九年级数学上学期期中模拟卷-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

九年级数学上学期期中模拟卷 （沪科版） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．下列变量具有二次函数关系的是（    ） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 2．若a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向下 C．当时， D．关于的方程的一个解小于 7．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 8．如图，在正方形中，M，N分别为，的中点，与相交于点G，延长交于点E，交于点H． 结论：；结论：． 对于结论和，下列判断正确的是（    ） A．正确，不正确 B．不正确，正确 C．和都正确 D．和都不正确 9．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（每题5分，共20分） 11．已知，则点是的黄金分割点， ． 12．如图所示，已知等边的边长为4，点在边上且，点在边上，，那么的长是 ． 13．如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为 ． 14．如图1，，分别是等边边上两点，且的面积和四边形的面积相等，将沿折叠得到． （1）若，，则 ； （2）如图2，若，，则 ．    三、解答题（15～18每题8分，19～20每题10分，21～22每题12分，23题14分） 15．已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 16．如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 17．如图，已知，，是直角坐标系平面上三点． (1)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． (2)把向右平移7个单位再向下平移1个单位，得到．画出平移后的图形，并利用网格作出高． 18．如图，． (1)，求； (2)，的长． 19．如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求的值（用含k的代数式表示）． 20．抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点． (1)①求，的值； ②记抛物线的顶点为，则的面积为______； (2)过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值． 21．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．与x轴交于C． (1)求a，b，k的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)延长交反比例函数图象于点P．求的面积． 22．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 23．已知Rt中为斜边上的高，过边上的点作交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长，交的延长线于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，取上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，延长交于点，若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期期中模拟卷 （沪科版） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．下列变量具有二次函数关系的是（    ） A．圆的周长与半径 B．在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体的质量 C．正三角形的面积与边长 D．匀速行驶的汽车，路程与时间 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义判断即可得解， 【详解】解：A．，圆的周长与半径之间是一次函数的关系； B．弹簧的长度y是随着物体的质量x增大而增长的，是一次函数关系； C． 正三角形的面积，正三角形的面积与边长之间是二次函数关系； D． ， 故匀速行驶的汽车，路程与时间之间是一次函数关系； 故选：C． 2．若a、b、c、d是成比例线段，其中，则线段d的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义，将a，b及c的值代入即可求得d． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图， 在中，D、E分别为边上的点，点F为边上一点，连接交于点G．则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．本题考查相似三角形的判定与性质，平行分线段成比例，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：A、， ，故A错误； B、， ，故B错误； C、， ，故C错误； D、， ，故D正确； 故选：D 4．如图，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，B，C，点D，E，F，其中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】解：， ， 直线， ， 故选：B 5．二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象，根据函数解析式可得图象开口向上，顶点坐标为，据此即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象是一条抛物线，开口向上，顶点坐标为， ∴它的图象大致为 故选：A 6．若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向下 C．当时， D．关于的方程的一个解小于 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；将代入函数解析式求出对应的函数值即可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D．熟知二次函数与方程和方程组的关系是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴交于，两点， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴选项A的说法正确，不符合题意，选项B的说法错误，符合题意； 当时，， ∴选项C的说法正确，不符合题意； 如图， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵直线与抛物线的交点在轴的上面， ∴关于的方程即有两个解，一个解小于，一个解大于， ∴选项D的说法正确，不符合题意． 故选：B． 7．如图点A，C在反比例函的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中，得： ， 即， 解得：， 故选：D． 8．如图，在正方形中，M，N分别为，的中点，与相交于点G，延长交于点E，交于点H． 结论：；结论：． 对于结论和，下列判断正确的是（    ） A．正确，不正确 B．不正确，正确 C．和都正确 D．和都不正确 【答案】B 【分析】首先根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到，然后证明出，得到，得到，即可判断；然后证明出，进而得到，过点作于点，交的延长线上于点，得到四边形是矩形，然后证明出，得到四边形是正方形，进而可判断． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵M，N分别为，的中点 ∴， ∴， ∴ ， ， ， ∴， ，故结论错误； ∵，， ，， ， ， ， ， 过点作于点，交的延长线上于点，   ， 四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ， ∴四边形是正方形， ，， ∴ ，故正确． 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（k是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断．熟练掌握函数图象与系数的关系，是解决问题的关键．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下；当a，b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a，b异号时，对称轴位于y轴右侧． 分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向下可知，， ∴，矛盾， ∴A不正确； B、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴B不正确； C、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴，矛盾， ∴C不正确； D、由一次函数的图象可知，； 由二次函数图象开口向上可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴D正确． 故选：D． 10．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定性质，由平行四边形的性质可得，，，即得，，得到，又由得到，进而可得，即可判断；由，，可得，即得，进而由相似三角形的性质可得，即得，，即可判断；由可判断；由可得，即得，又由可得，即可得，进而得到，据此即可判断；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项错误； ∵， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 故选：． 