综合测试卷(3)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 抛物线 y 2 = 1 2 x 的准线方程为 （ ） A. x=- 1 8 B. x=- 1 4 C. x=- 1 2 D. x=-1 2. “ a=3 ” 是 “直线 ax+y-3=0 与 3x+ （ a- 2 ） y+4=0 平行” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不论实数 m 取何值， 直线 （ m-1 ） x-y+ 2m-1=0 都过定点 （ ） A. （ 2 ， -1 ） B. （ -2 ， 1 ） C. （ 1 ， -2 ） D. （ -1 ， 2 ） 4. 若点 P （ 1 ， 1 ） 为圆（ x-3 ） 2 +y 2 =9 的弦 MN 的中 点 ， 则 弦 MN 所 在 直 线 方 程 为 （ ） A. 2x+y-3=0 B. x-2y+1=0 C. x+2y-3=0 D. 2x-y-1=0 5. 若双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的两条渐近线互相垂直， 则双曲线的离心率 为 （ ） A. 5 姨 B. 2 C. 3 姨 D. 2 姨 6. 已知 △ABC 的顶点 B ， C 在椭圆 x 2 3 + y 2 =1 上， 顶点 A 是椭圆的一个焦点， 且椭圆 的另外一个焦点在 BC 边上， 则 △ABC 的周 长是 （ ） A. 2 3 姨 B. 6 C. 4 3 姨 D. 12 7. 在平 行 六 面 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， 向量 A A$ B ， A A$ D ， AA 1 A$ 两两的夹角均为 60° ， 且 ｜A A$ B ｜=1 ， ｜A A$ D ｜=2 ， ｜AA 1 A$ ｜=3 ， 则 ｜AC 1 A$ ｜= （ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 8. 若椭圆 x 2 4 + y 2 2 =1 上有一点 P ， F 1 ， F 2 是椭圆的左、 右焦点， △F 1 PF 2 为直角三角 形， 则这样的点 P 有 （ ） A. ３ 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 二、 多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多个选项符合题目要求 . 全部选对的 得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错 的得 0 分 . 9. 已知直线 l ： kx+y+2k-1=0 恒过点 A ， 直线 l′ ： x+my-1=0 恒过点 B ， 点 M 是 y 轴 上一点， 若 ∠AMB= π 2 ， 则 M 的坐标可能为 （ ） 综合测试卷 （三） （满分： 150 分钟 时间： 120 分） 综合测试卷 （三） 17 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 A. （ 0 ， -1 ） B. （ 0 ， 1 ） C. （ 0 ， 2 ） D. （ 0 ， -2 ） 10. 给 出 下 面 命 题 ， 其 中 错 误 的 有 （ ） A. 直线 l 的方向向量为 a= （ 1 ， -1 ， 2 ）， 直线 m 的方向向量为 b= 2 ， 1 ， - 1 2 2 " ， 则 l⊥m B. 直线 l 的方向向量为 a= （ 0 ， 1 ， -1 ）， 平面 琢 的法向量为 n= （ 1 ， -1 ， -1 ）， 则 l⊥琢 C. 平 面 琢 ， 茁 的 法 向 量 分 别 为 n 1 = （ 0 ， 1 ， 3 ）， n 2 = （ 1 ， 0 ， 2 ）， 则 琢∥茁 D. 平面 琢 经过三个点 A （ 1 ， 0 ， -1 ） ， B （ 0 ， -1 ， 0 ）， C （ -1 ， 2 ， 0 ）， 向量 n= （ 1 ， 滋 ， t ） 是平面 琢 的法向量， 则 滋+t=1 11. 