综合测试卷(1)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

一、 单项选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的 . 1. 若直线 l 的方向向量是 e= （ 1 ， 3 姨 ）， 则直线 l 的倾斜角为 （ ） A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 2. 已知空间向量 a= （ -1 ， 2 ， x ） ， b= （ 3 ， -6 ， -3 ）， 且 a∥b ， 则 x= （ ） A. -9 B. -1 C. 1 D. 9 3. 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的 左、 右焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 上、 下顶点分别 为 A ， B ， 若四边形 AF 1 BF 2 为正方形， 则椭 圆 C 的离心率为 （ ） A. 1 2 B. 2 姨 2 C. 3 姨 2 D. 2 姨 4. 已知三棱锥 O鄄ABC 中， 点 M ， N 分 别为 AB ， OC 的中点 ， 且 O O$ A =a ， O O$ B =b ， O O$ C =c ， 则 N O$ M = （ ） A. 1 2 （ b+c-a ） B. 1 2 （ a+b+c ） C. 1 2 （ a-b+c ） D. 1 2 （ a+b-c ） 5. 已知圆 M 的圆心在直线 y=2x （ x>0 ） 上， 若圆 M 与 x 轴交于 A ， B 两点， 与 y 轴 交于 C ， D 两点， 则 （ ） A. ｜AB｜<｜CD｜ B. ｜AB｜=｜CD｜ C. ｜AB｜>｜CD｜ D. ｜AB｜≥｜CD｜ 6. 已知一个动圆 P 与两圆 C 1 ：（ x+2 ） 2 +y 2 = 1 和 C 2 ： （ x-2 ） 2 +y 2 =4 都外切， 则动圆 P 的圆 心的轨迹方程为 （ ） A. 4x 2 - 4y 2 15 =1 （ x<0 ） B. 4x 2 - 4y 2 15 =1 C. 4x 2 9 - 4y 2 7 =1 （ x<0 ） D. 4x 2 9 - 4y 2 7 =1 7. 若四棱柱 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的所有棱长 均为 2 ， 且 ∠A 1 AB=∠A 1 AD=∠BAD=60° ， 则 A 1 到平面 ABCD 的距离为 （ ） A. 6 姨 3 B. 6 姨 2 C. 2 6 姨 3 D. 3 姨 8. 已知 F 为抛物线 C ： y 2 =4x 的焦点 ， 直线 l ： y=k （ x+1 ）与抛物线 C 交于 A ， B 两 点 （ A 在 B 的左边）， 则 4｜AF｜+｜BF｜ 的最小值 是 （ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 综合测试卷 （一） （满分： 150 分钟 时间： 120 分） O A C M B N 第 4 题图 综合测试卷 （一） 9 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 二、 多项选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分 . 在每小题给出的选项中， 有多个选项符合题目要求 . 全部选对的 得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错 的得 0 分 . 9. 如图， 下列各正方体中， O 为下底面 的中心， M ， N 为顶点， P 为所在棱的中点， 则 满 足 〈 M !" N ， O !" P 〉 =90° 的 是 （ ） 10. 已知圆 C ： x 2 +y 2 -2x-8=0 ， 直线 l ： y=k （ x+1 ） +1 ， 则 （ ） A. 圆 C 的圆心为 （ -1 ， 0 ） B. 点 （ -1 ， 1 ） 在 l 上 C. l 与圆 C 相交 D. l 被圆 C 截得的最短弦长为 4 11. 在正三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， AB= AA 1 =1 ， 点 P 满足 B !" P =姿B !" C +滋BB 1 !" ， 其中 姿∈ ［ 0 ， 1 ］， 滋= ［ 0 ， 1 ］， 则 （ ） A. 