综合测试卷(2)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 如图， 记直线 l 1 ， l 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， 倾斜角分别为 琢 1 ， 琢 2 ， 则下列结论正确 的是 （ ） A. k 1 >k 2 ， 琢 1 >琢 2 B. k 1 >k 2 ， 琢 1 <琢 2 C. k 1 <k 2 ， 琢 1 >琢 2 D. k 1 <k 2 ， 琢 1 <琢 2 2. 如图， 在平行六面体 ABCD鄄A′B′C′D′ 中 ， 若 A A" B =a ， A A" D =b ， AA A" ′ =c ， 则 B A" M = （ ） A. - 1 2 a+ 1 2 b+c B. 1 2 a+ 1 2 b+c C. - 1 2 a- 1 2 b+c D. 1 2 a- 1 2 b+c 3. 抛物线 C ： y 2 =4x 的焦点坐标是 （ ） A. （ 1 ， 0 ） B. （ 2 ， 0 ） C. （ -1 ， 0 ） D. （ -2 ， 0 ） 4. 已知二面角 琢鄄l鄄茁 的两个半平面 琢 与 茁 的法向量分别为 a ， b ， 且 〈 a ， b 〉 = π 6 ， 则二面角 琢鄄l鄄茁 的大小为 （ ） A. π 6 B. 5π 6 C. π 6 或 5π 6 D. π 6 或 π 3 5. 已知 A ， B 两地相距 800 m ， 在 A 地 听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ， 且声速为 340 m/s ， 则炮弹爆炸点的轨迹是 （ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 6. 如图， 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， E 为 A 1 C 1 的中点， 则异面直线 CE 与 BD 所 成的角为 （ ） A. 30° B. ４５° C. ６0° D. 90° 7. 点 P （ 4 ， -2 ） 与圆 x 2 +y 2 =4 上任一点 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A. （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =1 B. （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =4 C. （ x+4 ） 2 + （ y-2 ） 2 =4 D. （ x+2 ） 2 + （ y-1 ） 2 =1 8. 已知抛物线 C ： y 2 =8x 上一点 P ， 直线 l 1 ： x=-2 ， l 2 ： 3x-4y+14=0 ， 则点 P 到这两条 直线的距离之和的最小值为 （ ） A. 2 B. 4 C. 12 5 D. 24 5 综合测试卷 （二） （满分： 150 分钟 时间： 120 分） O x y l 1 l 2 第 1 题图 A′ B′ D′ C′ M A B C D 第 2 题图 C A D B B 1 A 1 D 1 C 1 E 第 6 题图 综合测试卷 （二） 13 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 二、 多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多个选项符合题目要求 . 全部选对的 得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错 的得 0 分 . 9. 在长方体 ABCD鄄 A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB=5 ， AD= 4 ， AA 1 =3 ， 以直线 DA ， DC ， DD 1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐 标系， 则 （ ） A. 