期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、不等式的整数解 1．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有两个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A． B． C． D． 3．不等式组的整数解的个数是（   ） A．4 B．6 C．8 D．无数个 4．满足的最小整数是 ． 5．写一个合适的整数，使关于、的方程组的解满足，则 ． 6．若关于x的方程的解为负整数，且a使得关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值的和是 ． 类型二、不等式有解、无解 1．如果不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若不等式组 有解，则a 的取值范围是 ． 5．已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 类型三、角平分线的性质与判定 1．如图，在中，，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点M、N、再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点P，作射线交边于点D．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，平分，若，则点到的距离是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 3．如图，在中，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则和之间的关系表示为 ． 4．如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 5．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数． (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是18，求的面积． 6．如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长． 类型四、垂直平分线的性质与判定 1．如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 2．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知如图，在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E，则的周长等于 ．   4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是 ．    5．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 6．图，在中，平分，于，于，． (1)求证：； (2)求证：点在的垂直平分线上． 类型五、等腰三角形的性质与判定 1．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（  ） A． B． C． D． 2．如图，和均是等边三角形，分别与交于点，交于点，有如下结论：①；②；③；④． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 3．如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 4．如图，和都是等边三角形，连结，若，则的度数为 ． 5．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________． 6．如图，在中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 类型六、勾股定理的应用 1．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 3．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 4．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 5．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． (2)如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 6．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c． 显然， ，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： = ， = ， = ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理．(提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半) 知识运用： （1）如图2，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距40千米，C，D为两个村庄(看作两个点)，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米(直接填空)； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米， 要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离． （3）知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值 ． 类型七、不等式的应用 1．为落实《深圳市教育局关于义务教育阶段学校实行每天一节体育课的通知》文件要求，某学校决定开设篮球、足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球，学校的预算经费是5400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶400元/个，B型分类垃圾桶450元/个，总费用不超过3300元，则不同的购买方式有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 3．“五四”读报知识竞赛共有30道题，每一题答对得4分，答错或不答都扣1分，小红得分要超过100分，他至少要答对 道题． 4．某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打 折． 5．经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 6．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？ 类型八、三角形的折叠 1．如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为（    ） A．或 B． C． D．或 2．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处．若，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，将矩形折叠，使点C恰好落在边上的点处，点D落在点处，折痕为，若，当时，则的长为 ． 4．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为 ． 5．综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． 初步探索 （1）如图1，四边形纸片中，，点E是线段上一点，将纸片沿折叠，点C的对应点为点，测得，求和的度数； 深入探究 （2）如图2，小明将纸片换成一张长方形纸片（），点E，F分别是线段，上的一点，他先将纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为点，与线段交于点G，点H是线段上一点，再将纸片沿折叠，点D的对应点为点，使得点恰好在上，测得，则______ 6．如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，连接，若，且，求出的值； (3)如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 类型九、角平分线与高线的结合 1．已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． (1)若． ①如图1，当点F与点A重合时，_______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； (2)设，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x、y的式子表示） 2．如图，在中，于点D，平分交于点E，． (1)求的度数； (2)探究：如果条件改成，能不能求出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 3．如图，是的边上的高，平分交于E，．    (1)若，求的度数； (2)若，则______． 4．如图，在中，是高，是角平分钱，交于点O，求： (1)若度，求的度数？ (2)若试用表示，并说明理由． 5．如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 6．