阶段性练习卷(6)-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

参 考 答 案 ∴ 直线 l 的方程为 x+2y-4=0 且 x 1 ·x 2 =0. 在方程 x+2y-4=0 中， 令 x=0 ， 得 y=2 ， ∴ 直线 l 与 y 轴交于点 Q（0 ， 2 ）， ∴S △OAB = 1 2 |OQ | · |x 1 -x 2 |= 1 2 ×2× （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 = 1 2 × 2×4=4 ， ∴△OAB 的面积为 4 cm 2 . 15. 解： （ 1 ） 依题意可知， 观测区域边界曲线是以 A ， B 为 焦点的椭圆， 设椭圆方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） ， 则 2a=40 ， 2c=20 ， a 2 =b 2 +c 2 2 % % % $ % % % & ， 解得 a=20 ， b=10 3 姨 ， ∴ 观测区域边界曲线的方程为 x 2 400 + y 2 300 =1. （ 2 ） 设轮船在观测区域内航行的时间为 t h ， 航线与 区域边界的交点为 C ， D. ∵C （ 20 ， 0 ）， k CD =tan135°=-1 ， ∴ 直线 CD 的方程为 y=-x+20. 联立方程 y=-x+20 ， x 2 400 + y 2 300 =1 2 % % % 1 % % % & ， 整理得 7x 2 -160x+400=0 ， 解得 x 1 =20 ， x 2 = 20 7 ， ∴|CD|= 2 姨 · 20- 20 7 = 120 7 2 姨 ≈24 ， ∴t= 24 8 =3 h ， ∴ 轮船大约在当日上午 10 时离开观 测区域 . 阶段性练习卷 （六） 1. B 【解析】 椭圆的离心率 e= c a = 1 2 ， c 2 =a 2 -b 2 ， 化 简得 3a 2 =4b 2 ， 故选 B. 2. B 【解析】 设 m=1 ， n=-1 ， x 2 +y 2 =1 表示圆， 不一 定为椭圆 . 反之， 若方程表示椭圆， 则 mn<0. 故 “ mn<0 ” 是 “方程 mx 2 -ny 2 =1 表示椭圆” 的必要不充分条件 . 故选 B. 3. A 【解析 】 过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的焦点 F （ c ， 0 ） 的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦， 最短 弦长是 2b 2 a . 故选 A. 4. C 【解析】 设椭圆 C 的焦距为 2c ， 长轴长为 2a. 根据题意可得地球与太阳的最远距离为 a+c ， 最近距离 为 a-c ， 则 a+c a-c =姿 ， 解得 c a = 姿-1 姿+１ ， 即椭圆 C 的离心 率为 姿-1 姿+1 . 故选 C. 5. D 【解析】 由题意易知椭圆的短半轴长 b=4 ， 故 B 错误； ∵ 截面与底面所成的角为 兹=60° ， ∴ 椭圆的长轴长为 2a= 2×4 cos60° =16 ， 故 A 错误； ∴a=8 ， 又 ∵b=４ ， ∴c= a 2 -b 2 姨 = 64-16 姨 =4 3 姨 ， ∴e= c a = 4 3 姨 8 = 3 姨 2 ， 故 C 错误； 当以椭圆中心为原点 ， 椭圆的长轴所在直线为 x 轴， 短轴所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系时， 椭圆的方程为 x 2 64 + y 2 16 =1 ， 故 D 正确 . 故选 D. 6. A 【解析】 ∵ 过点 F 1 的直线 MF 1 是圆 F 2 的切线， MF 2 =c ， F 1 F 2 =2c ， ∴MF 1 = 3 姨 c. 