点 B 1 的坐标为 （ 4 ， 5 ， 3 ） B. 点 C 1 关于点 B 的对称点为 （ 5 ， 8 ， -3 ） C. 点 A 关于直线 BD 1 的对称点为 （ 0 ， 5 ， 3 ） D. 点 C 关于平面 ABB 1 A 1 的对称点为 （ 8 ， 5 ， 0 ） 10. O 为坐标原点， P （ a ， b ） （ ab≠0 ） 是圆 x 2 +y 2 =r 2 外一点， 过点 P 作直线 l⊥OP ， 若直线 l′ 的方程是 ax+by=r 2 ， 则下列说法正 确的有 （ ） A. l′∥l B. l′⊥l C. l′ 与圆相离 D. l′ 与圆相交 11. 一组圆 C k ： （ x-k ） 2 + （ y-k ） 2 =4 （ k∈ R ）， 下列命题正确的有 （ ） A. 不论 k 如何变化， 圆心 C k 的运动轨 迹为直线 B. 所有的圆 C k 均不经过点 （ 3 ， 0 ） C. 存在定直线始终与圆 C k 相切 D. 若圆 C k 上总存在两点到原点的距离 为 1 ， 则 k∈ 2 姨 2 ， 3 2 姨 2 2 ' 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 将答案填在题中横线上 . 12. 已知 A ， B ， C 三点不共线， O 为平 面 ABC 外一点， 若向量 O O) P = 1 3 O O) A + 1 3 O O) B + 姿O O) C ， 且点 P 与 A ， B ， C 共面， 则实数 姿= . 13. 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的 焦距为 6 ， 过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点， 若 AB 的中点坐标为 （ 1 ， -1 ）， 则椭圆 C 的方程为 . 14. 如图 ， 椭圆 x 2 a 2 + y 2 16 =1 的焦点为 F 1 ， F 2 ， 过 F 1 的直线交椭圆于 M ， N 两点， 交 y 轴于点 H. 若 F 1 ， H 是线段 MN 的三等分点， 则 △F 2 MN 的周长为 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 时应写出文字说明、 证明过程或演算 步骤 . 15. （ 13 分） 过抛物线 C ： y 2 =2px （ p>0 ） 焦点 F 的直 线交抛物线 C 于 A ， B 两点， l 为抛物线 C 的准线， 过 B 作 BB 1 ⊥l 于点 B 1 ， 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） . （ 1 ） 求 y 1 y 2 的值； （ 2 ） 求证： A ， O ， B 1 三点共线 . B 1 D x y C C 1 D 1 A 1 A B z 第 9 题图 x y M O N H F 1 F 2 第 14 题图 14 16. （ 15 分） 已知直线 l ： x+y+2=0 且圆 C ： （ x-2 ） 2 +y 2 = r 2 （ r>0 ） 相切， O 为原点， A （ -2 ， 0 ） . （ 1 ） 若过 A 的直线 l 1 与圆 C 相交所得弦 长等于 4 ， 求直线 l 1 的方程； （ 2 ） P 为圆 C 上任意一点， 求 ｜PO｜ ｜PA｜ 的值 . 17. （ 15 分） 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的离心 率 e= 1 2 ， 椭圆 C 过点 （ 2 ， 0 ） . （ 1 ） 求椭圆 C 的方程； （ 2 ） 斜率为 1 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点， 已知 P （ 2 ， 1 ）， 求 △PAB 面积的 最大值 . 