2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（十一大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 5 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 5 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 6 题型三：切线与切线长问题 7 题型四：弦长问题 7 题型五：判断圆与圆的位置关系 8 题型六：由圆的位置关系确定参数 9 题型七：公共弦与切点弦问题 11 题型八：公切线问题 12 题型九：圆中范围与最值问题 12 题型十：圆系问题 13 题型十一：直线与圆的实际问题 14 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典型例题】 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【典例1-2】（2024·高二·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 【方法技巧与总结】 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【变式1-1】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式1-2】（2024·高二·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【变式1-3】（2024·高二·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1-4】（2024·高二·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 【典例2-1】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高二·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 直接联立求解． 【变式2-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知实数，若直线与圆的两个交点恰好关于直线对称，则（    ） A． B． C．4 D．2 【变式2-3】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【变式2-4】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 题型三：切线与切线长问题 【典例3-1】（2024·高二·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式3-1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【变式3-2】（2024·高二·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【变式3-3】（2024·高三·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【变式3-4】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， . 【变式3-5】（2024·高二·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 题型四：弦长问题 【典例4-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）圆 被直线截得的弦长等于 . 【典例4-2】（2024·高二·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 【方法技巧与总结】 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式4-1】（2024·高二·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【变式4-2】（2024·高三·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线与圆相交，且直线被圆截得的弦长为，则圆的一般式方程为 ． 【变式4-4】（2024·高二·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【变式4-5】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 【变式4-6】（2024·高二·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 题型五：判断圆与圆的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【典例5-2】（2024·高二·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【方法技巧与总结】 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 【变式5-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式5-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知两点，到直线的距离分别为，，则满足条件的直线共有（    ）条 A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【变式5-4】（2024·高二·北京·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式5-5】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 题型六：由圆的位置关系确定参数 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高二·全国·课后作业）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【变式6-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·高二·浙江绍兴·阶段练习）已知圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ． 【变式6-3】（2024·高二·上海·随堂练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】（2024·高二·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-6】（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：公共弦与切点弦问题 【典例7-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知P为直线上一动点，过点P向圆作两切线，切点分别为、，则直线AB恒过定点 . 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆与圆的公共弦长为，则圆的方程为 ． 【方法技巧与总结】 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． （3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【变式7-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【变式7-2】（2024·高二·河南·阶段练习）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为 ． 【变式7-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【变式7-4】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【变式7-5】（2024·高二·安徽·期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 ；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为 . 题型八：公切线问题 【典例8-1】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 【典例8-2】（2024·高二·全国·课后作业）若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 【方法技巧与总结】 利用几何法进行转化． 【变式8-1】（2024·高二·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条． 