当 姿=1 时， AP+PB 1 的最小值为 5 姨 B. 当 滋=1 时， 三棱锥 P鄄A 1 AB 的体积为 定值 C. 当 姿= 1 2 时 ， 存在两个点 P ， 使得 A 1 P⊥BP D. 当 滋= 1 2 时， 有且仅有一个点 P ， 使 得 A 1 B⊥ 平面 AB 1 P 三、 填空题： 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 . 将答案填在题中横线上 . 12. 已 知 平 行 六 面 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 ， AC 1 !" =A !" B +A !" D +mAA 1 !" ， 则 m 的值为 . 13. 已知双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b> 0 ） 的一条渐近线方程为 y= 3 姨 x ， 则双曲线 C 的离心率为 . 14. 已知圆台的上、 下底面半径分别是 10 和 20 ， 它的侧面积为 900仔 ， 则此圆台的 母线与下底面所成角的余弦值为 . 四、 解答题： 本题共 5 小题， 共 77 分 . 解答 时应写出文字说明 、 证明过程或演算 步骤 . 15. （ 13 分） 已知双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） . 请从 ①②③ 中选取两个作为条件补充到 题中， 并完成下列问题 . ①b= 3 姨 ； ② 离心率为 2 ； ③ 与椭圆 x 2 5 +y 2 =1 的焦点相同 . （ 1 ） 求双曲线 C 的方程； （ 2 ） 直线 l ： y=x-3 与双曲线 C 交于 A ， B 两点， 求 ｜AB｜ 的值 . 注： 若选择不同的组合分别解答， 则按 第一个解答计分 . N M O P N O P M N M O P N M O P A B C D 10 16. （ 15 分） 已知点 （ 4 ， 2 ） 在抛物线 C ： x 2 =2py 上， 直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点， O 为坐 标原点， 且 ∠AOB=90°. （ 1 ） 求抛物线 C 的焦点到准线的距离； （ 2 ） 求 △AOB 面积的最小值 . 17. （ 15 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P鄄ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为正方形， PB⊥ 平面 ABCD ， E 为线 段 PB 的中点 . （ 1 ） 证明： AC⊥PD ； （ 2 ） 若 PB=2AB=2 ， 求直线 DE 与平面 PCD 所成角的正弦值 . 第 17 题图 综合测试卷 （一） P A D C B E 11 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 18. （ 17 分） 如图， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E ， F 分别为 BC ， CD 的中点 . 以 DE 为折痕 将四边形 ABED 折起 ， 使 A ， B 分别到达 A 1 ， B 1 ， 且平面 A 1 B 1 ED⊥ 平面 CDE. 设 P 为 线段 CE 上一点， 且 A 1 ， B 1 ， P ， F 四点共面 . （ 1 ） 求证： B 1 E∥ 平面 A 1 DF ； （ 2 ） 求 CP 的长； （ 3 ） 求平面 A 1 B 1 PF 与平面 CDE 所成角 的余弦值 . 19. （ 17 分） 已知椭圆 C ： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的左、 右焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 且 ｜F 1 F 2 ｜=2. 过 F 2 的一 条斜率存在且不为零的直线交椭圆 C 于 M ， N 两点， △MNF 1 的周长为 4 2 姨 . （ 1 ） 求椭圆 C 的方程 . （ 2 ） 设 M 关于 x 轴的对称点为 P ， 直线 PN 交 x 轴于点 Q ， 过 Q 作椭圆 C 的一条切 线， 切点为 T. 