期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、最值问题 1．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 2．如图，在中，的面积等于36，边的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 3．如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于 ． 4．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为 ． 5．如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 6．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 类型二、格点三角形 1．如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 2．如图，的顶点都在小正方形的顶点上，在格点中选出一个点与点、点构成的三角形与全等，则符合条件的点共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形．在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 4．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，能构成   个直角三角形．    5．如图，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称． 6．阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：延长到格点D，使．连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点F是的中点， ∴平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图2，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使BE=BC，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同方法一可得，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． … (1)请写出方法一中“依据”的内容： ； (2)请将方法二中的说理过程补充完整； (3)按照材料中的思路，请你在图3中作出的角平分线． 类型三、手拉手模型 1．如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤；其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，和都是等边三角形，，，三点在一条直线上，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点，则的度数为 ． 4．如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则= ． 5．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 6．已知，在和中，，，． (1)如图1，连接，，判断与的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点O旋转，当点D落在边上时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A，C，D共线时，请直接写出线段的长． 类型四、比值问题 1．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，在中，为边上一个动点，点在边上，已知，，．    （1）当时，的值为 ； （2）连接，若，则周长的最小值为 ． 4．如图，在等腰中，，，以为边向上方作等边，点E，F分别是边上的动点，且，当是直角三角形时，的值为 ． 5．已知中，． (1)如图1，在中，若，且，求证：； (2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图3，在中，，连接，若，求的值． 6．已知等边，在射线上，． (1)如图1，当时，过点作于，交于点．求证：； (2)如图2，点在的延长线上，，，求的值； (3)若点在射线上，在直线上，，那么　　　　　　（用含n的式子表示）． 类型五、一线三等角 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 4．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 5．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 6．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 类型六、探究并完成任务 1．根据以下素材，探索完成任务一： 如何设计购买方案？ 素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元 素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票． 问题解决 任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格． 任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案． 2．根据以下情境，探索完成任务， 你研究过三角形的角平分线吗？ 问题背景 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有二般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．在我们人教版义务教育教科书数学八上第29页第11题研究过双内角平分线的夹角的问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究： 模型一 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，则与之间有一定的数量关系； 模型二 如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点，则与之间有一定的数量关系； 解决问题 任务一 如图，在中，．延长至，延长至，已知的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 任务二 如图，在中，的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； 任务三 在四边形中，，点在直线上运动（点不与两点重合），连接的角平分线交于点，若，直接写出和之间的数量关系．    3．根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背 景 素 材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢” 操 作 步 骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为米 备注：点A，B，C，D在同一平面内 问题解决 任务一 根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 若想要风筝沿射线方向再上升12米，请问能否成功？ 4．阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 5．根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米? 6．下面是小文同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 2024年×月×日 探索筝形的性质对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以等腰三角形为例，其定义、性质、判定都通过它的边、角、底边上的中线、高线、顶角平分线的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如筝形． 1．定义：如图1，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．与叫做等形的正对角，与是它的对角线，它们交于点O，其中叫做筝形的正对角线． 根据定义可以进行如下推理： 推理1：∵四边形是筝形，①∴ ① ． 推理2：在四边形中，，， ② ． 2．性质：从整体看，等形是轴对称图形，它的对称轴是正对角线所在直线．由此，可以猜想得到等形局部元素的性质如下： 从“角”的角度，可以发现等形的正对角相等． 从“对角线”的角度，可以发现等形的正对角线垂直平分另一条对角线．这个命题的证明如下： 已知：如图1，筝形中，，． 求证：垂直平分． 证明：… 3．判定：… 任务： （1）上述材料中，序号“①”“②”处所对应的内容依次为：①______，②______； （2）补全材料中命题的证明过程； 应用： （3）如图2，在筝形中，，，，点M，N是筝形边上的两个动点（不与C，D重合）当四边形是筝形时，请直接写出它的正对角线的长． 类型七、勾股定理中的线段平方关系 1．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 2．如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 3．如图，中，，点P是三角形右外一点，且． (1)如图1，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明； (2)如图2，若，，，求PC的值． 4．如图，锐角中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接BD、CE，可以通过全等三角形的知识证得BD与CE相等． （1）如图，锐角中分别以AB、AC为边向外作等腰和等腰，，，，连接BD、CE，试猜想BD与CE的数量关系，并说明理由． （2）如图，在中，，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接CD，若，求CD的长． （3）如图，在四边形中ABCD，，求BD的最大值． 5．在正方形中，点E，F分别在边上，且． (1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：； (2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：； (3)若．