综合测试卷 （二） 15 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 如图， 由直三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 和四棱锥 D鄄BB 1 C 1 C 构成的几何体中 ， ∠BAC =90° ， AB=1 ， BC=BB 1 =2 ， DC 1 =DC= 5 姨 ， 平面 CC 1 D⊥ 平面 ACC 1 A 1 . （ 1 ） M 为三角形 DCC 1 内 （含边界） 的 一个动点， 且 AM⊥DC 1 ， 求 M 的轨迹的长度 . （ 2 ） 在线段 BC 上是否存在点 P ， 使直 线 DP 与 平 面 BB 1 D 所 成 角 的 正 弦 值 为 3 姨 4 ？ 若存在， 求 BP BC 的值； 若不存在， 请 说明理由 . 19. （ 17 分） 已知平面内的两点 A （ 0 ， 2 2 姨 ）， B （ 0 ， -2 2 姨 ）， 过点 A 的直线 l 1 与过点 B 的直线 l 2 相交于点 C ， 若直线 l 1 与直线 l 2 的斜率乘 积为 - 1 2 ， 设点 C 的轨迹为 E. （ 1 ） 求 E 的方程 . （ 2 ） 设 P 是轨迹 E 与 x 轴正半轴的交 点， 过点 P 作两条直线分别与轨迹 E 交于点 M ， N ， 若直线 PM ， PN 斜率之积为 -4. 求 证： 直线 MN 恒过一个定点， 并求出这个定 点的坐标 . A C C 1 A 1 B B 1 D 第 18 题图 16 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 由 △BGP∽△PCF 可得， CF CP = BG BP ， 即 1 x = 2 2-x ， 解得 x= 2 3 ， 即 CP= 2 3 . （ 3 ） 解 ： 如图 1 ， 以 C 为坐标原点 ， 分别以射线 CE ， CD 为 x 轴、 y 轴正方向， 以垂直于平面 CDE 且向 上的方向为 z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则 P 2 3 ， 0 ， ， $ 0 ， F （ 0 ， 1 ， 0 ） . 如图 2 ， 在平面直角坐标系中， AM⊥DE ， 而平面 A 1 B 1 CD⊥ 平面 CDE ， 平面 A 1 B 1 CD∩ 平面 CDE=DE ， ∴AM⊥ 平面 CDE. 再作 MR⊥BC ， MS⊥CD ， 垂足分 别为 R ， S. sin∠EDC = EC DE = 5 姨 5 ， sin∠DAM= DM AD = DM 2 ， ∠EDC=∠DAM ， ∴ 1 5 姨 = DM 2 ， ∴DM= 2 5 姨 5 . 在 Rt△DMS 中， MS=DM · sin∠EDC= 2 5 姨 5 × 5 姨 5 = 2 5 ， 即 CR= 2 5 ， DS= DM 2 -MS 2 姨 = 4 5 ， ∴CS=2- 4 5 = 6 5 ， ∴ 点 M 的坐标是 6 5 ， 2 5 ， 5 . 又 ∵AM= AD 2 -DM 2 姨 = 4 5 姨 5 ， ∴ 在空间直角坐标 系中点 A 1 的坐标是 6 5 ， 2 5 ， 4 5 姨 5 ， 5 ， ∴ F F+ P = 2 3 ， -1 ， ， 5 0 ， FA 1 F+ = 2 5 ， 1 5 ， 4 5 姨 5 ， 5 . 平面 A 1 B 1 PF 与平面 CDE 的法向量分别为 m= （ x 1 ， y 1 ， z 1 ）， n= （ x 2 ， y 2 ， z 2 ）， 则 2 3 x 1 -y 1 =0 ， 2 5 x 1 + 1 5 y 1 + 4 5 姨 5 z 1 =0 0 / / / / . / / / / 0 ， 不妨取 x 1 =3 ， 则 m= 3 ， 2 ， - 2 5 姨 5 ， 5 . 又 ∵n= （ 0 ， 0 ， １ ）， ∴｜cos 〈 m ， n 〉 ｜= m · n ｜m｜｜n｜ = 2 69 姨 69 ， 即 平 面 A 1 B 1 PF 与 平 面 CDE 所 成 角 的 余 弦 值 为 2 69 姨 69 . 19. 解 ： （ 1 ） 根 据 题 意 可 知 △MNF 1 的 周 长 为 ｜MF 1 ｜+｜MF 2 ｜+｜NF 2 ｜+｜NF 1 ｜=2a+2a=4a ， ∴4a=4 2 姨 ， 即 a= 2 姨 . 