第22章 相似形 单元专项综合训练-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪科版）

第22章 相似形 单元专项综合训练 （沪科版） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．下列说法不正确的是（    ） A．客机模型与客机相似 B．用放大镜看到的图形与原图形相似 C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似 D．一棵树与它在水中的倒影相似 2．已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，那么的长等于（    ）    A． B． C． D． 5．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A．B．C．D． 6．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，点分别为的中点，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 9．将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点F，折痕为．已知，，若以点C，D，F为顶点的三角形与相似，则的长是（　　）    A． B． C． 或4 D． 或4 10．如图，正方形中，点，分别在边，上，且，分别交，于点，，以点A为圆心，长为半径画弧下列结论：①；②；③；④与相切；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（每题5分，共20分） 11．在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是 千米． 12．如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ． 13．设，则k的值为 ． 14．如图，在矩形中，P，Q分别为边，的中点，与，分别交于点E，F． （1） ． （2）若，，则的长为 ． 三、解答题（15～18每题8分，19～20每题10分，21～22每题12分，23题14分） 15．设a，b，c是的三条边长，且，判断为何种三角形，并说明理由 16．如图，．若，，，求线段的长． 17．某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板，保持斜边与地面平行，延长交于点G，如图，并沿着射线的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高为米，点F到旗杆底端的距离为12米，，，求旗杆的高度． 18．如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 19．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 20．【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 21．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．    （1）求证：AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE； （3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明． 22．已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 23．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F． （1）连结CQ，求证：； （2）若，求的值； （3）求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 相似形 单元专项综合训练 （沪科版） 一、单选题（每题4分，共40分） 1．下列说法不正确的是（    ） A．客机模型与客机相似 B．用放大镜看到的图形与原图形相似 C．亮亮4岁时的照片与16岁时的照片相似 D．一棵树与它在水中的倒影相似 【答案】C 【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可． 【详解】解：A．客机模型与客机相似，正确； B．用放大镜看到的图形与原图形相似，正确； C．因为亮亮4岁和16岁的长相是不完全相同的，所以不是相似图形，故不正确； D．一棵树与它在水中的倒影相似，正确； 故选C． 2．已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键． 根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ∴， 故选：C． 4．如图，已知，，，那么的长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键． 由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出的长． 【详解】∵ ∴，即， ∴， ∴． 故选B． 5．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 故A不符合题意； B、，， ， 故B不符合题意； C、由图形可知，， ， ，， ， 又， ， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似， 故D符合题意， 故选：D． 6．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 7．如图，在中，点分别为的中点，则与的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的应用，正确判定相似，利用面积之比等于相似比的平方，计算即可． 【详解】∵点分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 9．将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点F，折痕为．已知，，若以点C，D，F为顶点的三角形与相似，则的长是（　　）    A． B． C． 或4 D． 或4 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质等知识点，先根据折叠性质得到，设，则，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到的长，找到边长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵沿折叠，和F重叠， ∴， 设， ∵， ∴， 当时， ， ∵， ∴， 解得：， 即； 当， ， ∵， ∴， 解得：， 即； 当时，同理可得， 故或4， 故选：D． 10．如图，正方形中，点，分别在边，上，且，分别交，于点，，以点A为圆心，长为半径画弧下列结论：①；②；③；④与相切；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线，熟练掌握这些性质，是解题的关键． 延长到，使，连接根据全等三角形的性质得到，，求得，证得，根据全等三角形的性质即可得到；故正确；在上截取，根据全等三角形的性质得到，，证得，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，等量代换得到；故正确；根据平行线的性质得到，推出，又，于是得到，故正确；过A作于，根据角平分线的性质得到，于是得到与相切；故正确；由，而不一定等于，于是得到不一定平行于，故错误． 【详解】解：延长到，使，连接． 在和中，， ， ，， 又，， ． 在和中， ， ， ， 又， ；故正确； 在上截取，连接、， 在和中，， ， ，， 又， ． ． 在和中， ， ， ． ；故正确； ， ． ，， ， 又， ，故正确； 过A作于， ，， ， 与相切；故正确； ，而不一定等于， 不一定等于， 不一定平行于，故错误， 故选：B． 二、填空题（每题5分，共20分） 11．在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的定义，设实际距离为千米，根据比例尺图上距离：实际距离计算即可得答案． 【详解】解：设实际距离为千米，厘米千米， ∵比例尺为，图上距离为， ∴， 解得：(千米)， 故答案为：． 12．如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；勾股定理的应用，二次根式的除法运算，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”是解题的关键．首先求出线段、、的长度用表示，求出两个三角形对应边的比，进而证明，得出，问题即可解决． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由勾股定理得： ， ， 而 同理可证：，， ， 即， ， ， ， ∴． 故答案为：． 13．设，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】依据等比性质可得，，分两种情况讨论，即可得到的值． 【详解】解：当时， ， 由等比性质可得，， 即； 当时，， ； 综上所述，的值为或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 14．