如图，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 类型十、等腰三角形与斜中定理结合 1．如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 2．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求线段、、之间的数量关系． 3．在中，，M是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点M作的垂线交的延长线于点E， ①求证：； ②是什么三角形？证明你的猜想． 4．如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 6．在四边形中，，M、N分别是的中点．    (1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论； (2)如果，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、不等式的整数解 1．不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组．根据题意解出不等式组即可找到整数解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴不等式组的整数解有：， 故选：B． 2．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有两个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式组的整数解等知识点．根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：B． 3．不等式组的整数解的个数是（   ） A．4 B．6 C．8 D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解有，，1，2，3，4，共6个， 故选：B． 4．满足的最小整数是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．移项合并同类项，求出不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， ∴满足的最小整数是0． 故答案为：0 5．写一个合适的整数，使关于、的方程组的解满足，则 ． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键．根据方程组可得，进而得出的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 为整数， ， 故答案为：6（答案不唯一） 6．若关于x的方程的解为负整数，且a使得关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值的和是 ． 【答案】3 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，根据不等式组的解集确定a的取值范围，再根据方程的解为负整数，进而确定a的所有可能的值，再求和即可． 【详解】解：， ， ，   ， ∵方程的解为负整数， ∴，且a为奇数， 解得：，且a为奇数， ， 由①得：， 由②得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， ∴满足条件的a有， ∴所有满足条件的整数a的值的和为， 故答案为：3． 类型二、不等式有解、无解 1．如果不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式得到，再根据不等式组有解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴， 故选：A． 2．若关于x的不等式组有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有解，利用大小小大中间找可得a的范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组有解， ， 解得：， 故选：D． 3．已知不等式组无解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题即可得出答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选B． 4．若不等式组 有解，则a 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集， 再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵原不等式组有解， ∴， 故答案为：． 5．已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得，； 故答案为：． 6．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其解集，先解的两个不等式，再根据求不等式组的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可得出关于a的不等式，解出a即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 类型三、角平分线的性质与判定 1．如图，在中，，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点M、N、再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点P，作射线交边于点D．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．利用基本作图得平分，根据角平分线的性质得点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：由作法得平分， ， 点到和的距离相等， 即点到的距离为， 的面积． 故选：A 2．如图，在中，，平分，若，则点到的距离是（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过点D作交AB于点E，证明即可． 本题考查了角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】过点D作交AB于点E ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选C． 3．如图，在中，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则和之间的关系表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的中线性质，解答的关键是根据角平分线的性质、三角形的中线性质，得出各三角形的面积关系．先根据角平分线的性质得到，再根据三角形的中线性质得到，进而可得结论． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴点D到边、的距离相等， ∵，，的面积为， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴，又的面积为， ∴， 即， 故答案为：． 4．如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 5．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．    (1)求的度数． (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是18，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 6．如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查垂直的定义、全等三角形的判定和性质和角平分线的定义， （1）有题意得，则，即有结论成立； （2）由（1）知，即可得，进一步证明，则有； （3）根据面积公式得，即，由（2）知：，则，过点G作交的延长线于点H，则，可证明，有，由（2）知：，利用，即可得，解得即可． 【详解】（1）证明：是中边上的高， ， ， ， ， ， 即：． （2）证明：由（1）知：，， ，， ， 又， ， 即：， ， 即：， ， ， 在和中，， ， ． （3）解：是中边上的高， ， ，， ， ， ， 即， ， 由（2）知：， ， ， 过点G作交的延长线于点H，如图， 则，由（1）知：， ， ， 由（2）知：，即：， 在和中，， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， 即：， ， ． 类型四、垂直平分线的性质与判定 1．如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是． 故选A． 2．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的定义，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为16，周长为，可得，从而可解答． 【详解】解：由作图可得：，， ∴， ∵周长为周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．已知如图，在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E，则的周长等于 ．   