【变式8-2】（2024·高二·湖南·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 【变式8-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【变式8-4】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【变式8-5】（2024·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 题型九：圆中范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·湖北·期中）若实数、满足条件，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】（2024·高二·内蒙古包头·期末）已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【变式9-1】（2024·山东日照·二模）若实数满足条件，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知是直线上一点，，分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（多选题）（2024·高二·江西新余·开学考试）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．存在点使 D．过点作圆的切线，则切线长为 【变式9-4】（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 【变式9-5】（2024·高二·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 题型十：圆系问题 【典例10-1】（2024·全国·高二专题练习）求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【典例10-2】（2024·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在的直线方程； （2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； （3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 【方法技巧与总结】 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式10-1】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 题型十一：直线与圆的实际问题 【典例11-1】（2024·高二·上海·随堂练习）小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【典例11-2】（2024·高二·全国·课后作业）某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 【方法技巧与总结】 解决直线与圆的实际问题，关键在于理解直线与圆的位置关系。可通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断相切、相交或相离。利用方程求解交点，结合实际问题背景，分析并得出结果。 【变式11-1】（2024·高二·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 【变式11-2】（2024·高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 5 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 5 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 7 题型三：切线与切线长问题 10 题型四：弦长问题 13 题型五：判断圆与圆的位置关系 16 题型六：由圆的位置关系确定参数 19 题型七：公共弦与切点弦问题 23 题型八：公切线问题 28 题型九：圆中范围与最值问题 31 题型十：圆系问题 35 题型十一：直线与圆的实际问题 36 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点四：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 知识点诠释： 判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法． 3、两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4、两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典型例题】 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 【典例1-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 【典例1-2】（2024·高二·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 【答案】C 【解析】由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离， 故选：C 【方法技巧与总结】 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 【变式1-1】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交. 故选:B. 【变式1-2】（2024·高二·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 【变式1-3】（2024·高二·安徽宿州·期中）已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【解析】由直线，可得，所以直线过定点， 又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式1-4】（2024·高二·浙江·期中）已知直线，圆.则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与a有关 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：A 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 【典例2-1】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径， 圆圆心为，半径， 所以有 故选：C 【典例2-2】（2024·高二·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 【方法技巧与总结】 直接联立求解． 【变式2-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知实数，若直线与圆的两个交点恰好关于直线对称，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【解析】圆化为，圆心的坐标为. 根据题意，直线经过圆心，且与直线垂直， 从而可得 解得 所以. 故选：C. 【变式2-3】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个交点，则或. 故选：D. 【变式2-4】（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 【答案】C 【解析】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示： 又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 题型三：切线与切线长问题 【典例3-1】（2024·高二·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 【变式3-1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【解析】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 【变式3-2】（2024·高二·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【解析】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 【变式3-3】（2024·高三·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程 . 【答案】（答案不唯一，另一条为） 【解析】依题意，点关于直线的对称点， 由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切， 相当于从点发出的光线与圆相切，显然该切线斜率存在，设方程为， 因此圆心到直线的距离，解得， 所以所求直线方程为或. 故答案为： 【变式3-4】（2024·高三·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， . 【答案】 【解析】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 【变式3-5】（2024·高二·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【解析】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 题型四：弦长问题 【典例4-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）圆 被直线截得的弦长等于 . 