如图，在矩形中，P，Q分别为边，的中点，与，分别交于点E，F． （1） ． （2）若，，则的长为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定． （1）延长交于T，证明和，推出，设，，得到，据此即可求解； （2）根据勾股定理求出，延长交于T，延长交于G，同（1）根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：（1）延长交于T，如图， ∵四边形是矩形，P，Q分别为边，的中点， ∴， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴，整理得， ∴， 故答案为：； （2）延长交于T，延长交于G，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵Q为边的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∴， 同理，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（15～18每题8分，19～20每题10分，21～22每题12分，23题14分） 15．设a，b，c是的三条边长，且，判断为何种三角形，并说明理由 【答案】为等边三角形，理由见解析 【分析】根据等比性质并结合进行判断即得结论. 【详解】解：为等边三角形.理由如下： 因为，所以由比例的性质可得， ， 因为a，b，c是的三条边长， 所以a＞0，b＞0，c＞0， 所以，，， 所以，故为等边三角形. 【点睛】本题考查了比例性质的应用，解题的关键是正确运用等比性质并结合进行判断. 16．如图，．若，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理得到，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ， ，，， ， 解得． 17．某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在点F处，手拿一块直角三角板，保持斜边与地面平行，延长交于点G，如图，并沿着射线的方向观察，刚好看到旗杆的顶端A点，已知该同学的身高为米，点F到旗杆底端的距离为12米，，，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，利用相似三角形对应边成比例求线段长是解题的关键．由题意可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，证明，利用相似比可求出的长，则． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 18．如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证； （2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴．    19．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的； (2)在第三象限内，以点O为位似中心作出的位似图形，使新图与原图的位似比为． (3)在（2）的条件下，若M为边上的中点，则的边上与点M对应的点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平移，位图图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键． （1）根据题意得到对应点的坐标，画出平移图形即可； （2）根据相似比分别求出对应点的坐标，进行画图即可． （3）根据中点坐标公式求出M的坐标，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，为所求图形； （2）解：根据相似比可得，， 如图，为所求； （3）解：根据题意，若M为边上的中点， ． 故答案为：． 20．【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，证明，，，可得，结合（1）的结论代入数据即可求解； （3）延长交于点G，同（2），可得，再证明，即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， 解得：（负值已舍去） ∴； （3）如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ 解得：（负值舍去）； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 21．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．    （1）求证：AM＝AN； （2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE； （3）MN和AC相交于O点，若BM＝1，AB＝3，试猜想线段OM，ON的数量关系并证明． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）ON＝2OM，理由见详解 【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝AD，由“ASA”可证△ABM≌△ADN，可得AM＝AN； （2）由题意可得∠CAM＝∠NAD＝22.5°，∠ACB＝∠MNA＝45°，即可证△AMC∽△AEN，即可证AM2＝AE•AC； （3）先求出AM，进而求出MF＝NF＝BF＝，再判断出△ABM∽△AFO，进而求出FO，即可得出结论． 【详解】证明（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠CAD＝45°＝∠ACB，∠BAD＝90°＝∠CDA＝∠B， ∴∠BAM+∠MAD＝90°， ∵∠MAN＝90°， ∴∠MAD+∠DAN＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∵AD＝AB，∠ABC＝∠ADN＝90°， ∴△ABM≌△ADN（ASA） ∴AM＝AN； （2）∵AM＝AN，∠MAN＝90° ∴∠MNA＝45°， ∵∠CAD＝2∠NAD＝45°， ∴∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠MAN﹣∠CAD﹣∠NAD＝22.5° ∴∠CAM＝∠NAD，∠ACB＝∠MNA＝45°， ∴△AMC∽△AEN， ∴， ∴AM•AN＝AC•AE， ∵AN＝AM， ∴AM2＝AC•AE； （3）ON＝2OM，理由：如图，    在Rt△ABM中，AM＝1，AB＝3， 根据勾股定理得，BM＝＝， 过点B作BF⊥MN于F， ∴∠OFB＝∠A＝90°， 由（1）知，AM＝AN， ∵∠MBN＝90°， ∴FB＝NF＝MF＝＝，∠MBF＝45°， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABC＝45°＝∠MBF， ∴∠ABM＝∠FBO， ∴△ABM∽△FBO， ∴， ∴， ∴FO＝， ∴OM＝MF﹣FO＝，ON＝NF+FO＝， ∴ON＝2OM． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ABM∽△FBO是解本题的关键． 22．已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 23．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F． （1）连结CQ，求证：； （2）若，求的值； （3）求证：． 【答案】(1)见解析；(2) ；(3)见解析 【分析】(1)由旋转知△PBQ为等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，进而证明△APB≌△CQB即可； (2)设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又△ABC为等腰直角三角形，所以BC=，PQ=，再证明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，进而求出CE:BC的值； (3)在CE上截取CG，并使CG=FA，证明△PFA≌△QGC，进而得到PF=QG，然后再证明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，进而求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∵BP绕点B顺时针旋转到BQ， ∴BP=BQ，∠PBQ=90°， ∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC, ∴∠ABP=∠CBQ， 在△APB和△CQB中， ， ∴△APB≌△CQB(SAS)， ∴AP=CQ． (2) 设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x， △ABC为等腰直角三角形，∴BC=， 在Rt△PCQ中，由勾股定理有：， 且△PBQ为等腰直角三角形， ∴， 又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°， ∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ， ∴△BQE∽△BCQ， ∴，代入数据：， ∴BE=，∴CE=BC-BE=， ∴， 故答案为：． (3) 在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示： ∵∠FAP=∠GCQ=45°， 且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA， 故有△PFA≌△QGC(SAS)， ∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ， 又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ， ∴∠DFP=∠QGE， ∵DABC， ∴∠DFP=∠CEQ， ∴∠QGE=∠CEQ， ∴△QGE为等腰三角形， ∴GQ=QE， 故PF=QE． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到在CE上截取CG，并使CG=FA这条辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$