【答案】8 【分析】本题考查的是线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质与线段的等量代换是解题的关键，求周长即求各边长的和，利用线段的垂直平分线得到线段相等，进行等量代换后即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，的中垂线交于D，的中垂线交与E， ∴,, ∴的周长, 故选：C． 4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，直线与相交于点，连接，若，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图，尺规作图、线段垂直平分线的性质．根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是． 【详解】解：由已知可得，是线段的垂直平分线，    设与的交点为， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 6．图，在中，平分，于，于，． (1)求证：； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的判定以及全等三角形的性质： （1）通过证明，得到，即可作答． （2）在上取点F，使，连接、，通过证明，得，结合，证明，得，根据垂直平分线的判定，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：因为平分，于，于， 所以，， 因为， 所以， 故； （2）证明：在上取点F，使，连接、，如图： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 得， 因为， 所以 则， 因为 所以， 则， 得， 因为 所以 故点在的垂直平分线上． 类型五、等腰三角形的性质与判定 1．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，，若，，则的周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，等腰三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定．根据角平分线的定义，则，；根据平行线的性质可证得，，然后根据等角对等边，则，，最后根据三角形的周长，即可． 【详解】∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图，和均是等边三角形，分别与交于点，交于点，有如下结论：①；②；③；④． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等边三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定逐一证明即可得到答案． 【详解】解：和均是等边三角形， ， ， 在，中， ， ，故①正确； ， 在，中， ， ∴， ，故②正确； ， 在中．， ，故③错误； ， ， ∵ ∴，故④正确． 综上所述，正确结论的个数是3个． 故选：A． 3．如图，都是等边三角形，将绕点旋转，使得点在同一直线上，连接．若，则的长是 ． 【答案】3 【分析】根据等边三角形的性质，,解答即可． 本题考查了等边三角形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案为：3． 4．如图，和都是等边三角形，连结，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理的运用，根据等边三角形的性质可证，可得，由可得，根据三角形内角和定理可得，在中再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 5．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2 ）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】解：（1）：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2 ）得：是等边三角形，， ，， ， ． 6．如图，在中，，点分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由可得，结合，，利用“边角边”证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）结合可得，，根据三角形内角和定理解得，进而可得，易知，然后由求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型六、勾股定理的应用 1．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 2．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离． 【详解】解：在中，根据勾股定理 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米， 在中根据勾股定理 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离：分米． 故选：D 3．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有， 在中，， ， 则该校受影响的时间为：． 该学校受影响的时间为24秒． 故答案为：24 4．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边. 地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可. 【详解】解：根据勾股定理和平移可得，楼梯水平长度为：米， 则红地毯至少要米. 故答案为： 5．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 从而得到等式 化简便得结论 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和 如图2放置，其三边长分别为a，b，c， 显然 （对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点， 可得， 则为 ， 边上的高为 ． (2)如图4， 在中， 是边上的高， 设 求x的值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明： ，，，， ， ， ； （2）设边上的高为， 则， ， ， ， 即边上的高是， 故答案为：； （3）)在中，由勾股定理得 ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 6．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c． 显然， ，，请用a，b，c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： = ， = ， = ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得到勾股定理．(提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半) 知识运用： （1）如图2，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距40千米，C，D为两个村庄(看作两个点)，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米(直接填空)； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米， 要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离． （3）知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值 ． 【答案】小试牛刀：，，， ；（1）41；（2）千米；（3） 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出； （1）连接，作于点E，根据，，得到，，从而得到千米，利用勾股定理求得即可． （2）连接，作的垂直平分线角于P，P即为所求；设千米，则千米，由勾股定理得，，，利用建立方程，解方程即可． （3）根据轴对称-最短路线的求法即可求出． 【详解】解：小试牛刀：， ， ， ． ∴， ∴， 故答案为：，，， ； （1）如图2①，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米， ∴千米， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （2）尺规作图如图2②所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． （3）如图3， 作点C关于的对称点，连接交于点P， ∴， ∴的最小值， ∵，， ∴代数式的最小值为：． 【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 类型七、不等式的应用 1．为落实《深圳市教育局关于义务教育阶段学校实行每天一节体育课的通知》文件要求，某学校决定开设篮球、足球两门选修课，需要购进一批篮球和足球，学校的预算经费是5400元，已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，正确列出不等式是解题的关键． 根据篮球的单价、个数，足球的单价、个数以及总经费即可列出不等式． 【详解】解：根据题意得，， 故选：D． 2．