九年级上学期期中模拟卷02（考试范围：九上全册内容+九下二次函数）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

九年级上学期期中模拟卷02 【考试范围：九上全册内容+九下二次函数】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．用配方法解方程，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（    ） A．， B．，5 C．4， D．， 3．下列说法中正确的说法有（   ）个 ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； A．1 B．2 C．3 D．4 4．铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（    ） A． B． C． D． 5．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则（　　） A．9 B． C． D． 6．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 7．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 8．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 10．二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．一组数据4、5、6、7、8的方差为，另一组数据3、5、6、7、9的方差为，那么 （填“”、 “”或“” ）． 12．若二次函数的函数值是5，则对应的x的值是 13．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 14．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ． 15．方程的解是，，现在给出另一个方程，它的解是 ． 16．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ． 17．如图，在中，于点D，P是半径为2的上的一个动点，连接，若E是的中点，连接，若在P运动过程中的最大值为，则的值为 ． 18．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．解方程： (1)； (2)． 20．函数 与直线交于点 (1)求a，b的值. (2)x取何值时，y随x的增大而增大? 21．某校初一（11）班举行2024年元旦晚会，其中一个节目是男生和女生进行一分钟答题挑战赛．比赛规则：答对一道记1分（答错或不答得0分），男生和女生各选10名同学参加比赛（得分合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 女生组得分属于良好的数据是：10，6，6，10，10，11； 男生组得分：6，9，5，12，8，11，8，9，14，8． 通过以上数据得到如下不完整的统计表： 分组 平均数 中位数 众数 女生组 8.5 a 10 男生组 9 8.5 b 根据以上信息，回答下列问题： (1) ______， ______； (2)小强经过计算发现，20名参赛同学的平均成绩（女生组的平均成绩+男生组的平均成绩），据此他判断20名参赛同学得分的中位数，你认为他的判断正确吗？并说明理由； (3)若比赛规则由答对一道记1分改成记2分，其余不变，则10名女生成绩的方差将______．（填“变大”、“变小”或“不变”） 22．常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 23．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 24．如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 25．如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 26．某商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每个月可卖230件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．规定每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)若在销售过程中，每件商品都有元的其它费用，商家发现，当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小．求a的取值范围． 27．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期期中模拟卷02 【考试范围：九上全册内容+九下二次函数】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．用配方法解方程，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用． 方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解： 故选：D． 2．若二次函数 配方后为 ，则b、k的值分别为（    ） A．， B．，5 C．4， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与比较可得答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选A． 3．下列说法中正确的说法有（   ）个 ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了圆相关定义，垂径定理，圆周角定理．根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误， ③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故④错误； 故正确的是①，只有一个， 故选：A． 4．铜桐收藏有枚南宋铁钱“庆元通宝”（如图所示），测得它们的质量（单位：）分别为、、、、、、．这组数据的中位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位数，解题的关键是根据数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．将数据从小到大重新排列，再根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排列得：，，，，，，， ∵数据有奇数个，最中间的数据为：， ∴这组数据的中位数为． 故选：B． 5．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则（　　） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单的概率计算，解分式方程．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故选：A． 6．如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下， 当时，的值随值的增大而减小， 又当时，的值随值的增大而减小， ． 故选：B． 8．