专题课 求轨迹方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 在 2.4 节的基础上进一步掌握求轨迹 方程的方法： 参数法和交轨法 . 2. 理解解析几何的思想： 用点的坐标和 曲线方程来刻画几何对象 . 要 点 精 析 要点 1 参数法求轨迹方程 在 2.4 节我们学习了用直接法、 定义法 及相关点法求轨迹方程的方法， 但仅有这些 方法还不能够解决所有的求轨迹方程的问 题， 这节课就学习两种新的方法 . 那么什么 叫参数呢？ 1. 参数的定义 一般地， 在取定的坐标系中， 如果曲线 上任意一点的横、 纵坐标 x ， y 都是某个变 数 t 的函数， 即 x=f （ t ）， y=g （ t ） ） ， ① 并且对于 t 的每一个允许值， 由上面方 程组 ① 所确定的点 M （ x ， y ） 都在这条曲线 上， 那么方程组 ① 就称为这条曲线的参数方 程 . 联系 x ， y 之间关系的变数称为参变量， 简称参数 . 2. 参数的选择 参数方程中的参数可以是有物理、 几何 意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数 . 相对于参数方程来说， 前面学过的直接 给出曲线上点的坐标关系的方程， 称为曲线 的普通方程 . 我们通常所求的轨迹方程是指 普通方程 . 3. 将参数方程转化为普通方程 参数方程和普通方程是曲线方程的不同 形式， 它们都表示曲线上点的坐标之间的关 系 . 一般情况下， 我们可以通过消去参数方 程中的参数， 得出直接表示 x ， y 之间关系 的普通方程 . 如把参数方程 x=acos准 ， y=bsin ） 准 （ a>b>0 ） 化 成普通方程 . 解： 分别将两方程变形得 x a =cos准 ， y b =sin准 准 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， 再 将两方程的两边平方后相加， 得 x 2 a 2 + y 2 b 2 =cos 2 准+sin 2 准 ， 即 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ， 这是中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆方程 . 例 1 设椭圆方程为 x 2 + y 2 4 =1 ， 过 M （ 0 ， 1 ） 的直线 l 交椭圆于点 A ， B ， 点 P 满足 O &' P = 1 2 （ O &' A +O &' B ）， 求动点 P 的轨迹方程 . 解析： 设动点 P （ x ， y ）， 设直线的斜率 k 为参数， 将动点 P 的横、 纵坐标都用 k 表 示， 得到 x=f （ k ）， y=g （ k ） ） 的参数方程， 然后消去参 数 k ， 得到 P 点的横、 纵坐标 x 与 y 的等量 专题课 求轨迹方程 114 第二章 平面解析几何 学 关系式即为所求 . 解： ① 当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y=kx+1 ， 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立 x 2 + y 2 4 =1 ， y=kx+1 1 # # # # " # # # # $ ， 消去 y ， 得 （ 4+k 2 ） x 2 + 2kx-3=0 ， ∴x 1 +x 2 =- 2k 4+k 2 ， y 1 +y 2 =k （ x 1 +x 2 ） +2= 8 4+k 2 . 由 O %& P = 1 2 （ O %& A +O %& B ）， 得 （ x ， y ） = 1 2 （ x 1 + x 2 ， y 1 +y 2 ） ， 即 x= x 1 +x 2 2 =- k 4+k 2 ， y= y 1 +y 2 2 = 4 4+k 2 1 # # # # # # " # # # # # # $ ， 消去 k 得 4x 2 +y 2 -y=0. ② 当斜率不存在时， AB 的中点为坐标 原点， 也适合方程 . 综上所述， 动点 P 的轨迹方程为 4x 2 +y 2 - y=0. 