在平面直角坐标系内， 已知 A （ -1 ， 0 ）， B （ 1 ， 0 ）， C 是平面内一动点， 则下列 条件使得点 C 的轨迹为圆的有 （ ） A. ｜A %& C ｜=｜B %& C ｜ B. ｜A %& C ｜=2｜B %& C ｜ C. A %& C · B %& C =0 D. A %& C · B %& C =2 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 将答案填在题中横线上 . 12. 双曲线 y 2 a 2 - x 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的离 心率为 3 姨 ， 则渐近线方程为 . 13. 椭圆 C ： x 2 4 + y 2 3 =1 的左焦点为 F 1 ， P 为椭圆 C 上一点， 则 ｜PF 1 ｜ 的取值范围为 . 14. 抛物线 C ： y 2 =2px （ p>0 ） 的焦点为 F （ 2 ， 0 ）， 若 M 是抛物线 C 上一点， FM 的 延长线交 y 轴于点 N ， 且 M 为 FN 的中点， 则 ｜FN｜= . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 时应写出文字说明、 证明过程或演算 步骤 . 15. （ 13 分） 已知 O 是坐标原点， A ， B 是抛物线 x 2 = y 上不同于 O 的两点， OA⊥OB. （ 1 ） 求证： ｜OA｜ · ｜OB｜≥2 ； （ 2 ） 求 O 点到直线 AB 距离的最大值 . 18 16. （ 15 分） 设 F 1 ， F 2 是双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的左、 右焦点， O 是坐标原点 . 过 F 2 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线， 垂足为 P. 若 ｜PF 1 ｜= 5 姨 ｜OP｜. （ 1 ） 求证： ｜F 2 P｜=b ； （ 2 ） 求双曲线的离心率 . 17. （ 15 分） 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的离心 率为 6 姨 3 ， 且过点 （ 3 ， 1 ） . （ 1 ） 求椭圆 C 的方程； （ 2 ） 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点， 以 AB 为底作等腰三角形， 顶点为 P （ -3 ， 2 ）， 求 △PAB 的面积 . 综合测试卷 （三） 19 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 如图， 在四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， 侧 棱 A 1 A⊥ 底面 ABCD ， AB∥DC ， AB⊥AD ， AD=CD=1 ， AA 1 =AB=2 ， E 为棱 AA 1 的中点 . （ 1 ） 求证： B 1 C 1 ⊥CE ； （ 2 ） 求二面角 B 1 鄄CE鄄C 1 的正弦值 . 19. （ 17 分） 已知椭圆 C 的中心是坐标原点 O ， 它 的 短 轴 长 为 2 2 姨 ， 焦 点 F （ c ， 0 ） ， 点 A 10 c -c ， ， % 0 ， 且 O O' F =2F O' A . （ 1 ） 求椭圆 C 的方程及离心率 . （ 2 ） 是否存在过点 A 的直线与椭圆 C 相交于 P ， Q 两点， 且以 PQ 为直径的圆经 过坐标原点 O ？ 若存在， 求出直线 PQ 的方 程； 若不存在， 请说明理由 . A D C E A 1 D 1 C 1 B 1 B 第 18 题图 20 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 16. 解： （ 1 ） 由题知圆心 Ｃ （ ２ ， ０ ）， ∵l 与圆 C 相切， ∴r= 4 2 姨 =2 2 姨 ， ∴ 圆 C ： （ x-2 ） 2 +y 2 =8. 设圆心 C 到 l 1 的距离为 d ， 由题有 d= 8-4 姨 =2. 