串讲04 实数（考点串讲，6个常考点+11种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

八年级苏科版数学上册期中考点大串讲 串讲04 实数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 十一大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 算术平方根的概念和性质 一般地，如一个正数x的平方等于a，即x2=a ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数. 算术平方根： 0的算术平方根是0. 中的双重非负性： a≥0 考点透视 考点二：平方根的概念与性质 平方根的性质： 平方根的概念： 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数；0的平方根是0； 负数没有平方根. 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根.a﹙a≥0﹚的平方根表示为 . 考点透视 考点三：立方根的概念与性质 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数； 0的立方根是0； . = 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根. 立方根的性质： 立方根的概念： 考点透视 考点四：实数的相关概念 正有理数 正实数 负实数 正无理数 0 实数 负有理数 负无理数 按定义将实数进行分类： 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数. 总结：实数和数轴上的点是一一对应的. 7 考点透视 考点五：实数的大小比较 与有理数一样，实数也可以比较大小： 同样的，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大. 原点 0 正实数 负实数 < 1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数； 2.两个正实数，绝对值大的数较大； 3.两个负实数，绝对值大的数反而小. 与有理数一样，在实数范围内： 考点透视 考点六： 近似数 1．准确数——与实际完全符合的数． 2．近似数——与实际接近的数． 3．精确度——表示一个近似数与准确数接近的程度． 4.用近似值进行实数运算 5.有效数字 准确数和近似数概念的产生是人们生活和生产实践的需要，近似数中越在左边的数字就越重要． 2. 按预定要求取近似值时，不要遗漏小数点后面的零． 3. 对较大数取近似值最好用科学记数法表示． 4. 计算器只是个工具，我们要学会操作工具，而不能对它产生依赖，心算、口算、笔算在今后的学习中更重要． 有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 10 题型剖析 题型一：算术平方根 【例1】求各数的算术平方根： （1）100； （2） ；（3）0.0001. （1）因为102=100，所以100的算术平方根为10,即 解： （2）因为 ， 所以 的算术平方根是 ，即 （3）因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根为0.01，即 【变式1-1】填空： (1)一个数的算术平方根是3，则这个数是 . (2)一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数是___；和这个自然数相邻的下一个自然数是________. (3) 的算术平方根为 . (4)2的算术平方根为____. 3 9 a2 a2+1 12 【变式1-2】求出下列各式的值. 解： 13 题型剖析 题型二：算术平方根的非负性 【例2】已知： 求X-3Y+4Z的值. 解：由题意得： 解得 3.若 ，则a= ； 2.若 ，则m= ； 4.若｜a-3|+ ，则代数式 =___. 1.若|a+3|=0 ， 则a= ； -3 7 5 -1 【变式2-1】填空： 15 题型剖析 题型三：算术平方根的应用 【例3】小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2. 她不知能否裁得出来，正在发愁. 小明见了说“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片”，你同意小明的说法吗？ 小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 400cm2 300cm2 解： 设长方形的长为3xcm，则宽为2xcm. ∴长方形纸片的长为 ∴小丽不能裁出符合要求的纸片. ∵ ， ∴正方形纸片的边长只有20cm， 17 题型剖析 题型四：估算算术平方根的取值范围 【例4】估计的值在( ) A.1到2之间 B.2到3之间 C.3到4之间 D.4到5之间 C ∵ ∴ 故选C； 【变式4-1】估算13的算术平方根在( ) A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 B 【变式4-2】面积为19m2的正方形，它的边长介于（　　） A．