1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步练习（人教B版）

第一章 空间向量与立体几何 练 效 果 评 价 1. 已知 a= （ 1 ， -2 ， 1 ）， a-b= （ -1 ， 2 ， -1 ）， 则 b= （ ） A. （ 2 ， -4 ， 2 ） B. （ -2 ， 4 ， -2 ） C. （ -2 ， 0 ， -2 ） D. （ 2 ， 1 ， -3 ） 2. 与 A （ 3 ， 4 ， 5 ）， B （ -2 ， 3 ， 0 ） 两点 距离相等的点 M （ x ， y ， z ） 满足的条件是 （ ） A. 10x+2y+10z-37=0 B. 5x-y+5z-37=0 C. 10x-y+10z+37=0 D. 10x-2y+10z+37=0 3. 已知向量 a= （ 2 ， 3 ）， b= （ k ， 1 ）， 若 a+2b 与 a-b 平行， 则 k 的值是 （ ） A. -6 B. - 2 3 C. 2 3 D. 14 4. 若向量 a= （ 1 ， λ ， 2 ）， b= （ 2 ， -1 ， 2 ）， 且 a 与 b 夹角的余弦值为 8 9 ， 则 λ= （ ） A. 2 B. -2 C. -2 或 2 55 D. 2 或 - 2 55 5. 已知点 A （ 1 ， a ， -5 ）， B （ 2a ， -7 ， -2 ）， 则 |AB| 的最小值为 （ ） A. 3 3 姨 B. 3 6 姨 C. 2 3 姨 D. 2 6 姨 6. 已知 a= （ 1 ， x ， 3 ）， b= （ -2 ， 4 ， y ）， 若 a∥b ， 则 x-y=________. 7. 已知 2a+b= （ 0 ， -5 ， 10 ）， c= （ 1 ， -2 ， -2 ）， a · c=4 ， |b|=12 ， 则 〈 b ， c 〉 = . ８. 在空间直角坐标系中， 以 O （ 0 ， 0 ， 0 ）， A （ 2 ， 0 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 ， 0 ）， C （ 0 ， 0 ， 2 ） 为 一个三棱锥的顶点， 则此三棱锥的表面积为 . ９. 已知 A （ 1 ， 0 ， 0 ） ， B （ 0 ， -1 ， 1 ） ， O （ 0 ， 0 ， 0 ）， O O$ A +λO O$ B 与 O O$ B 的夹角为 120° ， 求 λ 的值 . 10. （ 1 ） 已知向量 a= （ 2 ， 4 ， 5 ）， b= （ 3 ， x ， y ）， 若 a∥b ， 求 x ， y 的值； （ 2 ） 求与向量 （ -3 ， -4 ， 5 ） 共线的单 位向量 . 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 7 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 练 提 升 练 习 11. 已知点 A （ 1 ， -2 ， 11 ）， B （ 4 ， 2 ， 3 ）， C （ 6 ， -1 ， 4 ）， 则 △ABC 的形状是 （ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 12. 已知向量 a= （ 1 ， 2 ， 3 ）， b= （ -2 ， -4 ， -6 ）， |c|= 14 姨 ， 若 （ a+b ）· c=7 ， 则 a 与 c 的 夹角为 （ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 13. 已知点 A （ 1 ， 2 ， 3 ）， B （ 2 ， 1 ， 2 ）， P （ 1 ， 1 ， 2 ）， O （ 0 ， 0 ， 0 ）， 点 Q 在直线 OP 上运动， Q Q$ A · Q Q$ B 的最小值为 ， 此 时点 Q 的坐标为 . 14. 若 A Q$ B = （ -4 ， 6 ， -1 ）， A Q$ C = （ 4 ， 3 ， -2 ） ， |a |=1 ， 且 a⊥A Q$ B ， a⊥A Q$ C ， 则 a= . * 15. 在正三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， 平面 ABC 和平面 A 1 B 1 C 1 为正三角形， 所有的棱 长都是 2 ， M 是 BC 边的中点， 则在棱 CC 1 上是否存在点 N ， 使得异面直线 AB 1 和 MN 所夹的角等于 45° ？ 8 参考答案。 1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 =V3, 学习手册 “线段BN的长为V3, 变式训练1解：AB=(2,6,-3).AC=(-4,3,1), (2)依题意得A(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1, AB-AC=(6,3,-4). 0),B(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB=(01,2) 00㎡-=6.3.4加3，是，-2 ÷BA1CB=1×0+(-1)×1+2x2=3. 又：B=V6,1CB=V5,cos(BA.CB)= 则点P的坐标为3，号，-2列 BA·CB=V0,即Bm与CB夹角的余弦值为V3D (2)设点P的坐标为(x,y,),则AF=(x-2,y+ BA IICB 10 10 1,-2). 随堂练习 产店-C=3,多，-2. 1.B【解析】3a+h=3(1,1,0)+(-1,0,2)=(3,3, 0)+(-1,0,2)=(2,3,2).故选B. x-2-3, x=5, 2.B【解析】P(1,3,-5)关于平面x0y对称的点 4号，即分期点P的坐标为5。分0 的坐标为(1,3,5).故选B. z-2=-2 0, 3.B【解折】m=V9 变式训练2解：a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2). 