求证： ∠TF 2 P=∠TF 2 N. A B E C F D B 1 A 1 第 18 题图 12 参 考 答 案 即 x 2 0 =1+ y 2 0 2 ， ｜PM｜ 2 =x 2 0 + （ y 0 -1 ） 2 = 3 2 y 2 0 -2y 0 +2= 3 2 y 0 - 2 3 3 " 2 + 4 3 . 当 y 0 = 2 3 时， ｜PM｜ min = 2 3 姨 3 ， 此时 M 11 姨 3 ， 2 3 3 " ， 点 M 到直线 DP ： x+y-1=0 的距离为 d= 11 姨 3 - 1 3 2 姨 = 2 姨 （ 11 姨 -1 ） 6 ， 而 ｜DP｜= 2 姨 . 如图， 四边形 ODMP 的 面积 S=S △ODP +S △MDP = 1 2 ｜OD｜ · ｜OP｜+ 1 2 ｜DP｜ · d= 1 2 + 11 姨 -1 6 = 11 姨 +2 6 . （ 3 ） 显然直线 AB 不垂直于 y 轴 . 设直线 AB 的方程为 x=ty-3 ， 由 x=ty-3 ， 2x 2 -y 2 =2 2 ， 消去 x 得（ 2t 2 -1 ） y 2 -12ty+16=0. 当 2t 2 -1≠0 时， Δ= （ 12t ） 2 -64 （ 2t 2 -1 ） =16 （ t 2 +4 ） >0 恒 成立 . 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则有 y 1 +y 2 = 12t 2t 2 -1 ， y 1 y 2 = 16 2t 2 -1 ， D D( A = （ x 1 -1 ， y 1 ） ， D D( B = （ x 2 -1 ， y 2 ）， 因此， D D( A·D D( B = （ x 1 -1 ）（ x 2 -1 ） +y 1 y 2 = （ ty 1 -4 ）（ ty 2 -4 ） + y 1 y 2 = （ t 2 +1 ） y 1 y 2 -4t （ y 1 +y 2 ） +16= 16 （ t 2 +1 ） 2t 2 -1 - 48t 2 2t 2 -1 +16=0 ， ∴ D D( A·D D( B 为定值 0. 18. 解 ： 如图 ， ∵ 椭圆的 离心率为 3 姨 3 ， 故可设椭圆 方程为 ２x 2 +３y ２ ＝t （ t>0 ）， 直线 方程为 my=x+1. 由 2x 2 +3y 2 =t ， my=x+1 ， 2 得（ 2m 2 +3 ） y 2 -4my+2-t=0. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 y 1 +y 2 = 4m 2m 2 +3 . ① 又 ∵ C D( A =2 B D( C ， 故（ x 1 +1 ， y 1 ） =2 （ -1-x 2 ， -y 2 ）， 即 y 1 =-2y 2 . ② 由 ①② 得 y 1 = 8m 2m 2 +3 ， y 2 = -4m 2m 2 +3 ， 则 S △AOB = 1 2 ｜y 1 -y 2 ｜=6 m 2m 2 +3 = 6 2｜m｜+ 3 ｜m｜ ≤ 6 姨 2 . 当 m 2 = 3 2 ， 即 m=± 6 姨 2 时， △AOB 面积取最大值， 此时 y 1 y 2 = 2-t 2m 2 +3 =- 32m 2 （ 2m 2 +3 ） 2 ， 即 t=10 ， ∴ 直线方程为 x± 6 姨 2 y+1=0 ， 椭圆方程为 2x 2 +3y 2 =10. 19. 证明： （ 1 ） 设直线 l 的方程为 y＝kx+4 ， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） . 由 x 2 1 =4y 1 ， x 2 2 ＝4y 2 ， 两式相乘可得（ x 1 x 2 ） 2 ＝16y 1 y 2 ， 由 y=kx+4 ， x 2 =4y 2 ， 可得 x 2 -4kx-16＝0 ， 则 x 1 x 2 ＝-16 ， y 1 y 2 ＝16 ， ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 ＝0 ， 即O D( A·O D( B ＝0 ， ∴OA⊥OB. （ 2 ） 设直线 l 的方程为 y＝kx+m ， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， C （ x 3 ， y 3 ）， D （ x 4 ， y 4 ）， 由 y=kx+m ， x 2 =4y 2 ， 可得 x 2 -4kx-4m＝0 ， x 1 +x 2 ＝4k ， x 1 x 2 ＝ -4m ， k 1 +k 2 ＝ y 1 x 1 + y 2 x 2 ＝ x 1 4 + x 2 4 ＝k. 