如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹． 【详解】解：四边形是正方形， ， 在凹四边形中，，，， 始终为， 得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，， ， 由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， 在中，， ， ， ， 故选：D． 9．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若c是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式，等式的性质是解决本题的关键． 根据一元二次方程的根的含义可判断②③，一元二次方程的根的判别式可判断①，从而可得答案． 【详解】解：①当时，， 那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根， 此时成立，①正确． ②若c是方程的一个根，则． 当，则； 当，则不一定等于0，②不一定正确． ③由是一元二次方程的根，得， ∴，即， ∴，则③正确． 故选：C． 10．二次函数，线段中，，，将线段向下平移个单位得到线段，若的图象与线段只有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的平移、二次函数与线段的交点问题，由平移的性质可得，，待定系数法求出直线的解析式为，当的图象的左支过点时，将代入解析式得，当的图象的右支过点时，将代入解析式得，最后由的图象与线段只有一个公共点，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在线段中，，，将线段向下平移3个单位得到线段， ，， 设直线的解析式为：， 将，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当的图象的左支过点时，将代入解析式得：， 解得：， 此时， 联立，得到， 整理得：， 解得：或， 此时的图象与线段有两个交点； 当的图象的右支过点时，将代入解析式得， 解得：， 此时， 联立，得到， 整理得：， 解得：或， 此时的图象与线段有一个交点； 的图象与线段只有一个公共点， 的取值范围是， 故选：C． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．一组数据4、5、6、7、8的方差为，另一组数据3、5、6、7、9的方差为，那么 （填“”、 “”或“” ）． 【答案】< 【分析】本题考查平均数的定义、方差的定义，先根据平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的定义求解即可判断． 【详解】解：由题意得，第一组数据的平均数为， ∴， ∵第二组数据的平均数为， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若二次函数的函数值是5，则对应的x的值是 【答案】或2 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的联系．根据题意中，将代入函数可得到一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：二次函数， 当时，代入函数可得： ，即， ∴或， 解得：，， 故答案为：或2． 13．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 故答案为：1． 14．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．方程的解是，，现在给出另一个方程，它的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则方程可以化为，根据题意可得方程的解是，，则或，据此求解即可． 【详解】解：设，则方程可以化为， ∵方程的解是，， ∴方程的解是，， ∴或， 解得或， 故答案为：或， 16．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ． 【答案】2米 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故答案为：2米． 17．如图，在中，于点D，P是半径为2的上的一个动点，连接，若E是的中点，连接，若在P运动过程中的最大值为，则的值为 ． 【答案】3 【分析】连接，当点P在延长线上时，，此时最大，再证明是的中位线，得到，从而得到最大值为7，从而求得， 然后由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， 当点P在延长线上时，，此时最大， ∵，， ∴，即点D是中点， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵的最大值为， ∴最大值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，点到圆上一点的最值问题．判定出点P在延长线上时，此时最大是解题的关键． 18．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H， 由题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 令，则， ， 令，则， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，， ， ， ， ， 而在中，， ， 即取最小值为， 的最小值为． 故答案为：4． 三、解答题（10小题，共66分） 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 20．函数 与直线交于点 (1)求a，b的值. (2)x取何值时，y随x的增大而增大? 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握函数图象交点的坐标满足每个函数解析式是解题的关键． （1）把已知点代入直线解析式可求得，再代入抛物线解析式可求得的值； （2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案． 【详解】（1）解：把代入可得：， 点的坐标为， 把代入可得，即 则 ∴ （2）解：由（1）可得， ∴物线开口向下，且对称轴为轴， 当时，随的增大而增大． 21．某校初一（11）班举行2024年元旦晚会，其中一个节目是男生和女生进行一分钟答题挑战赛．比赛规则：答对一道记1分（答错或不答得0分），男生和女生各选10名同学参加比赛（得分合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 女生组得分属于良好的数据是：10，6，6，10，10，11； 男生组得分：6，9，5，12，8，11，8，9，14，8． 通过以上数据得到如下不完整的统计表： 分组 平均数 中位数 众数 女生组 8.5 a 10 男生组 9 8.5 b 根据以上信息，回答下列问题： (1) ______， ______； (2)小强经过计算发现，20名参赛同学的平均成绩（女生组的平均成绩+男生组的平均成绩），据此他判断20名参赛同学得分的中位数，你认为他的判断正确吗？并说明理由； (3)若比赛规则由答对一道记1分改成记2分，其余不变，则10名女生成绩的方差将______．