设 l 1 ： y=k （ x+2 ）， ∴d= ｜4k｜ k 2 +1 姨 =2 ， 解得 k=± 3 姨 3 ， ∴l 1 ： y=± 3 姨 3 （ x+2 ） . （ 2 ） 设 P （ x 0 ， y 0 ）， ∴｜PO｜= x 2 0 +y 2 0 姨 ， ｜PA｜= （ x 0 +2 ） 2 +y 2 0 姨 ， ∴ ｜PO｜ ｜PA｜ = x 2 0 +y 2 0 （ x 0 +2 ） 2 +y 2 0 姨 . ∵ （ x 0 -2 ） 2 +y 2 0 =8 ， ∴ ｜PO｜ ｜PA｜ = x 2 0 +8- （ x 0 -2 ） 2 （ x 0 +2 ） 2 +8- （ x 0 -2 ） 2 姨 = 4x 0 +4 8x 0 +8 姨 = 2 姨 2 . 17. 解： （ 1 ） 由题知 a=2 ， ∵ c a = 1 2 ， ∴c=1 ， ∴b= 3 姨 ， ∴ 椭圆 C ： x 2 4 + y 2 3 =1. （ 2 ） 设直线 l ： y= 1 2 x+m ， 联立 y= 1 2 x+m ， x 2 4 + y 2 3 =1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 消掉 y 整理得 x 2 +mx+m 2 -3=0. 由 Δ=m 2 -4 （ m 2 -3 ） >0 ， 可解得 m 2 <4 ， 且 x 1 +x 2 =-m ， x 1 x 2 =m 2 -3 ， ∴｜AB｜= 1+ 1 4 姨 m 2 -4 （ m 2 -3 ） 姨 = 5 4 姨 12-3m 2 姨 . ∵P 到 l 的距离为 d= ｜2m｜ 5 姨 ， ∴S= 1 2 ｜AB｜d= 1 2 m 2 （ 12-3m 2 ） 姨 ≤ 3 姨 ， 当且仅当 3m 2 =12-3m 2 即 m 2 =2 时， 取到最大值 3 姨 . 18. （ 1 ） 解： 如图， 过点 C 作 CH⊥DC 1 ， 连接 AH ， 由题知 CC 1 ⊥ 平面 ABC ， ∴CC 1 ⊥AC. ∵ 平面 CC 1 D⊥ 平面 ACC 1 A 1 ， 平面 CC 1 D∩ 平面 ACC 1 A 1 =CC 1 ， ∴AC⊥ 平面 DCC 1 ， ∴AC⊥DC 1 . ∵CH⊥DC 1 ， 且 CH∩DC 1 =H ， ∴DC 1 ⊥ 平面 ACH ， ∴M 的轨迹为线段 CH ， 在 △DCC 1 中可解得 CH= 4 5 姨 5 . （ 2 ） 存在 . 证明： 以 A 为坐标原点， A A+ C ， AA 1 A+ ， A A+ B 分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系， ∴A （ 0 ， 0 ， 0 ）， C （ 3 姨 ， 0 ， 0 ）， C 1 （ 3 姨 ， 2 ， 0 ）， D （ 3 姨 ， 1 ， 2 ）， B （ 0 ， 0 ， 1 ）， B 1 （ 0 ， 2 ， 1 ）， ∴ BB 1 A+ = （ 0 ， 2 ， 0 ）， B A+ D = （ 3 姨 ， 1 ， 1 ） . 设平面 BB 1 D 的法向量 n= （ x ， y ， z ）， ∴ 2y=0 ， 3 姨 x+y+z=0 0 ， ∴ 平面 BB 1 D 的一个法向量 n= （ 3 姨 ， 0 ， -3 ） . 设B A+ P =姿 B A+ C ， 姿∈ ［ 0 ， 1 ］， ∴ D A+ P = D A+ B +姿 B A+ C = （ 3 姨 姿- 3 姨 ， -1 ， -1-姿 ）， ∴ 3 姨 4 = ｜３姿-3+3+3姿｜ 2 3 姨 · （ 3 姨 姿- 3 姨 ） 2 +1+ （ 姿+1 ） 2 姨 ， 解得 姿= 1 2 或 姿=- 5 6 （舍）， ∴ BP BC = 1 2 . 19. 解： （ 1 ） 设 C （ x ， y ）， 由题得 y-2 2 姨 x · y+2 2 姨 x =- 1 2 ， 化简得 x 2 16 + y 2 8 =1. 经检验所求方程为 E ： x 2 16 + y 2 8 =1 （ x≠0 ） . （ 2 ） 由题知 P （ 4 ， 0 ） . 设直线 MN 的方程为 x=my+t ， t∈ （ -4 ， 4 ）， 设 M （ x 1 ， y 1 ）， N （ x 2 ， y 2 ）， 联立 x=my+t ， x 2 16 + y 2 8 =1 1 $ $ $ 0 $ $ $ % ， 消掉 x 化简得（ m 2 +2 ） y 2 +2mty+t 2 -16=0. 