）由已知得，设直线MP与MQ的斜率分别为，， ①当直线PQ不垂直于x轴时： 设直线PQ的斜率为k，PQ的方程为，，， 由得， 当时，，， 那么 ， 得，符合题意. 所以直线PQ的方程为，恒过定点（-2，0）. ②当直线PQ垂直于x轴时： 设，因为P是C上的点，所以， 则，解得， 故直线PQ过点（-2，0）. 综上，直线PQ恒过定点（-2，0）. 【变式训练2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． (1)求C的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设，，，直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出的关系，即可得出结论. 【详解】（1）设C的焦距为2c，则，即，，， 由双曲线的定义，得， 即，所以， 故C的方程为； （2）设，，，直线l的方程为， 联立，整理得， 由题意，得，则， 则，， ， 设MN的中点为，则，， 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 令，得，即，所以， 由题意，得，即，从而， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或， 所以直线l的方程为，或，或，或， 故直线l过四个定点中的一个． 类型二、双曲线中定值 例．已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且． （1）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线； （2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，证明为定值 【答案】（1），点的轨迹是焦点在轴上，实轴长、虚轴长均为的等轴双曲线；（2）【解析】（1）设点，圆的半径为为到直线的距离，则． 根据题意，动点的轨迹就是点的集合 即，整理得. 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长、虚轴长均为的等轴双曲线． （2）设直线， 倾斜角大于 设 联立得， 故，，， 由题知，双曲线的焦点， 【变式训练1】已知双曲线过点，且离心率 （1）求该双曲线的标准方程： （2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析， 【解析】（1）由题意，解得，， 故双曲线方程为 （2）设点，， 设直线的方程为， 代入双曲线方程，得， ，，， 同理， . 【变式训练2】已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程； （2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T. （1）设双曲线C的方程为，由题意知， ∴双曲线C的方程为 （2）设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1） ，则，， ∴直线PA方程为，令，则，同理N（0，）， 由，可得∴ ∴ ∴∴ ∴ ∴， 当时，， 此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能 ∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3） ∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2） ∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值． 【变式训练3】已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为60°，且点P（2，3）为E上一点． （1）求E的标准方程； （2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：△AOB面积为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意，双曲线在一三象限的渐近线的倾斜角为或，即． 当时，E的标准方程为，代入，无解． 当时，E的标准方程为，代入，解得． 故E的标准方程为． （2）直线斜率显然存在，设直线方程为， 与联立得：． 由题意，且， 化简得． 设， 将与联立，解得； 与联立，解得． ． 由，∴，故面积为定值． 类型三、双曲线中定直线 例．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由（1）可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【变式训练1】已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为. （1）求C的方程； （2）设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，所以. 又焦点到直线的距离，所以， 又，所以，， 所以双曲线C的标准方程为. （2）证明：联立方程组消去y， 并整理得. 设，，则，. 设，（），则得直线AM的方程为， 直线BN的方程为， 两个方程相减得，① 因为， 把上式代入①得：， 所以， 因此直线AM与BN的交点在直线上. 【变式训练2】已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 【答案】(1)1(2)是在定直线上，定直线 【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解； （2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证. 【详解】（1）由题意得，所以，设，，， 则，作差得，又MN的斜率，， 所以. （2）∵，∴，，，直线l：，，设，， 联立得，所以，所以， 设直线AN：，BM：， 所以， 所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上． 类型四、双曲线中探索性、存在性问题 例．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点. (1)求的值； (2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+++=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)存在，或 【分析】（1）设 ，利用斜率公式求解； （2）设，直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，，结合求解. 