（填“变大”、“变小”或“不变”） 【答案】(1)8，20 (2)小强的判断是错误的，理由见解析 (3)变大 【分析】本题主要考查了扇形统计图，中位数，众数，方差的意义： （1）根据众数的定义，即可求解； （2）根据众数的定义，即可求解； （3）根据题意可得改变规则后10名女生成绩的平均数变为原平均数的2倍，为17分， 设原来合格的两人的成绩为e，f，优秀的两人的成绩为g，h，分别求出原来的方差，改变规则后10名女生成绩的方差，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：男生组中8分出现的次数最多， ∴， 根据题意得：， 即； 故答案为：8；20 （2）解：小强的判断是错误的，理由如下： 根据题意得：女生组参赛同学得分从小到大排列后位于正中间的两个数为10， ∴， ∴， 根据题意得：这20名参赛同学得分从小到大排列后位于正中间的两个数均为9， ∴这20名参赛同学得分的中位数为， ∴小强的判断是错误的； （3）解：根据题意得：每个人成绩均变为原来的2倍， ∴改变规则后10名女生成绩的平均数变为原平均数的2倍，为17分， 设原来合格的两人的成绩为e，f，优秀的两人的成绩为g，h， 原来的方差为 改变规则后10名女生成绩的方差为 ， ∴10名女生成绩的方差将变大． 故答案为：变大 22．常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用画树状图或列表法求概率． （1）根据题意可知共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况，然后根据概率公式计算概率即可． （2）列出表格，得出总的情况数，再得出小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：∵共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况 ∴在这三站中，小张随机选取的站是森林公园站的概率是； （2）列表如下： A B C A (A，A) (B，A) (C，A) B (A，B) (B，B) (C，B) C (A，C) (B，C) (C，C) ∴共有9种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果有4种， ∴小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率为． 23．关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将展开，代入求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：， ， 对于方程， 可得， ∴， 解得：． 24．如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再进行弧运算，得出，结合圆周角定理，即可作答． （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 25．如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的切线； 理由如下： 连接，如图所示： 根据题意得，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆综合，涉及等边三角形判定与性质、等腰三角形判定与性质、三角形外角和、切线的判定与性质、勾股定理、扇形面积的计算、旋转的性质等知识，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键． 26．某商品的进价为每件30元，当售价为每件40元时，每个月可卖230件．如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件．规定每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)若在销售过程中，每件商品都有元的其它费用，商家发现，当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小．求a的取值范围． 【答案】(1)，为正整数 (2)当销售价为或元，销售利润最大，最大为元； (3)． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，理解题意，根据实际问题列出等量关系，再根据二次函数特点求值是解题的关键． （1）销售利润等于销售价格乘以销售数量，因为上涨元，则销量为件，每件利润为，由此即可求解； （2）根据二次函数的特点，求二次函数的最大值，即求二次函数的对称轴对应的函数值，由此即可求解； （3）根据每件商品都有元的其他费用，售价每件不低于元，先求出涨价后去除其他费用和进价才是利润，由此可得出二次函数，再根据二次函数的特点即可求出答案． 【详解】（1）解：进价为每件元，当售价为每件元时，每个月可卖件，售价每上涨元，则每个月少卖件，设每件商品的售价上涨元（为正整数）， ∴，且，为正整数， 答：，为正整数． （2）解：根据销售利润的函数可得， 二次函数的系数分别是，，， 函数的对称轴， ∵为整数， ∴当或时，（元）， ∴当时，销售价格是元， 当时，销售价格是元，销售利润最大，最大为元， 答：当销售价为或元，销售利润最大，最大为元； （3）解：根据题意得，， ∴二次函数的系数分别是，，， 该函数的对称轴是， ∵当售价每件不低于49元时，每月的销售利润随x的增大而减小， ∴，即，且x为整数， ∴， 解得，， ∵， ∴． 27．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 【答案】初步探索：（1）证明见解析；（2）16；类比迁移：；拓展延伸： 【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则； （2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16； 类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是； 拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为． 【详解】解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）是的弦，且的半径为8， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值是16， 故答案为：16． 类比迁移：如图，，，   是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值为， 的最大值为， 周长的最大值是． 拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，   ∴，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，连接． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）当时，即，解方程可得图象与轴交于点，，当时，，从而得图象与轴交于点； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，即， 解得：． ∴图象与轴交于点，， 当时，， ∴图象与轴交于点； （2）解：∵，， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或； （3）解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$