专题1.6 有理数全章专项复习【2大考点7种题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（浙教版2024）

专题1.6 有理数全章专项复习【2大考点7种题型】 【浙教版2024】 【考点1 正数和负数】 1 【题型1 识别正数和负数】 1 【题型2 借助具有相反意义的量解决实际问题】 2 【题型3 规律探究】 3 【考点2 有理数】 4 【题型4 有理数的概念与分类】 5 【题型5 用数轴上的点表示有理数】 5 【题型6 有理数大小的比较】 6 【题型7 数轴在生活中的应用】 7 【考点1 正数和负数】 1.正数和负数 (1)定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 (2)0既不是正数，也不是负数。 (3)0的意义: a.0是正负数的分界; b.0可以表示“没有”; c.0可以用来表示基准,一般地,高于基准的量用正数表示,低于基 准的量用负数表示. 2.具有相反意义的量 (1)在日常生活中,人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量.  (2)一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并用正数来表示.把与它意义相反的量规定为负的,并用负数来表示. 例如:若规定海平面的海拔高度为0m,珠穆朗玛峰高于海平面8848.86m,记作+8848.86m. 【题型1 识别正数和负数】 【例1】（23-24七年级·广西桂林·阶段练习）在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（23-24七年级·新疆阿克苏·阶段练习）下列各数中，既不是正数，又不是负数的是（    ） A． B．0 C． D． 【变式1-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在，，0，，中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）在，，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【题型2 借助具有相反意义的量解决实际问题】 【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【变式2-1】（23-24七年级·辽宁营口·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“向东10米”与“向西5米”不是相反意义的量 B．如果气球上升25米记作米，那么米的意义就是下降米 C．如果气温下降，记为，那么的意义就是下降 D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作米，那么米所表示的高是0.95米 【变式2-2】（23-24七年级·广西桂林·开学考试）实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作棵，茄子组成活7棵记作( )，彩椒组成活8棵记作( )． 【变式2-3】（23-24七年级·黑龙江·期中）某一出租车一天下午以一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9，-3，-6，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？ （2）若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【题型3 规律探究】 【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【变式3-1】（23-24七年级·湖北黄石·阶段练习）一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级·全国·课后作业）观察下列依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数，第100个数，第2012个数吗？ （1）1，－1，1，－1，1，－1，________，________，________…； （2）－1, ________，________，________. 【变式3-3】（23-24七年级·江苏连云港·期中）如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫A，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+4），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中B→D（　 　，　 　），C→　 　（+1，　 　）； （2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫A爬行的路程？ （3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+3），（﹣2，+1），（+3，﹣5），（﹣4，+2），最终到达点P处，请在图中标出甲虫A的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【考点2 有理数】 1.有理数 (1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.（注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数） 有理数的分类: (2) ① ② 2.数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3.相反数 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； （2）的相反数是；的相反数是； （3）相反数的和为0 互为相反数；相反数的商为-1； （4）相反数的绝对值相等. 4.绝对值 （1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； （2） 绝对值可表示为： 或 ； （3） ； ； （4）是重要的非负数，即，非负性.上 5.有理数比较大小 （1）正数永远比0大，负数永远比0小，正数大于一切负数； （2）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； （4）数轴上的两个数，右边点表示的数总比左边点表示的数大. 