阶段性练习卷(7)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

参 考 答 案 阶段性练习卷 （七） 1. C 【解析】 双曲线的渐近线方程为 x 2 9 - y 2 16 =0 ， 即 x 3 ± y 4 =0. 故选 C. 2. D 【解析】 由 x 2 a 2 -y 2 =1 可得 c 2 =a 2 +1 ， ∴c= a 2 +1 姨 ， ∴ 双曲线的右焦点坐标为 （ a 2 +1 姨 ， 0 ） . 由 x 2 +y 2 -4x=0 可得（x-2 ） 2 +y 2 =4 ， ∴ 圆心坐标为 （2 ， 0 ）， 由题意可得 a 2 +1 姨 =2 ， 解得 a= 3 姨 或 a=- 3 姨 （舍） . 故选 D. 3. A 【解析 】 由椭圆方程 x 2 4 + y 2 3 =1 可得其焦点为 （ ±1 ， 0 ）， 顶点为 （ ±2 ， 0 ）， 设双曲线方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 ， 则 a=1 ， c=2 ， ∴b 2 =c 2 -a 2 =3 ， 故双曲线方程为 x 2 - y 2 3 =1. 故 选 A. 4. C 【解析】 由已知得双曲线 C 的一条渐近线的斜 率为 4m 2m =2 ， 则 b a =2 ， ∴ b 2 a 2 = c 2 -a 2 a 2 =4 ， ∴ c 2 a 2 -1=4 ， 解得 e 2 =5 ， 解得 e= 5 姨 . 故选 C. 5. B 【解析 】 依题意 ， a=2 2 姨 ， b=2 ， c= 8+4 姨 = 2 3 姨 . 在 △F 1 PF 2 中 ， ｜F 1 F 2 ｜=2c =4 3 姨 ， 由 正 弦 定 理 得 ｜F 1 F 2 ｜ sin∠F 1 PF 2 =2×4 ， 即 4 3 姨 sin∠F 1 PF 2 =8 ， sin∠F 1 PF 1 = 3 姨 2 . ∵∠F 1 PF 2 为锐角， ∴∠F 1 PF 2 = 仔 3 . 根据双曲线的定义得 ｜｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜｜=2a=4 2 姨 . 在 △F 1 PF 2 中 ， 由余弦定理得 ｜F 1 F 2 ｜ 2 =｜PF 1 ｜ 2 +｜PF 2 ｜ 2 -2 · ｜PF 1 ｜ · ｜PF 2 ｜ · cos 仔 3 ， 即 48=｜PF 1 ｜ 2 +｜PF 2 ｜ 2 -｜PF 1 ｜ · ｜PF 2 ｜ ， 即（ ｜PF 1 ｜- ｜PF 2 ｜ ） 2 +｜PF 1 ｜ · ｜PF 2 ｜=48 ， 即 32+｜PF 1 ｜ · ｜PF 2 ｜=48 ， ∴｜PF 1 ｜ · ｜PF 2 ｜= 16. 故选 B. 6. C 【解析 】 如图 ， 设 线段 MN 的中点为 D. 由双 曲线的定义可得 ｜DF 1 ｜-｜DF 2 ｜= 2a=8. 由 对 称 性 可 得 D ， F 1 ， F 2 分 别 是 线 段 MN ， MA ， MB 的中点， 则 ｜AN ｜=2 ｜DF 1 ｜ ， ｜BN ｜=2 ｜DF 2 ｜ ， 故 ｜AN ｜-｜BN ｜=2 ｜DF 1 ｜- 2｜DF 2 ｜=4a=16. 故选 C. 7. BCD 【解析】 双曲线 x 2 16 - y 2 9 =1 中 a=4 ， b=3 ， c= 5 ， 故离心率 e= c a = 5 4 ， 故 A 错误； 双曲线的渐近线方程为 y=± b a x=± 3 4 x ， 即 3x±4y=0 ， 故 B 正确； 由双曲线的定义知 ， ｜｜PF 1 ｜-｜PF 2 ｜｜=2a=8 ， 由 ｜PF 1 ｜=6 ， 得 ｜PF 2 ｜=14 ， 故 △PF 1 F 2 的周长为 ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜+｜F 1 F 2 ｜=6+14+10=30 ， 故 C 正确； 对于椭圆 x 2 100 + y 2 75 =1 ， a′=10 ， b′=5 3 姨 ， c′=5 ， 有 ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜=6+14=20=2a′>2c′ ， 由椭圆的定义知， 点 P 在椭圆 x 2 100 + y 2 75 =1 上， 故 D 正确 . 