由椭圆定义可得 MF 1 +MF 2 = 3 姨 c+c=2a ， 可得椭圆 的离心率 e= c a = 2 1+ 3 姨 = 3 姨 -1. 故选 A. 7. BC 【解析】 设 P （ x 0 ， y 0 ）， 由题意可知PF 1 1* ·PF 2 1* <0 ， 即PF 1 1* ·PF 2 1* = （ x 0 + 3 姨 ）（ x 0 - 3 姨 ） +y 2 0 =x 2 0 +y 2 0 -3<0. ∵ 点 P 在椭圆上， ∴y 2 0 =1- x 2 0 4 ， ∴x 2 0 + 1- x 2 0 4 4 , -3<0 ， 解 得 - 2 6 姨 3 <x 0 < 2 6 姨 3 ， 即 x 0 的 取 值 范 围 是 - 2 6 姨 3 ， 2 6 姨 3 4 , . 由 4 3 < 2 6 姨 3 < 5 3 ， ∴-1 ， 4 3 ∈ - 2 6 姨 3 ， 2 6 姨 3 4 , ， 故选 BC. 8. AB 【解析】 由题意有 Δ=4b 2 -4ac≥0 ， 由 b 2 =a 2 -c 2 ， 可得 a 2 -c 2 -ac≥0 ， 故 e 2 +e-1≤0 ， 解得 - 5 姨 -1 2 ≤ e≤ 5 姨 -1 2 ， 而 0<e<1 ， ∴0<e≤ 5 姨 -1 2 . 故选 AB. 9. 6 姨 3 【解析 】 依题意 ， 设椭圆中心在原点 O ， 焦点在 x 轴上， 方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ）， 椭圆的端点 为 A 1 （ -a ， 0 ）， A 2 （ a ， 0 ）， B 1 （ 0 ， -b ）， B 2 （ 0 ， b ） . 于是得 △B 2 A 1 A 2 是等腰三角形 ， ∠A 1 B 2 A 2 =120° ， ∠OA 2 B 2 =30° ， 而 OB 2 ⊥A 1 A 2 ， 则有 b a =tan30°= 3 姨 3 ， 离心率 e= 1- b a 4 , 2 姨 = 6 姨 3 ， ∴ 椭圆的离心率为 6 姨 3 . 10. - 3 4 【解析】 由题意知， A 1 （ -2 ， 0 ）， A 2 （ 2 ， 0 ） . 设 P （ x 0 ， y 0 ）， 则 k 1 · k 2 = y 0 x 0 +2 · y 0 x 0 -2 = y 2 0 x 2 0 -4 . ∵ 点 P 在椭圆 C 上， 即 y 2 0 = 3 4 （ 4-x 2 0 ）， ∴k 1 · k 2 =- 3 4 . 11. ［ 2 ， 2 2 姨 ） 【解析】 由 C ： x 2 2 +y 2 =1 可得 a= x y O A B C D 北 第 15 题答图 101 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 2 姨 ， c=1. ∵ 点 P （ x 0 ， y 0 ） 满足 0< x 2 0 2 +y 2 0 <1 ， ∴ 点 P 在椭圆内部， 且与原点不重合 . ∵ 当点 P 在椭圆上时， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜=2a=2 2 姨 ， 而点 P 在椭圆内部， ∴｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜<2 2 姨 . ∴ 当点 P 在线段 F 1 F 2 上除原点时， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜ 最小， 最小值为 2c=2 ， 当点 P 不在线段 F 1 F 2 上时， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜>｜F 1 F 2 ｜=2c=2 ， ∴ ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜≥2 ， 则 ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜ 的取值范围为 ［ 2 ， 2 2 姨 ） . * 12. x 2 +y 2 ＝4 【解析 】 如图 ， 延 长 F 1 D ， F 2 A 交于点 B ， 易证 Rt△ABD≌ Rt△AF 1 D ， 则 |F 1 D |＝|BD | ， | F 1 A |＝ |AB | . 