专题06 一次函数的应用（七大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题06 一次函数的应用 行程问题 1．（23-24八年级上·重庆璧山·期中）甲，乙两车从地开往地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距时，乙车的行驶时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）【情景再现】周末，李科同学骑车去市图书馆阅览图书．出门匆忙，骑行一段路后，发现借书证落在同学张强家了，于是又返同学张强家中取借书证，并停留了一段时间，之后再继续骑车向图书馆出发，最后到达图书馆． 【学以致用】聪明的李科同学，以所用的时间t为横轴，以离家的距离s为纵轴建立平面直角坐标系，对周末活动做以下示意图，并受到数学老师夸赞． 【解决问题】根据图中提供的信息回答下列问题： (1)张强家到图书馆是 　　米，李科全程的骑行时间是 　　分钟； (2)在整个去图书馆的途中哪个时间段李科骑车速度最慢？最慢的速度是多少米/分？ (3)本次去图书馆的行程中，李科一共骑行了多少米？ 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中），两地相距．甲、乙两人沿同一条路从地到地，、分别表示甲、乙两人离地的距离与乙出发的时间之间的关系．根据图象完成下列问题： (1)乙先出发　　h后，甲才出发． (2)图象中点表示的实际意义是 ． (3)甲的速度是：______，乙的速度是：______ ． (4)乙出发后 小时甲、乙两人相距？ 4．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距 千米；两车 小时后相遇；从乙地到甲地，普通列车用了 小时． (2)求直线的解析式． (3)普通列车和动车的速度分别是多少？ (4)求点的坐标，并解释点的实际意义． 工程问题 5．（23-24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式； (2)当时，甲组挖掘了多少天？ 6．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）甲、乙两个工程组同时挖掘济枣高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了 天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 7．（23-24 八年级上·吉林长春·期中）为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 几何问题 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点A的坐标为，点B在第二、四象限的角平分线(直线l)上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，点是正方形边上一动点，沿着的方向运动，在运动过程中，设点运动的路程为，则能表示与的函数关系的大致图象是（    ） A．B．C．D． 10．（2023-24八年级上·陕西西安·期中）如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 11．（23-24八年级上·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中．四边形为正方形，．若直线和直线被正方形的边所截得的线段长度相等，写出和满足的数量关系 ． 体积问题 12．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知实验表明，某种气体的体积与温度的关系可用公式表示，已测得时，；当是，；则当时， ． 13．（2024·山西朔州·二模）在测量液体密度的实验中，根据测得的液体和烧杯的总质量与液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则当时，m为 g． 14．（2023-24八年级上·吉林长春·期中）已知池中有的水，每小时抽，则剩余水的体积与时间的函数关系式是 ．（写出自变量取值范围） 15．（23-24八年级上·河南郑州·期中）某游泳馆泳池为长方体，其底部是长为，宽为的长方形，经测量可知泳池中现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． (1)写出泳池中水的体积与注水时间t（）之间的函数关系式． (2)注水多长时间后，泳池中水的高度为？ 16．（2023-24八年级上·江苏常州·期中）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止． (1)写出水池中水的体积V(m3)与进水时间t(h)之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)当t=0时，求V的值；当V=70时，求t的值； (3)请在下列平面直角坐标系中画出这个函数的图像． 最大利润问题 17．（23-24八年级上·福建泉州·期中）某公司近期研发出一种新型神奇的扫地机，每台设备成本价为300元，经过市场调研发现，每台售价为400元时年销售量为600台；每台售价为450元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：元）成一次函数关系． (1)完成下面表格，并求年销售量y与销售单价x的函数关系式； 每台售价x（元） 400 年销售y（台） 550 (2)经市场调研一台扫地机最高售价为600元，在每台利润不少于50元的前提下，该公司一年最多可销售几台扫地机，此时公司年利润为多少？ 18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）某商场购进两种商品共200件进行销售，其中商品的件数不大于商品的件数，且不少于50件，两种商品的进价、售价如下表： 进价（元/件） 150 130 售价（元/件） 220 195 (1)设商场购进商品的件数为件，购进两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进多少件？最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件，就从一件的利润中拿出元捐给慈善基金，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润． 19．（2023-24八年级上·河南周口·单元测试）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ (2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 20．（23-24八年级上·山东青岛·期中）某校八年级学生陈强和张红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为6元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 陈强：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可获取利润800元． 张红：我通过调查验证，发现每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在（是常数，且）的关系． (1)求（千克）与（元）的函数关系式； (2)当销售单价为9元时，该超市销售这种水果每天获得的利润为多少元？[利润销售量（销售单价进价）]． 21．（23-24八年级上·山西晋中·期中）某商店购进一批牛奶进行销售，据了解，每箱甲种牛奶的进价比每箱乙种牛奶的进价少元，且购进2箱甲种牛奶和箱乙种牛奶共需元． (1)问甲、乙两种牛奶每箱的进价分别为多少元？ (2)若每箱甲种牛奶的售价为元，每箱乙种牛奶的售价为元，考虑到市场需求，商店决定共购进这两种牛奶共箱，且购进甲种牛奶的数量不少于箱．设购进甲种牛奶箱，总利润为元，请求出总利润（元）与（箱）的函数关系式，并根据函数关系式求出获得最大利润的进货方案． 22．（23-24八年级上·吉林长春·期中）某鞋店销售A、B两种型号的球鞋，销售一双A型球鞋可获利80元，销售一双B型球鞋可获利110元．该鞋店计划一次购进两种型号的球鞋共60双（可以单独购进一种球鞋），将其销售完可获总利润为y元，设其中A型球鞋x双． (1)求y与x的函数关系式． (2)若本次购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍，直接写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，该鞋店如何安排购进方案可获得最大利润，并求出最大利润． 分段计费问题 23．（23-24八年级上·福建漳州·期中）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表： 一次性购买质量 优惠方案 不优惠 超过的部分打七五折 设购买枇杷（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． (1)直接写出关于x的函数表达式； (2)请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 24．（23-24八年级上·云南昆明·期中）某农户准备在一个大棚里种植甲、乙两种水果．实际种植中，甲种水果的种植费用y（元）与种植面积的函数关系如图所示，乙种水果的种植费用为每平方米20元． (1)求y与x的函数关系式； (2)甲、乙两种水果种植面积共，其中，甲种水果的种植面积x满足，怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植费用最少？最少种植费用是多少？ 25．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进入体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化功能，深受老百姓喜爱．