故选 BCD. 8. ABD 【解析】 双曲线 E： x 2 16 - y 2 9 =1 中 a=4 ， b=3 ， c=5 ， 不妨设 P （ m ， n ）， m>0 ， n>0 ， 由 △PF 1 F 2 的面积为 20 ， 可得 1 2 ｜F 1 F 2 ｜n=cn=5n=20 ， 即 n=4 ， 由 m 2 16 - 16 9 =1 ， 可得 m= 20 3 ， 故 A 正确； 由 P 20 3 ， ， ' 4 ， 且 F 1 （ -5 ， 0 ）， F 2 （ 5 ， 0 ）， 则 ｜PF 1 ｜+ ｜PF 2 ｜= 16+ 35 2 9 姨 + 16+ 25 9 姨 = 37 3 + 13 3 = 50 3 ， 则 △PF 1 F 2 的周长为 50 3 +10= 80 3 ， 故 B 正确； 由斜率公式可得 k PF 2 = 0-4 5- 20 3 = 12 5 ， 则 tan （ 仔-∠PF 2 F 1 ） = 12 5 >1 ， 仔-∠PF 2 F 1 > 仔 4 ， 则 ∠PF 2 F 1 < 3仔 4 ， 故 C 错误； 如图， 设 △F 1 PF 2 的内心为 I ， 连接 IP ， IF 1 ， IF 2 ， 设 △PF 1 F 2 的内切圆半径为 r ， 可得 1 2 r（｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜+｜F 1 F 2 ｜ ） = 1 2 · ｜F 1 F 2 ｜ · 4 ， 可得 80 3 r=40 ， 解得 r= 3 2 ， 故 D 正确 . 故选 ABD. 9. （ -∞ ， -4 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） 【解析】 由曲线 x 2 4+k + y 2 1-k = 1 表示双曲线， 得（ 4+k ）（ 1-k ） <0 ， 解得 k<-4 或 k>1. 10. 7 y=± 14 姨 2 x 【解析】 ∵ 双曲线 C 1 ： x 2 2 - y 2 m =1 x y O M N F 2 A B D F 1 第 6 题答图 x y O 2 4 6 8-8 -6 -4 -2 10 -2 -4 6 4 2 I F 2 P F 1 第 8 题答图 107 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 与椭圆 C 2 ： x 2 16 + y 2 7 =1 有相同的焦点， ∴ 椭圆中 c 2 =16-7= 9 ， ∴ 双曲线中 c 2 =2+m=9 ， 解得 m=7 ， 即双曲线方程为 x 2 2 - y 2 7 =1 ， ∴ 渐近线方程为 y=± 14 姨 2 x. 11. 192 【解析】 由双曲线 C： x 2 36 - y 2 64 =1 可得 a 2 =36 ， b 2 =64 ， ∴c 2 =a 2 +b 2 =36+64=100 ， 即 a=6 ， b=8 ， c=10 ， ∴｜F 1 F 2 ｜=2c=20 ， 可得 ｜PF 2 ｜=｜F 1 F 2 ｜=20. 由双曲线的定义可得 ｜PF 1 ｜=｜PF 2 ｜+2a=20+12=32 ， ∴△PF 1 F 2 是等腰三角形， 且 ｜PF 2 ｜=｜F 1 F 2 ｜=20 ， ｜PF 1 ｜=32 ， 可得 PF 1 边上的高为 20 2 - 32 2 2 $ 2 姨 = 20 2 -16 2 姨 =12 ， ∴△PF 1 F 2 的面积为 1 2 ×32×12=192. 12. （ 2 7 姨 -2 ） a 【解析】 如图所示 ， 以 AB 的中点 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴 ， 建立平面直角坐标系 xOy ， 则 C （ 3 ， 3 姨 ）， A （ -2 ， 0 ） ， B （ 2 ， 0 ） ， 连 接 AM ， AC. ∵｜MA｜-｜MB｜=2<｜AB｜ ， ∴ 点 M 的轨迹是双曲线 x 2 - y 2 3 =1 的右支 . ∵｜MB｜+｜MC｜=｜MA｜-2+｜MC｜≥｜AC｜-2=2 7 姨 -2 ， 当 M ， A ， C 三点共线时等号成立 . 又 ∵ 总费用为 （ a · ｜MB｜+a · ｜MC｜ ） 万元， ∴a · ｜MB｜+a · ｜MC｜=a （ ｜MB｜+｜MC｜ ） ≥ （ 2 7 姨 -2 ） a ， 故修建这两条公路的最低总费用为（ 2 7 姨 -2 ） a 万元 . 13. 解： 选择条件 ①. ∵m>0 ， ∴a 2 =m ， b 2 =2m ， c 2 =a 2 +b 2 =3m ， ∴a= m 姨 ， c= 3m 姨 . ∵ 双曲线 C 的左支上的点到右焦点的距离的最小值 为 a+c ， ∴ m 姨 + 3m 姨 = （ 1+ 3 姨 ） m 姨 =3+ 3 姨 ， 解得 m=3 ， 故双曲线 C 的方程为 x 2 3 - y 2 6 =1. 选择条件 ②. ∵ 双曲线 C 的焦距为 6 ， ∴c=3. ∵m>0 ， ∴a 2 =m ， b 2 =2m ， c 2 =a 2 +b 2 =3m ， ∴c= 3m 姨 =3 ， 解得 m=3 ， 故双曲线 C 的方程为 x 2 3 - y 2 6 =1. 