又 ∵O 为 F 1 F 2 的中点 ， 连接 OD ， 则 OD∥F 2 B ， 从而可知 |OD |＝ 1 2 |F 2 B|＝ 1 2 （ |AF 1 |+|AF 2 | ） ＝2. 设点 D 的坐标为 （ x ， y ）， 则 x 2 +y 2 ＝4. 13. 解 ： （ 1 ） 由 ｜s ｜+ ｜t ｜=2 2 姨 得 x 2 + （y+1 ） 2 姨 + x 2 + （ y-1 ） 2 姨 =2 2 姨 . 由椭圆定义知， 点 M （ x ， y ） 是以 （ 0 ， -1 ）， （ 0 ， 1 ） 为焦点， 长轴为 2 2 姨 的椭圆， ∴ 点 M （ x ， y ） 的轨迹 C 的方程为 x 2 + y 2 2 =1. （ 2 ） 设 P （ x ， y ）， 则 ｜PA｜= （ x-a ） 2 +y 2 姨 = （ x-a ） 2 +2-2x 2 姨 = -x 2 -2ax+a 2 +2 姨 = - （ x+a ） 2 +2a 2 +2 姨 （ -1≤x≤1 ） . 当 0<a≤1 时， 则 x=-a 时， ｜PA｜ max = 2a 2 +2 姨 ； 当 a>1 时， 函数 y= - （ x+a ） 2 +2a 2 +2 姨 在 ［ -1 ， 1 ］ 上 为减函数， ∴ 当 x=-1 时， ｜PA｜ max =a+1. 综上， d （ a ） = 2a 2 +2 姨 ， a∈ （ 0 ， 1 ］， a+1 ， a∈ （ 1 ， +∞ ） ） . * 14. 解： （ 1 ） 由已知 e= c a = 2 姨 2 ， 即 c 2 = 1 2 a 2 ， b 2 =a 2 -c 2 = 1 2 a 2 ， 将 P （ - 2 姨 ， 1 ） 代入椭圆方程， 得 2 a 2 + 1 b 2 =1 ， ∴a 2 =4 ， ∴b 2 =2 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 4 + y 2 2 =1. （ 2 ） 椭圆 C 上存在两点 A ， B 关于直线 y=kx+1 对称 . 设 A （ x 1 ， y 1 ） ， B （ x 2 ， y 2 ） （ y 1 ≠y 2 ） ， AB 的中点为 （ x 0 ， y 0 ）， 易知直线 y=kx+1 （ k≠0 ） 恒过点 （ 0 ， 1 ）， 则 x 2 1 + （ y 1 -1 ） 2 =x 2 2 + （ y 2 -1 ） 2 . ∵ 点 A ， B 在椭圆上， ∴x 2 1 =4-2y 2 1 ， x 2 2 =4-2y 2 2 ， ∴ 4-2y 2 1 + （ y 1 -1 ） 2 =4-2y 2 2 + （ y 2 -1 ） 2 ， 化简得 y 2 1 -y 2 2 = -2 （ y 1 -y 2 ）， 即 y 1 +y 2 =-2 ， ∴ y 0 = y 1 +y 2 2 =-1. 又 ∵AB 的中点在 y=kx+1 上， ∴y 0 =kx 0 +1 ， x 0 =- 2 k . 由 x 2 +2y 2 =4 ， y=-1 ） ， 可得 x=± 2 姨 ， ∴0<- 2 k < 2 姨 或 - 2 姨 <- 2 k <0 ， 即 k<- 2 姨 或 k> 2 姨 ， 则 k 的取值范围是 （ -∞ ， - 2 姨 ） ∪ （ 2 姨 ， +∞ ） . 15. 