求线段的长度． (4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积． 6．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 类型八、全等中的动点求t 1．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）． (1)线段______，线段______（用含的代数式表示） (2)若点、的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由． (3)若点、的运动速度不相等，与全等时，求的值． 2．如图，为等边三角形，，D为中点，点P从C点出发沿向A运动，速度1各单位每秒，点Q从B点出发沿向C运动，速度为2各单位每秒，两点同时开始运动，设运动时间为t，一点到达终点时同时停止运动．请解决以下问题： (1)连接，是否存在某一时刻t，使？若存在求出t值，不存在说明理由． (2)连接，当t为多少时，？ (3)连接，当t为何值时，为直角三角形？ (4)连接相交于点E，当P、Q运动速度满足什么条件时，在P、Q运动过程中，角度保持不变？求出这个角度． 3．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 4．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 5．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． (1)______cm（用含t的代数式表示）； (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动．设运动时间为． (1)如图①，连接、．当时，求t的值； (2)如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动．当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求a和t的值； (3)如图③，点Q从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动，点M同时从点D出发以的速度沿DA向点A运动，当Q、M两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接，交于点E．连接，当时，，请求出此时a的值． 类型九、等腰三角形中动点求t 1．如图，在中，，，，点D从点A以的速度向点C运动，同时点E从点C以的速度向点B运动，运动时间为． (1)当t= 时，为等边三角形；（直接写结果） (2)当t为何值时，为直角三角形？ 2．如图，在中，cm，cm，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm两点同时开始运动，设运动时间为ts． (1)①斜边上的高为　　cm； ②当时，的长为　　cm． (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形? 3．如图，在中，，，，点D在线段上从点B出发，以的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t． (1) ，边上的高为 ； (2)点D在运动过程中，当为等腰三角形时，求t的值． 4．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 5．如图，已知在等腰直角三角形中，，过点作直线平行于，在直线上有一动点从点出发，以的速度向右运动，在射线上有另一动点，使得四边形的面积为12，设点运动时间为秒． (1)用的代数式表示___________ (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连结，作点关于直线的对称点，若使点在内（不含边界线），则的取值范围是___________． 6．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． (1)的长为______． (2)如果动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，直接写出当为何值时，，直接写出当t为何值时，； (3)连接． ①求当为何值时，是直角三角形； ②直接写出当为何值时，是等腰三角形． 类型十、三角形中的新定义 1．【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 2．定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割． (1)已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 3．阅读下列材料，解答问题： 定义：线段把等腰三角形分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图2，在中，，，．求证：为的完美分割线； (2)如图3，是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M．求证：． 4．我们新定义一种三角形：一个三角形中，若两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点． (1)如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试证明． (2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 5．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为__________°． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 6．定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形． 如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用 （填序号）一定可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形； （2）如图1，余缺四边形，平分，若，，则＝ ； 【初步应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于P点，连接、． （3）求证：四边形为余缺四边形； （4）若，，则的值为 ． 【迁移应用】 （5）如图，，等腰的B、C两点分别在射线、上，且斜边（P、A在两侧），若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、最值问题 1．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，由勾股定理求出，如图所示，在上截取，连接，证明得到，则可推出当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：，，， ． 如图所示，在上截取，连接，     ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴此时有， ， 即的最小值为． 故选：A． 2．如图，在中，的面积等于36，边的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】首先添加辅助线连接、，结合已知条件根据等要三角形的性质、三角形的面积公式求得的长，再根据垂直平分线的性质、最短路径问题推出结论的长为的最小值，由此可得出结论． 【详解】解：连接、，如图： ∵是等腰三角形，点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、等腰三角形的性质、轴对称以及最短路径问题等知识点，能利用相关知识点确定的长为的最小值是解决问题的关键． 3．如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：1． 4．如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，于，由等边三角形的性质得出，，求出，由含角的直角三角形的性质得出，从而得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，于， ， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)当A，C，E三点共线时 (3)13 【分析】（1）根据题意，，，，设．得到，利用勾股定理解得即可． （2）连接，根据当，当三点共线时，的值最小． （3）根据，构造．如图所示，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，，，，设．得到， 利用勾股定理，得， ． ∴． （2）解：根据题意，连接，根据当，当三点共线时，的值最小． 故条件为三点共线． （3）解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是长方形， 故． 故． 6．【初步探究】 （1）如图1，在中，点分别在边上，．这两个相等的角会使图形中出现其它的等角．请你写出这组等角（不添加其他辅助线），并说明理由； 【深入研究】 （2）如图1，在上题的条件下，若，请你再添加一个条件，使．先写出这个条件，再加以证明． 【变式探究】 （3）如图2，等边中，分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点）时， ①求的度数； ②若，的面积为，点为边上（不与重合）的任意一点，连接、，直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】（1），理由见解析 （2）（答案不唯一），证明见解析 （3）①；②的最小值是 【分析】（1）利用三角形内角和等于180度得，再根据平角定义得到，又由于，即可得出结论； （2）若添加条件：，利用可证明； （3）①方法一：在上截取，连接．证明．得到，从而得到，且，即可求解； 方法二：过点作，交于点，交于点．证明．同理可证明，得到，从而得到．即可得出．再根据又，则，从而得到，．然后根据，求得，即可求解； ②可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点，所以，当点、点、点三点共线且时，取最小值，即转化为求等边的高．因为的面积是，根据三角形面积公式可求得，即可求解． 【详解】解：（1）这组等角是： 理由如下：在中，． 点在边上， ． （2）若添加条件： 证明：（已证） 在和中， （3）①是等边三角形， ． 是等边三角形， 据（1）可知 方法一： 在上截取，连接． ， ． 又， ． 在和中，， ． ， ，且， 方法二： 过点作，交于点，交于点．则， ． 在和中， ． 同理可得 ， ． 又， ， 即． 又， ， ， ． 又， ， ． ②的最小值是．如图， 由可知，点在等边的角平分线上运动．