2.6.1 双曲线的标准方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册随堂练习（人教B版）

日期： 班级： 姓名： 1. 双曲线 x 2 3 -y 2 =1 的焦点坐标是 （ ） A. （ ± 2 姨 ， 0 ） B. （ 0 ， ±2 ） C. （ 0 ， ± 2 姨 ） D. （ ±2 ， 0 ） 2. 若方程 x 2 6-2k + y 2 5-k =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线， 则 k 的 取值范围是 （ ） A. （ 5 ， 10 ） B. （ 3 ， 5 ） C. （ 6 ， +∞ ） D. （ -∞ ， 3 ） ∪ （ 5 ， +∞ ） 3. P 是双曲线 x 2 -y 2 ＝16 左支上一点， F 1 ， F 2 分别是左、 右焦 点， 则 |PF 1 |-|PF 2 |＝ （ ） A. 4 B. -4 C. 8 D. -8 2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 51 4. （多选题） 若方程 y 2 4 - x 2 m+1 =1 表示双曲线， 则实数 m 可能 是 （ ） A. 8 B. 4 C. 0 D. -5 5. 已知双曲线的焦点在 y 轴上， 并且双曲线过点 （ 3 ， -4 2 姨 ） 和 9 4 ， ， # 5 ， 则双曲线的标准方程为 . 6. 若双曲线 x 2 m - y 2 m-5 =1 的一个焦点到坐标原点的距离为 3 ， 则 m 的值为 . 52 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 2 姨 ， c=1. ∵ 点 P （ x 0 ， y 0 ） 满足 0< x 2 0 2 +y 2 0 <1 ， ∴ 点 P 在椭圆内部， 且与原点不重合 . ∵ 当点 P 在椭圆上时， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜=2a=2 2 姨 ， 而点 P 在椭圆内部， ∴｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜<2 2 姨 . ∴ 当点 P 在线段 F 1 F 2 上除原点时， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜ 最小， 最小值为 2c=2 ， 当点 P 不在线段 F 1 F 2 上时， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜>｜F 1 F 2 ｜=2c=2 ， ∴ ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜≥2 ， 则 ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜ 的取值范围为 ［ 2 ， 2 2 姨 ） . * 12. x 2 +y 2 ＝4 【解析 】 如图 ， 延 长 F 1 D ， F 2 A 交于点 B ， 易证 Rt△ABD≌ Rt△AF 1 D ， 则 |F 1 D |＝|BD | ， | F 1 A |＝ |AB | . 又 ∵O 为 F 1 F 2 的中点 ， 连接 OD ， 则 OD∥F 2 B ， 从而可知 |OD |＝ 1 2 |F 2 B|＝ 1 2 （ |AF 1 |+|AF 2 | ） ＝2. 设点 D 的坐标为 （ x ， y ）， 则 x 2 +y 2 ＝4. 13. 解 ： （ 1 ） 由 ｜s ｜+ ｜t ｜=2 2 姨 得 x 2 + （y+1 ） 2 姨 + x 2 + （ y-1 ） 2 姨 =2 2 姨 . 由椭圆定义知， 点 M （ x ， y ） 是以 （ 0 ， -1 ）， （ 0 ， 1 ） 为焦点， 长轴为 2 2 姨 的椭圆， ∴ 点 M （ x ， y ） 的轨迹 C 的方程为 x 2 + y 2 2 =1. （ 2 ） 设 P （ x ， y ）， 则 ｜PA｜= （ x-a ） 2 +y 2 姨 = （ x-a ） 2 +2-2x 2 姨 = -x 2 -2ax+a 2 +2 姨 = - （ x+a ） 2 +2a 2 +2 姨 （ -1≤x≤1 ） . 当 0<a≤1 时， 则 x=-a 时， ｜PA｜ max = 2a 2 +2 姨 ； 当 a>1 时， 函数 y= - （ x+a ） 2 +2a 2 +2 姨 在 ［ -1 ， 1 ］ 上 为减函数， ∴ 当 x=-1 时， ｜PA｜ max =a+1. 