设椭圆 C 的半焦距为 c ， ∵｜F 1 F 2 ｜=2 ， 即 c=1 ， ∴b 2 =a 2 - c 2 =1 ， 即 b=1 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 2 +y 2 =1. （ 2 ） 设 MN 的方程为 y=k （ x-1 ）， 代入椭圆 C 的方程 有（ 2k 2 +1 ） x 2 -4k 2 x+2k 2 -2=0 ， Δ=8k 2 +8>0. 设 M （ x 1 ， y 1 ）， N （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 +x 2 = 4k 2 2k 2 +1 ， x 1 x 2 = 2k 2 -2 2k 2 +1 . 设 P （ x 1 ， -y 1 ） ， 则直线 PN 的方程 可 表 示 为 y = y 2 +y 1 x 2 -x 1 （ x-x 1 ） -y 1 ， 令 y=0 ， 得 x= x 1 y 2 +x 2 y 1 y 1 +y 2 = kx 1 （ x 2 -1 ） +kx 2 （ x 1 -1 ） k （ x 1 +x 2 -2 ） = 2x 1 x 2 - （ x 1 +x 2 ） x 1 +x 2 -2 = 2 · 2k 2 -2 2k 2 +1 - 4k 2 2k 2 +1 4k 2 2k 2 +1 -2 =2 ， ∴Q （ 2 ， 0 ） . 设直线 QT 的方程为 y=k 1 （ x-2 ）， 代入 C 的方程有 （ 2k 2 1 +1 ） x 2 -8k 2 1 x+8k 2 1 -2=0 （ * ）， 当 QT 与 C 相切时， Δ 1 =64k 4 1 -8 （ 2k 2 1 +1 ）（ 4k 2 1 -1 ） =0 ， 得 k 2 1 = 1 2 . 将 k 2 1 = 1 2 代入 （ * ） 方程得 x 2 -2x+1=0 ， 解得 x=1 ， ∴ 切点 T 的横坐标等于右焦点 F 2 的横坐标 ， 故 TF 2 ⊥x 轴 . 又 由 M 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 P ， 可 知 ∠QF 2 P = ∠QF 2 M=∠OF 2 N ， ∴∠TF 2 Q+∠QF 2 P=∠TF 2 O+∠OF 2 N ， ∴ ∠TF 2 P=∠TF 2 N. 综合测试卷 （二） 1. B 【解析】 由斜率和倾斜角的关系， 结合图形直 接比较大小可得 k 1 >k 2 ， 琢 1 <琢 2 . 故选 B. 2. A 【解析 】 B F+ M = BB F+ ′ + B′ F+ M = AA F+ ′ + 1 2 B F+ D = AA F+ ′ + 1 2 （B F+ A + A F+ D） =c+ 1 2 （ -a+b ） =- 1 2 a+ 1 2 b+c. 故选 A. 3. A 【解析】 ∵y 2 =4x 是焦点在 x 轴正半轴的抛物线 标准方程， p=2 ， ∴ 焦点坐标为 （ 1 ， 0 ） . 故选 A. 4. C 【解析】 二面角的大小与其法向量夹角相等或 互补 . 故选 C. 5. C 【解析 】 设炮弹爆炸点为点 P ， 由题意可得 ｜PA｜-｜PB｜=340×2=680<800=｜AB｜ ， ∴ 炮弹爆炸点的轨迹是 双曲线的一支 . 故选 C. 6. D 【解析】 设正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， G z y A 1 D F C B A B 1 E P x A D S C B E R y M F x 图 1 图 2 第 18 题答图 128 参 考 答 案 如图， 连接 B 1 D 1 ， B 1 C. ∵B 1 D 1 ∥BD ， ∴∠B 1 EC 即是 异面直线 CE 与 BD 所成的角 . 又 ∵B 1 E = 1 2 B 1 D 1 = 2 姨 2 ， CE = 2 姨 2 2 % 2 +1 姨 = 6 姨 2 ， B 1 C= 2 姨 ， ∴B 1 E 2 +CE 2 =B 1 C 2 ， ∴∠B 1 EC=90°. 