点关于线段的对称点是点， 所以， 当点、点、点三点共线且时，取最小值， 即转化为求等边的高． 因为的面积是， 所以， 所以． 即的最小值是． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，垂线段最短，熟练掌握利用垂线段最短求最短路径问题是解题的关键． 类型二、格点三角形 1．如图，A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形边长都为1，以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有（   ）. A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键 分三种情况，当时，当时，当时，即可解答． 【详解】解：如图，分三种情况， 当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，交正方形网格的格点为； 当时，作的垂直平分线，交正方形网格的格点为； 综上，满足条件的所有格点有8个， 故选：C． 2．如图，的顶点都在小正方形的顶点上，在格点中选出一个点与点、点构成的三角形与全等，则符合条件的点共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，先求出的三边长，根据选出的点到点或点的距离为，可排除点，再分别求出选出的点为时，所得到的三角形的三边长，再根据全等三角形的判定方法即可判断求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，，，， ∴要使选出的点与点、点构成的三角形与全等，则选出的点到点或点的距离为， ∴点和点不符合， 当选出的点为点时，可得，，，由可得与全等； 当选出的点为点时，可得，，，由可得与全等； 当选出的点为点时，可得，，，由可得与全等； 故符合条件的点共有个， 故选：． 3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，这样的三角形称为格点三角形．在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】3 【解析】略 4．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，能构成   个直角三角形．    【答案】3 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，而，从而可得答案． 【详解】解：如图，，，是直角三角形，    ∵，， ∴， ∴， 而， ∴直角三角形一共有3个； 故答案为3． 【点睛】本题考查的是直角三角形的定义，勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理的逆定理是解本题的关键． 5．如图，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 利用轴对称的性质作图即可． 【详解】解：由轴对称的性质可作图如下，阴影部分即为所作； 6．阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：延长到格点D，使．连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点F是的中点， ∴平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图2，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使BE=BC，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同方法一可得，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． … (1)请写出方法一中“依据”的内容： ； (2)请将方法二中的说理过程补充完整； (3)按照材料中的思路，请你在图3中作出的角平分线． 【答案】(1)等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查作图——角平分线，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质和角平分线的判定， (1)根据等腰三角形的性质即可知答案为等腰三角形的三线合一； (2)结合已知可知，即可证明，则有，故结论成立； (3)根据第一问利用等腰三角形的性质可得图一，结合第二问的结论利用三角形全等即可知为角平分线． 【详解】（1）解：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合；(或等腰三角形“三线合一”)； （2）解：∴， ∵， ， ∴， ∴， 即是的角平分线 （3）解：如图， 即为△ABC的角平分线． 类型三、手拉手模型 1．如图，点A，B，C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③为等边三角形；④平分；⑤；其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质得出，，，得出，由即可证出，即可判断①；由，得出，根据三角形外角的性质得出，即可判断②；由证明，得出对应边相等，即可得出为等边三角形，即可判断③过点B作于点F，作于点G，由得到，，从而，根据角平分线的判定定理即可得到平分，即可判断④；由得到，要使，则需要，题中没有条件，故无法证得，即可判断⑤． 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ∴， 即， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； 过点B作于点F，作于点G， ， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴平分，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 题中没有条件，故无法证得，故⑤错误． 综上，结论正确的有①②③④，共4个． 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．如图，和都是等边三角形，，，三点在一条直线上，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据等边三角形的性质得，，，，则，利用“”可判断，则；②由得到，然后根据“”判断，得出即可；③由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出；④过点C作于H，于Q，因为，得，即平分，即可作答． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， 且， ∴，故③正确； ④过点C作于H，于Q，如图： ∵， ∴， 因为， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴平分， 没有条件得出平分，④错误； 故选：C 【点睛】本题属于全等三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识内容，综合性强，难度较大，熟练掌握等边三角形的判定与性质，灵活运用恰当方法证明三角形全等是解决问题的关键． 3．如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． 利用“边角边”证明和全等，可得，根据“八字型”求出即可． 【详解】解：∵均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ∴，即， 故答案为：． 4．如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则= ． 【答案】40°/40度 【分析】由全等可推理得到，由可得到，又由，结合三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：由旋转可知： ∴， ∴ 即： 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等相关知识点，牢记相关的知识点并能结合图形灵活应用是解题的关键． 5．（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当绕点旋转至点，，在同一直线上，连接． ①的度数为______； ②线段，之间的数量关系是______； （2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点，，在同一直线上，若，，求的长度； （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与距相交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）由“”可证，可得，．由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）由“”可证，可得，，由勾股定理可求解； （3）由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知． 【详解】（1）①和均为等边三角形， ，，， ， ． ． 为等边三角形， ， 点，，在同一直线上， ， ， ，； ②， ，； （2）和均为等腰直角三角形， ，，． ， ， ，， 为等腰直角三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ， ， ， 又，， ， ； （3）如图3， 由（1）知， ， ， ， ， 如图4， 同理求得， ， 综上所述：的度数是或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质等知识． 6．已知，在和中，，，． (1)如图1，连接，，判断与的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，将绕点O旋转，当点D落在边上时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)当点A，C，D共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）通过证明，得出，，在根据三角形外角的性质可证； （2）连接，由可证，再两次运用勾股定理可得出结论； （3）根据点、、的位置关系，分两种情况考虑，画出图形，求出的长即可． 【详解】（1）解：，； ， ， 在和中， ， ， ，， 如图所示，设交于点，交于点， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ， ， 又，， ； （3）解：当点C在延长线上时，如图，设交于点，过作于点， ， ，， ， ， ，，， ，， ， ； 当点C在上时，如图， 同理可得：，， 则， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 类型四、比值问题 1．