综上， d （ a ） = 2a 2 +2 姨 ， a∈ （ 0 ， 1 ］， a+1 ， a∈ （ 1 ， +∞ ） ） . * 14. 解： （ 1 ） 由已知 e= c a = 2 姨 2 ， 即 c 2 = 1 2 a 2 ， b 2 =a 2 -c 2 = 1 2 a 2 ， 将 P （ - 2 姨 ， 1 ） 代入椭圆方程， 得 2 a 2 + 1 b 2 =1 ， ∴a 2 =4 ， ∴b 2 =2 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 4 + y 2 2 =1. （ 2 ） 椭圆 C 上存在两点 A ， B 关于直线 y=kx+1 对称 . 设 A （ x 1 ， y 1 ） ， B （ x 2 ， y 2 ） （ y 1 ≠y 2 ） ， AB 的中点为 （ x 0 ， y 0 ）， 易知直线 y=kx+1 （ k≠0 ） 恒过点 （ 0 ， 1 ）， 则 x 2 1 + （ y 1 -1 ） 2 =x 2 2 + （ y 2 -1 ） 2 . ∵ 点 A ， B 在椭圆上， ∴x 2 1 =4-2y 2 1 ， x 2 2 =4-2y 2 2 ， ∴ 4-2y 2 1 + （ y 1 -1 ） 2 =4-2y 2 2 + （ y 2 -1 ） 2 ， 化简得 y 2 1 -y 2 2 = -2 （ y 1 -y 2 ）， 即 y 1 +y 2 =-2 ， ∴ y 0 = y 1 +y 2 2 =-1. 又 ∵AB 的中点在 y=kx+1 上， ∴y 0 =kx 0 +1 ， x 0 =- 2 k . 由 x 2 +2y 2 =4 ， y=-1 ） ， 可得 x=± 2 姨 ， ∴0<- 2 k < 2 姨 或 - 2 姨 <- 2 k <0 ， 即 k<- 2 姨 或 k> 2 姨 ， 则 k 的取值范围是 （ -∞ ， - 2 姨 ） ∪ （ 2 姨 ， +∞ ） . 15. 解： （ 1 ） ∵ c a = 6 姨 3 ， 且 c= 2 姨 ， a= 3 姨 ， b= a 2 -c 2 姨 =1 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 3 +y 2 =1. （ 2 ） 由题意知 P（0 ， t ） （ -1<t<1 ）， 由 y=t ， x 2 3 +y 2 = = . . . - . . . / 1 得 x =± 3 （ 1-t 2 ） 姨 ， ∴ 圆 P 的 半 径 为 3 （ 1-t 2 ） 姨 =｜t ｜ ， 解 得 t =± 3 姨 2 ， ∴ 点 P 的 坐 标 是 0 ， ± 3 姨 2 2 1 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知， 圆 P 的方程为 x 2 + （ y-t ） 2 =3 （ 1-t 2 ） . ∵ 点 Q （ x ， y ） 在圆 P 上， ∴y=t± 3 （ 1-t 2 ） -x 2 姨 ≤t+ 3 （ 1-t 2 ） 姨 . 设 t =cos兹 ， 兹∈ （ 0 ， 仔 ） ， 则 t + 3 （ 1-t 2 ） 姨 =cos兹 + 3 姨 sin兹=2sin 兹+ 仔 6 2 6 ， 当 兹＝ 仔 3 ， 即 t= 1 2 ， 且 x=0 时， y 取最大值 2. 2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 学习手册 变式训练 1 D 【解析 】 根据两点间距离公式可知 ， （ x+2 ） 2 +y 2 姨 - （ x-2 ） 2 +y 2 姨 =2 表示动点 P （ x ， y ） 到两定点 F 1 （ -2 ， 0 ）， F 2 （ 2 ， 0 ） 的距离之差等于 2 ， 而 2<｜F 1 F 2 ｜=4 ， 由双曲线的定义， 知动点 P 的轨迹是双曲线的右支 . 故选 D. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵ 焦点在 x 轴上， 可设双曲线的 标准方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） . 