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高二·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为圆C：，圆心，半径 所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值， 即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 【变式4-1】（2024·高二·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【解析】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高三·广东广州·期中）如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【答案】5或 【解析】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 【变式4-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知直线与圆相交，且直线被圆截得的弦长为，则圆的一般式方程为 ． 【答案】 【解析】圆：的圆心为，半径， 点到直线的距离为， 则，而，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 【变式4-4】（2024·高二·天津·期中）经过点且斜率为的直线与圆相交于两点，若，则的值为 . 【答案】0或 【解析】由条件可知，圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 设直线，即， 所以圆心到直线的距离， 解得：或. 故答案为：0或. 【变式4-5】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 【答案】或 【解析】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，解得，此时直线：， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 【变式4-6】（2024·高二·天津武清·期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【答案】（任意一个也对） 【解析】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 题型五：判断圆与圆的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为，所以两圆外切. 故选：C 【典例5-2】（2024·高二·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 【方法技巧与总结】 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则： （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含； 【变式5-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 【变式5-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知两点，到直线的距离分别为，，则满足条件的直线共有（    ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为圆心，2为半径的圆为，则直线是圆的切线， 以为圆心，3为半径的圆为，则直线是圆的切线， 而，即两圆相外切，这两圆有3条公切线， 所以满足条件的直线共有3条. 故选：B 【变式5-3】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【解析】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 【变式5-4】（2024·高二·北京·阶段练习）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C 【解析】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又，所以两圆的位置关系为外切， 故选：C. 【变式5-5】（2024·高二·四川遂宁·阶段练习）已知圆，圆，则两圆的位置关系（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】易知圆的圆心为，半径为； 圆可化为，圆心，半径为； 圆心距，所以两圆外切. 故选：B 题型六：由圆的位置关系确定参数 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆：， 因此圆C：上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆：与圆C：有两个交点， 因为两圆的圆心和半径分别为，，，， 所以，故，解得或， 故实数a的取值范围是，故A正确. 故选：A 【典例6-2】（2024·高二·全国·课后作业）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【答案】D 【解析】圆的圆心为、半径为，圆的圆心为、半径为3，则两圆的圆心距； 当圆与圆内切时，，解得； 当圆与圆外切时，，解得． 故选：D. 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 【变式6-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 【变式6-2】（2024·高二·浙江绍兴·阶段练习）已知圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为圆上有且仅有3个点到直线的距离为1， 所以原点到直线 的距离为， 由点到直线的距离公式可得， 解得， 故答案为：. 【变式6-3】（2024·高二·上海·随堂练习）与直线和圆都相切的半径最小的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，过圆的圆心作直线的垂线，垂足为， 则以为直径的圆(设其半径为)即为所求圆.理由如下： 另作一个圆，与圆相切，与直线切于点，设其半径为， 由图知，即，即，即圆是符合要求的最小圆. 由点到直线的距离为，则， 设点，由可得，，即①， 由点到直线的距离等于可得②， 联立①②可解得，或，由图知仅符合题意， 即得，故所求圆的方程为. 故选：C. 【变式6-4】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆C上存在点P，使得， 所以，以为直径的圆与圆有交点， 又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2， 所以，即，即. 故选：A 【变式6-5】（2024·高二·江苏南通·期中）已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆D：的圆心，半径为， 圆C：的圆心，半径为， 因为圆与圆相外切，所以，所以， 且圆与轴交于，不妨记， 因为圆关于轴对称，点与点关于轴对称，点在轴上， 由对称性不妨令， 当时，则，解得， 故 ， 当时，则，解得， 此时， 故， 当时，则，解得， 故 ， 综上所述，的最大值为. 故选：B. 【变式6-6】（2024·全国·二模）已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线过定点，直线过定点，又直线， 因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径， 圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1， 则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点， 于是，即， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 题型七：公共弦与切点弦问题 【典例7-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知P为直线上一动点，过点P向圆作两切线，切点分别为、，则直线AB恒过定点 . 【答案】 【解析】如图： 设，又， 以为直径的圆的方程为， 整理得， 设该圆与圆相交于，两点. ∵， 所以直线，为圆的切线，切点分别为、. 两圆方程相减，消去，，得公共弦AB方程： ， 令， ∴恒过定点. 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆与圆的公共弦长为，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：圆，且圆心，半径为， 因为公共弦长为，则圆心到公共弦的距离为， 圆与圆两圆方程相减可得，， 即公共弦方程为， 则圆心到公共弦的距离为，解得（正值舍去）， 所以圆的方程为． 故答案为：. 【方法技巧与总结】 （1）圆的切线方程的求法 ①点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． ②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． （2）常见圆的切线方程 过圆上一点的切线方程是； 过圆上一点的切线方程是． 过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论． （3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得． 