联立 y＝kx+m 和椭圆方程 2x 2 +3y 2 ＝12 ， 可得（ 2+3k 2 ） x 2 + 6kmx+3m 2 -12＝0 ， Δ＝36k 2 m 2 -4 （ 2+3k 2 ）（ 3m 2 -12 ） ＞0 ， 即 4+6k 2 ＞m 2 ， x 3 +x 4 ＝- 6km 2+3k 2 ， x 3 x 4 ＝ 3m 2 -12 2+3k 2 ， k 3 +k 4 ＝ y 3 x 3 + y 4 x 4 ＝ kx 3 +m x 3 + kx 4 +m x 4 ＝2k+m 1 x 3 + 1 x 4 3 " ＝2k+ m （ x 3 +x 4 ） x 3 x 4 ＝2k- 6km 2 3m 2 -12 ＝- 8k m 2 -4 ， 则 k 1 +k 2 k 3 +k 4 ＝- m 2 -4 8 ， 与直线 l 的斜率的大小无关 . 综合测试卷 （一） 1. B 【解析】 设倾斜角为 琢 ， 琢∈ ［ 0 ， 仔 ）， 则 tan琢= 3 姨 1 . 故选 B. 2. C 【解析】 -1 3 = 2 -6 = x -3 ， ∴x=1. 故选 C. 3. B 【解析 】 如图 ， 根 据椭圆的性质可得 AF 1 =AF 2 = a ， F 1 F 2 =2c. ∵ 四边形 AF 1 BF 2 为正方形 ， ∴F 1 F 2 = 2 姨 AF 1 ， 即 2c = 2 姨 a ， ∴e = c a = 2 姨 2 . 故选 B. 4. D 【解析】 利用空间向量的运算法则， N D( M = N D( O + x y O -3 M A B D P 第 17 题答图 x y O A B C 第 18 题答图 x y O A F 1 F 2 B 第 3 题答图 125 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 O !" M =- 1 2 O !" C + 1 2 O !" A + 1 2 O !" B = 1 2 （ a+b-c ） . 故选 D. 5. A 【解析】 设圆 M 的 圆心 M （ m ， 2m ） （ m>0 ）， 半 径 为 r. 如 图 ， 过 点 M 作 MF⊥y 轴， ME⊥x 轴， ∴ ｜ME｜ ｜MF｜ = 2m 2 . 由垂径定理得 ｜AB ｜= 2 r 2 -｜ＭＥ｜ ２ 姨 . 同理可得 CD= 2 r ２ -｜MF｜ 2 姨 . ∵ ｜ME｜ ｜MF｜ =2 ， ∴｜AB｜= 2 r 2 -｜ME｜ 2 姨 =2 r 2 -4｜MF｜ 2 姨 =2 r 2 -4m 2 姨 ， CD=2 r 2 -m 2 姨 ， ∴｜AB｜<｜CD｜. 故选 A. 6. A 【解析】 设动圆的圆心 P （ x ， y ）， 半径为 r ， 则 ｜PC 1 ｜=1+r ， ① ｜PC 2 ｜=2+r ， ， ② ②-① 得 ｜PC 2 ｜-｜PC 1 ｜=1<｜C 1 C 2 ｜=4 ， ∴ 动圆 P 的圆心的轨迹为以 C 1 ， C 2 为焦点， 焦距为 4 的双曲线的 左支， 即 a= 1 2 ， c=2 ， b= 15 姨 2 ， ∴ 动圆 P 的圆心的轨 迹方程为 4x 2 - 4y 2 15 =1 （ x<0 ） . 故选 A. 7. C 【解析 】 如图 ， 设 AC 与 BD 交 于 点 O ， 连 接 A 1 O. ∵AB=AD ， ∴∠A 1 AB=∠A 1 AD = 60° ， ∴ △A 1 AB ≌ △A 1 AD ， ∴A 1 B =A 1 D. 又 ∵O 为 BD 的 中 点， ∴A 1 O⊥BD. ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AO⊥BD. ∵A 1 O∩AO= O ， ∴BD⊥ 平 面 A 1 AO. 在 平 面 A 1 AO 中 ， 过 点 A 1 作 A 1 H⊥AO ， 垂足为 H ， 则 BD⊥A 1 H. 又 ∵BD∩AO=O ， ∴A 1 H⊥ 平面 ABCD ， 即 A 1 到平面 ABCD 的距离为 A 1 H. 由已知 A 1 A=2 ， △ABD 为等边三角形， AO=AB · sin60°= 2× 3 姨 2 = 3 姨 ， BD=AB=2 ， △AA 1 B 和 △AA 1 D 均为等边 三 角 形 ， ∴A 1 B =A 1 D =2 ， ∴A 1 O =A 1 B · sin60° = 3 姨 . 