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上，下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质逐个判断即可． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ①， 故①正确； ②∵，，，， ∴， 故②正确； ③如图，连接，作于M，于N． ∵，， ∴， ∴， ∴当时才有； 故③错误； ④∵，，， ∴， ∴， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 2．如图，中，，于D，平分，且于E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G．下列结论正确的有（　　）个． ①；②；③是等腰三角形；④；⑤； A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由“”可证，可得，故 ① 正确．由等腰三角形的性质可得 ，故②正确，由角的数量关系可求，可得，即是等腰直角三角形，故③正确．由全等三角形的性质可得，则可得，故④正确；由角平分线的性质可得点F到的距离等于点F到的距离，由三角形的面积公式可求 ，故⑤正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③正确． ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵平分， ∴点F到的距离等于点F到的距离， ∴ ，故⑤正确， 所以，正确的结论是①②③④⑤，共5个 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键． 3．如图，在中，为边上一个动点，点在边上，已知，，．    （1）当时，的值为 ； （2）连接，若，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，结合，易得，进而可知，然后计算的值即可； （2）首先结合（1）可得，的值，作点关于直线的对称点，则上任意一点到点、的距离都相等，即总有，故当点在与的交点处时，的值最小，从而的值最小，最小值为的长，即的周长的最小值是，连接，过点作于点，证明是等边三角形，然后求得，的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）设， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）若，由（1）得， ∴， ∴， 作点关于直线的对称点，如下图，      则上任意一点到点、的距离都相等，即总有， ∴当点在与的交点处时，的值最小，从而的值最小，最小值为的长， ∵为定长10， ∴此时，的值最小，即的周长最小，最小值是， 此时，连接，过点作于点，如图， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴周长的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识，理解题意，作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 4．如图，在等腰中，，，以为边向上方作等边，点E，F分别是边上的动点，且，当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】过点作，勾股定理求出的长，连接，当时，延长交于M，延长交于N．首先证明，，，根据，构建方程求出的长，进而求出的长，即可，当时，同法求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 连接，当时，延长交于，延长交于N． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同法可证，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，设，则，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， 当时，同法可得， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．已知中，． (1)如图1，在中，若，且，求证：； (2)如图2，在中，若，且垂直平分，，，求的长； (3)如图3，在中，，连接，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3) 【分析】（1）先证，再证即可； （2）先证是等边三角形，推出，，同（1）可证，可证，，最后用勾股定理解即可； （3）作且，连接，，先证是直角三角形，得出，同（1）可证，得出． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 同（1）可证， ，， ， 在中，，， ； （3）解：如图，作，且，连接，， ∴，，， ， ， ， ， ． ， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．已知等边，在射线上，． (1)如图1，当时，过点作于，交于点．求证：； (2)如图2，点在的延长线上，，，求的值； (3)若点在射线上，在直线上，，那么　　　　　　（用含n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)的值为； (3)或或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，过某一点作已知等边三角形某边的平行线构造一个新的等边三角形，这是解决等边三角形常用的方法之一． （1）根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据求出，再求出，从而得到； （2）过作交的延长线于，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，然后求出，再求出即可得解； （3）与（2）的求解相同求出，列出的表示，然后整理即可得到的值． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，而， ， ； （2）解：如图2，过作交的延长线于． 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）解：①当点在线段的延长线上，如图3， 与（2）方法相同求出， 所以，， ． ②当点在线段上，如图4， 过作交的延长线于． 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ③在线段上，在射线上， 设．则，，，，． 综上所述，或或． 故答案为：或或． 类型五、一线三等角 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 2．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 4．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 5．如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于． （1）证明：； （2）试说明：； （3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明； （4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） BD=DE+CE ；证明见解析；（4）BD=DE−CE 【分析】（1）根据题意可得，结合，直接用AAS证明三角形全等即可； （2）根据（1）的结论，进而可得； （3）方法同（1）证明，进而可得 （4）方法同（1）结论同（2）证明，进而可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2） 解：∵， ∴，． 又∵， ∴． （3） 解：∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∴，，， ∴ （4） 解：．理由如下： ∵， ∴． 又∵ ，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴，． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 6．数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 类型六、探究并完成任务 1．根据以下素材，探索完成任务一： 如何设计购买方案？ 素材 某校名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买张场馆门票和张场馆门票共需元，购买张场馆门票和张场馆门票共需元．场馆门票为每张元 素材 由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买张场馆门票就赠送张场馆门票． 问题解决 任务 确定场馆门票价格 求场馆和场馆的门票价格． 任务 探究经费的使用 若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． 任务 拟定购买方案 若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了元，请你直接写出购买方案． 【答案】任务：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元； 任务：此次购买门票所需总金额的最小值为元； 任务：购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量或不等关系，正确列出等式或不等式． 任务：设场馆门票为元，场馆门票为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； 任务：设购买场馆门票张，则购买场馆门票张，先利用“到场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数”确定的取值范围，设此次购买门票所需总金额为元，列出关于的一次函数，利用一次函数增减性求解即可； 任务：设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张，列出和的二元一次方程，解不定方程即可． 