变式训练 1 过抛物线 y 2 =2px （ p>0 ） 的顶点作两条 互相垂直的弦 OA ， OB ， 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 . 要点 2 交轨法 交轨法即是求满足条件的两条动直线的 交点轨迹 . 我们可以联想求两条定直线交点 的方法： 联立两条动直线方程， 解方程组求 得交点坐标 . 由于交点是两条动直线的交点， 所以交点的横、 纵坐标都可以用参数表示， 最后消去参数得到普通方程即为交点的轨迹 方程 . 例 2 已知 P （ -2 ， 2 ）， Q （ 0 ， 2 ） 两点， 直线 l ： y=x ， 设长为 2 姨 的线段 AB 在 l 上 移动， 求直线 PA 和直线 QB 的交点 M 的轨 迹方程 . 解析： 由 A ， B 两点在同一条直线上， 且知道二者之间的长度， 找到参数后， 可以 将两个点的坐标建立某种联系 . 解： 由点 A ， B 在直线 l ： y=x 上且长为 2 姨 ， 可设 A （ t ， t ）， B （ t+1 ， t+1 ）， 由 P （ -2 ， 2 ）， Q （ 0 ， 2 ）， 可得直线 PA 的方程为 y-2= t-2 t+2 （ x+2 ） （ t≠-2 ）， ① 直线 QB 的方程为 y-2= t-1 t+1 x （ t≠-1 ） . ② 由 ①② 两式消去 t ， 得 x 2 -y 2 +2x-2y+8=0. 经检验， 当 t=-2 ， t=-1 时， 直线 PA 和 直线 QB 的交点 M 也符合上式， ∴ 点 M 的轨 迹方程为 x 2 -y 2 +2x-2y+8=0. 变式训练 2 如图 Z-1 ， 动圆 C 1 ： x 2 +y 2 =t 2 （ 1<t<3 ） 与 椭圆 C 2 ： x 2 9 +y 2 =1 相交于 A ， B ， C ， D 四点， 点 A 1 ， A 2 分别为 C 2 的左、 右顶点 . 求直线 AA 1 与直线 A 2 B 的交点 M 的轨迹方程 . x y O A 2 A B C D A 1 图 Z-1 115 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 由上面的例题我们看到， 参数可以是斜率、 横、 纵坐标等， 同学们 可以通过解题实践加以总结 . 数 学 文 化 前面我们所研究过的曲线方程 F （ x ， y ） =0 ， 都是表示曲线上任意一点 x ， y 之间的 直接关系的 . 但是在解决某些问题时， 对于 曲线上任意点， 它们的坐标 x ， y 的这种关 系往往不容易被发现， 而通过另一个变数间 接地表示 x ， y 之间的关系却比较方便 . 下面 我们看一个例子 . 例 设炮弹的发射角为 琢 ， 发射的初速度 为 v 0 ， 求弹道曲线的方程 （不计空气阻力） . 分析 弹道曲线是炮弹飞行的轨迹， 它上面的各个点都表示炮弹发射后某个时 刻的位置， 当这个时刻确定后， 炮弹的位 置就确定了 . 解： 取炮口为原点， 水平方向为 x 轴， 建立平面直角坐标系 . 设炮弹发射后的位 置在点 M （ x ， y ）， 由物理学知识可以得到 x=v 0 cos琢 · t ， y=v 0 sin琢 · t- 1 2 gt 2 2 # # # # " # # # # $ ， ①g 是重力加速度 . 这里 琢 ， v 0 和 g 都是常数， 当 t 取某一 个允许值时， 由方程组 ① 就可以确定当时炮 弹所在的位置 . 这就是说， 当 t 确定后， 点 M （ x ， y ） 的位置也就随着确定了 . 116 参 考 答 案 y 2 ｜ ， ∴S △OAB = 1 2 ×1× （ y 1 +y 2 ） 2 -4y 1 y 2 姨 = 1 2 - 1 k # $ 2 +4 姨 = 10 姨 ， ∴k=± 1 6 . 14. 解： （ 1 ） 设切线方程为 y=kx-4 ， 代入 x 2 =4y 得 x 2 -4kx+16=0. ∵ 相切， ∴Δ=16k 2 -64=0 ， ∴k=±2 ， ∴ 切线方程为 y= ±2x-4. （ 2 ） 设 A （ x 1 ， y 1 ）， C （ x 2 ， y 2 ） ． 由题意知， 直线 AC 的斜率 k 存在， 由对称性， 不妨设 k>0． ∵ 直线 AC 过焦点 F （ 0 ， 1 ）， ∴ 直线 AC 的方程为 y= kx+1． 