在 △AA 1 O 中， 由余弦定理， cos∠A 1 OA= A 1 O 2 +AO 2 -AA 2 1 2A 1 O · AO = 3+3-4 2× 3 姨 × 3 姨 = 1 3 . ∵∠A 1 OA∈ 0 ， 仔 2 2 - ， ∴sin∠A 1 OA= 2 2 姨 3 . 在 Rt△A 1 OH 中 ， A 1 H=A 1 O · sin∠A 1 OA= 3 姨 × 2 2 姨 3 = 2 6 姨 3 . 故选 C. 8. B 【解析】 利用抛物线的定义， 将点 A ， B 到焦点 的距离转化为到准线的距离 . 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联 立 y 2 =4x ， y=k （ x+1 ） ） ， 则 k 2 x 2 + （ 2k 2 -4 ） x +k 2 =0 ， ∴x 1 x 2 =1. 又 ∵4｜AF｜+｜BF｜=4 （ x 1 +1 ） + （ x 2 +1 ） =4x 1 + 1 x 1 +5≥2 4x 1 · 1 x 1 姨 +5= 4+5=9. 故选 B. 9. AD 【解析】 设正方体的 棱长为 2. 建立如图所示的空间 直角坐标系 ， 则 Ｍ （ ２ ， ２ ， ２ ） ， Ｎ （ ０ ， ２ ， ０ ）， Ｏ （ １ ， １ ， ０ ）， Ｐ （ ０ ， ０ ， １ ） ， 则Ｍ !" Ｎ ＝ （ －２ ， ０ ， －２ ） ， Ｏ !" Ｐ ＝ （ －１ ， －１ ， １ ）， ∴ M !" N·O !" P = （ -2 ， 0 ， -2 ）·（ -1 ， -1 ， 1 ） =2+0-2=0 ， ∴MN⊥OP ， A 正 确； 同理， 建立空间直角坐标系， 计算可得 B ， C 错误， D 正确 . 故选 AD. 10. BCD 【解析】 由 x 2 +y 2 -2x-8=0 ， ∴ （ x-1 ） 2 +y 2 =9 ， ∴ 圆 C 的圆心为 （ 1 ， 0 ）， 半径 r=3 ， A 错误 . ∵x=-1 时 y=k （ -1+1 ） +1=1 ， ∴ 点 （ -1 ， 1 ） 在 l 上， B 正确 . ∵ 圆心 （ 1 ， 0 ） 到 （ -1 ， 1 ） 的距离为 5 姨 <3 ， ∴ 点 （ -1 ， 1 ） 在圆内 . 又 ∵ 点 （ -1 ， 1 ） 在 l 上， 故 l 与圆 C 相交， C 正确 . （ -1 ， 1 ） 与圆心的连线与 l 垂直时， l 被圆 C 截得 的弦最短， 最短弦长为 2 3 2 - （ 5 姨 ） 2 姨 =4 ， D 正确 . 故选 BCD. 11. ACD 【解 析 】 根 据 题 意 可 知 ， 点 P 在 矩 形 BCC 1 B 1 内部 （含边界） . 当 姿=1 时， B !" P = B !" C +滋 BB 1 !" = B !" C + 滋 CC 1 !" ， 即此时 P∈ 线段 CC 1 ， 将矩形 CBB 1 C 1 展开与矩形 CAA 1 C 1 在 同 一 平 面 . 如 图 1 ， ∴AP +PB 1 的 最 小 值 为 1 2 +2 2 姨 = 5 姨 ， A 正确 . 当 滋=1 时， B !" P =姿 B !" C + BB 1 !" = BB 1 !" +姿 B 1 C 1 !" ， ∴ 此时 P 点轨迹为线段 B 1 C 1 . 又 ∵ 点 P 到平面 AA 1 B 1 B 的距离不为定值， ∴ 其体积不为定值， B 错误 . 当 姿= 1 2 时， B !" P = 1 2 B !" C +滋 BB 1 !" ， 取 BC ， B 1 C 1 的中点分别 为 Q ， H ， 则B !" P = B !" Q +滋 Q !" H ， ∴P 点轨迹为线段 QH ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 图 2 ， 则 A 1 3 姨 2 ， 0 ， 2 - 1 ， P （ 0 ， 0 ， 滋 ）， B 0 ， 1 2 ， 2 - 0 ， ∴ A 1 !" P = - 3 姨 2 ， 0 ， 滋- 2 - 1 ， B !" P = 0 ， - 1 2 ， 滋 2 - ， ∴ A 1 !" P·B !" P =滋 （ 滋-1 ） =0 ， ∴ 滋=0 或 滋= 1 ， ∴H ， Q 均满足 ， C 正确 . 