【详解】解：任务： 设场馆门票为元，场馆门票为元， 由题意得：， 解得：， 答：场馆门票的单价为元，场馆门票的单价为元； 任务： 设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意，得：， 解得：， 设此次购买门票所需总金额为元， 则， ， 随的增大而减小， ，且为整数， 当时，取得最小值，最小值元， 答：此次购买门票所需总金额的最小值为元； 任务： 设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意得，， ∴， 又∵均为正整数， ∴或或， 当，时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去； ∴购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票或购买张场馆门票，张场馆门票，张场馆门票． 2．根据以下情境，探索完成任务， 你研究过三角形的角平分线吗？ 问题背景 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有二般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验．在我们人教版义务教育教科书数学八上第29页第11题研究过双内角平分线的夹角的问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究： 模型一 如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，则与之间有一定的数量关系； 模型二 如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点，则与之间有一定的数量关系； 解决问题 任务一 如图，在中，．延长至，延长至，已知的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 任务二 如图，在中，的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； 任务三 在四边形中，，点在直线上运动（点不与两点重合），连接的角平分线交于点，若，直接写出和之间的数量关系．    【答案】任务一：；任务二：；任务三：或或． 【分析】任务一：根据角平分线的定义及平角的定义得出，根据角平分线的定义及三角形外角性质得出，根据三角形内角和定理即可得答案； 任务二：先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，根据三角形内角和定理，结合角平分线的定义即可得到答案； 任务三：分点在点左侧，点在、之间，点在点右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】解：任务一：∵的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 任务二：∵将沿折叠使得点与点重合， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴． 任务三：如图，当点在点左侧时，，， ∵， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 如图，当点在、之间时，， ∵， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 如图，点在点右侧时，， 同理可得：，， ∴． 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握相关知识并分类讨论是解题的关键． 3．根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背 景 素 材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢” 操 作 步 骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手到地面的距离为米 备注：点A，B，C，D在同一平面内 问题解决 任务一 根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 若想要风筝沿射线方向再上升12米，请问能否成功？ 【答案】任务一：米；任务二：不能成功 【分析】本题考查了勾股定理的应用； 任务一：过作交于，由勾股定理得求出即可求解； 任务二：设沿方向向前走了米，风筝沿射线方向再上升12米，由勾股定理得 ，可得判断此方程是否有实根即可求解； 能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：任务一： 如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故风筝离地面的垂直高度为米； 任务二： 不能成功，理由如下： 如图，设沿方向向前走了米，风筝沿射线方向再上升12米， ， ， ， ， ， ， 此方程无实根， 故风筝沿射线方向再上升12米，不能成功． 4．阅读与思考 下面是小文同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 构造同高三角形解决图形的面积问题 根据三角形中线的定义，可以证明中线将原三角形分成面积相等的两个三角形，我们还知道，只要两个三角形的高相同，那么他们的面积比等于底边之比，利用这两个结论可以在多边形中探索有关面积的问题，下面是我的思考过程： 【发现结论】 如图1，在中，点D是线段上任意一点，连接．过点A作于点E， ． 【特例探究】 如图2，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点A和点C最近的三等分点，连接、．若四边形的面为S，则． 证明思路如下： 连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，…… 【一般探究】 如图3，在任意四边形中，点E、F分别是边、上离点B和点D最近的n等分点，连接、，若四边形的面积为S，则与S的关系为______． 任务： (1)请将【特例探究】的过程补充完整； (2)【一般探究】中的结论为与S的关系为：______． (3)如图4，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是、、、、、、、边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】(1) (2) (3)75 【分析】本题是四边形综合题目，考查了三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识，本题综合性强，得出一般探究中的面积关系是解题的关键，属于中考常考题型． （1）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，根据，，，，，则，； （2）连接，过点C作于点P，过点A作于点Q，由模型得，，再由，，即可陈经理； （3）连接、、，由（2）得：，同理，，，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的三等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ∴ ． （2）解：如图，连接，，过点C作于点P，过点A作于点Q， 点、分别是边、上离点和点最近的等分点， ，， ∵，，，， ，， ，， ， 即． 故答案为：． （3）解：如图，连接、、， 由（2）得：， 同理，，，， ， ， 故答案为：75． 5．根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米? 【答案】任务1：；任务2：6月份用水量最多为22立方米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式是解答的关键． 任务1：根据题意和表格数据列方程组求解即可； 任务2：设6月份用水量x立方米，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意，得， 解得； 任务2：设6月份用水量x立方米， ∵当时，， ∴当时，缴水费不超过80元； 当时，由解得， ∴当时，缴水费不超过80元， 故6月份用水量最多为22立方米． 6．下面是小文同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． 2024年×月×日 探索筝形的性质对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以等腰三角形为例，其定义、性质、判定都通过它的边、角、底边上的中线、高线、顶角平分线的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如筝形． 1．定义：如图1，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．与叫做等形的正对角，与是它的对角线，它们交于点O，其中叫做筝形的正对角线． 根据定义可以进行如下推理： 推理1：∵四边形是筝形，①∴ ① ． 推理2：在四边形中，，， ② ． 2．性质：从整体看，等形是轴对称图形，它的对称轴是正对角线所在直线．由此，可以猜想得到等形局部元素的性质如下： 从“角”的角度，可以发现等形的正对角相等． 从“对角线”的角度，可以发现等形的正对角线垂直平分另一条对角线．这个命题的证明如下： 已知：如图1，筝形中，，． 求证：垂直平分． 证明：… 3．判定：… 任务： （1）上述材料中，序号“①”“②”处所对应的内容依次为：①______，②______； （2）补全材料中命题的证明过程； 应用： （3）如图2，在筝形中，，，，点M，N是筝形边上的两个动点（不与C，D重合）当四边形是筝形时，请直接写出它的正对角线的长． 【答案】（1）①，；②四边形是筝形； （2）见详解 （3） 【分析】本题考查了新定义“筝形”，线段垂直平分线的判定定理，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等； （1）由筝形的定义即可求解； （2）由线段的垂直平分线的判定定理即可求解； （3）连接，过作交于，由筝形的性质得，，由勾股定理得可求出，由直角三角形的特征得， 设，由勾股定理得，求出，同理求出，由即可求解； 掌握性质及判定方法，能结合面积法，根据题意作出恰当的辅助线，构建直角三角形用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ①∵四边形是筝形， ，； 故答案：，； ②， 四边形是筝形； 故答案：四边形是筝形； （2）证明：， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 垂直平分； （3）解：如图，连接，过作交于， 四边形是筝形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是筝形， ， ， 同理可得：， ， 设， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故正对角线的长． 类型七、勾股定理中的线段平方关系 1．