由 Δ=4m 2 t 2 -4 （ m 2 +2 ）（ t 2 -16 ） >0 ， 化简得 8m 2 -t 2 +16>0 ， 且 y 1 +y 2 =- 2mt m 2 +2 ， y 1 y 2 = t 2 -16 m 2 +2 . 由题得 -4= y 1 my 1 +t-4 · y 2 my 2 +t-4 ， 整理得（ 1+4m 2 ） y 1 y 2 +4m （ t-4 ）（ y 1 +y 2 ） +4 （ t-4 ） 2 =0 ， 代入整理得（ 9t-28 ）（ t-4 ） =0 ， 解得 t= 28 9 或 t=4 （舍）， ∴ 直线 MN 过点 28 9 ， ， 2 0 . 综合测试卷 （三） 1. A 【解析】 2p= 1 2 ， p 2 = 1 8 ， 抛物线开口向右 ， ∴ 准线方程为 x=- 1 8 . 故选 A. 2. A 【解析】 若两直线平行， 则有 a （ a-2 ） -3=0 ， 解 得 a=3 或 a=-1. 经检验， a=3 和 a=-1 时两直线都不重合 . 故选 A. 3. B 【解析】 （ m-1 ） x-y+2m-1=0 可化为 m （ x+2 ） - （ x+ y+1 ） =0 ， 故 x+2=0 ， x+y+1=0 0 ， 解得 x=-2 ， y=1 0 . 故选 B. D H C 1 A C B A 1 B 1 第 18 题答图 130 参 考 答 案 4. D 【解析】 圆心 C （ 3 ， 0 ）， 则 k PC =- 1 2 ， ∴k MN =2 ， ∴ 弦 MN 所在的直线方程为 y-1=2 （ x-1 ）， 整理得 2x-y- 1=0. 故选 D. 5. D 【解析】 由题知 b a · - b a a " =-1 ， ∴a=b ， 故 e 2 = c 2 a 2 = a 2 +b 2 a 2 =2 ， ∴e= 2 姨 . 故选 D. 6. C 【解析 】 设另一个焦点为 F 1 ， 则 △ABC 的周 长 =｜BF 1 ｜+｜BA｜+｜CF 1 ｜+｜CA｜=2a+2a=4a. 已知 a= 3 姨 ， 则 4a= 4 3 姨 . 故选 C. 7. A 【解析】 设A A& B =a ， A A& D =b ， AA 1 A& =c ， 则AC 1 A& =a+ b+c ， ｜ AC 1 A& ｜=｜a+b+c｜ ， ｜ AC 1 A& ｜ 2 = （ a+b+c ） 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2a · b+2a · c+2b · c=1+4+9+1×2+1×3+2×3=25 ， 则 ｜AC 1 ｜=5. 故选 A. 8. C 【解析 】 当 ∠PF 1 F 2 为直角时 ， 据椭圆的对称 性， 这样的点 P 有两个； 同理， 当 ∠PF 2 F 1 为直角时， 这 样的点 P 有两个； 由于椭圆短轴端点与两个焦点连线所 成的角最大， 此时恰有∠F 1 PF 2 =90° ， ∴ 这样的点也有两 个， 故符合要求的点 P 有 6 个 . 故选 C. 9. AC 【解析】 直线 l 的方程整理得 k （ x+2 ） +y-1=0 ， 直线 l 恒过点 A（-2 ， 1 ）， 直线 l′的方程整理得 x-1+my= 0 ， 直线 l′恒过 点 B（1 ， 0 ） . 设 m（0 ， b ）， ∵∠AMB= 仔 2 ， ∴k MA · k MB =-1 ， 即 b-0 0-1 · b-1 0+2 =-1 ， ∴b 2 -b-2=0 ， ∴b=-1 或 b=2 ， ∴ 点 M 的坐标可能为 （0 ， -1 ） 或 （ 0 ， 2 ） . 选 AC. 10. BCD 【解析 】 对于 A ， ∵a · b=1×2+ （ -1 ） ×1+2× - 1 2 a " =0 ， 则 a⊥b ， ∴l⊥m ， A 正确； 对于 B ， a 与 n 不平行， ∴l 与平面 琢 不垂直， B 错误； 对于 C ， n 1 与 n 2 不平行， ∴琢 与 茁 不平行， C 错误； 对于 D ， ∵ A A& B = （ -1 ， -1 ， 1 ）， A A& C = （ -2 ， 2 ， 1 ）， 向 量 n 是平面 琢 的法向量， 则 A A& B· n=0 ， A A& C· n=0 0 ， 即 -1-滋+t=0 ， -2+2滋+t=0 0 ， 解得 滋= 1 3 ， t= 4 3 3 , , , , + , , , , - ， ∴ 滋+t= 5 3 ， D 错误 . 