当 滋= 1 2 时 ， B !" P =姿 B !" C + 1 2 BB 1 !" ， 取 BB 1 ， CC 1 的中点为 M ， N ， 则B !" P = B !" M +姿 M !" N ， ∴ 点 P 轨迹为线段 MN. 设 P 0 ， y 0 ， 1 2 2 - ， ∵A 3 姨 2 ， 0 ， 2 - 0 ， ∴ A !" P = - 3 姨 2 ， y 0 ， 1 2 2 - ， A 1 !" B = - 3 姨 2 ， 1 2 ， - 2 - 1 ， ∴ 3 4 + 1 2 y 0 - 1 2 =0 ， ∴y 0 =- 1 2 ， 此时 P 与 N 重合， D 正确 . A E x D B C y M F O A B O H D A 1 B 1 D 1 C 1 C 第 5 题答图 第 7 题答图 O O′ P M z N y 第 9 题答图 x 126 参 考 答 案 故选 ACD. 12. 1 【解析】 根据平行六面体的性质和空间向量加 法法则可知 m=1. 13. 2 【解析】 焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线斜率 为 3 姨 ， 则 b a = 3 姨 ， ∴ b 2 a 2 = c 2 -a 2 a 2 =3 ， ∴ c a =e=2. 14. 1 3 【解析】 作出圆台的轴 截面 ， 如图所示 ， 设圆台的上 、 下底面半径分别为 r 1 和 r 2 ， 母线 长为 l. 由题意可知 ， r 1 =10 ， r 2 = 20 ， ∴S =仔 （ r 1 +r 2 ）· l =30仔l =900仔 ， ∴l=30. 设圆台的母线与下底面所成角为 琢 ， 由图可知 ∠ABC=琢 ， 则 cos琢= r 2 -r 1 l = 20-10 30 = 1 3 . 15. 解： （ 1 ） 选 ①② ： 可得 2b=2 3 姨 ， a 2 +b 2 a 2 =4 ， 解得 a=1 ， b= 3 姨 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 3 =1. 选 ①③ ： 可得 2b=2 3 姨 ， a 2 +b 2 =5-1=4 ， 解得 a=1 ， b= 3 姨 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 3 =1. 选 ②③ ： 可得 a 2 +b 2 a 2 =4 ， a 2 +b 2 =5-1=4 ， 解得 a 2 =1 ， b 2 =3 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 3 =1. （ 2 ） 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立 x 2 - y 2 3 =1 ， y=x-3 3 % % % $ % % % & ， 消掉 y ， 整理得 x 2 +3x-6=0 ， ∴ x 1 +x 2 =-3 ， x 1 x 2 =-6 6 . ∵｜AB｜= 1+k 2 姨 ｜x 1 -x 2 ｜= 1+k 2 姨 （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 ， ∴｜AB｜= 66 姨 . 16. 解： （ 1 ） 将点 （ 4 ， 2 ） 代入方程 x 2 =2py ， 解得 p=4 ， ∴ 抛物线 C 的焦点到准线的距离为 4. （ 2 ） 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 直线 l 的方程为 y= kx+b ， 联立 x 2 =8y ， y=kx+b 6 ， 消去 y ， 整理得 x 2 -8kx-8b=0 ， ∴ Δ=64k 2 +32b>0 ， x 1 +x 2 =8k ， x 1 x 2 =-8b b % % % $ % % % % & . ∵∠AOB=90° ， ∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 ， 即 x 1 x 2 + x 2 1 8 · x 2 2 8 =0 ， 代入可得 -8b+b 2 =0 ， 即 b=8 或 b=0 （不符合题意， 舍掉）， ∴S △AOB = 1 2 ×8｜x 1 -x 2 ｜=4 （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 =4 64k 2 +256 姨 ， ∴ 当 k=0 时， △AOB 的面积有最小值 64. 