24.4 解直角三角形 第3课时 坡度的问题 课件 2024-2025学年华东师大版九年级数学上册.

第24章 解直角三角形 第3课时 坡度的问题 24.4 解直角三角形 学习目标 学习目标 1.理解掌握测量坡角、坡度的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三 角形的知识解与坡度有关的实际问题. 新课导入 壹 目 录 课堂小结 肆 当堂训练 叁 讲授新知 贰 新课导入 壹 新课导入 运用前面所学的知识填空： 一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？ (1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系: (3)边角之间的关系: 有三条边和三个角，其中有一个角为直角 锐角三角函数 . 讲授新知 贰 讲授新知 【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 讲授新知 1、坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α . 2、坡度（或坡比） 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 3、坡度与坡角的关系 坡度等于坡角的正切值 α i= : 坡面 水平面 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 范例应用 （1）斜坡的坡度是 ，则坡角α =____度. （2）斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. （3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. 30 1 : 1 完成下列各题: 范例应用 例1 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米) 32° 28° 12.51米 4.2米 A B C D 范例应用 解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F. 32° 28° 12.51米 4.2米 A B C D E F 由题意可知DE=CF=4.2，EF=CD=12.51. 在Rt△ADE中，∵ . 范例应用 32° 28° 12.51米 4.2米 A B C D E F ∴ 在Rt△BCF中，同理可得 ∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(米). 答：路基下底的宽约为27.1米. 范例应用 H 解：(1)过点B作BH⊥AF于点H 范例应用 范例应用 解：如图，过点D作DH⊥AN于点H，过点E作FE⊥DH于点F， 过点C作CP⊥DH于点P. H F P 当堂训练 叁 2．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡，把一根长5 m的竹竿AC斜靠 在石坝旁，量出杆长1 m处的D点离地面的高度DE＝0.6 m，又量得 杆底与坝脚的距离AB＝3 m，则石坝的坡度为( ) A． B．3 C． D．4 当堂训练 A B 当堂训练 4．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是____cm. 210 3．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了约________米． (参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67) 280 当堂训练 5.汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30 cm，斜坡AB的坡度i＝1∶1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1∶，问工程完工后，共需土石多少立方米？ (计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号) 当堂训练 H G 课堂小结 肆 课堂小结 壹 注意方法：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形。 课后作业 基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。 提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。 谢 谢 在Rt△ABH中，∵sin∠BAH＝eq \f(BH,AB)， ∴BH＝AB·sin∠BAH＝800·sin 30°＝400(米)， ∴EF＝BH＝400米． 故AB段山坡的高度EF为400米．　 (2)在Rt△CBE中，∵sin∠CBE＝eq \f(CE,BC)， ∴CE＝BC·sin∠CBE＝200·sin 45°＝100eq \r(2)(米)， ∴CF＝CE＋EF＝100eq \r(2)＋400≈541(米)． 故山峰的高度CF约为541米． 例2．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°. (1)求AB段山坡的高度EF； (2)求山峰的高度CF.(eq \r(2)≈1.414，结果精确到1米) 例3 如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°.沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1∶eq \r(3)(即tan∠DEM＝1∶eq \r(3))，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，点E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度．(结果精确到1米，参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(2)≈1.41) ∵山坡的坡度i＝1∶eq \r(3)，∴∠EDF＝∠DEM＝30° .∵坡面DE＝20米，∴EF＝eq \f(1,2)DE＝10米，DF＝DE·cos 30°＝eq \f(\r(3),2)DE＝10eq \r(3)米， ∴DH＝DF＋FP＋PH＝DF＋EC＋CN＝(10eq \r(3)＋30)米．在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH·tan 30°＝eq \f(\r(3),3)DH＝(10＋10eq \r(3))米， ∴AN＝AH＋HN＝AH＋EF＝(20＋10eq \r(3))米． 在Rt△BCN中，∵∠BCN＝45°，∴CN＝BN＝20米， ∴AB＝AN－BN＝10eq \r(3)≈17(米)．故条幅的长度约是17米． 1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC．若tan∠BAC＝eq \f(2,5)，则此斜坡的水平距离AC为(　　) A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m 解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G， 则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2， ∵斜坡AB的坡度i＝1∶1，∴AH＝BH＝30×30＝900厘米＝9米， ∴BG＝BH－HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1∶ eq \r(5) ，∴FG＝9 eq \r(5) ， ∴BF＝FG－BG＝9 eq \r(5) －7， ∴S梯形ABFE＝ eq \f(1,2) (2＋9 eq \r(5) －7)×9＝ eq \f(81\r(5)－45,2) ， ∴共需土石为 eq \f(81\r(5)－45,2) ×200＝100(81 eq \r(5) －45)立方米 　坡度与坡角 坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝eq \f(h,l).坡度通常写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝eq \f(h,l)＝tan α. $$