刘小姐假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝，已知甲、乙两家超市都以元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费元），食品全部打七折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若刘小姐购买牡丹饼袋，在甲、乙超市所需费用分别为元、元，与之间的函数图像如图所示，回答下列问题：    (1)求出、与之间的函数关系式； (2)若刘小姐准备购买盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 26．（23-24八年级上·云南昆明·期中）鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元旦前夕，某批发商购进两种类型的玫瑰花共100束，其中种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买种类型的玫瑰花所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)若购买种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用． 27．（23-24八年级上·上海松江·期中）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，珍惜水资源成为全球共识，某市为鼓励居民节约用水，对居民供水实施三档阶梯式收费，并依据居民的用水量加收每立方1.8元的污水处理费，具体收费方法见下表，设某用户的年应交水费为y元，年用水量为x立方米，折线是y关于x的函数图像，请结合图表中的信息，解答下列问题． 居民供水阶梯式收费标准 户年用水量x（立方米） 供水价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 第一阶梯 2.2 1.8 第二阶梯 ＿＿＿＿＿ 第三阶梯 7 注：应交水费=供水费用+污水处理费． (1)根据表格中的信息，当小明家的年用水量为200立方米时，小明家的年应交水费是多少元？ (2)当时，是的一次函数．请结合函数图像，求出某用户的年应交水费元与年用水量立方米的函数关系式． (3)第二阶梯的供水价格是＿＿＿＿＿元．当小明家的年应交水费为1360元时，请你判断他家的年用水量是否超过300立方米？＿＿＿＿＿．（填“是”或“否”） 28．（2023-24八年级上·上海闵行·期中）本市城镇居民年度生活天然气收费标准如下表所示： 阶段 使用量（立方米） 单价（元/立方米） 第一阶段 （含） 3.00 第二阶段 （含） 3.30 第三阶段 超过520 4.20 根据表格信息回答问题： (1)一同学家2021年度截止到4月已使用328立方米天然气，求至2021年4月，此同学家中使用燃气总共花费多少钱？ (2)试写出缴纳燃气总费用（元）关于燃气使用量（立方米）的函数解析式． (3)如果该同学家2020年度天然气总缴费1665元，求该同学家2020年度天然气使用总量． 方案设计问题 29．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费． (1)分别求出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； (2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ (3)如果你来印刷产品宣传材料，你会选择哪一家印刷厂，请说明选择理由． 30．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： A B C 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（元） 1200 1800 1500 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案． (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 31．（23-24八年级上·广东佛山·期中）春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少大量礼品包装盒，该网商通过调研，发现这种礼品包装盒的来源有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用（单位：元）与礼品盒数x（单位：盒）满足如图所示的函数关系． 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种礼品盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼盒的费用）（单位：元）与礼品盒数x（单位：盒）满足如图所示的函数关系． 请回答问题： (1)方案一中礼品盒的单价为________元； (2)请分别求出、与x的函数关系式； (3)如何选择方案，才能够更省钱？请说明理由． 32．（23-24八年级上·广东佛山·期中）五一长假期间，4位家长计划带领若干名学生去北京参观升旗礼． 他们联系了两家旅行社，报价均为每人 2000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：4位家长全额收费，学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八五折收费．假设这4位家长带领x名学生去旅游，甲、乙两家旅游行社的收费分别是元和元． (1)分别求甲、乙两家旅行社的收费和关于x的关系式； (2)4名家长选择哪家旅行社会更划算，请说明理由． 33．（23-24八年级上·陕西西安·期中）某公司计划组织员工去旅游，参加人数在10至30人之间．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了各自的优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价收费；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折收费．已知甲、乙两家旅行社的原价均为每人80元． (1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社与旅游人数的函数关系式； (2)当参加的人数为12人时，应该选择哪家旅行社比较合算？ (3)若公司计划用1200元作为旅游经费，为了使更多的员工参加，应该选择哪家旅行社？ 34．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）某家政服务公司选派18名清洁工去打扫新装修的宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． (1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式； (2)应该怎样安排这18名清洁工清扫，才能一天为家政服务公司创收5600元？ 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）九个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，则该直线的函数表达式为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时． 3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．    （）货车行驶的速度为 ；（）两车出发 时，两车相距． 4．（23-24八年级上·北京·期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表： A盲盒 B盲盒 C盲盒 运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副 手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个 迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个 （1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为 个； （2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为 元． 5．（23-24八年级上·全国·期中）随着智能产品的走红，某销售公司新进一批网红智能家电，售价为2000元/件，设这批智能家电的销售成本和销售额分别为（单位：万元），其中销售成本与销量 x（件）的关系如图所示． (1)直接写出销售成本，销售额与销量x之间的关系式；； (2)请用图象法求当销量为多少件时，该公司会盈利（销售额大于销售成本）． 6．（23-24八年级上·全国·期中）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题： (1)乙队开挖到30米时，用了 小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 米； (2)请你求出： ①甲队在的时段内，与之间的函数关系式； ②乙队在的时段内，与之间的函数关系式； ③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队． (3)如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？ 7．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期中）声音在空气中传播的速度（简称“声速”）和气温有下表中的关系： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 (1)随着T的增大，v将随之_____________（填“增大”或“不变”或“减小”）． (2)根据表中数据的变化，你发现了什么规律？写出v与T之间的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）． (3)根据你发现的规律，回答下列问题： 在气温为的某个夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么打雷的地方距小明大约多远？ 8．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式．