【题型4 有理数的概念与分类】 【例4】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）把下列各数分类，并填在表示相应的大括号内： ，，0，，，11，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负数：{ …}． (4)正数：{ …}． 【变式4-1】（23-24七年级·全国·假期作业）下列语句正确的个数是（    ） ①不带“”号的数都是正数  ②如果a是正数，那么一定是负数  ③不带“”号的数都是负数  ④不存在既不是正数，也不是负数的数  ⑤非正数就是负数 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（23-24七年级·全国·假期作业）已知下列各数，，，，3，0，，，，其中非负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-3】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正有理数集合：{_______________…}； 非负数集合：{_______________…}； 非正整数集合：{_______________…}； 分数集合：{_______________…}． 【题型5 用数轴上的点表示有理数】 【例5】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为21厘米的线段，则线段盖住的整点数是（    ） A．20个或21个 B．20个或22个 C．21个或22个 D．21个或23个 【变式5-1】（23-24七年级·江苏扬州·开学考试）如图，若点D所表示的数是20，则点A所表示的数是 ；若点C所表示的数是，则点B所表示的数是 ． 【变式5-2】（23-24七年级·甘肃张掖·阶段练习）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（    ） A．6 B．2 C．3或6 D．2或6 【变式5-3】（23-24七年级·全国·单元测试）数轴上点，，，对应的有理数都是整数．若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【题型6 有理数大小的比较】 【例6】（23-24七年级·全国·单元测试）（1）指出图中数轴上各点分别表示的有理数，并用“”将它们连接起来； （2）在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小： ． 【变式6-1】（23-24七年级·四川绵阳·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的位置如图，用“＜”或“＞”连接． 则a﹣b 0，a+c 0，b c，|a| |c|． 【变式6-2】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24七年级·云南昆明·期末）（1）画数轴并在数轴上表示下列各数：0，3，，，1，； （2）按从小到大的顺序用“”号把（1）中的这些数连接起来； （3）直接填空：数轴上表示3和表示1的两点之间的距离是　　，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点，两点之间的距离是　　． 【题型7 数轴在生活中的应用】 【例7】（23-24七年级·浙江宁波·阶段练习）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动， ① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【变式7-1】（23-24七年级·河南三门峡·阶段练习）元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了1.5千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里．    (1)若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来； (2)问超市A和外公家C相距多少千米？ 【变式7-2】（23-24七年级·山东青岛·开学考试）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【变式7-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题： 一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 有理数全章专项复习【2大考点7种题型】 【浙教版2024】 【考点1 正数和负数】 1 【题型1 识别正数和负数】 1 【题型2 借助具有相反意义的量解决实际问题】 3 【题型3 规律探究】 5 【考点2 有理数】 7 【题型4 有理数的概念与分类】 8 【题型5 用数轴上的点表示有理数】 11 【题型6 有理数大小的比较】 13 【题型7 数轴在生活中的应用】 15 【考点1 正数和负数】 1.正数和负数 (1)定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。 (2)0既不是正数，也不是负数。 (3)0的意义: a.0是正负数的分界; b.0可以表示“没有”; c.0可以用来表示基准,一般地,高于基准的量用正数表示,低于基 准的量用负数表示. 2.具有相反意义的量 (1)在日常生活中,人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量.  (2)一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并用正数来表示.把与它意义相反的量规定为负的,并用负数来表示. 例如:若规定海平面的海拔高度为0m,珠穆朗玛峰高于海平面8848.86m,记作+8848.86m. 【题型1 识别正数和负数】 【例1】（23-24七年级·广西桂林·阶段练习）在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的认识，比0小的数为负数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴负数的个数为4个， 故选：C． 