将点 P（4 ， -2 ） 和 Q（2 6 姨 ， 2 2 姨 ） 代入方程得 16 a 2 - 4 b 2 =1 ， 24 a 2 - 8 b 2 =1 = . . . . - . . . . / ， 解得 a 2 =8 ， b 2 =4 ， ∴ 双曲线的标准方程为 x 2 8 - y 2 4 =1. x y O F 2 A B D F 1 第 12 题答图 102 参 考 答 案 （ 2 ） 设双曲线的方程为 Ax 2 +By 2 =1 ， AB<0 ， ∵ 点 P ， Q 在双曲线上， 则 9A+ 225 16 B=1 ， 256 9 A+25B=1 1 # # # # " # # # # $ ， 解得 A=- 1 16 ， B= 1 9 1 # # # # " # # # # $ ， 故双曲线的标准 方程为 y 2 9 - x 2 16 =1. 变式训练 3 解： 圆 F 1 ：（x+5 ） 2 +y 2 =1 ， 圆心坐标为 F 1 （ -5 ， 0 ）， 半径 r 1 =1 ； 圆 F 2 ： （ x-5 ） 2 +y 2 =16 ， 圆心坐标为 F 2 （ 5 ， 0 ）， 半径 r 2 =4. 设动圆 M 的半径为 R ， 则有 ｜MF 1 ｜=R+1 ， ｜MF 2 ｜=R+4 ， ∴｜MF 2 ｜-｜MF 1 ｜=3<10=｜F 1 F 2 ｜. 因此， 点 M 的轨迹是以 F 1 ， F 2 为焦点的双曲线的左 支， 且 a= 3 2 ， c=5 ， 于是 b 2 =c 2 -a 2 = 91 4 . ∴ 动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2 9 4 - y 2 91 4 =1 x≤- 3 2 2 ' . 随堂练习 1. D 【解析】 由双曲线的标准方程 x 2 3 -y 2 =1 知， a 2 = 3 ， b 2 =1 ， c 2 =3+1=4 ， 则 c=±2. ∵ 焦点在 x 轴上， ∴ 焦点坐标为 （ ±2 ， 0 ） . 故选 D. 2. B 【解析】 方程 x 2 6-2k + y 2 5-k =1 表示焦点在 y 轴上 的双曲线， ∴ 5-k>0 ， 6-2k>0 0 ， 即 3<k<5 ， 故选 B. 3. D 【解析】 ∵ 双曲线方程为 x 2 -y 2 ＝16 ， 化为标准方 程得 x 2 16 - y 2 16 =1 ， 即 a=4 ， ∴｜｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜｜=2a=8 ， 而点 P 在 双曲线左支上， 于是 ｜PF 1 ｜<｜PF 2 ｜ ， ∴｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜=-8. 故选 D. 4. ABC 【解析】 若方程 y 2 4 - x 2 m+1 =1 表示双曲线， 则 其是焦点在 y 轴上的双曲线， ∴m+1>0 ， 即 m>-1. 故选 ABC. 5. y 2 16 - x 2 9 =1 【解析】 设双曲线的标准方程为 y 2 a 2 - x 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ）， 则 32 a 2 - 9 b 2 =1 ， 25 a 2 - 81 16b 2 =1 1 # # # # " # # # # $ ， 解得 a 2 =16 ， b 2 =9 0 ， ∴ 双曲 线的标准方程为 y 2 16 - x 2 9 =1. 6. 7 或 -2 【解析】 依题意可知 c=3 ， 当双曲线的焦 点在 x 轴上时， m>5 ， c 2 =m+m-5=9 ， ∴m=7 ； 当双曲线的 焦点在 y 轴上时， m<0 ， c 2 =-m+5-m=9 ， ∴m=-2. 综上， m=7 或 m=-2. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 设双曲线的方程为 y 2 a 2 - x 2 b 2 =1 （ a>0 ， b> 0 ）， 半焦距为 c ， 则 c=3 ， 2a=4 ， 则 a=2 ， 故 b 2 =c 2 -a 2 =9- 4=5 ， ∴ 双曲线的标准方程为 y 2 4 - x 2 5 =1. 故选 C. 2. C 【解析】 由双曲线定义可知 ｜｜PF 2 ｜-8｜=2a=10 ， 解 得 ｜PF 2 ｜=18 或 -2 （舍）， ∴ 点 P 到 F 2 的距离为 18 ， 故选 C. 3. A 【解析 】 由题意得双曲线焦点在 x 轴上且 c= 3 姨 ， 设双曲线的标准方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （a>0 ， b>0 ）， 则有 a 2 +b 2 =c 2 =3 ， 4 a 2 - 1 b 2 =1 ， 解得 a 2 =2 ， b 2 =1 ， 故所求双 曲线的标准方程为 x 2 2 -y 2 =1. 