17. （ 1 ） 证明： 如图， 设 AC 与 BD 的交点为 O ， ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴AC⊥BD. ∵PB⊥ 平面 ABCD ， ∴AC⊥PB. ∵BD∩PB=B ， ∴AC⊥ 平面 PBD ， ∴AC⊥PD. （ 2 ） 解 ： ∵BA ， BC ， BP 两两垂直， ∴ 建立如图所示的 空间直角坐标系 B鄄xyz ， 则 C （ 0 ， 1 ， 0 ） ， D （ 1 ， 1 ， 0 ） ， P （ 0 ， 0 ， 2 ） ， E （ 0 ， 0 ， 1 ） ， ∴ C C- D = （ 1 ， 0 ， 0 ）， P C- C = （ 0 ， 1 ， -2 ） ， D C- E = （ -1 ， -1 ， 1 ） . 设 平面 PCD 的一个法向量为 n= （ x ， y ， z ）， 则 n ·C C- D =0 ， n ·P C- C =0 0 ， 即 x=0 ， y-2z=0 0 ， 令 z=1 ， 则 n= （ 0 ， 2 ， 1 ） . 设直线 DE 与平 面 PCD 所成角为 琢 ， 可知 琢 为锐角 ， 则 sin琢=｜cos 〈 n ， D C- E 〉 ｜= ｜n ·D C- E ｜ ｜n｜｜ D C- E ｜ = 1 5 姨 × 3 姨 = 15 姨 15 ， 即直线 DE 与平面 PCD 所成角的正弦值为 15 姨 15 . 18. （ 1 ） 证明： ∵BE∥AD ， ∴ 沿 DE 为折痕将四边 形 ABED 折起后， B 1 E∥A 1 D. ∵B 1 E埭 平面 A 1 DF ， A 1 D奂 平面 A 1 DF ， ∴B 1 E∥ 平面 A 1 DF. （ 2 ） 解： 如图 1 ， 延长 AB ， DE 交于点 G ， 沿 DE 为 折痕将四边形 ABED 折起的过程中， A 1 ， B 1 ， G 三点共 线， 连接 FG. 设 FG 与 CE 的交点即为点 P ， 则这样的点 P 满足 A 1 ， B 1 ， P ， F 四点共面 . ∵E 为 BC 的中点， ∴B 为 AG 的中点， 即 BG=AB=2. 设 CP=x ， 则 BP=2-x ， A （ B ） C P B A 1 （ B 1 ） C 1 B 1 A x Q B C M B 1 N C 1 A 1 H z y 图 2 图 1 第 11 题答图 C A B 第 14 题答图 第 17 题答图 y P A D C B E z x O 127 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 由 △BGP∽△PCF 可得， CF CP = BG BP ， 即 1 x = 2 2-x ， 解得 x= 2 3 ， 即 CP= 2 3 . （ 3 ） 解 ： 如图 1 ， 以 C 为坐标原点 ， 分别以射线 CE ， CD 为 x 轴、 y 轴正方向， 以垂直于平面 CDE 且向 上的方向为 z 轴正方向建立空间直角坐标系， 则 P 2 3 ， 0 ， ， $ 0 ， F （ 0 ， 1 ， 0 ） . 如图 2 ， 在平面直角坐标系中， AM⊥DE ， 而平面 A 1 B 1 CD⊥ 平面 CDE ， 平面 A 1 B 1 CD∩ 平面 CDE=DE ， ∴AM⊥ 平面 CDE. 再作 MR⊥BC ， MS⊥CD ， 垂足分 别为 R ， S. sin∠EDC = EC DE = 5 姨 5 ， sin∠DAM= DM AD = DM 2 ， ∠EDC=∠DAM ， ∴ 1 5 姨 = DM 2 ， ∴DM= 2 5 姨 5 . 在 Rt△DMS 中， MS=DM · sin∠EDC= 2 5 姨 5 × 5 姨 5 = 2 5 ， 即 CR= 2 5 ， DS= DM 2 -MS 2 姨 = 4 5 ， ∴CS=2- 4 5 = 6 5 ， ∴ 点 M 的坐标是 6 5 ， 2 5 ， 5 . 又 ∵AM= AD 2 -DM 2 姨 = 4 5 姨 5 ， ∴ 在空间直角坐标 系中点 A 1 的坐标是 6 5 ， 2 5 ， 4 5 姨 5 ， 5 ， ∴ F F+ P = 2 3 ， -1 ， ， 5 0 ， FA 1 F+ = 2 5 ， 1 5 ， 4 5 姨 5 ， 5 . 