【变式1-1】（23-24七年级·新疆阿克苏·阶段练习）下列各数中，既不是正数，又不是负数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的概念，根据0既不是正数也不是负数得出结论即可． 【详解】解：0既不是正数也不是负数， 故选：B． 【变式1-2】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在，，0，，中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的概念，正确熟练掌握基本知识是解决本题的关键．根据正负数的定义即可对本题作出判断． 【详解】解：在“，，0，，”中，正数有，， ∴有2个， 故选：B． 【变式1-3】（2024七年级·全国·专题练习）在，，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：，，，；负数有：，，，，． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． 正数前边有“”或省略“”的形式，比要大，根据定义可以找到符合条件的正数； 负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意既不是正数，也不是负数． 【详解】解：根据正数的定义可得正数有：，，，； 根据负数的定义可得负数有：，，，，． 【题型2 借助具有相反意义的量解决实际问题】 【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【答案】(1)5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm (2)身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0 【分析】（1）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （2）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （3）根据题意作答即可． 【详解】（1）5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm； （2）身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm； （3）既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0． 【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，准确理解题意是解题的关键． 【变式2-1】（23-24七年级·辽宁营口·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“向东10米”与“向西5米”不是相反意义的量 B．如果气球上升25米记作米，那么米的意义就是下降米 C．如果气温下降，记为，那么的意义就是下降 D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作米，那么米所表示的高是0.95米 【答案】D 【分析】此题考查了正数和负数的实际意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，依次判断各可． 【详解】解：“向东10米”与“向西5米”是相反意义的量；故A不符合题意； 如果气球上升25米记作米，那么米的意义就是下降米；故B不符合题意； 如果气温下降，记为，那么的意义就是上升；故C不符合题意； 若将高1米设为标准0，高1.20米记作米，那么米所表示的高是0.95米，正确，故D符合题意； 故选D 【变式2-2】（23-24七年级·广西桂林·开学考试）实验小学的同学们参加劳动实践，老师将蔬菜小组的同学栽种的蔬菜以成活8棵为标准，西红柿组成活10棵记作棵，茄子组成活7棵记作( )，彩椒组成活8棵记作( )． 【答案】 棵 0棵 【分析】本题考查了正数和负数．解决问题的关键是熟练掌握超过标准的部分记作正数，不足的部分记作负数，有理数的减法计算． 根据“以8棵为标准，超过的部分记作正数，不足的部分记作负数”，7、8分别减去8计算出它们的值即可． 【详解】解：∵，， ∴7棵记作棵，8棵记作0棵． 故答案为：棵， 0棵 【变式2-3】（23-24七年级·黑龙江·期中）某一出租车一天下午以一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：+9，-3，-6，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10． （1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？ （2）若每千米的价格为2元，司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】（1）1km，正西方向；（2）118元 【分析】（1）求所有相反意义的量的和，计算结果是正就在东方，负数就在西方， （2）行车所有里程得绝对值和即总路程，利用营业额=每千米的价格为2元×总路程即可． 【详解】（1）将最后一名乘客送到目的地，+9-3-6+4-8+6-3-6-4+10=-1．出租车离一中出发点1 km，在一中的正西方向， （2）9+3+6+4-8+6+3+6+4+10=59， 若每千米的价格为2元， 59×2=118， 司机一个下午的营业额是118元． 【点睛】本题考查用正负数表示的相反意义的量的应用题，关键理解基准量，和正负数表示的意义，会计算相反意义的量和，会解释结果正负表示的意义，理解相反意义的量的绝对值是解题关键． 【题型3 规律探究】 【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在处的数是正数 (2)负数排在和的位置 (3)排在的位置 【分析】（1）由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数，即可得出结论； （2）由（1）的规律即可得出结论； （3）由图可知，每4个为一组，利用，确定的位置即可； 【详解】（1）解：由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数， ∴在处的数是正数； （2）由（1）中规律可知：负数排在和的位置； （3）因为，所以第2024个数是正数，排在的位置． 【点睛】本题考查有理数的规律探究，解题的关键是根据已知数据抽象概括出相应的数字规律． 