故选 A. 4. A 【解析】 由题意得 9-k<0 ， k-1>0 0 ， 解得 k>9. 故选 A. 5. C 【解析】 由题意可知 2a=2 ， 焦距为 ｜F 1 F 2 ｜=10. 根 据题意和双曲线的定义知， 2=｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜= 4 3 ｜PF 2 ｜-｜PF 2 ｜= 1 3 ｜PF 2 ｜ ， ∴｜PF 2 ｜=6 ， ｜PF 1 ｜=8 ， ∴｜PF 1 ｜ 2 +｜PF 2 ｜ 2 =｜F 1 F 2 ｜ 2 ， ∴PF 1 ⊥PF 2 ， ∴S △PF 1 F 2 = 1 2 ｜PF 1 ｜ · ｜PF 2 ｜= 1 2 ×6×8=24. 故选 C. 6. AB 【解析】 设双曲线的方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1， 则 c＝ 3 ， ∵2a<2c＝6 ， ∴|2m-1|<6 ， 且 |2m-1|≠0 ， 解得 - 5 2 <m< 7 2 ， 且 m≠ 1 2 ， ∴ 选项 A 和 B 满足条件 . 故选 AB. 7. 3 【解析 】 双曲线 x 2 m -y 2 =1 的一个焦点为 F （ 2 ， 0 ）， ∴m>0 且 m+1=4 ， ∴m=3. 8. x 2 9 - y 2 7 =1 【解析 】 ∵｜F 1 F 2 ｜=8 ， ｜｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜｜＝6 ， ∴P 点轨迹是以 F 1 ， F 2 为焦点的双曲线， 2a=6 ， a=3. 又 ∵c=4 ， 即 b 2 =c 2 -a 2 =7 ， ∴ 双曲线方程是 x 2 9 - y 2 7 =1. 9. 解： 双曲线 x 2 2 -y 2 =1 的焦点为 （ ± 3 姨 ， 0 ）， 设 所求双曲线的方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a ， b>0 ）， 可得 a 2 +b 2 =3 ， 将点 （ 2 姨 ， 2 姨 ） 代入双曲线方程可得， 2 a 2 - 2 b 2 =1 ， 解得 a=1 ， b= 2 姨 ， 即所求双曲线的方程为 x 2 - y 2 2 =1. 10. 解 ： 由已知可得两个圆的圆心和半径如下 ： C 1 （ 0 ， 2 ）， r 1 =2 ， C 2 （ 0 ， -2 ）， r 2 =3. 设动圆圆心 M （ x ， y ）， 半径为 r ， ∵ 圆 M 与圆 C 1 和 103 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 圆 C 2 都外切， ∴｜MC 1 ｜=r+1 ， ｜MC 2 ｜=3+r ， 即 ｜MC 2 ｜-｜MC 1 ｜= （ r+3 ） - （ 1+r ） =2<4=r 1 +r 2 ， ∴ 点 M 的轨 迹是以 C 1 ， C 2 为焦点的双曲线的上支， 其中 a=1 ， c=2 ， ∴ 点 M 的轨迹方程为 y 2 - x 2 3 =1 （ y>0 ） . 提升练习 11. B 【解析】 由题得椭圆的焦点为 （ 0 ， 3 ）， （ 0 ， -3 ）， ∴ 双曲线的焦点为 （ 0 ， 3 ）， （ 0 ， -3 ） . 设双曲线的方程为 y 2 a 2 - x 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ）， ∴ a 2 +b 2 =9 ， 10 a 2 - 4 b 2 =1 1 # # # " # # # $ ， 解得 a 2 =5 ， b 2 =4 ， ∴ 双曲线的方程为 y 2 5 - x 2 4 =1. 故选 B. 12. BD 【解析】 两个定点的距离为 ｜F 1 F 2 ｜ ， 当 a<｜F 1 F 2 ｜ ， 即 ｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜<｜F 1 F 2 ｜ 时， 点 P 的轨迹为双曲线的一支； 当 a=｜F 1 F 2 ｜ ， 即 ｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜<｜F 1 F 2 ｜ 时， 点 P 的轨迹为射线 . 综上所述， 动点 P 的轨迹为双曲线的一支或射线 . 故选 BD. 13. C 【解析】 ∵｜AB｜=5<6 ， ∴ 点 A ， B 一定都在该双 曲线的左支上 ， 则 ｜AF 2 ｜-｜AF 1 ｜=6 ， ｜BF 2 ｜-｜BF 1 ｜=6 ， 从而 ｜AF 2 ｜+｜BF 2 ｜-｜AB｜=12 ， 故 △ABF 2 的周长是 ｜AF 2 ｜+｜BF 2 ｜+｜AB｜= 12+2×5=22. 