【详解】（1）解：双曲线E：的左、右焦点分别为，，设， ，同理可得.∴； （2）设，直线方程为， 代入双曲线方程可得：，所以，则， 则，，，. 同理，即， 即，∴或， 又， 若.无解，舍去. ∴，解得，，或，，若，，由A在直线上可得，， ∴.此时，若，，由A在直线上可得，， ∴此时∴存在点，或，满足. 【变式训练1】已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程． （2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等? 若存在，求出点的坐标; 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在． 【解析】（1）由题意得，，故， 又因为双曲线的渐近线为， 故是双曲线C的一条渐近线， 所以右焦点到渐近线的距离为，解得， 所以，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）假设存在，设，， 由题意知，直线斜率不为0，设直线， 联立，消去，得， 则，， 且，， 因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线， 则，即，则， 整理得，故， 即，因为，所以，故存在． 【变式训练2】已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点． (1)求点的轨迹方程； (2)设过点的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析. 【分析】 （1）利用双曲线定义即可得到其方程； （2）先得到特殊情况时，再证明其对一般情况也适用. 【详解】（1）连接，则， 点的轨迹是以点，为焦点的双曲线， 点的轨迹方程为:. （2）因为点的轨迹方程为:，则. 当直线的方程为时，则，解得（负舍，） 则， 而，易知此时为等腰直角三角形， 其中， 即，即:， 下证：对直线斜率存在的情形也成立， 设，其中，且，因为，则，且， 即， ， ， ， 结合正切函数在上的图象可知，.    1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且，若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．则点与点的横坐标之积为（     ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】D 【解析】易知点、、，，， 所以，，解得，，则， 所以，双曲线的方程为. 分以下两种情况讨论： ①当直线轴时，直线的方程为， 此时点、的横坐标之积为； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即， 设点、， 联立可得， 则，可得，则， 不妨点、分别为直线与直线、的交点， 联立可得，联立可得， 此时，. 故选：D. 2．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，设，为上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，则直线过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在双曲线上，结合离心率列方程，解方程即可； 分别计算点，的坐标，可得，即，又点在圆上，且圆与轴的另一个交点为，则，所以可得恒过定点. 【详解】由双曲线离心率为，得，所以双曲线方程为， 又点在双曲线上，即，解得，，所以双曲线的方程为； 由已知得，，设直线，点，由得，，则，即，，所以 由，得，所以设直线，联立直线与圆， 得，，则，即，， 所以，所以，即，所以，又点在圆上， 设圆与轴的另一个交点为，则，且，即直线与重合， 所以直线恒过点. 故选：C 3．（多选）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，则下列结论正确的是（    ） A．离心率为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A项，联立直线方程与直线方程、直线方程可求得点、点坐标，由，可知为中点，结合中点坐标公式可得的值，进而可求得离心率，对于B项，计算的值即可，对于C项，联立直线方程与双曲线方程可求得点坐标，由点、点、点纵坐标可知、为线段的三等分点，结合三角形面积公式判断即可，对于D项，由求解即可. 【详解】如图所示， 由题意知，，直线方程为，直线方程为， 设直线方程为， ，即， ，即， 对于A项，因为，所以为中点， 所以，整理得， 所以离心率，故A项错误； 对于B项，由A项知，直线方程为，即， 又因为，所以， 所以，故B项正确； 对于C项，过作垂足为，过作垂足为，过作垂足为，如图所示， 由A项知，，所以双曲线方程为，，， ，则， 所以，，， 所以， 所以、为线段的三等分点，即， 设到直线距离为，则，， 所以，故C项正确； 对于D项，如图所示， 由A项知，，所以，故D项错误. 故选：BC. 4．已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且． 则的标准方程为____________,若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，则的斜率之积为____________. 【答案】;2 【分析】（1）利用渐近线方程可得，再由焦距为以及即可求得，，可得的标准方程； （2）（i）设切线方程为，利用直线和圆相切可得，再由韦达定理整理可得的斜率之积为定值，且定值为2； （ii）联立直线与双曲线方程，可得，同理可求出，化简得，所以，因此关于点对称. 【详解】（1）因为的渐近线方程为，所以， 则，所以， 因为，所以，得. 因为，所以，可得， 所以， 故的标准方程为. （2）证明：（i）设，如下图所示： 设过点的切线的斜率为，则切线方程为， 即，所以， 即， 因此的斜率是上式中方程的两根，即. 又因为，所以 所以的斜率之积为定值，且定值为. 故答案为：2 5．已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.若点的坐标为，则值为__________. 【答案】6 【解析】由题意知直线的斜率存在，不妨设直线， 由可得：， 所以，，，， . 所以为定值. 故答案为： 6．过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出点及直线、方程，结合双曲线的渐近线方程可得、两点坐标，即可得、，由渐近线的斜率亦可得，结合三角形面积公式计算即可得. 