【变式7-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【答案】4 【解析】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 【变式7-2】（2024·高二·河南·阶段练习）已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，当最小时，直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由，得到，圆心为，半径为， 由题易知，所以四边形的面积， 又， 所以当最小时，即最小，此时， 所以直线的方程为，即， 由，解得，即， 所以，得到， 则以为圆心，为半径的圆的方程为， 又是圆与圆的公共弦， 两圆方程相减得到，所以直线的方程为， 故答案为：. 【变式7-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 【变式7-4】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 【变式7-5】（2024·高二·安徽·期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 ；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】设，因为是直线上一点， 所以，以为直径的圆的方程为， 即，所以，即直线的方程为， 又直线的方程为，故直线过定点. 设，直线过定点为，则， 由，得， 整理得点的轨迹方程为， 因为点到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案为：， 题型八：公切线问题 【典例8-1】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 【典例8-2】（2024·高二·全国·课后作业）若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 【答案】 【解析】由，可得，所以圆的圆心为，半径为a， 由，可得，所以圆的圆心为，半径为1， 因为两圆有且仅有三条公切线， 所以两圆外切，所以，解得． 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用几何法进行转化． 【变式8-1】（2024·高二·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【解析】化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 【变式8-2】（2024·高二·湖南·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为 . 【答案】2 【解析】由题意设， 易知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，大于，小于， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故答案为：2 【变式8-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【答案】 【解析】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 【变式8-4】（2024·高二·浙江杭州·期末）已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程 和 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】由，设圆心为，半径为， 由，设圆心为，半径为1， 设直线l不存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以有，此时直线l的方程为， 当直线l存在斜率，此时方程设为：， 因为直线l同时与圆和圆相切， 所以或， 所以此时切线方程为，或，即 ，或， 故答案为： ； 【变式8-5】（2024·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【解析】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：. 题型九：圆中范围与最值问题 【典例9-1】（2024·高二·湖北·期中）若实数、满足条件，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 【典例9-2】（2024·高二·内蒙古包头·期末）已知，，圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，， ∵，即， ∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上， 而圆的圆心为，半径为R， ∴圆上存在点，即圆与有交点， ∴. 故选：A 【方法技巧与总结】 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地： （1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． （3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题 【变式9-1】（2024·山东日照·二模）若实数满足条件，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k， 则AB的方程为， 由切线性质有，，解得，故的取值范围为， 故选：D 【变式9-2】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知是直线上一点，，分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆，则圆心，， 圆，则圆心，， 因为，则两圆心在直线的同侧． 又圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离， 则两圆在直线的同侧且与直线相离，如图所示， 圆心关于直线的对称点为， 则，解得，，所以， 所以，当且仅当、、三点共线时等号成立； 即的最小值为. 故选：C． 【变式9-3】（多选题）（2024·高二·江西新余·开学考试）设点为圆上一点，已知点，，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．存在点使 D．过点作圆的切线，则切线长为 【答案】AD 【解析】对于A，设，则点到直线的距离， 解得，得的最大值为，故A正确； 对于B，令， 则点到直线的距离， 解得，得的最小值为，故B错误； 对于C，假设存在点使，设，则 ，化简得， 因此满足的点在圆上，此圆圆心为， 半径为，而，因此与圆外离，所以不存在点使，故C错误； 对于D，圆的圆心为，半径为，则过点作圆的切线， 则切线长为，故D正确. 故选：AD. 【变式9-4】（2024·河南周口·模拟预测）已知点，为圆上一动点，为直线上一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】不妨设x轴上定点使得满足，， 则，整理得，， 又，所以，则， 解得，所以，使得， 要使最小，则最小， 所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线时取得最小值，如图所示. 故的最小值为点B到直线的距离. 故答案为： 【变式9-5】（2024·高二·江苏南京·期中）已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设线段MN的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线MN的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为. 所以. 故答案为： 题型十：圆系问题 【典例10-1】（2024·全国·高二专题练习）求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【解析】设所求的圆的方程为，且与轴的交点坐标为， 令得，化简得 ， 由两边平方得 ，化简得 解得或 所求圆的方程为， 或 所求圆的方程为或 【典例10-2】（2024·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在的直线方程； （2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； （3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 【解析】（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程． （2）设经过A、B两点的圆的方程为（为常数）， 则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故， 解得，故所求方程为． （3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0， 与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为． 故面积最小的圆的方程为． 【方法技巧与总结】 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 【变式10-1】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入，可得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 题型十一：直线与圆的实际问题 【典例11-1】（2024·高二·上海·随堂练习）小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，解得， ，， 所以当水面上涨4米后， 桥在水面的跨度为米． 