故选 C. 14. C 【解析 】 由 ｜ x ２ +６x+13 姨 - x 2 -6x+13 姨 ｜＝４ ， 得 ｜ （ x+3 ） 2 + （ 2-0 ） 2 姨 - （ x-3 ） 2 + （ 2-0 ） 2 姨 ｜=4 ， 其几何意义为平面内动点 （ x ， 2 ） 与两定点 （ -3 ， 0 ）， （ 3 ， 0 ） 距离差的绝对值为 4. 平面内动点与两定点 （ -3 ， 0 ）， （ 3 ， 0 ） 距离差的 绝对值为 4 的点的轨迹是双曲线， 由题得 2a=4 ， c=3 ， c 2 =a 2 +b 2 1 # # # " # # # $ ， 解得 a=2 ， b= 5 姨 . ∴ 平面内动点与两定点 （ -3 ， 0 ）， （ 3 ， 0 ） 距离差 的绝对值为 4 的点的轨迹方程是 x 2 4 - y 2 5 =1. 联立 y=2 ， x 2 4 - y 2 5 =1 1 # # # " # # # $ ， 解得 x=± 6 5 姨 5 . 故选 C. 15. 2 姨 【解析 】 ∵ 椭圆 x 2 6 + y 2 2 =1 的焦点坐标为 （ ±2 ， 0 ）， ∴ 双曲线 x 2 a 2 -y 2 =1 的焦点坐标为 （ ±2 ， 0 ）， ∴a= 3 姨 . 设 ｜PF 1 ｜=m ， ｜PF 2 ｜=n ， 不妨设 P 在第一象限， 由椭圆的定义可得 m+n=2 6 姨 ， ① 由双曲线的定义可得 m-n=2 3 姨 ， ② 由 ①② 可得 m= 6 姨 + 3 姨 ， n= 6 姨 - 3 姨 ， cos∠F 1 PF 2 = 6+3+6 2 姨 +6+3-6 2 姨 -16 2 （ 6 姨 + 3 姨 ）（ 6 姨 - 3 姨 ） = 1 3 ， ∴sin∠F 1 PF 2 = 2 2 姨 3 . ∴ 三角形的面积 为 1 2 mnsin∠F 1 PF 2 = 1 2 × （ 6 姨 + 3 姨 ）（ 6 姨 - 3 姨 ） × 2 2 姨 3 = 2 姨 . 16. 解： 设动圆圆心 C 的坐标为 （ x ， y ）， 半径为 r. 由已知， 得圆 C 1 的圆心 C 1 （ 3 ， 0 ）， 半径 r 1 =2 ； 圆 C 2 的圆心 C 2 （ -3 ， 0 ）， 半径 r 2 =2. 依题意， 得 ｜CC 1 ｜=r+2 ， ｜CC 2 ｜=r- - 2 或 ｜CC 1 ｜=r-2 ， ｜CC 2 ｜=r+2 - ， ∴｜｜CC 1 ｜-｜CC 2 ｜｜=4<6 ， ∴ 点 C 的轨迹是以 C 1 ， C 2 为焦点的双曲线， 其中 a=2 ， c=3 ， ∴ 所求动圆圆心的轨迹方程为 x 2 4 - y 2 5 =1. 2.6.2 双曲线的几何性质 学习手册 变式训练 1 解： 把方程 nx 2 -my 2 =mn （ m>0 ， n>0 ） 化为 标准方程为 x 2 m - y 2 n =1 （ m>0 ， n>0 ）， ∴a= m 姨 ， b= n 姨 ， c= m+n 姨 ， ∴ 半实轴长 a= m 姨 ， 半虚轴长 b= n 姨 ， 焦点坐标为 （ - m+n 姨 ， 0 ）， （ m+n 姨 ， 0 ）， 离心率 e= c a = m+n 姨 m 姨 = m+n m 姨 = 1+ n m 姨 ， 顶点坐标为 （ - m 姨 ， 0 ）， （ m 姨 ， 0 ）， 渐近线方程为 y=± n 姨 m 姨 x=± mn 姨 m x. 变式训练 2 解： （ 1 ） 由题意设所求双曲线方程为 x 2 9 - y 2 16 =姿 （ 姿≠0 ）， ∵ 双曲线过点 （ -3 ， 2 3 姨 ）， ∴ 9 9 - 12 16 = 姿， 得 姿= 1 4 ， ∴ x 2 9 - y 2 16 = 1 4 ， 即 x 2 9 4 - y 2 4 =1 ， ∴ 所求双曲 线方程为 x 2 9 4 - y 2 4 =1. （ 2 ） 由题意设所求双曲线方程为 x 2 16-k - y 2 4+k =1 （ -4<k<16 ）， ∵ 双曲线过点 （ 3 2 姨 ， 2 ）， ∴ 18 16-k - 4 4+k =1 ， 得 k 2 +10k-56=0 ， （k+14 ）（k-4 ） =0 ， 解得 k=4 或 k=-14. 又 ∵-4<k<16 ， ∴k=4 ， ∴ 所求双曲线方程为 x 2 12 - y 2 8 =1. 变式训练 3 C 【解析】 ∵ 双曲线的一条渐近线方程为 y= b a x ， 由题意得 b a >2 ， ∴ 双曲线的离心率 e= c a = 104