故选 D. 7. A 【解析】 设圆上任意一点为 Q （ x 1 ， y 1 ）， PQ 中点 M （ x ， y ）， 则 x= 4+x 1 2 ， y= -2+y 1 2 2 ( ( ( ( ' ( ( ( ( ) ， 解得 x 1 =2x-4 ， y 1 =2y+2 2 . ∵ 点 Q （ x 1 ， y 1 ） 在圆 x 2 +y 2 =4 上， ∴ 点 Q （ x 1 ， y 1 ） 的 坐标适合方程， 代入（ 2x-4 ） 2 + （ 2y+2 ） 2 =4 ， 化简得（ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =1. 故选 A. 8. B 【解析】 如图， 过点 P 作 PM⊥l 1 ， PN⊥l 2 ， 垂 足分别为 M ， N. 由抛物线 C ： y 2 =8x 可得焦点 F （ 2 ， 0 ）， 准线为 l 1 ： x=-2 ， ∴｜PM｜+｜PN｜=｜PF ｜+｜PN ｜ ， ∴ 当 N ， P ， F 三点共线 时， ｜PM｜+｜PN｜ 取得最小值， 且最小值为焦点 F 到直线 l 2 ： 3x -4y +14 =0 的 距 离 . 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 ｜3×2-4×0+14｜ 3 2 + （ -4 ） 2 姨 =4. 故选 B. 9. ACD 【解析】 由题意可得 A 正确； 点 B 的坐标为 （ 4 ， 5 ， 0 ）， 点 C 1 的坐标为（ 0 ， 5 ， 3 ）， 故点 C 1 关于点 B 的对称点为 （ 8 ， 5 ， -3 ） ， B 错误 ； 在 Rt△BCC 1 中 ， BC 1 = 4 2 +3 2 姨 =5 ， ∴ 四边形 ABC 1 D 1 为正方形， AC 1 与 BD 1 垂直且互相平分， 即点 A 关于直线 BD 1 的对称点为 C 1 （ 0 ， 5 ， 3 ）， C 正确； 点 C 关于平面 ABB 1 A 1 的对称点为 （ 8 ， 5 ， 0 ）， D 正确 . 故选 ACD. 10. AD 【解析】 ∵k OP = b a ， ∴ 直线 l 的斜率为 - a b ， 故直线 l ： ax+by=a 2 +b 2 . 又 ∵P （ a ， b ） 在圆外， ∴a 2 +b 2 > r 2 ， 故 l′∥l ， A 正确 . 圆心 （ 0 ， 0 ） 到直线 l′ 的距离为 d= r 2 a 2 +b 2 姨 < r 2 ｜r｜ =｜r｜ ， 故 l′ 与圆相交， D 正确 . 故选 AD. 11. ABC 【解析】 圆心 C k 的运动轨迹为直线 y=x ， A 正确； 将点 （ 3 ， 0 ） 代入圆 C k 的方程， 有（ 3-k ） 2 + （ 0-k ） 2 = 4 ， 化简得 2k 2 -6k+5=0 ， Δ=36-40=-4<0 ， 无解， ∴B 正 确； 结合图形， 可得 y=x±2 2 姨 始终与圆 C k 相切， C 正 确； 圆 C k 上总存在两点到原点的距离为 1 ， 可转化为圆 x 2 +y 2 =1 与圆 C k 有两个交点， 则 k∈ - 3 2 姨 2 ， - 2 姨 2 2 % ∪ 2 姨 2 ， 3 2 姨 2 2 % ， D 错误 . 故选 ABC. 12. 1 3 【解析】 点 P 与 A ， B ， C 共面的条件是 1 3 + 1 3 +姿=1 ， 解得 姿= 1 3 . 13. x 2 18 + y 2 9 =1 【解析 】 设 A （ x 1 ， y 1 ） ， B （ x 2 ， y 2 ） ， ∵A ， B 都在椭圆上， ∴ 点的坐标适合方程 x 2 1 a 2 + y 2 1 b 2 =1 ① ， x 2 2 a 2 + y 2 2 b 2 =1 ②. ①-② 有 （ x 1 +x 2 ）（ x 1 -x 2 ） a 2 + （ y 1 +y 2 ）（ y 1 -y 2 ） b 2 =0③. ∵AB 的中点坐标为 （ 1 ， -1 ）， ∴x 1 +x 2 =2 ， y 1 +y 2 =-2. 