某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶8个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶400元/个，B型分类垃圾桶450元/个，总费用不超过3300元，则不同的购买方式有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式解集实际问题，根据题意，设型有个，则型有个，由此列不等式求解即可． 【详解】解：设型有个，则型有个， ∴ 解得，， ∴型购买个，型购买个；型购买个，型购买个；型购买个，型购买个，共3中方案， 故选：B ． 3．“五四”读报知识竞赛共有30道题，每一题答对得4分，答错或不答都扣1分，小红得分要超过100分，他至少要答对 道题． 【答案】 【分析】本题考查不等式解实际应用题，设他至少要答对道题，则答错或不答的题目为道，列不等式求解即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：设他至少要答对道题，则答错或不答的题目为道， 由题意可得， ， 当他答对道题时，小红得分要超过100分． 故答案为：27． 4．某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打 折． 【答案】七 【分析】利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打x折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出x的范围．本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润=进价×利润率，是解题的关键． 【详解】解：设至多打x折， 则， 解得， 即最多可打七折． 故答案为：七． 5．经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 【答案】(1)甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套 (2)4500套 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，列出分式方程，进行求解即可； （2）设小李向甲工厂购买y套，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据题意，可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套． （2）设小李向甲工厂购买y套． 根据题意，得， 解得． 答：小李最多能向甲工厂购买4500套画图工具． 6．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？ 【答案】(1)购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元 (2)15个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题． （1）设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”即可列出方程组，求解即可； （2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，则第二次购买时总费用为元，根据“第二次购买总费用不超过上一次总费用的”即可列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元， 依题意，得： ，解得， 答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元． （2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 依题意，得： 解得： 答：至多需要购买15个甲种笔记本． 类型八、三角形的折叠 1．如图，在三角形中，，，D是线段上的一个动点，连接，把三角形沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于三角形的边时，的大小为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质和三角形内角和定理．根据题意分两种情况讨论，当时，根据平行线的性质求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，从而求出的度数，再根据折叠的性质求出的度数，最后在中根据三角形内角和定理即可求解；当时，根据平行线的性质求出的度数由折叠的性质可得，从而即可求解． 【详解】解：当时，如图， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 综上所述，的度数是或， 故选：A． 2．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处．若，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，对顶角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设与交于点G，首先由对顶角相等得到，然后由折叠和三角形内角和定理得到，求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，设与交于点G ∵ ∴ 由折叠可得，， ∴ ∴ ∴． 故选：D． 3．如图，将矩形折叠，使点C恰好落在边上的点处，点D落在点处，折痕为，若，当时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．根据题意设交点为点，证明，即可得出，，，利用两次勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵矩形经得到点，设交点为点， ∴，，， 在中， ， ∴ ， ∴， 则 ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 4．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】据长方形的性质及，则，由折叠的性质得即可求解． 【详解】∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ 由折叠性质可得： ∴ ∴ ∵将沿着折叠，点C刚好落在上的点处， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质，角的计算是解决问题的关键． 5．综合与实践 折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索． 初步探索 （1）如图1，四边形纸片中，，点E是线段上一点，将纸片沿折叠，点C的对应点为点，测得，求和的度数； 深入探究 （2）如图2，小明将纸片换成一张长方形纸片（），点E，F分别是线段，上的一点，他先将纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为点，与线段交于点G，点H是线段上一点，再将纸片沿折叠，点D的对应点为点，使得点恰好在上，测得，则______ 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由平行的性质可得求出，由折叠的性质可知：，，，即可求出，由三角形内角和求出，即可求出． （2）由折叠的性质可知∶ ，，，，， ，又由平行的性质可知，，进而可求出，由三角形内角和求出， 由对顶角相等得出，进一步即可求出． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴．， ∴， ∴． （2）由折叠的性质可知∶ ，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行的性质，折叠的性质，对顶角相等以及三角形内角和定理，掌握这些性质是解题的关键． 6．如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，连接，若，且，求出的值； (3)如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）先根据同位角相等，两直线平行得出，再由平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，即可证明，再根据等角对等边证明即可； （2）设，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半及勾股定理得，过点作，垂足为Q，进而证得是等边三角形，即可求解； （3）先由三边相等证明是等边三角形，再分两种情况讨论：①当点在左侧时，过点C作于点H，②当点在右侧时，过点C作于点H，设，则，由勾股定理得，分别表示出的值，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴,， ∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，由勾股定理得， 过点作，垂足为Q， ∴， 由勾股定理得， ∴， 延长到点M，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ①当点在左侧时，过点C作于点H，则， ∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②当点在右侧时，过点C作于点H，则， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 类型九、角平分线与高线的结合 1．