选择条件 ③. ∵ 双曲线 C 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对 值为 4 ， ∴2a=4 ， 即 a=2. ∵m>0 ， ∴a 2 =m ， ∴a= m 姨 =2 ， 解得 m=4 ， 故双曲线 C 的方程为 x 2 4 - y 2 8 =1. * 14. 解： （ 1 ） ∵ 椭圆 x 2 4 +y 2 =1 的焦点为 （ ± 3 姨 ， 0 ）， 又 ∵ 双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 与椭圆 x 2 4 +y 2 =1 有相同的 焦点， ∴a 2 +b 2 = （ 3 姨 ） 2 =3. ∵ 双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 过点 （ 2 姨 ， 2 姨 ）， ∴ 2 a 2 - 2 b 2 =1 ， 即 2 a 2 - 2 3-a 2 =1 ， 化简得 a 4 -7a 2 +6=0 ， 解得 a 2 =1 或 a 2 =6 （舍去）， ∴b 2 = 3-a 2 =2 ， ∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 2 =1. （ 2 ） ∠AOB 是直角 . 理由如下： 当直线 l 的斜率不存在时， 设直线 l 的方程为 x=t ， ∵ 原点 O 到直线 l 的距离为 2 姨 ， ∴ 直线 l 的方程 为 ± 2 姨 ， 此时设 A ， B 两点的坐标为 A （ 2 姨 ， 2 姨 ）， B （ 2 姨 ， - 2 姨 ）， ∴ O O( A·O O( B = （ 2 姨 ， 2 姨 ）·（ 2 姨 ， - 2 姨 ） = 2 姨 × 2 姨 + 2 姨 × （ - 2 姨 ） =0 ， ∴OA⊥OB. 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y=kx+m ， ∵ 原点 O 到直线 l 的距离为 2 姨 ， ∴ ｜m｜ k 2 +1 2 姨 = 2 姨 ， 整理得 m 2 =2 （ k 2 +1 ） . 直线 l 的方程 y=kx+m 与双曲线的方程联立 x 2 - y 2 2 =1 ， y=kx+m m , , , + , , , - ， 整理得（ 2-k 2 ） x 2 -2mkx-m 2 -2=0. 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 x 1 +x 2 = 2mk 2-k 2 ， x 1 x 2 = -m 2 -2 2-k 2 ， ∴ O O( A·O O( B =x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 + （ kx 1 +m ）（ kx 2 +m ） = （ 1+k 2 ） x 1 x 2 +mk （ x 1 +x 2 ） +m 2 = （ 1+k 2 ）（ m 2 +2 ） 2-k 2 +mk · 2mk 2-k 2 +m 2 = m 2 -2k 2 -2 2-k 2 = 2 （ k 2 +1 ） -2k 2 -2 2-k 2 =0 ， ∴OA⊥OB. 综上， ∠AOB 是直角 . 2.7 抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 学习手册 变式训练 1 D 【解析】 5 （ x-1 ） 2 +y 2 姨 =｜4x-3y+2｜ 可变形 为 （ x-1 ） 2 +y 2 姨 = ｜４x-３y+２｜ 5 ， 等式左侧是点 P （ x ， y ） 到点 （ 1 ， 0 ） 的距离， 而等 式右侧是点 P （ x ， y ） 到直线 4x-3y+2=0 的距离， ∴ 点 P 的轨迹是抛物线， 故选 D. x y O M QA B C P 东 北 第 12 题答图 108 第二章 平面解析几何 练 一、 单项选择题： 本题共 6 小题， 在每小题 给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的 . 1. 双曲线 x 2 9 - y 2 16 =-1 的渐近线方程是 （ ） A. x 9 ± y 16 =0 B. x 16 ± y 9 =0 C. x 3 ± y 4 =0 D. x 4 ± y 3 =0 2. 若双曲线 x 2 a 2 -y 2 =1 （ a>0 ） 的右焦点与 圆 x 2 +y 2 -4x=0 的圆心重合， 则 a= （ ） A. 2 B. 3 C. 2 姨 D. 3 姨 3. 以椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1 的焦点为顶点， 顶点 为焦点的双曲线方程为 （ ） A. x 2 - y 2 3 =1 B. x 2 3 -y 2 =1 C. x 2 - y 2 2 =1 D. x 2 4 - y 2 3 =1 4. 