又 ∵A ， B ， AB 的中点及椭圆右焦点 F （ 3 ， 0 ） 四点 共线 ， ∴ y 1 -y 2 x 1 -x 2 = 0- （ -1 ） 3-1 = 1 2 ， 代入 ③ 式 ， 求得 a 2 =18 ， b 2 =9 ， 则椭圆 C 的方程为 x 2 18 + y 2 9 =1. 14. 8 5 姨 【解析】 由通径公式可得 N c ， b 2 a 2 % ， 且 F 1 （ -c ， 0 ） . 由中点坐标公式可得 H 0 ， b 2 2a 2 % . 又 ∵F 1 为线段 HM 的中点， ∴M -2c ， - b 2 2a 2 % . ∵ 点 M 在椭圆上， 则 4c 2 a 2 + b 4 4a 2 b 2 =1 ， 由题意可知 b 2 = 16 ， 则 4c 2 a 2 + 4 a 2 =1 ， ∴a 2 =4c 2 +4. 结合椭圆的性质可得 4c 2 +4=16+c 2 ， ∴c 2 =4 ， ∴a 2 =b 2 + c 2 =20 ， a=2 5 姨 ， ∴△F 2 MN 的周长 =｜NF 1 ｜+｜NF 2 ｜+｜MF 1 ｜+ ｜MF 2 ｜=2a+2a=4a=8 5 姨 . 15. （ 1 ） 解： 设直线 l AB ： x=my+ p 2 ， 联立 x=my+ p 2 ， y 2 =2px 2 ( ( ( ' ( ( ( ) ， 化简得 y 2 -2pmy-p 2 =0 （ * ） . 由题知 y 1 ， y 2 为方程 （ * ） 的根， ∴y 1 y 2 =-p 2 . （ 2 ） 证明： k AO = y 1 x 1 = y 1 y 2 1 2p = 2p y 1 ， k B 1 O = y 2 - p 2 . 由 （ 1 ） 可知 y 1 y 2 =-p 2 ， ∴k B 1 O = y 2 - p 2 = 2p y 1 ， ∴k AO =k B 1 O ， ∴A ， B 1 ， O 三点共线. A B C C 1 B 1 E A 1 D 1 D 第 6 题答图 -4 -3 -2 -1 x y O 1 2 3 4 M N P F 4 3 2 1 y 2 =8x l 2 ： 3x-4y+14=0 -1 -2 l 1 ： x=-2 第 8 题答图 129 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 16. 解： （ 1 ） 由题知圆心 Ｃ （ ２ ， ０ ）， ∵l 与圆 C 相切， ∴r= 4 2 姨 =2 2 姨 ， ∴ 圆 C ： （ x-2 ） 2 +y 2 =8. 设圆心 C 到 l 1 的距离为 d ， 由题有 d= 8-4 姨 =2. 设 l 1 ： y=k （ x+2 ）， ∴d= ｜4k｜ k 2 +1 姨 =2 ， 解得 k=± 3 姨 3 ， ∴l 1 ： y=± 3 姨 3 （ x+2 ） . （ 2 ） 设 P （ x 0 ， y 0 ）， ∴｜PO｜= x 2 0 +y 2 0 姨 ， ｜PA｜= （ x 0 +2 ） 2 +y 2 0 姨 ， ∴ ｜PO｜ ｜PA｜ = x 2 0 +y 2 0 （ x 0 +2 ） 2 +y 2 0 姨 . ∵ （ x 0 -2 ） 2 +y 2 0 =8 ， ∴ ｜PO｜ ｜PA｜ = x 2 0 +8- （ x 0 -2 ） 2 （ x 0 +2 ） 2 +8- （ x 0 -2 ） 2 姨 = 4x 0 +4 8x 0 +8 姨 = 2 姨 2 . 17. 解： （ 1 ） 由题知 a=2 ， ∵ c a = 1 2 ， ∴c=1 ， ∴b= 3 姨 ， ∴ 椭圆 C ： x 2 4 + y 2 3 =1. （ 2 ） 设直线 l ： y= 1 2 x+m ， 联立 y= 1 2 x+m ， x 2 4 + y 2 3 =1 1 $ $ $ $ # $ $ $ $ % ， 消掉 y 整理得 x 2 +mx+m 2 -3=0. 由 Δ=m 2 -4 （ m 2 -3 ） >0 ， 可解得 m 2 <4 ， 且 x 1 +x 2 =-m ， x 1 x 2 =m 2 -3 ， ∴｜AB｜= 1+ 1 4 姨 m 2 -4 （ m 2 -3 ） 姨 = 5 4 姨 12-3m 2 姨 . ∵P 到 l 的距离为 d= ｜2m｜ 5 姨 ， ∴S= 1 2 ｜AB｜d= 1 2 m 2 （ 12-3m 2 ） 姨 ≤ 3 姨 ， 当且仅当 3m 2 =12-3m 2 即 m 2 =2 时， 取到最大值 3 姨 . 