已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． (1)若． ①如图1，当点F与点A重合时，_______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； (2)设，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x、y的式子表示） 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，，由角平分线定义得，从而可求出； （2）①同（1）可得，根据三角形外角的性质得，在中，由勾股定理可得结论； ②根据三角形内角和定理得出，，由三角形外角的性质得，再由三角形内角和定理可求出． 【详解】（1）解：①∵，且， ∴ ∵平分， ∴ 在中， ∴ ∴， 故答案为：； ②由（1）知， ∵是的外角，且， ∴ ∴， 在中， ∴， （2）解：∵，且， ∴ ∵平分， ∴ ∴， 在中， ∴． 2．如图，在中，于点D，平分交于点E，． (1)求的度数； (2)探究：如果条件改成，能不能求出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，求解见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角、角的和差、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是和三角形外角性质成为解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，然后根据角平分线定义得；由于，则，根据三角形外角性质得，所以，然后利用进行计算即可； （3）根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得 ，结合，则，然后利用角的和差得 ，即的度数等于与差的一半，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：能，解答如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，是的边上的高，平分交于E，．    (1)若，求的度数； (2)若，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再由直角三角形确定，然后结合图形计算即可解答． （2）同（1）方法类似求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．如图，在中，是高，是角平分钱，交于点O，求： (1)若度，求的度数？ (2)若试用表示，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和计算： （1）先根据三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义推出，则可得，再由高的定义得到，则； （2）先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵度， ∴， ∵是角平分钱，交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴， ∵是角平分钱，交于点O， ∴， ∴， ∴． 5．如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线． (1)若的面积为6，则的面积为_________． (2)若，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答； （2）根据题意得到，由，利用三角形内角和定理即可解答； （3）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：的面积为6，是边的中线， 的面积为； （2）解：是的高， ， ， ； （3）解：，， ， 是的角平分线， ， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高，角平分线的性质．熟练掌握知识点是解题的关键． 6．如图，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）先求出，，则， 进而推出，再得出，即可解答． 根据，求出即可解决问题． （2）分两种情况：①当时．②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：分两种情况： ①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴； 综上所述：的度数为或． 类型十、等腰三角形与斜中定理结合 1．如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1)证明见解析． (2)9． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出是解题关键． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）由（1）可得，再可推导出，再证明为等边三角形即可求解． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴与都为直角三角形， 又∵为的中点， ∴，， ∴． （2）由（1）可知， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长为． 2．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接． (1)求证：． (2)若，求线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，点为的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得是直角三角形，由点为的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论； （2）当时，可得为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质可得，再由，得． 【详解】（1），为的中点， ， ， 又为的中点， ； （2），， ， ， 又为的中点， ， 为的垂直平分线， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质． 3．在中，，M是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点M作的垂线交的延长线于点E， ①求证：； ②是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）要证明平分，则需证明，因为平分．所以，所以只需要证明即可；通过直角三角形斜边上的中线性质可得，从而得到，然后运用等量代换及同角的余角相等即可证明，则可证明结论； （2）①通过同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可以得到，然后运用二直线平行，内错角相等及等量代换可得，从而根据等角对等边可得； ②易得，从而得到是等腰三角形，再根据，即可证明是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：中，， ∵M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴平分； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②是等腰直角三角形，理由如下： ∵且， ∴ ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 4．如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的中点，得到是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到由是的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到． （2）由得到，由得到 根据三角形外角性质得到 则 由此根据外角的性质来求的度数． 【详解】（1）连接． ∵是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是高，是中线， ∴是的斜边上的中线， ∴． ∴； （2）， ，， ， ． 是高， ，即． ， ． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确的连接辅助线是解题关键． 5．如图，在和中，，连接与交于点，，分别是、的中点．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质；连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】证明：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，即垂直平分． 6．在四边形中，，M、N分别是的中点．    (1)猜一猜，和的位置关系，并证明你的结论； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)．证明见解析 (2)1 【分析】本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形． （1）在直角中，中线；在直角中，；在中，N是中点，所以，根据这些条件很容易推出； （2）在三角形中，一个内角的补角等于另外两个内角的和，根据三角形的这一性质，求得，所以． 【详解】（1）解：猜想． 证明：连接， ，M是的中点，    ∴， ，M是的中点 ∴， ， ， （2），M是的中点， ， , ， 同理， ， ， 是等腰直角三角形， ∵点N是的中点，， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$