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【答案】探究发现：详见解析；拓展迁移：①直角三角形；② 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识； 【探究发现】如图1，连接，根据等边三角形的性质证明，得，，进而可以得到以、、为边的三角形是钝角三角形； 【拓展迁移】①连接，，得，，再证，得是直角三角形，即可得出结论； ②由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论． 【详解】探究发现：证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 为钝角三角形， 以、、为边的三角形是钝角三角形； 拓展迁移：①以、、为边的三角形是直角三角形，理由如下： 如图2，连接， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， 即以、、为边的三角形是直角三角形； 故答案为：直角三角形； ②由①可知，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 正方形的面积为11.5． 2．如图1，已知，以为边分别向外作等边和等边，连接，则有．    (1)如图2，已知，以为边分别向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，猜想与有什么数量关系？并说明理由． (2)如图2，连接，若的值为　 　． (3)运用图．（1），图（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图（3），要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得米，的长为　 　（结果保留根号）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)82 (3)米 【分析】（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，可得出，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，进而得出，结合等腰直角三角形的性质及勾股定理求解即可； （3）在的外侧作，使，连接，就可以得出，就有，由勾股定理就可以求出的值，进而得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都为等腰直角三角形， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接交于点O，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∴； （3）解：在的外侧作，使，连接，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，米， 由勾股定理，得， ∵米， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系是解决问题的关键． 3．如图，中，，点P是三角形右外一点，且． (1)如图1，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明； (2)如图2，若，，，求PC的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)2 【分析】（1）在BP上取一点D，使，连接AD，证明、是等边三角形，再证明，证得，据此解题； （2）在BP上取一点D，使，连接AD，过A作于F，由勾股定理解得AF=3，再证明，最后由全等三角形对应边相等解答． 【详解】（1）证明：如图1，在BP上取一点D，使，连接AD， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，，， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，在BP上取一点D，使，连接AD，过A作于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及含30°角的直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 4．如图，锐角中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接BD、CE，可以通过全等三角形的知识证得BD与CE相等． （1）如图，锐角中分别以AB、AC为边向外作等腰和等腰，，，，连接BD、CE，试猜想BD与CE的数量关系，并说明理由． （2）如图，在中，，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角，连接CD，若，求CD的长． （3）如图，在四边形中ABCD，，求BD的最大值． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）23． 【分析】（1）由等腰三角形的性质解得，继而可证及，再由全等三角形对应边相等解题； （2）过A作交于点，连接，先证明是等腰直角三角形，得到 ，，再证明，由全等三角形的性质得到，接着在等腰直角三角形中，由勾股定理解得，最后在中，由勾股定理即可解得的长； （3）先证明为等边三角形，再由等边三角形的性质可得，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，由旋转的性质得，继而证明是等边三角形，由等边三角形的性质得到，最后根据三角形三边关系解题即可． 【详解】解：（1）∵和是等腰三角形， ， ， 即：， 在中中 ， ， ； （2）如图（1）所示，过A作交于点，连接， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， 即：， 在和中 ， ， 在等腰直角三角形中，， ， 由勾股定理得：. 在中，由勾股定理得： ； （3）， ∴为等边三角形， ， 如图（2）所示，将绕点顺时针旋转60°得到，连接， 由旋转性质可得∶ ， ∴是等边三角形， ∴， 又∴， 即， 即， ∴的最大值为 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 5．在正方形中，点E，F分别在边上，且． (1)若点G在边的延长线上，且，（如图①），求证：； (2)若直线与的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：； (3)若．求线段的长度． (4)将正方形改为长与宽不相等的矩形（如图③），，请你直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）证得，进一步得，即可求证； （2）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则，．由（1）知；根据题意可推出均为等腰直角三角形，结合即可求证； （3）根据为等腰直角三角形即可求解； （4）延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，可证；由题意得为等腰直角三角形，推出；证明四边形是矩形推出；根据，通过线段之间的等量关系可得出，即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （2）证明：将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则，． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ （3）解：由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴ （4）解：延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转，得到，连接．过点H作交延长线于点O，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即 又∵， ∴ 即： ∵， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴的面积 【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，掌握举一反三的数学思想，作出正确的辅助线是解题关键． 6．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． 【详解】（1）解：证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 类型八、全等中的动点求t 1．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）． (1)线段______，线段______（用含的代数式表示） (2)若点、的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由． (3)若点、的运动速度不相等，与全等时，求的值． 【答案】(1)4； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中点的定义等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）根据线段中点定义可求，用的长度减去的长度可求； （2）根据运动时间和速度可判断出，，然后根据证明即可； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动， ∴， 又， ∴， 故答案为：4；； （2）解： 理由：∵点、的运动速度相等，， ∴， ∴， 在和中 ， ∴； （3）解：∵点、的运动速度不相等， ∴． 又和全等，， ∴，， ∴，， 解得：，． 2．如图，为等边三角形，，D为中点，点P从C点出发沿向A运动，速度1各单位每秒，点Q从B点出发沿向C运动，速度为2各单位每秒，两点同时开始运动，设运动时间为t，一点到达终点时同时停止运动．请解决以下问题： (1)连接，是否存在某一时刻t，使？若存在求出t值，不存在说明理由． (2)连接，当t为多少时，？ (3)连接，当t为何值时，为直角三角形？ (4)连接相交于点E，当P、Q运动速度满足什么条件时，在P、Q运动过程中，角度保持不变？求出这个角度． 【答案】(1)4 (2) (3) (4)当P、Q运动速度相同时，在P、Q运动过程中，角度保持不变，为60度 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，角平分线性质定理，三角形面积公式以及一元一次方程的应用等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）证明是等边三角形，根据列方程求解即可； （2）过点D作于点E，于点F，得出根据列方程求解即可； （3）根据角所对直角边等于斜边一半求解即可； （4）证明得，由得，从而得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点E，于点F，如图， ∵是的中点，且， ∴是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的中点，且， ∴， 又点在上， ∴当时，是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：当P、Q运动速度相同时，角度保持不变， 此时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故当P、Q运动速度相同时，在P、Q运动过程中，角度保持不变，为60度． 