【变式3-1】（23-24七年级·湖北黄石·阶段练习）一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50． ∴落点处离O点的距离是50个单位． 故答案为:B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【变式3-2】（23-24七年级·全国·课后作业）观察下列依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数，第100个数，第2012个数吗？ （1）1，－1，1，－1，1，－1，________，________，________…； （2）－1, ________，________，________. 【答案】（1）填1，－1，1（2）填，，-. 【详解】试题分析：（1）第一个数是正1，第二个数是-1，依次类推，第奇数个数是1，第偶数个数是-1； （2）由已知一串数可以知道：这串数的规律是：（把1看成）所有数的分子都是1，所有数的分母是1，2，3，4，5，6，7，…自然数集，第奇数个数是负数，第偶数个数是正数． 试题解析：（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-l， 规律为第一个数是正1，第二个数是-1，依次类推，第奇数个数是1，第偶数个数是-1；第10个数为-1，第100个数为-1，第2012个数为-1； （2），，-. 第10个数为，第100个数为，第2012个数为. 【变式3-3】（23-24七年级·江苏连云港·期中）如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫A，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+4），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中B→D（　 　，　 　），C→　 　（+1，　 　）； （2）若甲虫A的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫A爬行的路程？ （3）若甲虫A的爬行路线依次为（+2，+3），（﹣2，+1），（+3，﹣5），（﹣4，+2），最终到达点P处，请在图中标出甲虫A的爬行路线示意图及最终点P的位置． 【答案】（1）+3，﹣2，D，﹣1；（2）路程为10；（3）如图见解析. 【分析】（1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向右走1个格，向下走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据爬行路线，画出路线图即可． 【详解】（1）根据题意，B到D的路线为（+3，﹣2），C到D的路线（+1，﹣1）， 故答案为+3，﹣2，D，﹣1； （2）由A到B路线为（+1，+4），由B到C路线为（+2，﹣1），由C到D路线为（+1，﹣1）， ∴路程为1+4+2+1+1+1＝10； （3）如图： 【点睛】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键． 【考点2 有理数】 1.有理数 (1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.（注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数） 有理数的分类: (2) ① ② 2.数轴 数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3.相反数 （1）只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； （2）的相反数是；的相反数是； （3）相反数的和为0 互为相反数；相反数的商为-1； （4）相反数的绝对值相等. 4.绝对值 （1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； （2） 绝对值可表示为： 或 ； （3） ； ； （4）是重要的非负数，即，非负性.上 5.有理数比较大小 （1）正数永远比0大，负数永远比0小，正数大于一切负数； （2）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； （4）数轴上的两个数，右边点表示的数总比左边点表示的数大. 【题型4 有理数的概念与分类】 【例4】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）把下列各数分类，并填在表示相应的大括号内： ，，0，，，11，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负数：{ …}． (4)正数：{ …}． 【答案】(1)，，； (2)，，， (3)，，，， (4)，11，， 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数定义是解题的关键． （1）根据题意将整数填入括号内即可； （2）根据题意将分数（包括小数与百分数）填入括号内即可； （3）将不是负数的数填入括号内即可； （4）将正数填入括号内，即可求解． 【详解】（1）解：整数集合：； 故答案为： ，，； （2）分数集合：； 故答案为：，，，； （3）非负数集合：，，，， ； 故答案为：，，，，； （4）正数集合：{，11，， …}； 故答案为：，11，，． 【变式4-1】（23-24七年级·全国·假期作业）下列语句正确的个数是（    ） ①不带“”号的数都是正数  ②如果a是正数，那么一定是负数  ③不带“”号的数都是负数  ④不存在既不是正数，也不是负数的数  ⑤非正数就是负数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正、负数的意义，根据正负数的定义和有理数的分类方法，逐项进行判断即可，注意0既不是正数，也不是负数． 【详解】解：①不正确，反例：0不带“”号，但它不是正数； ②正确，正数a前面加“”号一定是负数； ③不正确，反例：0不带“”号，但它不是负数； ④不正确，反例：0既不是正数，也不是负数； ⑤不正确，反例：0是非正数，但不是负数； 综上分析可知，正确的个数为1个． 故选：B． 【变式4-2】（23-24七年级·全国·假期作业）已知下列各数，，，，3，0，，，，其中非负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，熟知非负数包括0和正数是解答本题的关键．