故答案为：． 【典例11-2】（2024·高二·全国·课后作业）某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 【答案】1.22 【解析】以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为， ∵圆经过点， ∴解得： ∴圆的方程是，令，得，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低，船才能安全通过桥洞. 故答案为：1.22 【方法技巧与总结】 解决直线与圆的实际问题，关键在于理解直线与圆的位置关系。可通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断相切、相交或相离。利用方程求解交点，结合实际问题背景，分析并得出结果。 【变式11-1】（2024·高二·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 【答案】 【解析】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数， 得， 在中，由勾股定理， 得， 所以， 因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 故答案为：2. 【变式11-2】（2024·高二·江苏·假期作业）据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响．从现在起经过约 h，台风将影响A城，持续时间约为 h(结果精确到0.1 h)． 【答案】 2.0 6.6 【解析】以B为原点，正东方向所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则台风中心的移动轨迹方程是，设台风中心为， 受台风影响的区域边界的曲线方程是， 由，可得， 解得， 令， 当时， ∴， ， ∴从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h． 故答案为：①；②. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)   相离 相切 相交 图形       量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点 d r d r d r < > ＝ ＝ > < 知识梳理 2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)   图形 量的关系 外离   ________ 外切   _________ d>r1＋r2 d＝r1＋r2 知识梳理   图形 量的关系 相交   _______________ 内切   __________ |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| 知识梳理   图形 量的关系 内含   _________ d<|r1－r2| 知识梳理 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝ . (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝ . 03 典型例题 【典例1-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）直线与 圆的位置关系是（ ） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离． 故选：D 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 典型例题 【典例1-2】（2024·高二·四川乐山·阶段练习）已知直线，圆，点在圆内，则（    ） A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C相离 D．不确定 【答案】C 【解析】由题意知点在圆内，故， 故圆心到直线的距离， 故直线l与圆C相离，故选：C  【方法技巧与总结】 直线与圆的位置关系判断方法 法一抓住直线与圆的位置关系的代数特征，从而转化为对方程的解的研究，这是研究直线与曲线的位置关系的基本方法；法二抓住直线与圆的位置关系的几何特征，从而转化为研究圆心到直线的距离，抓住几何特征对于研究圆的问题特别有效；法三通过判定直线过圆内一定点，从而使问题获证．由上述三种解法可知，解题的切入点不同，解法就有优劣之分．因此，在解题时，审题要慢，要仔细地分析题意，透彻地理解题意，挖掘其中的隐含条件，从而找到解决问题的捷径． 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】直线恒过定点， 将定点代入圆的方程， 发现， 则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交． 故选：B． 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·贵州六盘水·阶段练习）已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线方程为， 由题可知圆心到直线的距离小于半径， 圆圆心为，半径， 所以有 故选：C 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·北京西城·期中）过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 【方法技巧与总结】 直接联立求解． 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·浙江嘉兴·期末）直线与曲线 的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为曲线就是或， 表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点； 此时，没有意义． 联立，解得或， 所以直线与有两个交点． 所以直线与曲线的交点个数为2个．故选：B 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为点在圆上， 又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 题型三：切线与切线长问题 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：，即． 【方法技巧与总结】 求圆的切线方程一般有三种方法： （1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法． 一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 题型三：切线与切线长问题 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以点在圆上， 设切线的斜率为， 则，． 则切线方程为． 故答案为： 题型三：切线与切线长问题 典型例题 【典例4-1】（2024·高二·河北石家庄·期末）圆 被直线截得的弦长等于 ． 【答案】 【解析】圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 所以所求弦长为． 故答案为： 题型四：弦长问题 典型例题 【典例4-2】（2024·高二·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为圆C：，圆心，半径 所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值， 即． 【方法技巧与总结】 弦长问题 ①利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． ②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． ③利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 题型四：弦长问题 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·上海·期中）若圆与 直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【解析】由圆，可化为， 可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长． 故答案为：． 题型四：弦长问题 典型例题 【典例5-1】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（ ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为，所以两圆外切． 故选：C 题型五：判断圆与圆的位置关系 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·河北张家口·开学考试）已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【解析】因为 可化为，则，半径， 因为 可化为， 则，半径， 则，因为， 所以两圆相交． 故选：C． 