3．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：（舍）； 综上所述：当时，与的面积相等 （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：； 4．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）或或． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等． （1）利用平角得定义即可求解； （2）①先证明出，得出即可得出结果；②证明出，得出即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，根据点所在的位置分情况讨论： ①当在上时，在上时，即， ∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ②当在上时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ③当到达时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：， 综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 5．综合与探究 如图，在长方形中，，，，点E在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点F在线段上由点C向点D运动，它们运动的时间为． (1)______cm（用含t的代数式表示）； (2)若点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时，判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)若点F的运动速度为，是否存在v的值，使得与全等？若存在直接写出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了一元一次方程的几何问题、全等三角形的性质、用代数式表示式： （1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）根据运动的速度以及时间得到线段长度，即可求得结果； （3）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果； 数形结合，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴cm， ∵， ∴t最大取到s， ∴cm，其中， 故答案为：； （2）解：点F的运动速度与点E的运动速度相同，当时， 此时cm，cm， 则cm， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，； （3）解：由（2）可得，当时，此时， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 6．如图，在四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动．设运动时间为． (1)如图①，连接、．当时，求t的值； (2)如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动．当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求a和t的值； (3)如图③，点Q从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动，点M同时从点D出发以的速度沿DA向点A运动，当Q、M两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接，交于点E．连接，当时，，请求出此时a的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）由“”可证，可得，根据线段的和差求出，据此可求解； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解； （3）由 ，可求的值，由面积和差关系可求，可求的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ； （2）若， ∴， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴； 若， ∴, ∴, ， ∵， ， ∴； 综上所述:，或 ； （3）如图③, 连接，过点作于，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 类型九、等腰三角形中动点求t 1．如图，在中，，，，点D从点A以的速度向点C运动，同时点E从点C以的速度向点B运动，运动时间为． (1)当t= 时，为等边三角形；（直接写结果） (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1)1 (2)或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，熟练掌握度角的直角三角形的边角关系是解题的关键. （1）根据等边三角形的性质列出方程求出t的值； （2）分两种情况讨论: ①当为直角时, ②当为直角时，分别利用度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出的值. 【详解】（1）解：根据题意可得,， ∵， ∴, ∵, 为等边三角形, ∴,即, 解得：, ∴当为时, 为等边三角形； （2）①当为直角时, , ，即 解得； ②当为直角时, , ∴即 解得. ∴当为 或时,为直角三角形. 2．如图，在中，cm，cm，P，Q是边上的两个动点．其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒1cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm两点同时开始运动，设运动时间为ts． (1)①斜边上的高为　　cm； ②当时，的长为　　cm． (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形? 【答案】(1)①；② (2)s 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的定义等知识点，注意计算的准确性即可． （1）①求出即可求解；②当时，cm，cm．求出，根据即可求解； （2）由题意可知cm，cm．求出，根据即可求解； 【详解】（1）解：①在中，由勾股定理可得：（cm）， ∴斜边上的高为（cm）， ②当时，cm，cm． ∴（cm）， 在中，由勾股定理可得（cm）， 故答案为：①；② （2）解：由题意可知cm，cm． ∴ 当为等腰三角形时，有，即， 解得t=， 3．如图，在中，，，，点D在线段上从点B出发，以的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t． (1) ，边上的高为 ； (2)点D在运动过程中，当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1)50，24 (2)t的值为或或 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理和等腰三角形的性质才能得出结果． （1）在中，由勾股定理即可求出；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高； （2）分三种情况：①当时，得出，即可得出结果；②当时，作于，则，由（1）得出，由勾股定理求出，即可得出结果；③当时，，证明，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 设边上的高为：， ∵，即：， ∴； 故答案为：50，24； （2）（2）分三种情况： ①当时，， ∴； ②当时，作于，如图所示： 则， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得： ∴； ③当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：t的值为或或． 4．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2)的值为或； (3)当或或或3时，为等腰三角形． 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （2）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：如图，设，则， ，，， ， 在中，， ， 解得， ， ； （2）解：如图，过作于， 平分，， ， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； （3）解：分四种情况： ①如图，当在上且时， ，而，， ， ， 是的中点，即， ． ②如图，当在上且时， ． ③如图，当在上且时，过作于，则， 中，， ， ． ④如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或3时，为等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 5．如图，已知在等腰直角三角形中，，过点作直线平行于，在直线上有一动点从点出发，以的速度向右运动，在射线上有另一动点，使得四边形的面积为12，设点运动时间为秒． (1)用的代数式表示___________ (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连结，作点关于直线的对称点，若使点在内（不含边界线），则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据梯形的面积公式列方程可表示的长； （2）当当是以为腰的等腰三角形时，存在两种情况：和，根据勾股定理和边长相等列方程可解答； （3）先计算边界点：在直线上或在边上时，分别计算的值可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 等腰直角三角形中，， ， ，四边形的面积为12， ， ， ； 故答案为：； （2）解：过点作于，如图所示： ，， ， ①如图1，当时，， ， ； ②如图2， 当时，， ， ， ， 综上所述，的值是或； （3）解：如图3， 当在边上时，作射线交于， ， ， ， ， ， ； 如图4， 是等腰直角三角形，且点关于直线的对称点， 点的运动路径是射线， 当与重合时，，此时在直线上， 若使点在内（不含边界线），则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，涉及梯形面积公式、等腰直角三角形性质、动点运动问题、等腰三角形性质、对称性质、勾股定理等知识，作辅助线构造模型是解决问题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 6．