方式A：以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B：除收每月基本费用20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费． (1)设上网所用时间为分钟，选择方式A时，计费为元，选择方式B时计费为元，请分别写出，与之间的关系式： (2)小王准备在两种上网方式中选择一种，请你帮他选择上网方案． 9．（23-24八年级上·广西柳州·期中）小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，1支百合的价格比1支康乃馨的价格多1元． (1)求买一支百合和一支康乃馨各需多少元？ (2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨a支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与a之间的函数关系式： ②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）甲、乙两个工程队分别同时铺设两条公路，所铺设公路的长度与铺设时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息分析，解决下列问题： (1)在2时时段时，乙队的工作效率为______； (2)求出甲乙两队所铺设公路长度相等时x的值； (3)求出当两队所铺设的公路长度之差为时x的值． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 12．（23-24八年级上·上海·期中）为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按25元/根的价格出售，设该学校购买甲种跳绳x根，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共100根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过60根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额w最少？ 13．（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 14．（23-24八年级上·广东深圳·期中）已知甲乙两地相距，一辆轿车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车匀速沿同一条路线从乙地前往甲地，两车同时出发，经过后两车第一次相遇．轿车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早一个小时到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是______； (2)求轿车到达乙地再返回甲地所花费的时间； (3)轿车在返回甲地的过程中与货车相距，直接写出货车已经从乙地出发了多长时间？ 15．（23-24八年级上·江苏南通·期中）家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A，B两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售； B厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该家电超市计划购买充电器x个，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元． (1)分别求出、与x之间的函数关系； (2)若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？ 16．（23-24八年级上·重庆·期中）已知甲、乙两地相距10千米，小诚从乙地出发，匀速骑行至甲地，在甲地休息一段时间后，便以原速度的匀速返回乙地．小诚从乙地出发10分钟后，小勤从甲地出发至乙地，小勤先匀速步行至两地中点，再从中点匀速慢跑至乙地，最后两人同时到达乙地．在运动过程中，小诚和小勤距甲地的距离y（千米）与小勤出发的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：    (1)小勤出发时，小诚骑行路程为______千米，小勤出发______小时后步行至甲、乙中点，小诚从乙地到甲地的骑行速度为______千米/小时，小勤的步行速度为______千米/小时； (2)写出小勤距甲地的距离y（千米）和x（小时）的关系式； (3)小勤出发多少小时后，两人在小勤未到达甲、乙中点前相距500米． 17．（23-24·八年级上 河南周口·期中）为了让学生德智体美劳全面发展，提高学生们的动手能力，致远中学成立了烹饪社团．为满足社团活动的需求，计划购买炒锅20口，通过市场调查了解到：若购进A种炒锅10口，B种炒锅5口，需要1325元；若购进A种炒锅4口，B种炒锅3口，需要595元． (1)求购进A，B两种炒锅每口分别需要多少元？ (2)商家了解到学校社团实际需求，特推出以下优惠措施： 购买数量少于10口 购买数量不少于10口 A炒锅 不打折 打8折 B炒锅 不打折 打7.5折 根据需求，要求购买B种炒锅的数量不多于A种炒锅数量的，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出其所需费用． 18．（23-24八年级上·福建泉州·期中）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是20元且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表（为常数）： 一次性购买质量 优惠方案 不优惠 超过的部分打八折 设购买枇杷，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． (1)写出，关于的函数表达式； (2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买的枇杷，结果费用相同，求的值； (3)在（2）的条件下，请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数的应用 行程问题 1．（23-24八年级上·重庆璧山·期中）甲，乙两车从地开往地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发，并且甲车途中休息了，甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距时，乙车的行驶时间为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可得， 甲的速度为： 乙的速度为： 当甲、乙两车相距时，设乙车的行驶时间为，则 或 解得：或 故选：B． 2．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）【情景再现】周末，李科同学骑车去市图书馆阅览图书．出门匆忙，骑行一段路后，发现借书证落在同学张强家了，于是又返同学张强家中取借书证，并停留了一段时间，之后再继续骑车向图书馆出发，最后到达图书馆． 【学以致用】聪明的李科同学，以所用的时间t为横轴，以离家的距离s为纵轴建立平面直角坐标系，对周末活动做以下示意图，并受到数学老师夸赞． 【解决问题】根据图中提供的信息回答下列问题： (1)张强家到图书馆是 　　米，李科全程的骑行时间是 　　分钟； (2)在整个去图书馆的途中哪个时间段李科骑车速度最慢？最慢的速度是多少米/分？ (3)本次去图书馆的行程中，李科一共骑行了多少米？ 【答案】(1)1500，4 (2)从开始到6分钟的速度最慢，速度是 (3)小华一共骑行的路程是： 【详解】（1）小华到学校的路程是，在书店停留的时间是． 故答案为：1500，4； （2） 从开始到6分钟的速度是＝， 从6分钟到8分钟的速度是：； 从12分钟到14分钟的速度是：． 则从开始到6分钟的速度最慢，速度是； （3）小华一共骑行的路程是：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，正确根据图象理解运动过程是关键． 3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中），两地相距．甲、乙两人沿同一条路从地到地，、分别表示甲、乙两人离地的距离与乙出发的时间之间的关系．根据图象完成下列问题： (1)乙先出发　　h后，甲才出发． (2)图象中点表示的实际意义是 ． (3)甲的速度是：______，乙的速度是：______ ． (4)乙出发后 小时甲、乙两人相距？ 【答案】(1)1 (2)当乙走时被甲追上，此时他们距A地的路程是 (3)40； (4)或或或 【详解】（1）解：由图可知，乙先出发后，甲才出发， 故答案为：1； （2）解：点表示的实际意义是乙出发1.5小时，在距出发点处被甲追上； 故答案为：乙出发1.5小时，在距出发点处被甲追上； （3）解：由图可知，甲的速度为， 乙的速度为， 故答案为：40，； （4）解：甲未出发时，； 甲出发未追上乙时， 解得：； 甲追上乙但未到地时，， 解得：； 甲到地后，乙距地时，， 解得：； 综上所述，乙出发后或或或时，甲、乙两人相距； 故答案为： 或或或． 4．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距 千米；两车 小时后相遇；从乙地到甲地，普通列车用了 小时． (2)求直线的解析式． (3)普通列车和动车的速度分别是多少？ (4)求点的坐标，并解释点的实际意义． 【答案】(1)，， (2) (3)普通列车和动车的速度分别是千米时和千米时 (4)点的坐标是，实际意义是：此时动车从甲地到达乙地 【详解】（1）当时，两车之间的距离为甲、乙两地之间的距离， 甲、乙两地相距千米． 当时，两车之间的距离为， 两车小时后相遇． 根据函数图象可知，当时，普通列车到达甲地， 从乙地到甲地，普通列车用了小时． 故答案为：，，． （2）设直线的解析式为，将坐标和代入， 得，解得， 直线的解析式为． （3）普通列车的速度是千米时， 动车的速度是千米时． 普通列车和动车的速度分别是千米时和千米时． （4）设． ，， 点的坐标是． 根据图象可知，点的实际意义是：此时动车从甲地到达乙地． 工程问题 5．（23-24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两个工程组同时挖掘延西高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． (1)当时，求甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式； (2)当时，甲组挖掘了多少天？ 