12.3.1 角平分线的性质 课件 -2024—-2025学年人教版八年级数学上册

回顾旧知 1、角平分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线. 2、点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。 O P A B 12.3.1 角平分线的性质 新知精讲 【问题1】不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？ 【问题2】如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 新知精讲 【问题3】下边是利用角平分仪平分一个角的演示过程.你能说明它的道理吗？ 其中AB=AD，BC=DC. 则：AE为∠α的角平分线. 你能用学过的知识说明为什么吗？ 证明：在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC (SSS) ∴∠BAC=∠DAC 即 AE是∠α的角平分线 新知精讲 【问题4】根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（尺规作图） A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N． 2、分别以M，N为圆心．大于1/2 MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C． 3、作射线OC． 射线OC即为所求． M O N C 新知精讲 【问题5】在∠AOB的平分线OC上任取一点P,过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D,E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论? 在OC上再取几个点试一试.通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质? 数量关系：PD=PE 【猜想】 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 你能利用三角形全等证明这个性质吗？ 新知精讲 已知:_________________________________ 求证:_________________________________ 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 这个点到这个角两边的距离相等 一个点在一个角的平分线上 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证: PD=PE. 转化成具体问题为: 新知精讲 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证: PD=PE. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO和△PEO中， ∴△PDO≌△PEO (AAS) ∴PD=PE 新知精讲 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质: 应用所具备的条件： (1)点在角的平分线上； (2)两条垂线段； ∵OP是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE 几何语言： 【口诀】一平分，两垂直 针对练习 1、判断： （1）∵ 如图，AD平分∠BAC， ∴ = . BD CD × B A D C （2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB ， ∴ = . BD CD × B A D C 4 2、如图,OC是∠AOB的平分线, 点P在OC上, PD ⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别是D、E, PD=4cm, 则PE=__________cm. A D O B E P C 新知精讲 3、已知：如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线, 且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC. 垂足分别为 E, F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明：∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC ， ∴DE=DF 在 Rt△DEB 和Rt△DFC 中， BD=CD, DE=DF . ∴ Rt△ DEB ≌Rt△ DFC (HL). ∴∠DEB=∠DFC=90 °. ∴ EB=FC 针对练习 4、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积为_____. 5、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=6cm，则△DEB的周长为_____cm. 5 6 针对练习 6 、如图，OC平分∠AOB，OA=OB，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E. 求证：PD=PE. 证明: ∵ OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC 在△AOC和△BOC中, ∴△AOC≌△BOC(SAS) ∴∠ACO=∠BCO ∵PD⊥AC，PE⊥BC ∴PD=PE Lavf57.83.100 $$