2m与3m之间 B．3m与4m之间 C．4m与5m之间 D．5m与6m之间 C 19 【变式4-3】已知：≈44.91，＝14.0，则的值约为（　　） A．32.41 B．1.40 C．3.241 D．4.491 D 20 题型剖析 题型五：求一个数的平方根 【例5】求下列各数的平方根： （1）100； （2） ； （3）0.25. 解：（1）因为(±10)2=100，所以100的平方根是±10； （2）因为 ，所以 的平方根是 ； （3）因为(±0.5)2=0.25，所以0.25的平方根是±0.5. 【变式5-1】求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） . 解：（1）因为62=36，所以 ； （2）因为0.92=0.81，所以 ； （3）因为 ，所以 . 22 【变式5-2】如果一个数的两个平方根时a+3,2a-15,那么这个数是多少？ 解：因为一个数正数的两个平方根互为相反数， 所以（a+3）+（2a-15）=0, 解得a=4， 当a=4时，a+3=7，2a-15=-7. 即这个数是49. 23 题型剖析 题型六：求一个数的立方根 【例6】求下列各式的值. （1） （2） （3） 解:(1) ； (2) ； (3) . 【变式6-1】求下列各式的值 （1）（2）- （3） （4）- 解：（1） （2）-=-=-2 （3）==-3 （4）-=-=-3 25 【变式6-2】求下列各数的立方根： （1）-0.001； （2）； （3）-125. 解：（1）∵(-0.1)3＝-0.001， ∴ -0.001的立方根是-0.1； （2）∵( )3＝ ， ∴ 的立方根是 ； （3）∵(－5)3＝－125，∴ －125的立方根是－5. 26 题型剖析 题型七：立方根的实际应用 【例7】现在要做一个体积为64cm3的立方体魔方，它的棱长要取多长？ 解：设魔方的棱长为xcm, 则 答：这个魔方的棱长为4cm. x3＝64 x＝4 【变式7-1】将一个体积为0.216 m3的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块，求每个小立方体铝块的表面积． 解：设每个小立方体铝块的棱长为x m，则 8x3＝0.216. ∴x3＝0.027.∴x＝0.3. ∴6×0.32＝0.54(m2)， 即每个小立方体铝块的表面积为0.54 m2. 28 题型剖析 题型八：实数的分类 【例8】把下列各数填入相应的大括号内： 有理数：{ 　　　　　　　　　　　　　　　} 无理数：{　　　　　　　　　　　　　　 } 【变式8-1】有理数和无理数的区别在于（　　） A．有理数是有限小数，无理数是无限小数 B．有理数能用分数表示，而无理数不能 C．有理数是正的，无理数是负的 D．有理数是整数，无理数是分数 B 30 【变式8-2】下列说法正确的是（ ） A.a一定是正实数 B. 是有理数 C.是有理数 D.数轴上任一点都对应一个有理数 B 31 【变式8-3】把下列各数填入相应的集合内： （1）有理数集合： （2）无理数集合： （3）整数集合： （4）分数集合： （5）正实数数集合： （6）负实数集合： (7) 实数集合： , 32 题型剖析 题型九：实数的性质 【例9】(1)分别写出 ， 的相反数； (2)指出 ， 分别是什么数的相反数； 解：(1)因为 ， 所以 的相反数分别为 ； (2)因为 ， 所以 分别是 的相反数； 【变式9-1】（1）分别写出π-3.14的相反数； （2）指出分别是什么数的相反数； （3）求的绝对值； （4）已知一个数的绝对值是，求这个数. 解：（1）因为 ，-（π-3.14）=3.14-π， 所以， ，π-3.14的相反数分别为 ，3.14-π. （2）因为 ， 所以， 分别是 的相反数. 34 题型剖析 题型十：实数的运算 解 【例10】计算下列各式的值： (1) (2) 【变式10-1】计算下列各式的值： （1） （2） 解: （1） （2） 36 （3） （4） 解: （3） （4） 37 题型剖析 题型十一：近似数 【例11】下列由四舍五入法得到的近似数各精确到哪一位？ （1）11亿； （2）36.8； （3）1.2万； （4）1.20万． 解：（1）11亿精确到亿位，因为11亿=1100 000 000； （2）36.8，精确到十分位； （3）1.2万精确到千位，因为1.2万=12 000； （4）1.20万精确到百位，因为1.20万=12 000． 【变式11-1】用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似值． （1）0.33448（精确到千分位）； （2）64.8（精确到个位）； （3）1.5952（精确到0.01）； （4）0.05069（精确到0.001）； （5）84960（精确到百位，并用科学记数法表示）． 解： （1） 0.33448≈0.334； （2）64.8≈65； （3）1.5046≈1.50； （4）0.05069 ≈0.051； （5）84960 ≈85000≈8.50×104． 