联立 y=kx+1 ， x 2 =4y y ， 得 x 2 -4kx-4=0. 由根与系数的关系知 x 1 +x 2 =4k ， x 1 x 2 =-4 y ， ｜AC｜= （ x 1 -x 2 ） 2 + （ y 1 -y 2 ） 2 姨 = 1+k 2 姨 （ x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 x 2 姨 =4 （ 1+k 2 ） . ∵AC⊥BD ， ∴BD 的斜率为 - 1 k ， 从而 BD 的方程为 y=- 1 k x+1． 同理可求得 ｜BD｜=4 1+ - 1 k # k 2 2 ) = 4 （ 1+k 2 ） k 2 . S ABCD = 1 2 ｜AC｜｜BD｜＝ 8 （ 1+k 2 ） 2 k 2 =8 k 2 +2+ 1 k 2 2 k ≥32. 当且仅当 k 2 = 1 k 2 ， 即 k=1 时， 等号成立 . ∴ 四边形 ABCD 面积的最小值为 32． 15. （ 1 ） 证明： 易知点 P 在抛物线 C 上， 设 PA 的 斜率为 k ， 则直线 PA 的方程是 y-4=k （ x-2 ）， 代入 y=- 1 2 x 2 +6 并整理得 x 2 +2kx-4 （ k+1 ） =0 ， 此时 方程应有根 x A 及 2. 由韦达定理得 2x A =-4 （ k+1 ）， ∴x A =-2 （ k+1 ）， ∴y A = k （ x A -2 ） +4=-2k 2 -4k+4 ， ∴A （ -2 （ k+1 ）， -2k 2 -4k+4 ） . 由于 PA 与 PB 的倾斜角互补， 故 PB 的斜率为 -k ， 用 -k 替换 k 可得 B （ -2 （ -k+1 ）， -2k 2 +4k+4 ）， ∴k AB =2. （ 2 ） 解 ： ∵AB 的方程为 y=2x+b ， b>0 ， 代入方程 y=- 1 2 x 2 +6 ， 消去 y 得 1 2 x 2 +2x+b-6=0 ， 即 x 2 +4x+2b-12= 0 ， ∴|AB|= （ 1+2 2 ）［（ -4 ） 2 -4 （ 2b-12 ）］ 姨 =2 5 （ 16-2b ） 姨 ， ∴S= 1 2 |AB|d= 1 2 ×2 5 （ 16-2b ） 姨 × b 5 姨 = （ 16-2b ）· b 2 姨 = （ 16-2b ）· b · b 姨 ≤ 16-2b+b+b 3 2 k 3 姨 = 64 3 姨 9 . 当且仅当 16-2b=b ， 即 b= 16 3 时取等号， ∴AB 的方 程为 y=2x+ 16 3 ， ∴△PAB 面积的最大值为 64 3 姨 9 . * 16. 解： （ 1 ） 由准线方程为 x=-1 知， p 2 =1 ， 故 p=2. （ 2 ） 由 （ 1 ） 知， 抛物线方程为 y 2 =4x. 设直线 l 的方程为 x=my+1 ， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立方程 x=my+1 ， y 2 =4x y ， 化简得 y 2 -4my-4=0 ， 则 y 1 +y 2 =4m ， y 1 y 2 =-4. 由线段 AB 的中点为 M ， 知 x M = x 1 +x 2 2 ， y M = y 1 +y 2 2 ， k OM = y M x M = y 1 +y 2 x 1 +x 2 = 2 姨 2 ， 代入韦达定理知， 4m m×４m+2 = 2 姨 2 ， 解得 m= 2 姨 2 ， 故直线 l 的方程 为 2 姨 x-y- 2 姨 =0. ∴｜AB ｜= 1+ 1 k 2 姨 · （ y 1 +y 2 ） 2 -4y 1 · y 2 姨 = 1+ 1 （ 2 姨 ） 2 姨 · （ 2 2 姨 ） 2 -4× （ -4 ） 姨 =6 ， 原点 O 到直线 l 的距离为 d= 2 姨 （ 2 姨 ） 2 + （ -1 ） 2 姨 = 6 姨 3 ， 因此 △OAB 的面积 S △OAB = 1 2 ｜AB｜×d= 1 2 ×6× 6 姨 3 = 6 姨 . 专题课 求轨迹方程 学习手册 变式训练 1 解 ： 方法一 ： 设直线 OA 的方程为 y=kx （ k≠0 ）， 联立 y=kx ， y 2 =2px y ， 得 A 点坐标为 2p k 2 ， 2p k 2 k . ∵OA⊥OB ， ∴ 直线 OB 的方程为 y=- 1 k x ， 同理可求 出 B 点坐标为 （ 2pk 2 ， -2pk ） . 