根据有理数的分类，非负数包括0和正数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，3，0，，，中，非负数有，，3，0，共4个， 故选：C． 【变式4-3】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正有理数集合：{_______________…}； 非负数集合：{_______________…}； 非正整数集合：{_______________…}； 分数集合：{_______________…}． 【答案】 ； ； ； 【分析】本题考查了正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】由，，，， 正有理数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}； 非正整数集合：{ …}； 分数集合：{ …} 故答案为： ； ； ； ． 【题型5 用数轴上的点表示有理数】 【例5】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为21厘米的线段，则线段盖住的整点数是（    ） A．20个或21个 B．20个或22个 C．21个或22个 D．21个或23个 【答案】C 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提．分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可． 【详解】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖22个数； ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖21个数． 故选：C． 【变式5-1】（23-24七年级·江苏扬州·开学考试）如图，若点D所表示的数是20，则点A所表示的数是 ；若点C所表示的数是，则点B所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 利用数轴的知识解答． 【详解】解：若点D所表示的数是20，则点A所表示的数是；若点C所表示的数是，则点B所表示的数是． 故答案为：；． 【变式5-2】（23-24七年级·甘肃张掖·阶段练习）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（    ） A．6 B．2 C．3或6 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论． 要求学生分情况讨论，，三点的位置关系，即点在线段内，点在线段外． 【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点在线段内，点在线段外，所以要分两种情况计算． 点、表示的数分别为、1， ． 第一种情况：在线段外， ； 第二种情况：在线段内， ． 故选：D． 【变式5-3】（23-24七年级·全国·单元测试）数轴上点，，，对应的有理数都是整数．若点对应有理数，点对应有理数，且，则数轴上原点应是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点表示数的运用，熟练掌握相关概念是解题关键．由数轴可知，结合即可求出与的值，从而进一步确定原点的位置即可． 【详解】由数轴可得：点在点右侧且距离点个单位长度， ∴，即：， ∵， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴点表示， ∴数轴上原点为点， 故选：． 【题型6 有理数大小的比较】 【例6】（23-24七年级·全国·单元测试）（1）指出图中数轴上各点分别表示的有理数，并用“”将它们连接起来； （2）在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小： ． 【答案】（1），，2， 0，；（2）见详解， 【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先根据数轴得出各点代表的有理数，然后根据数轴比较有理数的大小即可． （2）先在数轴上把各数表示出来，然后根据数轴比较有理数的大小即可． 【详解】解：（1）点A表示的有理数为：，点B表示的有理数为：，点C表示的有理数为：2，点D表示的有理数为：0，点E表示的有理数为：， 用将它们连接起来为：． （2）各数在数轴上的表示如图： 大小如下： 【变式6-1】（23-24七年级·四川绵阳·阶段练习）已知a，b，c在数轴上的位置如图，用“＜”或“＞”连接． 则a﹣b 0，a+c 0，b c，|a| |c|． 【答案】 >, <, >, < 【分析】由数轴可知c＜b＜0＜a，根据有理数的大小与绝对值的性质即可求解. 【详解】解：∵由数轴可知c＜b＜0＜a， ∴a﹣b＞0，b＞c， ∵|a|＜|c|， ∴a+c＜0． 故答案为＞，＜，＞，＜． 【点睛】此题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是熟知数轴的性质及绝对值的特点. 【变式6-2】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 【变式6-3】（23-24七年级·云南昆明·期末）（1）画数轴并在数轴上表示下列各数：0，3，，，1，； （2）按从小到大的顺序用“”号把（1）中的这些数连接起来； （3）直接填空：数轴上表示3和表示1的两点之间的距离是　　，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则点，两点之间的距离是　　． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）2，3 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，准确在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． （1）先在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答； （3）根据数轴上两点间距离公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）如图： （2）由（1）可得：； （3）数轴上表示3和表示1的两点之间的距离，数轴上点表示的数为1.5，点表示的数为，则点，两点之间的距离， 故答案为：2；3． 