解： （ 1 ） ∵ c a = 6 姨 3 ， 且 c= 2 姨 ， a= 3 姨 ， b= a 2 -c 2 姨 =1 ， ∴ 椭圆 C 的方程为 x 2 3 +y 2 =1. （ 2 ） 由题意知 P（0 ， t ） （ -1<t<1 ）， 由 y=t ， x 2 3 +y 2 = = . . . - . . . / 1 得 x =± 3 （ 1-t 2 ） 姨 ， ∴ 圆 P 的 半 径 为 3 （ 1-t 2 ） 姨 =｜t ｜ ， 解 得 t =± 3 姨 2 ， ∴ 点 P 的 坐 标 是 0 ， ± 3 姨 2 2 1 . （ 3 ） 由 （ 2 ） 知， 圆 P 的方程为 x 2 + （ y-t ） 2 =3 （ 1-t 2 ） . ∵ 点 Q （ x ， y ） 在圆 P 上， ∴y=t± 3 （ 1-t 2 ） -x 2 姨 ≤t+ 3 （ 1-t 2 ） 姨 . 设 t =cos兹 ， 兹∈ （ 0 ， 仔 ） ， 则 t + 3 （ 1-t 2 ） 姨 =cos兹 + 3 姨 sin兹=2sin 兹+ 仔 6 2 6 ， 当 兹＝ 仔 3 ， 即 t= 1 2 ， 且 x=0 时， y 取最大值 2. 2.6 双曲线及其方程 2.6.1 双曲线的标准方程 学习手册 变式训练 1 D 【解析 】 根据两点间距离公式可知 ， （ x+2 ） 2 +y 2 姨 - （ x-2 ） 2 +y 2 姨 =2 表示动点 P （ x ， y ） 到两定点 F 1 （ -2 ， 0 ）， F 2 （ 2 ， 0 ） 的距离之差等于 2 ， 而 2<｜F 1 F 2 ｜=4 ， 由双曲线的定义， 知动点 P 的轨迹是双曲线的右支 . 故选 D. 变式训练 2 解： （ 1 ） ∵ 焦点在 x 轴上， 可设双曲线的 标准方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 （ a>0 ， b>0 ） . 将点 P（4 ， -2 ） 和 Q（2 6 姨 ， 2 2 姨 ） 代入方程得 16 a 2 - 4 b 2 =1 ， 24 a 2 - 8 b 2 =1 = . . . . - . . . . / ， 解得 a 2 =8 ， b 2 =4 ， ∴ 双曲线的标准方程为 x 2 8 - y 2 4 =1. x y O F 2 A B D F 1 第 12 题答图 102 第二章 平面解析几何 练 一、 单项选择题： 本题共 6 小题， 在每小题 给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的 . 1. 已知椭圆 x 2 a 2 ＋ y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的离心 率为 1 2 ， 则 （ ） A. a 2 =2b 2 B. 3a 2 =4b 2 C. a=2b D. 3a=4b 2. “ mn<0 ” 是 “方程 mx 2 -ny 2 =1 表示椭 圆” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 过椭圆 x 2 a 2 ＋ y 2 b 2 = 1 （ a> b > 0 ）的焦点 F （ c ， 0 ） 的弦中最短弦长是 （ ） A. 2b 2 a B. 2a 2 b C. 2c 2 a D. 2c 2 b 4. 著名的天文学家、 数学家约翰尼斯·开 普勒 （ Johannes Kepler ） 发现了行星运动三 大定律， 其中开普勒第一定律又称为轨道定 律， 即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆， 且太阳处在椭圆的一个焦点上 . 记地球绕太阳 运动的轨道为椭圆 C ， 在地球绕太阳运动的 过程中， 若地球与太阳的最远距离与最近距 离之比为 姿 ， 则椭圆 C 的离心率为 （ ） A. 姿 2 -1 姿 2 +1 B. 姿-1 姿+1 姨 C. 姿-1 姿+1 D. 姿 姨 -1 姿 姨 +1 5. 如图所示 ， 一 个底面半径为 4 的圆 柱被与其底面所成的 角 兹＝60° 的平面所截， 截面是一个椭圆， 则下列说法正确的是 （ ） A. 椭圆的长轴长为 8 B. 