平面 A 1 B 1 PF 与平面 CDE 的法向量分别为 m= （ x 1 ， y 1 ， z 1 ）， n= （ x 2 ， y 2 ， z 2 ）， 则 2 3 x 1 -y 1 =0 ， 2 5 x 1 + 1 5 y 1 + 4 5 姨 5 z 1 =0 0 / / / / . / / / / 0 ， 不妨取 x 1 =3 ， 则 m= 3 ， 2 ， - 2 5 姨 5 ， 5 . 又 ∵n= （ 0 ， 0 ， １ ）， ∴｜cos 〈 m ， n 〉 ｜= m · n ｜m｜｜n｜ = 2 69 姨 69 ， 即 平 面 A 1 B 1 PF 与 平 面 CDE 所 成 角 的 余 弦 值 为 2 69 姨 69 . 19. 解 ： （ 1 ） 根 据 题 意 可 知 △MNF 1 的 周 长 为 ｜MF 1 ｜+｜MF 2 ｜+｜NF 2 ｜+｜NF 1 ｜=2a+2a=4a ， ∴4a=4 2 姨 ， 即 a= 2 姨 . 设椭圆 C 的半焦距为 c ， ∵｜F 1 F 2 ｜=2 ， 即 c=1 ， ∴b 2 =a 2 - c 2 =1 ， 即 b=1 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 2 +y 2 =1. （ 2 ） 设 MN 的方程为 y=k （ x-1 ）， 代入椭圆 C 的方程 有（ 2k 2 +1 ） x 2 -4k 2 x+2k 2 -2=0 ， Δ=8k 2 +8>0. 设 M （ x 1 ， y 1 ）， N （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 +x 2 = 4k 2 2k 2 +1 ， x 1 x 2 = 2k 2 -2 2k 2 +1 . 设 P （ x 1 ， -y 1 ） ， 则直线 PN 的方程 可 表 示 为 y = y 2 +y 1 x 2 -x 1 （ x-x 1 ） -y 1 ， 令 y=0 ， 得 x= x 1 y 2 +x 2 y 1 y 1 +y 2 = kx 1 （ x 2 -1 ） +kx 2 （ x 1 -1 ） k （ x 1 +x 2 -2 ） = 2x 1 x 2 - （ x 1 +x 2 ） x 1 +x 2 -2 = 2 · 2k 2 -2 2k 2 +1 - 4k 2 2k 2 +1 4k 2 2k 2 +1 -2 =2 ， ∴Q （ 2 ， 0 ） . 设直线 QT 的方程为 y=k 1 （ x-2 ）， 代入 C 的方程有 （ 2k 2 1 +1 ） x 2 -8k 2 1 x+8k 2 1 -2=0 （ * ）， 当 QT 与 C 相切时， Δ 1 =64k 4 1 -8 （ 2k 2 1 +1 ）（ 4k 2 1 -1 ） =0 ， 得 k 2 1 = 1 2 . 将 k 2 1 = 1 2 代入 （ * ） 方程得 x 2 -2x+1=0 ， 解得 x=1 ， ∴ 切点 T 的横坐标等于右焦点 F 2 的横坐标 ， 故 TF 2 ⊥x 轴 . 又 由 M 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 P ， 可 知 ∠QF 2 P = ∠QF 2 M=∠OF 2 N ， ∴∠TF 2 Q+∠QF 2 P=∠TF 2 O+∠OF 2 N ， ∴ ∠TF 2 P=∠TF 2 N. 综合测试卷 （二） 1. B 【解析】 由斜率和倾斜角的关系， 结合图形直 接比较大小可得 k 1 >k 2 ， 琢 1 <琢 2 . 故选 B. 2. A 【解析 】 B F+ M = BB F+ ′ + B′ F+ M = AA F+ ′ + 1 2 B F+ D = AA F+ ′ + 1 2 （B F+ A + A F+ D） =c+ 1 2 （ -a+b ） =- 1 2 a+ 1 2 b+c. 故选 A. 3. A 【解析】 ∵y 2 =4x 是焦点在 x 轴正半轴的抛物线 标准方程， p=2 ， ∴ 焦点坐标为 （ 1 ， 0 ） . 故选 A. 4. C 【解析】 二面角的大小与其法向量夹角相等或 互补 . 故选 C. 5. C 【解析 】 设炮弹爆炸点为点 P ， 由题意可得 ｜PA｜-｜PB｜=340×2=680<800=｜AB｜ ， ∴ 炮弹爆炸点的轨迹是 双曲线的一支 . 故选 C. 6. D 【解析】 设正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， G z y A 1 D F C B A B 1 E P x A D S C B E R y M F x 图 1 图 2 第 18 题答图 128