【详解】由可得其渐近线方程为， 不妨设、， ，交于点、交于点， 则、， 有，解得，即， 有，解得，即， 故， ， 由，设直线的倾斜角为，则有， 故， 故， 由在双曲线上，故，即. 故答案为：. 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点． （1）设直线与直线的斜率分别为，，求的值． （2）若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析，直线过定点 【解析】（1）设，，， 由题意得，两式相减得， 整理得， 即直线的斜率， 又为的中点，即，所以， 所以； （2）由可知是以为直角顶点的直角三角形，即， 且直线不与双曲线的渐近线平行，即， ①当直线斜率存在时，设的方程为，， 联立直线与双曲线得， ，即，且， 则，， 所以，， ， 又，所以，即， 解得或， 当时，直线方程为，恒过点，不成立； 当时，直线方程为，恒过点， ②当直线斜率不存在时，设直线方程为，点， ，即，，， ，解得或， 当时，过点，不成立； 当时，过， 综上所述，直线恒过定点. 8．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点. （1）求双曲线C的标准方程. （2）若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值， 【解析】（1）由题意得，，渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 又因为， 所以，，， 故双曲线的标准方程为. （2）设直线：，，，， 联立方程组得， 所以，. 因为直线的方程为， 所以的坐标为，同理可得的坐标为. 因为，， 所以 ， 即为定值. 9．如图，已知双曲线的右焦点为，O为坐标原点，过点F作直线与双曲线的渐近线交于P，Q两.点，且点P在线段FQ上，，. (1)求C的方程； (2)设是C的左､右顶点，过点的直线l与C交于M，N两点，试探究直线与的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由. 【答案】(1)(2)是，在定直线上 【分析】（1）计算得到，，得到，解得，，得到答案. （2）直线的方程为，，联立方程得到根与系数的关系，确定直线方程，计算交点坐标，得到，得到答案. 【详解】（1）双曲线右焦点为，故，渐近线方程为，则， ，故，即， ，故， 解得，，故，故， 故，，，解得，.故双曲线方程为. （2），，设直线的方程为，， 联立，得. 故，故， 直线，直线， 联立两直线方程，解得 ， 故直线与直线的交点在定直线上. 10.已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，满足，且到的渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）已知P，Q是轴上异于原点的两点，满足，直线分别交于点，直线的交点为． ①直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由； ②记和的面积分别为．若，求直线MN方程. 【答案】（1） （2）①直线过定点；②或． 【解析】 【分析】（1）利用给定条件建立方程，求解参数，得到双曲线方程即可. （2）①法一依据条件表示出直线方程，进而得到定点，法二利用斜率关系得到定点，法三先求解出直线上的两个点，表示斜率，进而写出方程，得到定点. ②利用面积关系建立方程，求解参数，得到直线MN方程即可. 【小问1详解】 由条件得，即； 渐近线方程为，则， 又，所以． 所以的方程为． 【小问2详解】 ①设． 联立得， 所以，且， 法1：由条件易得，即， 又，所以， 因此，即， 整理得， 所以， 整理得，解得或2． 当时，直线MN过点，与题意不符，所以， 因此直线过定点． 法2：设，则， 所以， 由求得； 由求得 所以， 则MN方程：， 整理得：即，所以直线MN经过点． ②由①得． 联立与，解得 于是 解得或1， 所以直线的方程为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 双曲线中定点定值定线四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、双曲线中定点………………………………………………………………2 类型二、双曲线中定值 6 类型三、双曲线中定直线 9 类型四、双曲线中探索性、存在性问题 12 压轴能力测评（10题） 16 1.双曲线中定点 (1)证明直线过定点，一般情况下，通过题中条件，寻找直线y=kx+b中b=f（k）的函数关系，或者设参，求解出含参直线方程，再求解出含参直线所过的定点。 (2)证明定点，可以通过特殊化法先确定定点坐标，再证明定点适合题意。 注：当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 ①设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 ②设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。 2.双曲线中定值 （1）双曲线中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 求定值问题常见的解题方法有两种： 法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； 法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。 （2）直接法解题步骤 第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标； 第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来； 第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。 3.双曲线中定直线 求定直线是一个较难处理的题型。一般有两种思维： (1)利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。 4.双曲线中探索性、存在性问题 （1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.一般步骤如下： ①假设满足条件的曲线（直线或点等）存在，用待定系数法设出； ②列出关于待定系数的方程（组）； ③若方程（组）有实数解，则曲线（直线或点等）存在，否则不存在. （2）反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。 （3）求解含参数的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。 类型一、双曲线中定点 例．