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位的速度运动，点运动的时间为秒． (1)的长为______． (2)如果动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，直接写出当为何值时，，直接写出当t为何值时，； (3)连接． ①求当为何值时，是直角三角形； ②直接写出当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)当或4或或时，为等腰三角形． 【分析】（1）根据题意可得：，根据勾股定理可求的长； （2）利用全等三角形的对应边建立方程求解，即可得出结论； （3）①分两种情况，利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；②分，，三种情况讨论，根据勾股定理和等腰三角形的性质可求t的值． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 在中，； （2）解：如图1，在长方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 当时，此时点P与点C重合， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是直角三角形； ②若为等腰三角形， 则或或， 当时，如图3， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图4， ∵， ∴， ∴， 当时，如图5， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图6，当在的延长线上时，且， ∴， ∴； 综上所述：当或4或或时，为等腰三角形． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 类型十、三角形中的新定义 1．【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 【答案】（1）是；（2）是；（3）是；探究： 【分析】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论． （1）根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； （2）根据奇异三角形的定义判断； （3）分为斜边、为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断； 探究：根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【详解】解：（1）设等边三角形的边长为， ， ∴等边三角形一定是奇异三角形， 故答案为：是； (2)∵， ∴该三角形一定是奇异三角形； （3）当为斜边时，不是奇异三角形； 当为斜边时，， ∴是奇异三角形； ， ∴是奇异三角形； 拓展：中，， ， ， ， ∵是奇异三角形， ， ， ， ， ． 2．定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割． (1)已知把线段分割成，若，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，求的长． 【答案】(1)点、是线段的勾股分割点；理由见解析 (2)或10． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解新定义，学会分类讨论，注意不能漏解． （1）由，可得，根据勾股定理逆定理得出以、、为边的三角形是一个直角三角形，再根据线段勾股分割点的定义即可判断； （2）设，则，分两种情形①当为最长线段时，依题意，②当为最长线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：点、是线段的勾股分割点．理由如下： ，， ， 、、为边的三角形是一个直角三角形， 点、是线段的勾股分割点； （2）解：设，则， ①当为最长线段时，依题意， 即， 解得； ②当为最长线段时，依题意． 即， 解得． 综上所述，或10． 3．阅读下列材料，解答问题： 定义：线段把等腰三角形分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． (1)如图2，在中，，，．求证：为的完美分割线； (2)如图3，是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，即可求出两角的度数；根据两底角相等的三角形为等腰三角形证均为等腰三角形，即可得证结论； （2）根据证，即可得证结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，均为等腰三角形， ∴为的完美分割线； （2）证明：∵是的一条完美分割线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 4．我们新定义一种三角形：一个三角形中，若两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点． (1)如图1，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试证明． (2)如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】此题考查了平方差公式，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据勾股顶点定义列出关系式，再由勾股定理列出关系式，判断即可得证； （2）根据，得到，由（1）中的方法得，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且，是边上的高， ∴，即， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，是边上的高，，， ∴，即， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 则． 5．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)【初步尝试】如图1，已知中，，，，P为上一点，当__________时，与为积等三角形； (2)【理解运用】如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长； (3)【综合应用】如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为中点．请根据上述条件，回答以下问题． ①的度数为__________°． ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】(1)3 (2)2或3 (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）求出，根据新定义“积等三角形”可得出答案； （2）延长至，使，连接，证明，得出，根据三角形三边关系可得出答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论. 【详解】（1）如图中，在上截取， 中，， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵与不全等， ∴与为积等三角形， 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，延长至E，使，连接， ∵与为积等三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵为正整数， ∴或3， ∴的长为2或3． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示： ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形. 6．定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四边形． 如图1，四边形，，平分，则四边形为余缺四边形． 【概念理解】 （1）用 （填序号）一定可以拼成余缺四边形． ①两个全等的直角三角形， ②两个全等的等边三角形； （2）如图1，余缺四边形，平分，若，，则＝ ； 【初步应用】 如图2，已知，的平分线与的垂直平分线交于P点，连接、． （3）求证：四边形为余缺四边形； （4）若，，则的值为 ． 【迁移应用】 （5）如图，，等腰的B、C两点分别在射线、上，且斜边（P、A在两侧），若B、C两点在射线、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？若不变化，请说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值． 【答案】（1）①（2）（3）证明过程详见解答（4）45（5）四边形的面积是变化的，最大值是50 【分析】（1）画出图形直观得出结果； （2）过点作交的延长线于点，作于点，根据角平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）过点作于点，作，交的延长线于点，证明，进而得出，从而得出结论； （4）在（3）的基础上得出，，进而求得，进一步得出结果； （5）连接，作，交于，证明，从而，进而得出，故，取的中点，连接，，当、、共线时，最大，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图1， ，， 四边形为余缺四边形， ，， 四边形不是余缺四边形， 故答案为：①； （2）解：如图2， 过点作交的延长线于点，作于点， 平分， ， ， 故答案为：； （3）证明：如图3， 过点作于点，作，交的延长线于点， ， 平分， ， ∵， ， ∴， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ，且平分， 四边形为余缺四边形； （4）解：如图3， 由（3）得：， ， ， ， ， ， ； 故答案为：45； （5）解：如图4， 四边形的面积是变化，理由如下： 连接，作，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接，， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$