二、填空题（每题5分，共20分） 11．已知，则点是的黄金分割点， ． 【答案】 【分析】此题考查了黄金分割，关键是理解黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值，计算时要注意的条件． 根据黄金分割点的定义和得出，再根据即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图所示，已知等边的边长为4，点在边上且，点在边上，，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键是推出，主要考查了学生的推理能力和计算能力．根据等边三角形性质求出，，推出，证，得出，代入求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．如图，的顶点， 在双曲线上，顶点在轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为50，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关键． 设，则．设，则，求出，根据，求出，再根据直线 的斜率即可求得结果． 【详解】解：设，则． 设，则， ， ∴， ∵， ∴， 那么直线 的比例系数可表示为 或， ∴ 变形得． 又， ∴． 14．如图1，，分别是等边边上两点，且的面积和四边形的面积相等，将沿折叠得到． （1）若，，则 ； （2）如图2，若，，则 ．    【答案】 5 【分析】（1）先证明、、均为等边三角形，且，由题意得出，根据等边三角形的性质得出，解得，即可得出答案； （2）由题意得出，且，证明，根据相似三角形的性质得出，求出，最后得出即可． 【详解】解：（1）过点A作于点M，如图所示：    ∵为等边三角形， ∴，， ， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即， 根据折叠可知：，， ∴，, ∴和为等边三角形， ∴，， ， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵的面积和四边形的面积相等， ∴， ∴， ∵和为等边三角形，且， ∴， ∴， ∴， 解得：，负值舍去； 故答案为：； （2）∵的面积和四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴，， ， ∴， ∴， 解得：，负值舍去； 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握等边三角形的判定和性质． 三、解答题（15～18每题8分，19～20每题10分，21～22每题12分，23题14分） 15．已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【答案】，， 【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意设抛物线为；           把代入，得： 解得：           ∴ ∴，， 16．如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键． （1）联立，解交点坐标即可； （2）当时求出，的值即可解题． 【详解】（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， ． 17．如图，已知，，是直角坐标系平面上三点． (1)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． (2)把向右平移7个单位再向下平移1个单位，得到．画出平移后的图形，并利用网格作出高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了位似变换与平移的变换．注意根据平移与位似的性质求得各点的坐标是关键． （1）利用位似的性质，可求得各点的坐标，继而画出图形； （2）直接利用平移的性质，可分别求得各点的坐标，继而画出图形，再作出高． 【详解】（1）符合条件有两个，如图所示． （2）及高如图所示； 18．如图，． (1)，求； (2)，的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为5． 19．如图，中，，于点D，于点E，M为的中点，连接交于点F，连接交于点N． (1)求证：； (2)求证： (3)若，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明，可得，证明，可得； （2）证明，，，可得，证明，可得，即可得到结论； （3）连接交于点G．证明为的垂直平分线，，，可得，求解，可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，M为的中点， ∴， ∴ 又，， ∴，， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴，， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （3）解：连接交于点G． ∵， ∴， ∴ 又， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∵，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识并灵活应用是解本题的关键． 20．抛物线交轴于，两点，交轴子点，直线经过点和点． (1)①求，的值； ②记抛物线的顶点为，则的面积为______； (2)过点作垂直于轴的直线与抛物线相交于点，求线段的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）①依据题意，对于分别令，可求得A、C，再代入抛物线解析式可以得解； ②依据题意，由①得抛物线为，从而得顶点D，再结合（1）中A、C坐标将转化为进行计算可以得解； （2）由题意得，利用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：①由题意，对于分别令，则 ∴， 令，则 ∴， 再将A、C再代入得， ， ∴，； ②由①得抛物线为， ∴顶点D为， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，轴， ∴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，取得最大值． 21．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．与x轴交于C． (1)求a，b，k的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)延长交反比例函数图象于点P．求的面积． 【答案】(1)，，； (2)或； (3) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，以及三角形的面积等，数形结合是解题的关键． （1）把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，进而求得点的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据图象即可求得； （3）求得的坐标，然后根据即可求得的面积，根据反比例函数的对称性即可求得． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过， ， ， ， ， ， 点、在的图象上， ， 解得：， ∴，，； （2）解：由图象可得：不等式的解集为或； （3）解：由（1）可知一次函数为， 令，则， ， ， ， 延长交反比例函数图象于点，则点与点关于原点对称， ， ． 22．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的横坐标为1或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形、矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质，利用点的坐标表示线段长是解答的关键． （1）利用待定系数法求出该二次函数表达式即可； （2）先求得二次函数图象的对称轴为直线，设，，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）由（2）得，，设，根据题意可得，然后解方程求得t值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：由得二次函数图象的对称轴为直线， 设，根据题意，得，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为5， 此时点M的坐标为； （3）解：存在， 由（2）知，， ∴，， 设， ∵的面积等于矩形的面积的， ∴， ∴或， 整理得或， 解得，，， 故满足条件的点P的横坐标为1或． 23．已知Rt中为斜边上的高，过边上的点作交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接并延长，交的延长线于点，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，取上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，延长交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）利用等角的余角相等证明即可； （）首先证明，推出，再证明，推出，再利用全等三角形的性质即可解决问题； （）如图中, 作于，首先证明，从而证明是矩形，则，，则有，再证明，则有，求出，设，根据相似三角形的判定与性质可以得出，即，然后求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，设， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题，熟练掌握知识点的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$