【题型7 数轴在生活中的应用】 【例7】（23-24七年级·浙江宁波·阶段练习）在一个轨道长为的轨道架上做钢球碰撞实验，如图所示，轨道架上放了三个大小、质量完全相同的钢球A，B，C，  左右各有一个钢制挡板D 和E， 其中C 到左挡板的距离为，B 到右挡板的距离为，A，B 两球相距．以轨道所在的直线画数轴，A 球在原点，B球表示的数为30．    (1)C球表示的数为 ， 挡板E表示的数为 ； (2)碰撞实验中（钢球大小、相撞时间不计），钢球的运动都是匀速的，当一钢球以一速度撞向另一静止钢球时，这个钢球停留在被撞钢球的位置，被撞钢球则以同样的速度向前运动，钢球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动，现A 球以每秒的速度 向右匀速运动， ① 秒后B 球第一次撞向右挡板E， 秒后B球第二次撞向右挡板E； ②当三个球运动的路程和为时， 球正在运动（填“A”，“B”，“C”）， 此时，A 球表示的数为 ，B 球表示的数为 ，C 球表示的数为 ． 【答案】(1)-60；80 (2)①8；44；②C；；0； 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离,正确理解题意是解题的关键． （1）利用线段的和差和数轴的定义即可求得C点和E点所代表的数； （2）①分别计算B 球第一次撞向右挡板E和B球第二次撞向右挡板E所经过的路径长，即可求得答案； ②计算A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为，则再经过路程，A球向左撞到C球，即知当C球向左行时，三个球运动的路程和为，所以可知C球正在运动，即可求得A 、B、C三球表示的数． 【详解】（1）解：A和C两球间的距离为 C球表示的数为； A球到挡板E的距离为， 挡板E表示的数为； 故答案为：；． （2）解：①， 秒后B 球第一次撞向右挡板E， ， ， 秒后B球第二次撞向右挡板E； 故答案为：8，44． ②当A球第三次回到原点时，三个球运动的路程和为， 再经过路程，A球向左撞到C球， 当C球向左行时，三个球运动的路程和为， 当三个球运动的路程和为时，C球正在运动； 此时，A 球在原C球的位置，表示的数为，B 球在原A球的位置，表示的数为0，C 球表示的数为． 故答案为： C；；0；． 【变式7-1】（23-24七年级·河南三门峡·阶段练习）元旦放假时，小明一家三口一起乘小轿车去乡下探望爷爷、奶奶和外公、外婆．早上从家里出发，向东走了6千米到超市买东西，然后又向东走了1.5千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了12千米到外公家，晚上返回家里．    (1)若以家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，请将超市、爷爷家和外公家的位置在下面数轴上分别用点A、B、C表示出来； (2)问超市A和外公家C相距多少千米？ 【答案】(1)图见解析 (2)千米 【分析】本题考查用数轴表示有理数，数轴上两点间的距离． （1）根据向东为正，得到点表示的数为6，点表示的数为，点表示的数为，在数轴上表示即可； （2）根据两点间的距离公式，进行求解即可． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：点表示的数为6，点表示的数为，点表示的数为，数轴上表示如图：    （2）由图可知：超市A和外公家C相距（千米）． 【变式7-2】（23-24七年级·山东青岛·开学考试）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半；当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍；经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点B需要______秒； (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，则点P表示的数______（用含t的式子表示）； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． （1）根据时间路程速度，即可求解； （2）由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解： 的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：． 【变式7-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5，由此可得到木棒长为 ． (2)图中点A所表示的数是 ，点B所表示的数是 ． (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题： 一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 【答案】(1)5 (2)10，15 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【分析】此题考查了数轴，解题的关键是把爷爷与小明的年龄差看做一个整体（木棒），而后转化为数轴上求点表示数的问题． （1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则此木棒长为； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为120，所以可知爷爷比小明大，可求爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由数轴观察知，三根木棒长是， 则此木棒长为． 故答案为：5； （2）解：图中点A所表示的数为，点B所表示的数为． 故答案为：10，15； （3）解：如图： 借助数轴，把小明与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比小明大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 小明比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比小明大， 可知爷爷的年龄为（岁）． 故爷爷现在的年龄是65岁． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$