4.5 一元二次方程根的判别式　　课件　2023—2024学年青岛版数学九年级上册

4.5 一元二次方程根的判别式 用公式法解下列方程： (1)x2＋x－1=0;(2)x2－2x＋1=0;(3)2x2－2x＋1=0 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由 来判定： 当 时,方程有两个不相等的实数根； 当 时,方程有两个相等的实数根； 当 时,方程没有实数根． 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式． b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac =0 b2-4ac <0 2 例1.不解方程,判断下列方程根的情况： (1)2x2+x-4=0 (2)4y2+9=12y (3)5(t2+1)-6t=0 解: (1)这里a=2,b=1,c=-4 ∵△=b2-4ac=12-4×2×(-4)=33>0 ∴方程有两个不相等的实根. 解: (2) 把原方程化为一般形式,得4y2-12y+9=0 这里a=4,b=-12,c=9 ∵△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0 ∴原方程有两个相等的实根. (3)把原方程化为一般形式，得5t2-6t+5=0 这里a=5,b=-6,c=5 ∵△=b2-4ac=(-6)2-4×5×5=-64<0 ∴原方程没有实根. 例2.已知关于x的一元二次方程 kx2-3x+1=0 有两个不相等的实根. (1)求k的取值范围； (2)选择k的一个正整数值，并求出方程的根. 解 : (1)∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0 有两个不相等的实根. ∴△=(-3)2-4k>0,即9-4k>0 解不等式,得 ∵kx2-3x+1=0是一元二次方程 ∴k≠0 故k的取值范围是 且k≠0 (2)取不等式 的一个正整数解k=2, 则方程为2x2-3x+1=0 解这个方程,得 练习1.不解方程,判别下列方程的根的情况 5(x2-1)= 7x. 方程要先化为一般形式再求判别式 8 已知关于x的一元二次方程 当k取什么值时,方程没有实数根？ 当k取什么值时,方程有两个相等的实数根？ 当k取什么值时,方程有两个不相等的实数根？ △=(2k+1)2-4k2=4k+1 △>0 △=0 △<0 9 课时训练 1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 D 2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D.只有一个实数根 A 10 3.下列一元一次方程中,有实数根的是( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0 C 4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根,则下列结论 正确的是 ( ) A.当k= 时,方程两根互为相反数 B.当k=0时,方程的根是x=-1 C.当k=±1时,方程两根互为倒数 D.当k≤ 时,方程有实数根 D 11 7.若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k= ． 2 6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根， 则k的取值范围是 ( ) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 A 5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根， 则m的取值范围是 ( ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 D 12 解:Δ=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2 ∴ (m-1)2=1,即 m1＝2,m2＝0(二次项系数不为0,舍去). 当m=2时,原方程变为2x2-5x+3＝0. x＝ 或x=1． 8.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0， 其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根. 13 例3.设关于x的方程， 证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根 所以,不论m为何值,这个方程总有两个不相等的实数根. 14 例4. 已知:a、b、c是△ABC的三边