设c=(x,y,)· 4.了【解析】由于6a+b=1,1,0)+(-1,0,2) x2+y242-9, x=2,x=-2, (k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2. 由题意得x+=0, 解得y=-2,或=2， -2),:两向量互相垂直，则有(k-1)×3+k×2+2×(-2)=0, -x+2z=0, =1z=-1. 解得太=子 即c=(2,-2,1)或c=(-2,2.-1) 变式训练3解：a=AB=(1,1,0).b-AC=(-1,0.2). 5.120°【解析】由于AB=(-2,-1,3),CA=(-1. ka-b=(k+1,素，-2)，ka+2h=(k-2,k,4). 3,-2),AB.C=(-2)×(-1)+(-1)x3+3x(-2)=-7. (ka-b)⊥(ka+2b),∴(ka-b)(ka+2h)=0,即(k+1, ABI=V14,ICA'l=V14,.'.cos0=cos(AB,CA')= k,-2)·(k-2,k,4)=(k+1)(k-2)+2-8=0,解得k=-2 AB.CA' 或=子故所求：的值为-2或号 品哥Vm士r 变式训练4解：如图所示，分 练习手册 别以AB,AD,AA,所在的直线 效果评价 B 为x轴、y轴、：轴建立空间直 1.A【解析】b=a-(a-b)=(1,-2,1)-(-1,2,-1) 角坐标系.由题意可知C(3,3, D =(2,-4,2).故选A. 0),D(0,3,0),DD,=CC= 2.A【解析】由MA=HMB,得(x-3)2+(0-4)2+(-5) HAl=2,C(3,3,2),D(0, 变式训练4答图 (x+2)2+(0y-3)2+2,化简得10x+2y+10z-37=0,故选A. 3,2),N为CD,的中点，W3,3.1小M是A,G 3.C【解析】由题意得a+2h=(2+2k,5),且a-b= (2-,2),又a+2b和a-b平行，则2(2+2h)-5(2-k)= 的三等分点且靠近A点，M1,1,2.3,2 0,解得=子.故选C 3 wV22:7 4.C【解析】由cos(a,b=ab=2-A+4 8 lallbl 5+.V9 9' 变式训练5解：如图所示，以CA, 解得小=-2或入忌故选C CB,CC为正交基底建立空间直角 坐标系C-x 5.B【解析】MB=V(2-1)+(-7-a)4(-2+5了 (1)依题意得B(0,1,0) =V5r+10a+59=V5(a+1)+54, N(1,0,1) 当a=-1时，MB1m=V54=3V6.故选B. BN=V(1-04(0-1+(1-0乎 变式训练5答图 6.4【解析】a∥b,,b=a, 27 高中数学选择性必修第一册（人教B版）精编版 A=-2, A=-2. A,2A),故Q(A,X,2A),.QA=(1-A,2-A,3- x入=4，，∴，=-2，，-y=4 2A).QB=(2-A,1-A,2-2A),÷04.0B=6A2-16A+10 3A=y,y=6, 7.2π【解析】(2a+b)c=2ac+hc=-10.又a-c=4. 6A号号，00丽的最小值为-号，此时A=等 3 .bc=-18.cl=3,bl=12..cos(b.c)=bc 0点的坐标为号，号，受 b.c)et.w]..(b.c) 4层告或房音 8.6+2V3【解析】如图， a.AB=0. SM-S.m-wx2x2-2.SM- 【解析】设a=(x,y,z),由题意有aAC=0, lal=1. V3xAB=Y3x8=2V3.故 3 3 4 4 13 x13 三棱锥的表面积S=6+2V3. 第8题容图 4 4 代人坐标可解得3，或)-日 9.解：01=(1,0,0)，0B=(0.-1,1),.0A+ 12 A0B=(1.-A,A).(0A+A0B)0B=A+A=2A. 10A'+AOB=VI++A=V1+2,I0B=V2. "15.解：以点A为原点，建立 如图所示的空间直角坐标系A, cos120=0I+A0B)-0呢。21 由题意知A(0,0,0),C(0 10A+A0BI0B1V2V1+2x2' 2,0),B(V3,1,0),B(V3, 石又 V2V1+2m0,即A0,A-V6 6 1,2), ,多， 10.解：(1)a∥b,.存在实数A,使a=Ab, 又：点N在CC,上，可设N(O, 第15题答图 2=3入， 2,m)(0≤m≤2)，则AB,=(V3,1,2),M= ∴.(2.4,5)=A(3,x,y),4=Ax,x=6, 5=λy, 号.m,M2V2,ev AB,·MN=2m-1.如果异面直线AB,和MN所夹的角等于 (2)向量(-3，-4,5)的模为V(-3)+(-4)45= 45°，那么向量AB,和MN的夹角等于45或135°. 5V2,与向量(-3，-4,5)共线的单位向量为 24=语4列品 又cos(AB.MN)=AB·Mm.2m- B IIMNI 2V2xVm+T' 10 2.竖30.22，竖 2V生学，期a=子这与0sn≤ 5 提升练习 2矛盾，∴.在CC,上不存在点N,使得异面直线AB,和 MN所夹的角等于45° 11.C【解析】AB=(3,4,-8),AC=(5,1,-7), BC=(2.-3,1).lAB=V3+4+8=V89.1AC= 一1.2空间向量在立体几何中的应用 V5+147=V75.IBCEV243+T=V14,.CPHBCP= 1.2.1空间中的点、直线与空间向量 75+14-89=ABP,△ABC为直角三角形.故选C 学习手册 12.C【解析】a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)c= 变式训练1解：(1)由已知，得P阳=24P, ac=7,得ac=-7,而lal=V+2+3=V14,∴.cos(a, e品=分，a,c-120,放选C 即0-0亦-20示-0).0示=号+}0丽 设点P坐标为(x,y,),则上式换用坐标表示， 13.-号（学，号，号）【解折1设00=A0丽=d,得x,)号2,40+号1,3,3 28