题型五：判断圆与圆的位置关系 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·北京丰台·期末）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切． 故选：D 题型五：判断圆与圆的位置关系 典型例题 【典例6-1】（2024·高二·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】到原点的距离为的点的轨迹为圆：， 因此圆C：上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆：与圆C：有两个交点， 因为两圆的圆心和半径分别为，，，， 所以，故， 解得或， 故实数a的取值范围是，故A正确． 故选：A 题型六：由圆的位置关系确定参数 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·全国·课后作业）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【答案】D 【解析】圆的圆心为、半径为，圆的圆心为、半径为3，则两圆的圆心距； 当圆与圆内切时，，解得； 当圆与圆外切时，，解得． 故选：D． 【方法技巧与总结】 利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与、d与的大小关系来判定即可． 题型六：由圆的位置关系确定参数 典型例题 【变式6-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，，若圆 上存在点P满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，则，， 所以， 所以P的轨迹方程为，圆心为，半径为3． 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． 题型六：由圆的位置关系确定参数 典型例题 【典例7-1】（2024·高二·全国·专题练习）已知P为直线上一动点，过点P向圆作两切线，切点分别为、，则直线AB恒过定点 ． 【答案】 【解析】如图： 设，又， 以为直径的圆的方程为， 整理得， 设该圆与圆相交于，两点． ∵， 所以直线，为圆的切线，切点分别为、． 两圆方程相减，消去，，得公共弦AB方程： ， 令， ∴恒过定点． 题型七：公共弦与切点弦问题 典型例题 【典例7-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆与圆的公共弦长为，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：圆， 且圆心，半径为， 因为公共弦长为，则圆心到公共弦的距离为， 圆与圆两圆方程相减可得，， 即公共弦方程为， 则圆心到公共弦的距离为，解得（正值舍去）， 所以圆的方程为． 故答案为：． 题型七：公共弦与切点弦问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）圆：与圆：相交于、两点，则 ． 【答案】4 【解析】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以． 故答案为：4． 题型七：公共弦与切点弦问题 典型例题 【典例8-1】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）已知圆与圆有4条公切线，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题可得，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为1， 因为两圆有4条公切线，所以两圆外离， 故圆心距，解得， 故答案为：． 题型八：公切线问题 典型例题 【典例8-2】（2024·高二·全国·课后作业）若圆：与圆：有且仅有三条公切线，则a的值为 ． 【答案】 【解析】由，可得，所以圆的圆心为，半径为a， 由，可得，所以圆的圆心为，半径为1， 因为两圆有且仅有三条公切线， 所以两圆外切，所以，解得． 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用几何法进行转化． 题型八：公切线问题 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·全国·课后作业）两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【解析】化成标准方程为 ， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 题型八：公切线问题 典型例题 【典例9-1】（2024·高二·湖北·期中）若实数、满足条件，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 即的取值范围是． 故选：B． 题型九：圆中范围与最值问题 典型例题 【典例9-2】（2024·高二·内蒙古包头·期末）已知，， 圆：（），若圆上存在点，使，则圆的半径的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，， ∵，即， ∴，即在以原点为圆心，半径为1的圆上， 而圆的圆心为，半径为R， ∴圆上存在点，即圆与有交点， ∴． 故选：A 题型九：圆中范围与最值问题 典型例题 【变式9-1】（2024·山东日照·二模）若实数满足条件，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的几何意义即圆上的点到定点的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k， 则AB的方程为， 由切线性质有，，解得， 故的取值范围为， 故选：D 题型九：圆中范围与最值问题 典型例题 【典例10-1】（2024·全国·高二专题练习）求经过圆与直线的交点且在轴上的弦长为的圆的方程． 【解析】设所求的圆的方程为， 且与轴的交点坐标为， 令得，化简得 ， 由两边平方得 ，化简得 解得或 所求圆的方程为， 或 所求圆的方程为或 题型十：圆系问题 典型例题 【典例10-2】（2024·江苏·高二专题练习）已知圆：与：相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在的直线方程； （2）求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程； （3）求经过A、B两点且面积最小的圆的方程． 【解析】（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程． （2）设经过A、B两点的圆的方程为（为常数）， 则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故， 解得，故所求方程为． （3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0， 与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为． 故面积最小的圆的方程为． 题型十：圆系问题 典型例题 【变式10-1】过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入，可得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 题型十：圆系问题 典型例题 【典例11-1】（2024·高二·上海·随堂练习）小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【答案】 【解析】设圆的半径为，则，解得， ，， 所以当水面上涨4米后， 桥在水面的跨度为米． 故答案为：． 题型十一：直线与圆的实际问题 典型例题 【典例11-2】（2024·高二·全国·课后作业）某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1．5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．（结果精确到0．01 m） 【答案】1．22 【解析】以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为， ∵圆经过点， ∴解得： ∴圆的方程是，令，得，故当水位暴涨1．5 m后，船身至少应降低，船才能安全通过桥洞． 【方法技巧与总结】 解决直线与圆的实际问题，关键在于理解直线与圆的位置关系．可通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断相切、相交或相离．利用方程求解交点，结合实际问题背景，分析并得出结果． 题型十一：直线与圆的实际问题 典型例题 【变式11-1】（2024·高二·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时． 【答案】 【解析】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点． 在中，由锐角三角函数， 得， 在中，由勾股定理， 得， 所以， 因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为． 故答案为：2． 题型十一：直线与圆的实际问题 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与 圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线 与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足 ，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． C C C B 2  · $$