【答案】(1) (2)40天 【详解】（1）解：当时，设甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：， 解得：， 甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， 解得：， 当时，甲组挖掘了天． 6．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）甲、乙两个工程组同时挖掘济枣高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y（m）与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了 天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图象可知，甲乙合作共挖掘了天，甲单独挖掘了天，即甲组比乙组多挖掘天. 故答案为:. （2）设乙组停工后关于的函数解析式为：, 把代入得： ，解得 ， ∴函数关系式为：． 7．（23-24 八年级上·吉林长春·期中）为推进乡村振兴发展，某区决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工2天，乙工程队再开始施工，乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙工程队每天修公路_________米． (2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式． (3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 【答案】(1)180 (2)甲：；乙： (3)6天 【详解】（1）解：乙工程队每天修公路（米）， 故答案为：180． （2）解：， 两个函数图像的交点坐标为， 设甲工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 将代入得：，解得， 则甲工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 设乙工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为， 将点，代入得：，解得， 则乙工程队修公路的长度（米）与施工时间（天）之间的函数关系式为． （3）解：设若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需天完成， 甲工程队每天修公路（米）， 公路的总长度为（米）， 由题意得：， 解得， 答：若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需6天完成． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，从函数图像中正确获取信息是解题关键． 几何问题 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点A的坐标为，点B在第二、四象限的角平分线(直线l)上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当线段最短时， ∵l 为第二、四象限的角平分线， ∴ 又∵， ∴． ∴为等腰直角三角形． 作轴于点C， 则 ∵点B 在第四象限， 故选 B． 9．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，点是正方形边上一动点，沿着的方向运动，在运动过程中，设点运动的路程为，则能表示与的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设正方形的边长为， 当点在边上时，，为正比例函数，随的增大而增大； 当点在边上时，，为一次函数，随的增大而减小； 当点在边上时，，为一次函数，随的增大而增大； 综上，随先增大而增大，再增大而减小，最后又增大而增大， 故选：． 10．（2023-24八年级上·陕西西安·期中）如图1，在长方形中，E为边上一点，点P是长方形中边上的动点，点P从点B出发沿着B→C→D→E的路线向点E匀速运动．若P点的运动速度为，则随着时间t的变化，的面积也随之变化，变化情况如图2所示，当 s时，的面积为． 【答案】或 【详解】解：由图可知：当点P在上运动时面积逐渐增加，在上运动时面积不变，在上运动时面积逐渐减小， P在上运动了，在上运动了，在上运动了， P点的运动速度为， ，，， 四边形是长方形， ，， ， 的边上的高为：， 当是，， 当时，则， ， ， 故答案为：或． 11．（23-24八年级上·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中．四边形为正方形，．若直线和直线被正方形的边所截得的线段长度相等，写出和满足的数量关系 ． 【答案】 【详解】解：设直线和直线被正方形的边所截得的线段分别为、，如图，连接 根据题意，当，，又， ∴， ∴， ∵当时，，当时，由得， ∴，， ∵点的坐标为，， ∴， ∴，代入中，得， ∴， 体积问题 12．（23-24八年级上·浙江温州·期中）已知实验表明，某种气体的体积与温度的关系可用公式表示，已测得时，；当是，；则当时， ． 【答案】30 【详解】解：∵当时，；当是，， ∴， 解得， ∴气体的体积与温度的关系式为：， 当时，． 故答案为：30． 13．（2024·山西朔州·二模）在测量液体密度的实验中，根据测得的液体和烧杯的总质量与液体的体积，绘制了如图所示的函数图象（图中为一线段），则当时，m为 g． 【答案】212 【详解】解：由图象可得：液体和烧杯的总质量与液体的体积为一次函数关系， 设， 将，代入解析式得：， 解得：， ， 当时，， 故答案为：． 14．（2023-24八年级上·吉林长春·期中）已知池中有的水，每小时抽，则剩余水的体积与时间的函数关系式是 ．（写出自变量取值范围） 【答案】Q=600-50t（） 【详解】根据题意有：， ∵， ∴，解得， ∵， ∴t的取值范围：， 故答案为：（）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，明确题意是解答本题的基础． 15．（23-24八年级上·河南郑州·期中）某游泳馆泳池为长方体，其底部是长为，宽为的长方形，经测量可知泳池中现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水． (1)写出泳池中水的体积与注水时间t（）之间的函数关系式． (2)注水多长时间后，泳池中水的高度为？ 【答案】(1) (2)8小时 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴与的函数关系式为． （2）当泳池中水的高度为时，水的体积为， 当时，得，解得， ∴注水后，泳池中水的高度为． 16．（2023-24八年级上·江苏常州·期中）一水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以5m3/h的速度向水池注水，直到注满为止． (1)写出水池中水的体积V(m3)与进水时间t(h)之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)当t=0时，求V的值；当V=70时，求t的值； (3)请在下列平面直角坐标系中画出这个函数的图像． 【答案】(1)V=10+5t（0≤t≤16）； (2)10；12 (3)见解析 【详解】（1）解：由题意，得V=5t+10． ∵5t+10≤90， ∴t≤16． ∵t≥0， ∴0≤t≤16． 答：水的体积V（m3）与进水时间t（h）之间的函数表达式为V=10+5t（0≤t≤16）； （2）解：当t=0时， V=10； 当V=70时，即70=10+5t 解得：t=12； （3）解：列表为 t 0 16 V=5t+10 10 90 描点并连线，这个函数的图像为： ， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值及由函数值求自变量的值的运用，列表法画函数图象的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 最大利润问题 17．（23-24八年级上·福建泉州·期中）某公司近期研发出一种新型神奇的扫地机，每台设备成本价为300元，经过市场调研发现，每台售价为400元时年销售量为600台；每台售价为450元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：元）成一次函数关系． (1)完成下面表格，并求年销售量y与销售单价x的函数关系式； 每台售价x（元） 400 年销售y（台） 550 (2)经市场调研一台扫地机最高售价为600元，在每台利润不少于50元的前提下，该公司一年最多可销售几台扫地机，此时公司年利润为多少？ 【答案】(1)见解析； (2)该公司一年最多可销售650台扫地机，此时公司年利润为32500元． 【详解】（1）解：完成下面表格， 每台售价x（元） 400 450 年销售y（台） 600 550 设年销售量y与销售单价x的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为； （2）解：由（1）得：年销售量y与销售单价x的函数关系式为， ∵， ∴当x取最小值时，y取最大值， ∵在每台利润不少于50元的前提下， ∴x的最小值为， ∴y的最大值为， ∴此时公司年利润为（元）， 答：该公司一年最多可销售650台扫地机，此时公司年利润为32500元． 18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）某商场购进两种商品共200件进行销售，其中商品的件数不大于商品的件数，且不少于50件，两种商品的进价、售价如下表： 进价（元/件） 150 130 售价（元/件） 220 195 (1)设商场购进商品的件数为件，购进两种商品全部售出后获得利润为元，求和之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在（1）的条件下，要使商场获得最大利润，该公司应购进多少件？最大利润是多少？ (3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件，就从一件的利润中拿出元捐给慈善基金，求该商场售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大利润． 【答案】(1)； (2)该公司应购进商品件，最大利润是元； (3)最大利润为元． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 商品的件数不大于商品的件数，且不小于件， ， 解得， 即与之间的函数关系式是； （2）解：与之间的函数关系式是； 随的增大而增大， 当时，利润最大，最大利润为：． 答：该公司应购进商品件，最大利润是元； （3）解：设最后获得的利润为元， 由题意可得：， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时， 答：该商场应购进商品件，方可获得最大利润，最大利润为元． 19．（2023-24八年级上·河南周口·单元测试）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值： 总计/ 总计/ (2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值为； (2)，调运方案见解析； (3)调运方案见解析． 【详解】（1）解：（）填表如下：             总计/ 总计/ 依题意得：， 解得， ∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为； （2）解：与之间的函数关系为： 由题意得：， ∴， ∵在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，总运费最小， 此时调运方案为： 总计/ 总计/ （3）解：由题意得， ∴当时，（）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变； 当时，总费用最小，其调运方案如下： 总计/ 总计/ 20．（23-24八年级上·山东青岛·期中）某校八年级学生陈强和张红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为6元/千克，下面是他们在活动结束后的对话． 陈强：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可获取利润800元． 张红：我通过调查验证，发现每天的销售量（千克）与销售单价（元）之间存在（是常数，且）的关系． (1)求（千克）与（元）的函数关系式； (2)当销售单价为9元时，该超市销售这种水果每天获得的利润为多少元？[利润销售量（销售单价进价）]． 【答案】(1) (2)690元 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 则可列方程为， 解得， 则． （2）解：当时，， 则（元）， 答：该超市销售这种水果每天获得的利润为690元． 21．（23-24八年级上·山西晋中·期中）某商店购进一批牛奶进行销售，据了解，每箱甲种牛奶的进价比每箱乙种牛奶的进价少元，且购进2箱甲种牛奶和箱乙种牛奶共需元． (1)问甲、乙两种牛奶每箱的进价分别为多少元？ (2)若每箱甲种牛奶的售价为元，每箱乙种牛奶的售价为元，考虑到市场需求，商店决定共购进这两种牛奶共箱，且购进甲种牛奶的数量不少于箱．设购进甲种牛奶箱，总利润为元，请求出总利润（元）与（箱）的函数关系式，并根据函数关系式求出获得最大利润的进货方案． 【答案】(1)每箱甲种牛奶的进价为元，每箱乙种牛奶的进价为元． (2)总利润（元）与（箱）的函数关系式为；获得最大利润的进货方案为购进甲种牛奶箱，乙种牛奶箱． 【详解】（1）解：设每箱甲种牛奶的进价为元，则每箱乙种牛奶的进价为元， 依题意得， 解得：， 所以， 答：每箱甲种牛奶的进价为元，每箱乙种牛奶的进价为元． （2）由题可得， 化简得：， 因为，， 所以当时，随的增大而减小， 所以当时，有最大值，此时乙种牛奶数量为（箱）， 答：总利润（元）与（箱）的函数关系式为；获得最大利润的进货方案为购进甲种牛奶箱，乙种牛奶箱． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，一次函数，一元一次不等式的综合，熟练掌握利润与进购量之间的数量关系是解决问题的关键． 22．（23-24八年级上·吉林长春·期中）某鞋店销售A、B两种型号的球鞋，销售一双A型球鞋可获利80元，销售一双B型球鞋可获利110元．该鞋店计划一次购进两种型号的球鞋共60双（可以单独购进一种球鞋），将其销售完可获总利润为y元，设其中A型球鞋x双． (1)求y与x的函数关系式． (2)若本次购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍，直接写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，该鞋店如何安排购进方案可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)且x为正整数 (3)鞋店购进A型球鞋20双，购进B型球鞋40双，才能使销售利润最大，最大利润是6000元 【详解】（1）解：根据题意得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：∵购进B型球鞋的数量不超过A型球鞋的2倍， ∴， 解得：， ∴自变量x的取值范围为且x为正整数； （3）解：在中， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴时，y取最大值， 最大值是（元），此时， 答：鞋店购进A型球鞋20双，购进B型球鞋40双，才能使销售利润最大，最大利润是6000元 【点睛】本题考查一次函数的增减性、一元一次不等式的应用等，明确题意，熟练掌握一次函数的性质及不等式的解法是解决本题的关键． 分段计费问题 23．（23-24八年级上·福建漳州·期中）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表： 一次性购买质量 优惠方案 不优惠 超过的部分打七五折 设购买枇杷（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． (1)直接写出关于x的函数表达式； (2)请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 【答案】(1)； (2)当时，到甲商店购买更合算；当时，到甲乙两家商店购买费用相同；当时，到乙商店购买更合算合算． 【详解】（1）解：根据题意得：； 当时，， 当时，， 综上，． （2）解：①当，，，即， ∴选择甲商店更合算； 由，解得， ②当时，到甲商店购买更合算； ③当时，到甲乙两家商店购买费用相同； ④当时，到乙商店购买更合算． 综上，当时，到甲商店购买更合算；当时，到甲乙两家商店购买费用相同；当时，到乙商店购买更合算． 24．（23-24八年级上·云南昆明·期中）某农户准备在一个大棚里种植甲、乙两种水果．实际种植中，甲种水果的种植费用y（元）与种植面积的函数关系如图所示，乙种水果的种植费用为每平方米20元． (1)求y与x的函数关系式； (2)甲、乙两种水果种植面积共，其中，甲种水果的种植面积x满足，怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植费用最少？最少种植费用是多少？ 【解析】（1）解：当时，设， 把代入中得：， 解得，即； 当时，设， 把，代入中得， 解得，∴， 综上所述，； （2）解：设种植费用为W元， 根据题意可得甲种水果的种植面积为，则乙种水果的种植面积为， ∴． ， ∴随的增大而减小， 当时．元， 当甲种水果的种植面积为时，总费用最少，最少总费用为元． 此时乙种水果的种植面积为． 答：甲种水果的种植面积为，乙种水果的种植面积为时，才能使种植总费用最少，最少总费用为元． 25．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进入体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化功能，深受老百姓喜爱．刘小姐假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给家人和朋友品尝，已知甲、乙两家超市都以元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费元），食品全部打七折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若刘小姐购买牡丹饼袋，在甲、乙超市所需费用分别为元、元，与之间的函数图像如图所示，回答下列问题：    (1)求出、与之间的函数关系式； (2)若刘小姐准备购买盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】(1)； (2)在乙超市购买更划算 【详解】（1）解：甲超市： 根据题意得：； 乙超市： 当时，设，过点， ∴， ∴， ∴； 当时，； ∴；； （2）当时， （元）， （元）， ∵， ∴在乙超市购买更划算． 26．（23-24八年级上·云南昆明·期中）鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元旦前夕，某批发商购进两种类型的玫瑰花共100束，其中种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买种类型的玫瑰花所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求与的函数关系式； (2)若购买种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用． 【答案】(1) (2)购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元 【详解】（1）解：由图知：当时，设函数关系式为，把点代入得到， ， 解得， ∴． 当时，设与的函数关系式为． 它的图象经过点与点． ， 解这个方程组，得， ∴， 与的函数关系式为． （2）设购买种类型玫瑰花的数量为束，则A种类型的玫瑰花的数量为束，总费用为元． 由题知：且，解得． ． ， 随的增大而减小． ， 当时，有最小值为元． 此时，A种类型的玫瑰花：（束）． 答：购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元． 27．