18. （ 1 ） 解： 如图， 过点 C 作 CH⊥DC 1 ， 连接 AH ， 由题知 CC 1 ⊥ 平面 ABC ， ∴CC 1 ⊥AC. ∵ 平面 CC 1 D⊥ 平面 ACC 1 A 1 ， 平面 CC 1 D∩ 平面 ACC 1 A 1 =CC 1 ， ∴AC⊥ 平面 DCC 1 ， ∴AC⊥DC 1 . ∵CH⊥DC 1 ， 且 CH∩DC 1 =H ， ∴DC 1 ⊥ 平面 ACH ， ∴M 的轨迹为线段 CH ， 在 △DCC 1 中可解得 CH= 4 5 姨 5 . （ 2 ） 存在 . 证明： 以 A 为坐标原点， A A+ C ， AA 1 A+ ， A A+ B 分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系， ∴A （ 0 ， 0 ， 0 ）， C （ 3 姨 ， 0 ， 0 ）， C 1 （ 3 姨 ， 2 ， 0 ）， D （ 3 姨 ， 1 ， 2 ）， B （ 0 ， 0 ， 1 ）， B 1 （ 0 ， 2 ， 1 ）， ∴ BB 1 A+ = （ 0 ， 2 ， 0 ）， B A+ D = （ 3 姨 ， 1 ， 1 ） . 设平面 BB 1 D 的法向量 n= （ x ， y ， z ）， ∴ 2y=0 ， 3 姨 x+y+z=0 0 ， ∴ 平面 BB 1 D 的一个法向量 n= （ 3 姨 ， 0 ， -3 ） . 设B A+ P =姿 B A+ C ， 姿∈ ［ 0 ， 1 ］， ∴ D A+ P = D A+ B +姿 B A+ C = （ 3 姨 姿- 3 姨 ， -1 ， -1-姿 ）， ∴ 3 姨 4 = ｜３姿-3+3+3姿｜ 2 3 姨 · （ 3 姨 姿- 3 姨 ） 2 +1+ （ 姿+1 ） 2 姨 ， 解得 姿= 1 2 或 姿=- 5 6 （舍）， ∴ BP BC = 1 2 . 19. 解： （ 1 ） 设 C （ x ， y ）， 由题得 y-2 2 姨 x · y+2 2 姨 x =- 1 2 ， 化简得 x 2 16 + y 2 8 =1. 经检验所求方程为 E ： x 2 16 + y 2 8 =1 （ x≠0 ） . （ 2 ） 由题知 P （ 4 ， 0 ） . 设直线 MN 的方程为 x=my+t ， t∈ （ -4 ， 4 ）， 设 M （ x 1 ， y 1 ）， N （ x 2 ， y 2 ）， 联立 x=my+t ， x 2 16 + y 2 8 =1 1 $ $ $ 0 $ $ $ % ， 消掉 x 化简得（ m 2 +2 ） y 2 +2mty+t 2 -16=0. 由 Δ=4m 2 t 2 -4 （ m 2 +2 ）（ t 2 -16 ） >0 ， 化简得 8m 2 -t 2 +16>0 ， 且 y 1 +y 2 =- 2mt m 2 +2 ， y 1 y 2 = t 2 -16 m 2 +2 . 由题得 -4= y 1 my 1 +t-4 · y 2 my 2 +t-4 ， 整理得（ 1+4m 2 ） y 1 y 2 +4m （ t-4 ）（ y 1 +y 2 ） +4 （ t-4 ） 2 =0 ， 代入整理得（ 9t-28 ）（ t-4 ） =0 ， 解得 t= 28 9 或 t=4 （舍）， ∴ 直线 MN 过点 28 9 ， ， 2 0 . 综合测试卷 （三） 1. A 【解析】 2p= 1 2 ， p 2 = 1 8 ， 抛物线开口向右 ， ∴ 准线方程为 x=- 1 8 . 故选 A. 2. A 【解析】 若两直线平行， 则有 a （ a-2 ） -3=0 ， 解 得 a=3 或 a=-1. 经检验， a=3 和 a=-1 时两直线都不重合 . 故选 A. 3. B 【解析】 （ m-1 ） x-y+2m-1=0 可化为 m （ x+2 ） - （ x+ y+1 ） =0 ， 故 x+2=0 ， x+y+1=0 0 ， 解得 x=-2 ， y=1 0 . 故选 B. D H C 1 A C B A 1 B 1 第 18 题答图 130