故选 BCD. 11. BCD 【解析】 设点 C 的坐标为 （ x ， y ）， 则A A& C = （ x+1 ， y ）， B A& C = （ x-1 ， y ） . 对于 A ， （ x+1 ） 2 +y 2 = （ x-1 ） 2 +y 2 ， 即 x=0 ， A 不成立； 对于 B ， （ x+1 ） 2 +y 2 =4 ［（ x-1 ） 2 +y 2 ］， 即 x- 5 3 a " 2 +y 2 = 16 9 ， B 正确； 对于 C ， （ x+1 ）（ x-1 ） +y 2 =0 ， 即 x 2 +y 2 =1 ， C 正确； 对于 D ， （ x+1 ）（ x-1 ） 2 +y 2 =2 ， ∴x 2 +y 2 =3 ， D 正确 . 故选 BCD. 12. y=± 2 姨 2 x 【解析】 e= c a = 3 姨 ， ∴ c 2 a 2 = a 2 +b 2 a 2 =3 ， 得 b a = 2 姨 . 由于双曲线的焦点在 y 轴， ∴ 渐近线方程为 y=± a b x=± 2 姨 2 x. 13. ［ 1 ， 3 ］ 【解析】 ｜PF 1 ｜ min =a-c=1 ， ｜PF 1 ｜ max =a+c=3 ， ∴｜PF 1 ｜∈ ［ 1 ， 3 ］ . 14. 6 【解析】 ∵M 是 FN 的中点， ∴x m =1. 又 ∵M 在 抛 物 线 上 ， ∴ ｜MF ｜=1 - （ -2 ） =3 ， ∴ ｜FN ｜= 2｜FM｜=2×3=6. 15. （ 1 ） 证明： 设 A （ x 1 ， x 2 1 ）， B （ x 2 ， x 2 2 ）， ∵ O A& A·O A& B =0 ， 即 x 1 x 2 （ 1+x １ x 2 ） =0 ， ∴x 2 =- 1 x 1 . ｜OA｜ · ｜OB｜= x 2 1 （ 1+x 2 1 ）· 1 x 2 1 1+ 1 x 2 1 a " 姨 ＝ 1+x 2 1 + 1 x 2 1 +1 姨 ≥2 ， 当且仅当 x 1 =±1 时取等号 . （ 2 ） 解： k AB = x 2 2 -x 2 1 x 2 -x 1 =x 2 +x 1 =x 1 - 1 x 1 ， 利用点斜式求出 l AB 的方程， 有 l AB ： x 1 - 1 x 1 a " x-y+1=0 ， 则原点 O 到 l AB 的 距离 d= 1 x 1 - 1 x 1 a " 2 +1 姨 ≤1 ， ∴ 原点 O 到直线 AB 距离的 最大值为 1. 16. （ 1 ） 证明： 双曲线的一条渐近线方程为 y= b a x ， 即 bx-ay=0 ， 焦点 F 2 （ c ， 0 ） . 由 F 2 向该渐近线作垂线， 由 点到直线的距离公式可得 ｜PF 2 ｜= ｜bc-a · 0｜ a 2 +b 2 姨 = bc c =b. （ 2 ） 解 ： ｜OP ｜= ｜OF 2 ｜ 2 - ｜PF 2 ｜ 2 姨 = c 2 -b 2 姨 =a ， 则 cos∠F 1 OP=-cos∠POF 2 =- a c ， ｜PF 1 ｜= 5 姨 ｜OP｜= 5 姨 a ， 则 在 △OPF 1 中， 由余弦定理知 cos∠F 1 OP= ｜OP｜ 2 +｜OF 1 ｜ 2 -｜PF 1 ｜ 2 2｜OP｜ · ｜OF 1 ｜ = a 2 +c 2 -5a 2 2ac =- a c ， 得 c 2 =2a 2 ， 则离心率 e= 2 姨 . 17. 解： （ 1 ） 由题知 e= c a = 6 姨 3 ， 9 a 2 + 1 b 2 =1 ， a 2 =b 2 +c 2 3 , , , , , , + , , , , , , - ， 解得 a 2 =12 ， b 2 =4 0 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 12 + y 2 4 =1. （ 2 ） 设 l AB ： y=x+n ， 则线段 AB 的中垂线方程为 y= -x-1. 联立 y=x+n ， x 2 12 + y 2 4 =1 3 , , , + , , , - ， 消去 y 得 4x 2 +6nx+3n 2 -12=0. 131 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 +x 2 =- 3 2 n， x 1 x 2 = 3n 2 -12 4 ， ∴y 1 +y 2 =x 1 +x 2 +2n= n 2 . 