（23-24八年级上·上海松江·期中）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，珍惜水资源成为全球共识，某市为鼓励居民节约用水，对居民供水实施三档阶梯式收费，并依据居民的用水量加收每立方1.8元的污水处理费，具体收费方法见下表，设某用户的年应交水费为y元，年用水量为x立方米，折线是y关于x的函数图像，请结合图表中的信息，解答下列问题． 居民供水阶梯式收费标准 户年用水量x（立方米） 供水价格（元/立方米） 污水处理费（元/立方米） 第一阶梯 2.2 1.8 第二阶梯 ＿＿＿＿＿ 第三阶梯 7 注：应交水费=供水费用+污水处理费． (1)根据表格中的信息，当小明家的年用水量为200立方米时，小明家的年应交水费是多少元？ (2)当时，是的一次函数．请结合函数图像，求出某用户的年应交水费元与年用水量立方米的函数关系式． (3)第二阶梯的供水价格是＿＿＿＿＿元．当小明家的年应交水费为1360元时，请你判断他家的年用水量是否超过300立方米？＿＿＿＿＿．（填“是”或“否”） 【答案】(1)小明家的年应交水费是元 (2) (3)；是 【详解】（1）解：由表可知，当小明家的年用水量为200立方米时，按照第一阶梯收费， 元， 答：小明家的年应交水费是元； （2）设时，水费元与年用水量立方米的函数关系式为， 由图可知函数过，， ，解得：， 水费元与年用水量立方米的函数关系式为：； （3）设第二阶梯收费为a元， 由图可知，当应交水费为1112元时， ， 解得：， 当时，， 用水量超过300立方米， 故答案为：；是． 【点睛】本题考查了有理数四则运算的应用，一次函数的应用，一元一次方程的应用，有函数图象读取信息，读懂图象找到等量关系是解答本题的关键． 28．（2023-24八年级上·上海闵行·期中）本市城镇居民年度生活天然气收费标准如下表所示： 阶段 使用量（立方米） 单价（元/立方米） 第一阶段 （含） 3.00 第二阶段 （含） 3.30 第三阶段 超过520 4.20 根据表格信息回答问题： (1)一同学家2021年度截止到4月已使用328立方米天然气，求至2021年4月，此同学家中使用燃气总共花费多少钱？ (2)试写出缴纳燃气总费用（元）关于燃气使用量（立方米）的函数解析式． (3)如果该同学家2020年度天然气总缴费1665元，求该同学家2020年度天然气使用总量． 【答案】(1)此同学家中使用燃气总共花费元 (2) (3)该同学家2020年度天然气使用总量为立方米 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：此同学家中使用燃气总共花费元； （2）解：由题意得：； （3）解：由（2）知，， 当时，， ∵， ∴该同学家2020年度天然气总使用量超过了520立方米， （立方米）， 答：该同学家2020年度天然气使用总量为立方米． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解收费标准，列出函数关系式是解题的关键． 方案设计问题 29．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费． (1)分别求出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式； (2)印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？ (3)如果你来印刷产品宣传材料，你会选择哪一家印刷厂，请说明选择理由． 【答案】(1)， (2)选择乙厂比较合算 (3)时，选择甲厂印刷；时，选择甲、乙厂印刷都可以；时，选择乙厂印刷 【详解】（1）解：甲厂：， 乙厂：； （2）时， 甲厂：， 乙厂：， ∵， ∴印制份宣传材料时，选择乙厂比较合算． （3）解：当时，即时，选择甲厂印刷； 当时，即时，选择甲、乙厂印刷都可以； 当时，即时，选择乙厂印刷． 30．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）国庆节期间，某水果公司组织20辆汽车装运A、B、C三种水果共120吨去外地销售，要求20辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于3辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： A B C 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（元） 1200 1800 1500 (1)设装运A水果的车辆为x辆，装B水果的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并求出车辆安排共有几种方案． (2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值． 【答案】(1)，共有6种方案 (2)装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元 【详解】（1）设装运A水果的车辆为x辆，装运B水果的车辆为y辆，则运C水果的车辆为辆． ； 由题意得： ， 解得： ， ∵x为正整数， 故共有6种方案； （2）， 即， ， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值198900元， ∴装运A水果的车辆为3辆，装运B水果的车辆为14辆，装运C水果的车辆为3辆时，此次销售获利最大，最大利润为198900元． 31．（23-24八年级上·广东佛山·期中）春节临近，某网商紧急备货，但目前缺少大量礼品包装盒，该网商通过调研，发现这种礼品包装盒的来源有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂订购，购买所需费用（单位：元）与礼品盒数x（单位：盒）满足如图所示的函数关系． 方案二：从纸箱厂租赁机器，自己加工制作这种礼品盒，所需费用（包括租赁机器的费用和生产礼盒的费用）（单位：元）与礼品盒数x（单位：盒）满足如图所示的函数关系． 请回答问题： (1)方案一中礼品盒的单价为________元； (2)请分别求出、与x的函数关系式； (3)如何选择方案，才能够更省钱？请说明理由． 【答案】(1)3 (2)； (3)当时，两种方案同样省钱；当时，选择方案一；当时，选择方案二．理由见解析 【详解】（1）解：由图象得：， 方案一的盒子单价为3元； 故答案为3； （2）解：设图象的函数解析式为：， 由图象知函数经过点， ， 解得， 函数的解析式为； 设图象的函数关系式为， 由图象知道函数的图象经过点和 ， 解得：， 函数的解析式为； （3）解：令， 解得， 当时，两种方案同样省钱； 当时，选择方案一更省钱； 当时，选择方案二更省钱． 32．（23-24八年级上·广东佛山·期中）五一长假期间，4位家长计划带领若干名学生去北京参观升旗礼． 他们联系了两家旅行社，报价均为每人 2000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：4位家长全额收费，学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八五折收费．假设这4位家长带领x名学生去旅游，甲、乙两家旅游行社的收费分别是元和元． (1)分别求甲、乙两家旅行社的收费和关于x的关系式； (2)4名家长选择哪家旅行社会更划算，请说明理由． 【答案】(1)甲、乙旅行社的收费分别为：元，元； (2)当学生数多于12人时，选择甲旅行社，当学生数少于12人时，选择乙旅行社，当学生数为12人时，甲乙均可． 【详解】（1）根据题意得：甲旅行社收费元， 乙旅行社收费元， 答：甲、乙旅行社的收费分别为：元，元； （2）若，即，解得； 若，即，解得； 若，即，解得； 答：当学生数多于12人时，选择甲旅行社，当学生数少于12人时，选择乙旅行社，当学生数为12人时，甲乙均可． 【点睛】本题考查了一次函数、一元一次不等式的应用以及解一元一次方程，根据数量关系，找出、关于的函数关系式是解题的关键． 33．（23-24八年级上·陕西西安·期中）某公司计划组织员工去旅游，参加人数在10至30人之间．甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了各自的优惠方案．甲旅行社的优惠方案是：买3张全票，其余人按半价收费；乙旅行社的优惠方案是：一律按6折收费．已知甲、乙两家旅行社的原价均为每人80元． (1)分别表示出甲旅行社收费，乙旅行社与旅游人数的函数关系式； (2)当参加的人数为12人时，应该选择哪家旅行社比较合算？ (3)若公司计划用1200元作为旅游经费，为了使更多的员工参加，应该选择哪家旅行社？ 【答案】(1)， (2)选择乙旅行社比较合算 (3)为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社 【详解】（1）解：由题意，得：； ； （2）解：当时，，， ∴； 故选择乙旅行社比较合算． （3）解：当时：，解得：； 当时：，解得：； ∵， ∴为了使更多的员工参加，应该选择甲旅行社． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．根据题意，正确的列出一次函数表示式，是解题的关键． 34．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期中）某家政服务公司选派18名清洁工去打扫新装修的宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． (1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式； (2)应该怎样安排这18名清洁工清扫，才能一天为家政服务公司创收5600元？ 【答案】(1) (2)10名清洁工清扫大房间，8名清扫小房间 【详解】（1）设派有x人清扫大房间，则有人清扫小房间，由题意得 ∴； （2）当时， ， 解得：， 人. 答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，8名清扫小房间． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式． 