若双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） 的一条渐近线过点 （ 2m ， 4m ） （ m≠0 ）， 则 双曲线 C 的离心率为 （ ） A. 4 B. 2 C. 5 姨 D. 3 姨 5. 已知点 P 是双曲线 x 2 8 - y 2 4 =1 上一点， F 1 ， F 2 分别为双曲线的左 、 右焦点 ， 若 △F 1 PF 2 的外接圆半径为 4 ， 且 ∠F 1 PF 2 为锐 角， 则 |PF 1 | · |PF 2 |= （ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 6. 已知双曲线 C ： x 2 16 - y 2 9 =1 的左、 右焦 点分别是 F 1 ， F 2 ， 点 M 关于 F 1 ， F 2 对称的点 分别是 A ， B ， 线段 MN 的中点在双曲线 C 的右支上， 则 |AN|-|BN|= （ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 二、 多项选择题： 本题共 2 小题， 在每小题 给出的四个选项中， 有多项符合题目 要求 . 7. 已知双曲线 x 2 16 - y 2 9 =1 的左、 右焦点分 别为 F 1 ， F 2 ， 点 P 为 C 上的一点， 且 |PF 1 |=6 ， 则下列说法正确的是 （ ） A. 双曲线的离心率为 5 3 B. 双曲线的渐近线方程为 3x±4y=0 C. △PF 1 F 2 的周长为 30 D. 点 P 在椭圆 x 2 100 + y 2 75 =1 上 8. 已知点 P 是双曲线 E ： x 2 16 - y 2 9 =1 的右 支上一点， F 1 ， F 2 为双曲线 E 的左 、 右焦 点， △PF 1 F 2 的面积为 20 ， 则下列说法正确 的是 （ ） A. 点 P 的横坐标为 20 3 B. △PF 1 F 2 的周长为 80 3 C. ∠PF 2 F 1 大于 3π 4 阶段性练习卷 （七） 73 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 D. △PF 1 F 2 的内切圆半径为 3 2 三、 填空题： 本题共 4 小题 . 9. 若曲线 x 2 4+k + y 2 1-k =1 表示双曲线， 则 k 的取值范围是 . 10. 已知双曲线 C 1 ： x 2 2 - y 2 m =1 与椭圆 C 2 ： x 2 16 + y 2 7 =1 有相同的焦点， 则 m= ； 双曲线 C 1 的渐近线方程为 . 11. 已知双曲线 C ： x 2 36 - y 2 64 =1 的左、 右 焦点分别为 F 1 ， F 2 ， P 为 C 右支上的点， 且 |PF 2 |=|F 1 F 2 | ， 则 △PF 1 F 2 的面积等于 . 12. 如图所示， B 地在 A 地的正东方向 4 km 处， C 地在 B 地的北偏东 30° 方向 2 km 处， 河流的沿岸 PQ （曲线） 上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km. 现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头， 向 B ， C 两地 转运货物 . 经测算， 从 M 到 B ， C 两地修建 公路的费用都是 a 万元 /km ， 则修建这两条 公路的最低总费用为 万元 . 四、 解答题： 本题共 2 小题， 解答应写出文 字说明、 证明过程或演算步骤 . 13. 在 ①C 的左支上的点与右焦点间的 距离的最小值为 3+ 3 姨 ， ②C 的焦距为 6 ， ③C 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对 值为 4 ， 这三个条件中任选一个， 补充在下 面的横线上， 并求解问题 . 问题： 已知双曲线 C ： x 2 m - y 2 2m =1 （ m> 0 ）， ， 求双曲线 C 的方程 . * 14. 已知双曲线 C ： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 与椭圆 x 2 4 ＋y 2 =1 有相同的焦点， 且过点 （ 2 姨 ， 2 姨 ）， 直线 l 交双曲线于 A ， B 两点， 且原点 O 到 直线 l 的距离为 2 姨 . （ 1 ） 求双曲线 C 的方程； （ 2 ） 试判断 ∠AOB 是锐角、 直角还是钝 角， 并说明理由 . 第 12 题图 x y M Q A B C P 东 北 74