椭圆的短轴长为 4 C. 椭圆的离心率为 1 2 D. 椭圆的一个方程可能为 x 2 64 + y 2 16 =1 6. 如图， 已知 F 1 ， F 2 分别是椭圆的左 、 右焦 点， 现以 F 2 为圆心作一 个圆恰好经过椭圆的中 心并且交椭圆于点 M ， N. 若过点 F 1 的直线 MF 1 是圆 F 2 的切线， 则椭 圆的离心率为 （ ） A. 3 姨 -1 B. 2- 3 姨 C. 2 姨 2 D. 3 姨 2 二、 多项选择题： 本题共 2 小题， 在每小题 给出的四个选项中， 有多项符合题目要求 . 7. 已知点 P 是椭圆 x 2 4 +y 2 =1 上的一点， F 1 ， F 2 是椭圆的两个焦点， 则当 ∠F 1 PF 2 为钝 角时， 点 P 的横坐标可以为 （ ） A. -2 B. -1 C. 4 3 D. 5 3 8. 已知 a ， b ， c 分别是椭圆 E 的长半轴 长、 短半轴长和半焦距长， 若关于 x 的方程 阶段性练习卷 （六） 兹 第 5 题图 x y O M N F 1 F 2 第 6 题图 67 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 ax 2 +2bx+c=0 有实根， 则椭圆 E 的离心率 e 可能是 （ ） A. 5 姨 -1 2 B. 3 5 C. 3 4 D. 3 姨 2 三、 填空题： 本题共 4 小题 . 9. 椭圆短轴的一个端点与长轴两端点的 连线成 120° 角， 则椭圆的离心率为 . 10. 椭圆 C ： x 2 4 + y 2 3 =1 的左、 右顶点分 别为 A 1 ， A 2 ， 点 P 为曲线 C 上异于 A 1 ， A 2 的一点 ， 直线 PA 1 ， PA 2 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， 则 k 1 · k 2 = . 11. 已知椭圆 C ： x 2 2 +y 2 =1 的两焦点为 F 1 ， F 2 ， 点 P （ x 0 ， y 0 ） 满足 0< x 2 0 2 +y 2 0 <1 ， 则 |PF 1 |+|PF 2 | 的取值范围为 . * 12. 设 F 1 ， F 2 为椭圆 x 2 4 + y 2 3 =1 的左、 右 焦点， A 为椭圆上任意一点， 过焦点 F 1 向 ∠F 1 AF 2 的外角平分线作垂线 ， 垂足为 D ， 则点 D 的轨迹方程是 . 四、 解答题： 本题共 3 小题， 解答应写出文 字说明、 证明过程或演算步骤 . 13. 设向量 s= （ x ， y+1 ）， t= （ y-1 ， x ）， （ x ， y∈R ） 满足 |s|+|t|=2 2 姨 . （ 1 ） 求点 M （ x ， y ） 的轨迹 C 的方程； （ 2 ） 设 A （ a ， 0 ） （ a>0 ）， P 为曲线 C 上 任意一点， 求 A 到点 P 距离的最大值 d （ a ） . * 14. 已知椭圆 C ： x 2 a 2 ＋ y 2 b 2 =1 （ a>b>0 ） 的 离心率 e= 2 姨 2 ， 点 P （ - 2 姨 ， 1 ） 在该椭 圆上 . （ 1 ） 求椭圆 C 的方程 . （ 2 ） 椭圆 C 上是否存在两点 A ， B 关于 直线 y=kx+1 对称？ 若存在， 请求出实数 k 的取值范围； 若不存在， 请说明理由 . 15. 已知椭圆 C 的左、 右焦点坐标分别 是 （ - 2 姨 ， 0 ）， （ 2 姨 ， 0 ）， 离心率是 6 姨 3 ， 直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M ， N ， 以线段 MN 为直径作圆 P, 圆心为 P. （ 1 ） 求椭圆 C 的方程； （ 2 ） 若圆 P 与 x 轴相切 ， 求圆心 P 的 坐标； （ 3 ） 设 Q （ x ， y ） 是圆 P 上的动点， 当 t 变化时， 求 y 的最大值 . 68