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）九个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，则该直线的函数表达式为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵经过原点的直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分， ∴两部分的面积分别为3和6， 当直线下方的面积为3时，如图，则：，由图可知：点的横坐标为4， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入解析式，得：， ∴； 当直线上方的部分为3时，如图，则：，由图可知：点的纵坐标为3， 则：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入解析式，得：， ∴； 综上：或； 故选：C． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留小时，再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止已知两车距甲地的距离（）与所用的时间()的关系如图所示当两车相距时，两车出发了 小时． 【答案】4或或 【详解】解：由图象可知： 小轿车的速度为：， 大客车的速度为：． 设两车出发后两车相距． 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 当两车相距时，两车出发了小时或小时或小时． 故答案为：或或． 3．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．    （）货车行驶的速度为 ；（）两车出发 时，两车相距． 【答案】 ； 或． 【详解】() 由图象可得，货车行驶的速度为： 故答案为: ； ()由题意可求得所在直线的表达式为，则时，， ∴点的坐标为， ∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需， ∴点坐标为， 设线段所在直线的函数表达式为，将点， 代入 ，解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为， 设段的函数表达式为，将代入可求得， ∴线段的函数表达式为 ， 当轿车休息前与货车相距时，，解得 当轿车休息后与货车相距时，，解得 则两车出发小时或小时后相距， 故答案为:或． 4．（23-24八年级上·北京·期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某超市将运动耳机、手办模型、迷你音箱各若干个搭配成A，B，C三种盲盒，具体信息如下表： A盲盒 B盲盒 C盲盒 运动耳机（成本：60元/副） 3副 0副 2副 手办模型（成本：45元/个） 0个 2个 3个 迷你音箱（成本：75元/个） 4个 6个 3个 （1）若某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为 个； （2）已知某个月超市销售的三种盲盒的总成本为32100元，且一共销售盲盒65个（每种盲盒至少销售了1个），则迷你音箱的总成本最多为 元． 【答案】 4 【详解】解：（1）某天超市销售的B盲盒总成本为2160元，则B盲盒的销售数量为：． 故答案为4． （2）设销售A盲盒的个数为x，B盲盒的个数y，则销售C盲盒的个数为个， 则有：，解得：， 所以销售C盲盒的个数为个， 所以迷你音箱的总成本，整理得：， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 当时，y有最大值， ∴迷你音箱的总成本最多为． 5．（23-24八年级上·全国·期中）随着智能产品的走红，某销售公司新进一批网红智能家电，售价为2000元/件，设这批智能家电的销售成本和销售额分别为（单位：万元），其中销售成本与销量 x（件）的关系如图所示． (1)直接写出销售成本，销售额与销量x之间的关系式；； (2)请用图象法求当销量为多少件时，该公司会盈利（销售额大于销售成本）． 【答案】(1)；； (2)当销量大于20件时，该公司会盈利． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， ∴， ∴； 由题意得，， 故答案为：；； （2）解：联立，解得， ∴由函数图象可知，当销量大于20件时，该公司会盈利． 6．（23-24八年级上·全国·期中）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题： (1)乙队开挖到30米时，用了 小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 米； (2)请你求出： ①甲队在的时段内，与之间的函数关系式； ②乙队在的时段内，与之间的函数关系式； ③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队． (3)如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？ 【答案】(1)， (2)①；②；③4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队 (3)甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米 【详解】（1）解：从图象可以看出乙队开挖到30米时，用了2小时． 开挖6小时时，甲队比乙队多挖（米）； 故答案为：2；10； （2）解：①设甲队在的时段内y与x之间的函数关系式为， 由图可知，函数图象过点， ∴， 解得， ∴； ②设乙队在的时段内y与x之间的函数关系式为， 由图可知，函数图象过点， ∴， 解得， ∴； ③由题意得：， 解得， ∴4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队； （3）解：由图可知，甲队速度是：（米/时）， 设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z米，依题意，得， 解得． 答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米． 7．（23-24八年级上·宁夏石嘴山·期中）声音在空气中传播的速度（简称“声速”）和气温有下表中的关系： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 (1)随着T的增大，v将随之_____________（填“增大”或“不变”或“减小”）． (2)根据表中数据的变化，你发现了什么规律？写出v与T之间的函数解析式（不需要写自变量的取值范围）． (3)根据你发现的规律，回答下列问题： 在气温为的某个夏夜，小明在看到闪电后听到雷声，那么打雷的地方距小明大约多远？ 【答案】(1)增大； (2)气温每升高，速度增加；； (3)打雷的地方距小明大约 【详解】（1）解：由表格可知，随着T的增大，v将随之增大， 故答案为：增大； （2）解：由表中数据的变化发现，气温每升高，速度增加， 即气温每升高，速度增加， ； （3）解：当时，， 小明在看到闪电后听到雷声， ， 即打雷的地方距小明大约． 8．（23-24八年级上·辽宁丹东·期中）一家电信公司给顾客提供两种上网计费方式．方式A：以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式B：除收每月基本费用20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用的时间计费． (1)设上网所用时间为分钟，选择方式A时，计费为元，选择方式B时计费为元，请分别写出，与之间的关系式： (2)小王准备在两种上网方式中选择一种，请你帮他选择上网方案． 【答案】(1)， (2)见解析 【详解】（1）根据题意得： ，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 当上网时间为400分钟时，，两种上网方式计费相同，任选一种即可； 当上网时间超过400分钟时，应该选择种上网方式； 当上网时间少于400分钟时，应该选择种上网方式． 9．（23-24八年级上·广西柳州·期中）小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，1支百合的价格比1支康乃馨的价格多1元． (1)求买一支百合和一支康乃馨各需多少元？ (2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨a支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与a之间的函数关系式： ②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 【答案】(1)一支百合的价格为元，一支康乃馨的价格为元 (2)①；②当时，的值最小，最小值为元 【详解】（1）解：设1支康乃馨的价格为元，则1支百合的价格为元， ∴， 解得，， ∴（元）， ∴一支百合的价格为元，一支康乃馨的价格为元； （2）解：①康乃馨和百合共11支，设买康乃馨有a支，则百合有支，且， ∴， ∴w与a之间的函数关系式为：； ②∵， ∴w与a的增大而减小， ∴当时，的值最小，即最小值为：（元）， ∴当时，的值最小，最小值为元． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）甲、乙两个工程队分别同时铺设两条公路，所铺设公路的长度与铺设时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息分析，解决下列问题： (1)在2时时段时，乙队的工作效率为______； (2)求出甲乙两队所铺设公路长度相等时x的值； (3)求出当两队所铺设的公路长度之差为时x的值． 【答案】(1)5 (2)4 (3)当两队所铺设的公路之差为时，x的值为1或3或5． 【详解】（1）解：由图象得： 在2时时段时，乙队的工作效率为； 故答案为：5； （2）解：设乙队在0时时段的解析式为， 由图象可把点代入得：，解得：， ∴乙队在0时时段的解析式为， 设乙队在2时时段的解析式为， 由图象可把点代入得：， 解得：， ∴乙队在2时时段的解析式为， 设甲队在0时时的解析式为， 由图象把点代入得：，解得：， ∴甲队在0时时的解析式为， 当甲乙两队所铺设公路长度相等时，则有：， 解得：； （3）解：①当在0时时时，两队所铺设的公路之差为，则有： ，解得：； ②当在2时时时，两队所铺设的公路之差为，则有： ，解得：； ③当在4时时时，两队所铺设的公路之差为，则有： ，解得：； 综上所述：当两队所铺设的公路之差为时，x的值为1或3或5． 