已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点. （1）求双曲线的方程； （2）若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【变式训练1】已知直线与双曲线C：交于A，B两点，F是C的左焦点，且，. （1）求双曲线C的方程； （2）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为，证明直线PQ恒过定点，并求出该定点的坐标. 【变式训练2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． (1)求C的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个． 类型二、双曲线中定值 例．已知点，直线，动圆与直线相切，交线段于点，且． （1）求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线； （2）过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，证明为定值 【变式训练1】已知双曲线过点，且离心率 （1）求该双曲线的标准方程： （2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. 【变式训练2】已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上． (1)求C的方程； (2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值． 【变式训练3】已知双曲线的两条渐近线所成的锐角为60°，且点P（2，3）为E上一点． （1）求E的标准方程； （2）设M为E在第一象限的任一点，过M的直线与E恰有一个公共点，且分别与E的两条渐近线交于点A，B，设O为坐标原点，证明：△AOB面积为定值． 类型三、双曲线中定直线 例．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【变式训练1】已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为. （1）求C的方程； （2）设A，B是直线上关于x轴对称的两点，直线与C交于M，N两点，证明：直线AM与BN的交点在定直线上. 【变式训练2】已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 类型四、双曲线中探索性、存在性问题 例．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点. (1)求的值； (2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+++=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由. 【变式训练1】已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程． （2）过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等? 若存在，求出点的坐标; 若不存在，请说明理由． 【变式训练2】已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点． (1)求点的轨迹方程； (2)设过点的直线与点的轨迹交于点，且点在第一象限内．已知，请问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且，若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．则点与点的横坐标之积为（     ） A．1 B．3 C．2 D．4 2．已知双曲线的离心率为，点在双曲线上，设，为上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，则直线过定点（     ） A． B． C． D． 3．（多选）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线顺次交两条渐近线和的右支于，且，则下列结论正确的是（    ） A．离心率为 B． C． D． 4．已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且． 则的标准方程为____________,若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，则的斜率之积为____________. 5．已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.若点的坐标为，则值为__________. 6．过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的平行线，这两条直线与渐近线构成平行四边形，则该平行四边形的面积为_________. 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点． （1）设直线与直线的斜率分别为，，求的值． （2）若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 8．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点. （1）求双曲线C的标准方程. （2）若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 9．如图，已知双曲线的右焦点为，O为坐标原点，过点F作直线与双曲线的渐近线交于P，Q两.点，且点P在线段FQ上，，. (1)求C的方程； (2)设是C的左､右顶点，过点的直线l与C交于M，N两点，试探究直线与的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由. 10.已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，满足，且到的渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）已知P，Q是轴上异于原点的两点，满足，直线分别交于点，直线的交点为． ①直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由； ②记和的面积分别为．若，求直线MN方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$