又 ∵ x 1 +x 2 2 ， y 1 +y 2 2 2 " 在线段 AB 的中垂线上， ∴ 3 4 n-1= n 4 ， ∴n=2 ， 即 x 1 +x 2 =-3 ， x 1 x 2 =0 ， ∴｜AB｜= 1+1 2 姨 · （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 =3 2 姨 . 又 ∵P （ -3 ， 2 ） 到直线 AB的距离 d= ｜-3-2+2｜ 2 姨 = 3 2 姨 2 ， ∴S △PAB = 1 2 ｜AB｜ · d= 9 2 . 18. 解 ： 如图 ， 以点 A 为原点 ， AD ， AA 1 ， AB 所 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， 依题意得 A （ 0 ， 0 ， 0 ） ， B （ 0 ， 0 ， 2 ） ， C （ 1 ， 0 ， 1 ） ， B 1 （ 0 ， 2 ， 2 ）， C 1 （ 1 ， 2 ， 1 ）， E （ 0 ， 1 ， 0 ） . （ 1 ） 证明 ： 易得B 1 C 1 1& = （ 1 ， 0 ， -1 ） ， C 1& E = （ -1 ， 1 ， -1 ）， ∴ B 1 C 1 1& ·C 1& E =0 ， ∴B 1 C 1 ⊥CE. （ 2 ） B 1 1& C = （ 1 ， -2 ， -1 ） . 设平面 B 1 CE 的一个法向量 m= （ x ， y ， z ）， 则 m ·B 1 1& C =0 ， m ·C 1& E =0 0 ， 即 x-2y-z=0 ， -x+y-z=0 0 ， 消去 x ， 得 y+2z=0. 不妨令 z=1 ， ∴ 平面 B 1 CE 的一个法向量为 m= （ -3 ， -2 ， 1 ） . 由 （ 1 ） 知， B 1 C 1 ⊥CE. 又 ∵CC 1 ⊥B 1 C 1 ， CE∩CC 1 =C ， CE ， CC 1 奂 平 面 CEC 1 ， ∴B 1 C 1 ⊥ 平 面 CEC 1 ， 故 B 1 C 1 1& = （ 1 ， 0 ， -1 ） 为平面 CEC 1 的一个法向量， 于 是 cos 〈 m ·B 1 C 1 1& 〉 = m ·B 1 C 1 1& ｜m｜ · ｜B 1 C 1 1& ｜ = -4 14 姨 × 2 姨 = - 2 7 姨 7 ， 从而 sin 〈 m ·B 1 C 1 1& 〉 = 21 姨 7 ， ∴ 二面角 B 1 鄄CE鄄C 1 的正弦值为 21 姨 7 . 19. 解 ： （ 1 ） 由 题 意 知 ， b = 2 姨 ， F （ c ， 0 ） ， A 10 c -c ， 2 " 0 ， ∴ O 1& F = （ c ， 0 ）， F 1& A = 10 c -2c ， 2 " 0 . 由O 1& F =2 F 1& A ， 得 c= 20 c -4c ， 解得 c=2 ， ∴a 2 =b 2 +c 2 =6 ， ∴ 椭圆的方程为 x 2 6 + y 2 2 =1 ， 离心率为 2 6 姨 = 6 姨 3 . （ 2 ） ∵c=2 ， ∴A （ 3 ， 0 ） . 设直线 PQ 的方程为 y=k （ x-3 ）， 联立 y=k （ x-3 ）， x 2 6 + y 2 2 =1 1 - - - , - - - . ， 得（ 1+3k 2 ） x 2 -18k 2 x+27k 2 -6=0. 设 P （ x 1 ， y 1 ） ， Q （ x 2 ， y 2 ） ， 则 x 1 +x 2 = 18k 2 1+3k 2 ， x 1 x 2 = 27k 2 -6 1+3k 2 ， y 1 y 2 =k 2 ［ x 1 x 2 -3 （ x 1 +x 2 ） +9 ］ =k 2 27k 2 -6 1+3k 2 - 54k 2 1+3k 2 + 2 " 9 = 3k 2 1+3k 2 . 由 已 知 得 OP⊥OQ ， 得 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 ， 即 27k 2 -6 1+3k 2 + 3k 2 1+3k 2 = 30k 2 -6 1+3k 2 =0 ， 解得 k=± 5 姨 5 ， 符合 Δ>0 ， ∴ 直线 PQ 的方程为 y=± 5 姨 5 （ x-3 ） . A D C E A 1 D 1 C 1 B 1 B z x y M 第 18 题答图 132