11．（23-24八年级上·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【答案】(1)600； (2)； (3)或 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为， 故答案为：600； （2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为 把，代入解析式得：， 解得， ∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为； （3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：，解得， ∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 当两车相距50时，， 解得或， ∴当或时，两车相距． 12．（2024八年级上·上海·专题练习）为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按25元/根的价格出售，设该学校购买甲种跳绳x根，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共100根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过60根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额w最少？ 【答案】(1) (2)甲种跳绳40根、乙种跳绳60根 【详解】（1）当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标代入， 得， 解得， ； 当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标和代入， 得， 解得， ． 综上，y与x之间的函数关系式为． （2）设购买甲种跳绳m根，则购买乙种跳绳根， 根据题意，得． 当时，， ， 随m的减小而减小， ， 当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）； 当时，， ， 随m的增大而减小， ， 当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）． ， 购买甲种跳绳40根、乙种跳绳60根才能使该校付款总金额w最少． 13．（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米 【详解】（1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． （3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 14．（23-24八年级上·广东深圳·期中）已知甲乙两地相距，一辆轿车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车匀速沿同一条路线从乙地前往甲地，两车同时出发，经过后两车第一次相遇．轿车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早一个小时到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是______； (2)求轿车到达乙地再返回甲地所花费的时间； (3)轿车在返回甲地的过程中与货车相距，直接写出货车已经从乙地出发了多长时间？ 【答案】(1)90 (2)7小时 (3)或 【详解】（1）由图象知，， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； 把代入，得， 故答案为：90； （2）轿车的速度千米/小时， ∵两车同时出发，经过后两车第一次相遇， 设货车的速度为v千米/小时， 则， 解得， 故货车从乙地到甲地共用时小时， ∵轿车比货车早一个小时到达甲地， ∴轿车到达乙地再返回甲地所花费的时间小时． （3）由（2）得，， 货车的速度千米/小时， 轿车在返回甲地的过程中所花费的时间小时，则返回甲地的过程中的速度千米/小时， 设轿车在返回甲地的过程中与货车相距时，货车已经从乙地出发了， 返回时当轿车在货车前时： 解得：， 返回时当货车在轿车前时： 解得：， 故轿车在返回甲地的过程中与货车相距时，货车已经从乙地出发了或． 15．（23-24八年级上·江苏南通·期中）家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A，B两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售； B厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该家电超市计划购买充电器x个，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元． (1)分别求出、与x之间的函数关系； (2)若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？ 【答案】(1)， (2)当时，在厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在厂家购买划算 【详解】（1）解：根据题意，得且为整数）； 当且为整数时，； 当且为整数时，； 综上，， 与之间的函数关系为，与之间的函数关系为． （2）解：当且为整数时：； 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，；当时，；当时，． 当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算． 16．（23-24八年级上·重庆·期中）已知甲、乙两地相距10千米，小诚从乙地出发，匀速骑行至甲地，在甲地休息一段时间后，便以原速度的匀速返回乙地．小诚从乙地出发10分钟后，小勤从甲地出发至乙地，小勤先匀速步行至两地中点，再从中点匀速慢跑至乙地，最后两人同时到达乙地．在运动过程中，小诚和小勤距甲地的距离y（千米）与小勤出发的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：    (1)小勤出发时，小诚骑行路程为______千米，小勤出发______小时后步行至甲、乙中点，小诚从乙地到甲地的骑行速度为______千米/小时，小勤的步行速度为______千米/小时； (2)写出小勤距甲地的距离y（千米）和x（小时）的关系式； (3)小勤出发多少小时后，两人在小勤未到达甲、乙中点前相距500米． 【答案】(1)；1；； (2) (3)或 【详解】（1）解： 小勤出发时，小诚骑行路程为 千米， 小勤先匀速步行至两地中点，再从中点匀速慢跑至乙地， 根据函数图象可得，小勤出发小时后步行至甲、乙中点， 小诚从乙地出发10分钟后，小勤从甲地出发至乙地，千米/小时， 小勤1小时步行千米，则千米/小时； ∴小诚从乙地到甲地的骑行速度为千米/小时，小勤的步行速度为千米/小时； 故答案为：；1；；． （2）解：小诚从乙地出发，匀速骑行至甲地，在甲地休息一段时间后，便以原速度的匀速返回乙地． 由（1）可得返回的速度为千米/小时， 则所用时间为/小时， ∵两人同时到达乙地． ∴所用时间为 ∴当时，； 当时，小勤的速度为：千米/小时， ∴ ∴ （3）设小勤出发t小时后，两人在小勤未到达甲、乙中点前相距米． 或 解得：或 答：小勤出发或小时后，两人在小勤未到达甲、乙中点前相距米． 17．（23-24·八年级上 河南周口·期中）为了让学生德智体美劳全面发展，提高学生们的动手能力，致远中学成立了烹饪社团．为满足社团活动的需求，计划购买炒锅20口，通过市场调查了解到：若购进A种炒锅10口，B种炒锅5口，需要1325元；若购进A种炒锅4口，B种炒锅3口，需要595元． (1)求购进A，B两种炒锅每口分别需要多少元？ (2)商家了解到学校社团实际需求，特推出以下优惠措施： 购买数量少于10口 购买数量不少于10口 A炒锅 不打折 打8折 B炒锅 不打折 打7.5折 根据需求，要求购买B种炒锅的数量不多于A种炒锅数量的，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出其所需费用． 【答案】(1)100，65； (2)购买种炒锅15口、购买种炒锅5口，1525元． 【详解】（1）解：设种炒锅每口元，种炒锅每口元． 根据题意，得， 解得， 种炒锅每口100元，种炒锅每口65元． （2）解：设购买种炒锅口，则购买种炒锅口． 根据题意，得， 解得， ． 设所需费用元，则， ， 随的减小而减小， ， 当时，取最小值，，此时购买种炒锅（口）， 购买种炒锅15口、购买种炒锅5口最省钱，所需费用1525元． 18．（23-24八年级上·福建泉州·期中）甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的枇杷，枇杷单价均是20元且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如表（为常数）： 一次性购买质量 优惠方案 不优惠 超过的部分打八折 设购买枇杷，，（单位：元）分别表示顾客到甲、乙两家商店购买枇杷的费用． (1)写出，关于的函数表达式； (2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买的枇杷，结果费用相同，求的值； (3)在（2）的条件下，请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 【答案】(1)， (2) (3)当顾客购买枇杷小于时，选择甲商店更合算；当顾客购买枇杷时，甲或乙商店费用相同；当顾客购买枇杷大于时，选择乙商店更合算 【详解】（1）解：由题意，得． 当时，． 当时，． 即：． （2）解：当时，， 若时，， 则，不符合题意，舍去； ， 当时，， ，， ； （3）解：由（2）知，购买的枇杷时，费用相同， ①当时，，， 即， 选择甲商店更合算； ②当时，，， ， 选择甲商店更合算； ③当时，由（2）知，， 甲或乙商店一样合算； ④当时，，， ， 选择乙商店更合算； 方案如下： 当顾客购买枇杷小于时，选择甲商店更合算； 当顾客购买枇杷时，甲或乙商店费用相同； 当顾客购买枇杷大于时，选择乙商店更合算． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$