九年级数学上学期期中测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数解析式中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放奥运赛事 B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．2024年全年有367天 3．已知的半径为3，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 4．将抛物线的图象向下平移个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，已知是的半径，于点C，，的直径为10，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（      ） A． B． C． D． 7．如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（   ） A． B．5 C． D．19 10．如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点E与点A重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则y与x函数关系的图象大致是（   ） A．B．C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．在一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中2个蓝色，3个红色，从袋中随机摸出1个，则摸到的是蓝色小球的概率是 ． 12．如图，是的直径，C是上一点，连接，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长，交于点P，连接．若．则的度数为 ． 13．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到，若，则的值为 ． 14．小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 15．如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米． 16．如图，在中，，，D为边上一动点（B点除外），以为一边作正方形，连接，设，则面积 ．（用x的代数式表示） 三、解答题：本题共8小题，共66分. 17．在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后的，并写出顶点，，的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转后得到的图形，请画出； (3)计算的面积． 18．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． (1)请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式； (2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率． 19．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 20．二次函数的部分图象如图， 其中图象与轴交于点， 与 轴交于点， 且经过点． (1)求此二次函数的解析式 (2)图象过三点， 比较的大小．（用 <连接） (3)直接写出不等式的解集； 21．如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点作交的延长线于点，若，求此圆半径的长． 22．根据以下素材，完成探索任务．                 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果，图1是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响 （1）若中间种植的面积是则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润－承包费） （2）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 23．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求圆的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 24．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是______； (2)点是反比例函数图像上的一个“梦之点”，则该函数图像上的另一个“梦之点”的坐标是______，直线的解析式是______，时，的取值范围是______； (3)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，判断的形状并直接写出外接圆的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期中测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列函数解析式中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据：形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、是二次函数，故此选项符合题意； C、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．打开电视，正在播放奥运赛事 B．袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．2024年全年有367天 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事是必然事件，不一定发生的事是随机事件，一定不会发生的事是不可能事件，进行判断即可． 【详解】解：A、打开电视，正在播放奥运赛事，是随机事件，不符合题意； B、袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球，是必然事件，符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意； D、2024年全年有367天，是不可能事件，不符合题意； 故选B． 3．已知的半径为3，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有 ①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴， ∴点在圆外， 故选B 4．将抛物线的图象向下平移个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的图象向下平移个单位长度， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得平移后抛物线的解析式是， 故选：． 5．如图，在中，已知是的半径，于点C，，的直径为10，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．由垂径定理得，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵于点C，， ∴． ∵的直径为10， ∴， ∴． 故选A． 6．如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴图象的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴． 故选：C． 7．如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质.先求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D 8．如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、折叠的性质，连接、，由折叠可得，，，证明为等边三角形，得出，，求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解． 【详解】解：如图：连接、， ， 由折叠可得：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 9．如图，正六边形和正六边形均以点O为中心，连接（A，G，H三点共线），若，则正六边形的边长为（   ） A． B．5 C． D．19 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，，，根据正六边形的性质证明，得到，，即可得到B，I，H三点共线，同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且，然后在三角形中计算即可． 【详解】连接，，，，过作于， ∵正六边形和正六边形均以点O为中心， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵A，G，H三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴B，I，H三点共线， 同理可得C，I，J三点共线，D，K，J三点共线，且， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即正六边形的边长为， 故选：C． 10．如图，两个全等的等腰直角和的斜边，点E与点A重合，斜边与在一条直线上，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动，直到点D与点B重合时停止运动，设运动时间为x秒，两个等腰直角三角形重叠部分的面积为y个平方单位，则y与x函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分和两种情况讨论，首先证明出重合部分为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：分两种情况：（1）如图所示，当时，令，交于点，过点作于点， ∵和都是等腰直角三角形 ∴， 由平移可得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， ， ， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， ∴当时，； （2）如图所示，当时，令，交于点，过点作于点， 同理可得是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ， ， ∴函数图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 只有选项C符合条件． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是分情况讨论． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11．在一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中2个蓝色，3个红色，从袋中随机摸出1个，则摸到的是蓝色小球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵5个小球中，有2个蓝色小球， ∴摸到的是蓝色小球的概率， 故答案为． 12．如图，是的直径，C是上一点，连接，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长，交于点P，连接．若．则的度数为 ． 【答案】26 【分析】首先由直径得到，然后利用直角三角形两锐角互余得到，然后由角平分线的概念得到，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】∵是的直径， ∴ ∵ ∴ 由作图可得，平分 ∴ ∴． 故答案为：26． 【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，角平分线的尺规作图，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 13．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转度得到，若，则的值为 ． 【答案】75 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质．先根据旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：， ， ， ， ，即旋转角为， ， 故答案为：． 14．小亮玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，是的边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，本题中飞镖落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积占总面积的比例． 根据三角形中线的性质推出，再根据落在阴影部分的概率即为阴影部分和总面积之比即可求解； 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴小亮随机投掷一次飞镖，落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 15．如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为 米． 【答案】11 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米． 16．如图，在中，，，D为边上一动点（B点除外），以为一边作正方形，连接，设，则面积 ．（用x的代数式表示） 【答案】 【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，，则，继而根据三角形的面积公式可得． 【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于， ，，， ， ， ， 即， ， 在中，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 17．在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，画出平移后的，并写出顶点，，的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转后得到的图形，请画出； (3)计算的面积． 【答案】(1)图见解析，，， (2)见解析 (3)1.5 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出顶点，，的坐标，然后描点连线即可； （2）利用点旋转的坐标变换规律写出顶点，，的坐标，然后描点连线即可； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积即可． 【详解】（1）利用点平移的坐标变换规律得，，， 描点连线得如图所示；    （2）利用点旋转的坐标变换规律得，，， 描点连线得如图所示； （3）． 【点睛】本题考查了作图中的平移与旋转变换和三角形面积的求法，解题的关键是熟知点平移与旋转的坐标变换规律及割补法的运用． 18．随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式，在一次购物中，马老师和赵老师随机从“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付． (1)请用列表法求两位老师所有可能出现的支付方式； (2)求两位老师恰好都选择“微信”支付的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）把“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，列表可得所有结果； （2）共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：把“微信”“支付宝”“银行卡”三种支付方式分别记为A，B，C． 列表如下： 马老师 赵老师 A B C A B C （2）解：共有9种等可能的结果，其中马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的结果有1种， ∴马老师和赵老师恰好都选择“微信”支付的概率为． 19．如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 20．二次函数的部分图象如图， 其中图象与轴交于点， 与 轴交于点， 且经过点． (1)求此二次函数的解析式 (2)图象过三点， 比较的大小．（用 <连接） (3)直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式即可； （2）根据解析式求得的值，比较即可； （3）根据图象开口方向和与x轴的交点即可作答． 【详解】（1）将、、分别代入中得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）将分别代入中得， ，，， ； （3）令二次函数得，， 解得， ∴二次函数的图象开口向上，与x轴的交点为， ∴的解集为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点作交的延长线于点，若，求此圆半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)圆的半径长是6 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，即可得出是直径； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22．根据以下素材，完成探索任务．                 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果，图1是果园的平面图，其中米，米，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果，出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响 （1）若中间种植的面积是则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润－承包费） （2）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）道路宽度为10米；（2）每平方米草莓平均利润下调48元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）根据题意得： 整理得： 解得：（不符合题意，舍去）， ∴道路宽度为10米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得： 解得： 又∵从客户的角度考虑，要让利于顾客， 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 23．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求圆的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹． （1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，则，再证，可得结论． （3）连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，，根据，可得结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ，， ， ， 的半径为； （2）解：如图，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 24．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是______； (2)点是反比例函数图像上的一个“梦之点”，则该函数图像上的另一个“梦之点”的坐标是______，直线的解析式是______，时，的取值范围是______； (3)如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，，，判断的形状并直接写出外接圆的半径． 【答案】(1) (2)，，或 (3)是直角三角形，外接圆的半径为 【分析】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； （2）把代入求出解析式，再求与的交点即为的坐标，最后根据函数图像判断当时，的取值范围； （3）根据“梦之点”的定义求出点，的坐标，再求出顶点的坐标，最后求出，，，即可判断是直角三角形，故外接圆的半径为． 【详解】（1）解：矩形的顶点坐标分别是，，，， 矩形“梦之点”满足，， 点是矩形“梦之点”，点，不是矩形“梦之点”， 故答案为：； （2）点是反比例函数图像上的一个“梦之点”， 把代入得， ， “梦之点”的横坐标和纵坐标相等， “梦之点”都在直线上， 联立， 解得：或， ， 直线的解析式是， 函数图像如图： 由图可得，当时，的取值范围是或； 故答案为：，，或； （3）是直角三角形，理由如下： 点，是抛物线上的“梦之点”， 联立， 解得：或， ，， ， 顶点， ，，， ， 是直角三角形， 外接圆的半径为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$