39 【变式11-2】下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位？ （1）65； （2）17.55； （3）0.344； （4）9.250； （5）7.35×104；（6）0.75万； （7）2.904； （8）7.147 6. 解：（1）个位； （2）百分位； （3）千分位； （4）千分位； （5）百位； （6）百位； （7）千分位； （8）万分位. 【变式11-3】一根方便筷子的长、宽、高大约为0.5cm，0.4cm，20cm，估计1000万双方便筷子要用多少木材？这些木材要砍伐半径为0.1米，高10米(除掉不可用的树梢)的大树多少棵？(π取3.14，结果精确到个位) 解：一双筷子的体积为2×0.4×0.5×20＝8(cm3)， 1000万双筷子的体积为1000×104×8 ＝8×107(cm3)＝80(m3)， 一棵大树的体积为π×0.12×10≈0.314(m3). 1000万双筷子要伐大树棵数为80÷0.314≈255(棵). 41 【变式11-4】计算机存储容量的基本单位是字节，用B表示，计算机中一般用KB(千字节)或MB(兆字节)或GB(吉字节)作为存储容量的计算单位，它们之间的关系为1 KB＝210B,1 MB＝210KB,1 GB＝210MB．一种新款电脑的硬盘存储容量为80 GB，它相当于多少KB？(结果用科学记数法表示，精确到百万位) 解：因为1 GB＝210 MB,1 MB＝210KB， 所以80 GB＝80×210×210KB， 将其转化成a×10n的形式， 即80×210×210≈8.4×107(KB)． 故它相当于8.4×107 KB． 42 易错易混 易错点一：实数概念混淆导致分类错误 易错易混 易错点二：算术平方根的非负性 易错易混 易错点三：平方根有两个答案会出现漏解情况 易错易混 易错点四：整数部分与小数部分问题 易错易混 易错点五：实数的混合运算 押题预测 48 49 50 51 52 感谢您的观看 Thank you 53 1．下列各数： ， ， ， ， ， ，0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【详解】解： 为整数，是有理数；， ， 为分数，是有理数； 是最终结果含有开方开不尽的数，是无理数； 最终结果含有 的数，是无理数； 0.585885888588885…（相邻两个5 之间8的个数逐次加1）是无理数． 故选：B． 2．已知a， b， c满足 则 的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】解：∵ ∴ EMBED Equation.DSMT4 ∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ，故选：C 3．已知 与 是 的平方根，则 的值 ． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 与 是 的平方根， EMBED Equation.DSMT4 与 互为相反数或相等， 当 与 互为相反数时，则 ，解得： ， ， ； 当 与 相等时，则 ，解得： ， ， ； 综上所述， 的值为49或441． 4．已知 小数部分为m， 小数部分为n，则 ． 【详解】 ， ， EMBED Equation.DSMT4 整数部分为2，则小数部分为 ， 的整数部分为2，则小数部分为 ． ， ， ， 故答案为：1． 5．计算下列各题： (1) (2) 【详解】（1） （2） 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）若 与 是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A． B． C．1 D． 或1 【详解】解：∵ 与是同一个数的平方根， ∴ 或 ， 解得： 或 ． 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知实数x、y满足 ，则 的值是（    ） A．4 B．8 C． D．2 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ ， ， 则 ， ， ∴ ． 故选：A． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知 ， ，则 ． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为：31.9． 4．（23-24八年级下·江苏·期中）若实数 、 满足 ，则 ； 【详解】解：根据题意得 ，， 解得 ， ， 则 ， 故答案为： 5．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）因为 ，即 ，所以 的整数部分为1，小数部分为 ．类比以上推理解答下列问题： (1)求 的整数部分和小数部分； (2)若m是 的整数部分，且 ，求x的值． 【详解】（1）∵ ，∴的整数部分是3，小数部分是 ； （2）∵ ，即 ∴ ， 的整数部分是4，则 ， ∴ ∴ ， 解得， ， ． $$