设 AB 中 点 为 M （ x ， y ） ， 则 x= 1 2 2p k 2 +2pk 2 k 2 ， y= 1 2 2p k -2p 2 k k k 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 即 x=p 1 k 2 +k 2 $ 2 ， y=p 1 k - 2 $ k k 0 0 0 0 / 0 0 0 0 1 ， 消去 k ， 得 y 2 =px-2p 2 . 方法二 ： 设 A （ 2pt 2 1 ， 2pt 1 ）， B （ 2pt 2 2 ， 2pt 2 ）， 则有 k OA · k OB = 2pt 1 2pt 2 1 · 2pt 2 2pt 2 2 = 1 t 1 t 2 =-1 ， 即 t 1 t 2 =-1. 设 M （ x ， y ）， 则 x=p （ t 2 1 +t 2 2 ）， y=p （ t 1 +t 2 ） y ， 把 t 1 t 2 =-1 代入， 消去 t 1 ， t 2 ， 得 y 2 =px-2p 2 . 变式训练 2 解： 设 A （ x 0 ， y 0 ）， B （ x 0 ， -y 0 ）， 由题意知 A 1 （ -3 ， 0 ）， A 2 （ 3 ， 0 ）， ∴ 直线 AA 1 的方程为 y= y 0 x 0 +3 （ x+3 ）， ① 115 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 直线 A 2 B 的方程为 y= -y 0 x 0 -3 （ x-3 ） . ② 由 ①×② 得 y 2 =- y 2 0 x 2 0 -9 （ x 2 -9 ） . ③ 又 ∵ 点 A （ x 0 ， y 0 ） 在椭圆 C 2 上， 故 x 2 0 9 +y 2 0 =1 ， ∴ y 2 0 x 2 0 -9 = - 1 9 ， 代入 ③ 得 y 2 = 1 9 （ x 2 -9 ） （ x<-3 ， y<0 ）， 即 x 2 9 -y 2 =1 （ x<-3 ， y<0 ）， ∴ 直线 AA 1 与直线 A 2 B 的交点 M 的轨迹方程为 x 2 9 - y 2 =1 （ x<-3 ， y<0 ） . 练习手册 效果评价 1. x 2 =4y （ x≠±4 ） 【解析】 设 M （ x ， y ）， 由题意得 y-4 x+4 - y-4 x-4 =-2 ， 化简得 x 2 =4y. 又 ∵x≠±4 ， ∴ 曲线 C 的轨 迹方程为 x 2 =4y （ x≠±4 ） . 2. y 2 =8x 【解析】 设圆心 C （ x ， y ）， 由动圆过定点 A （ 4 ， 0 ）， ∴r= （ x-4 ） 2 +y 2 姨 . 又 ∵ 圆在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8 ， ∴8=2 r 2 -x 2 姨 ， 代入化简， 得 y 2 =8x ， ∴ 动圆圆心的轨迹 C 的方程 为 y 2 =8x. 3. x- 1 2 2 $ 2 +y 2 = 1 4 【解析】 方法一： 抛物线的焦点 为 （ 1 ， 0 ）， 当 AB 斜率不存在时， AB 方程为 x=1 ， 点 M 的坐标与焦点重合， 即 M （ 1 ， 0 ） . 当 AB 斜率存在时， 设 AB 的方程为 y=k （ x-1 ） ① ， 由 OM⊥AB 可得 OM 的方程为 y=- x k ② ， ①② 两式相 乘消去 k ， 得 y 2 =-x （ x-1 ）， 即 x- 1 2 2 $ 2 +y 2 = 1 4 . 方法二： 此题也可以用定义法， ∵OM⊥AB ， ∴ O O( M·F O( M =0 ， ∴ 点 M 在以 O ， F 为直径的圆上 . 设 M （ x ， y ）， ∵F （ 1 ， 0 ）， O （ 0 ， 0 ）， ∴ 点 M 的轨迹 方程为（ x-1 ） x+y 2 =0 ， 即 x- 1 2 2 $ 2 +y 2 = 1 4 . 4. 解： 设 P （ x 0 ， y 0 ）， Q （ x 0 ， -y 0 ）， 由题意可得 A （ -3 ， 0 ）， B （ 3 ， 0 ）， ∴ 直线 PA 的方程为 y= y 0 x 0 +3 （ x+3 ）， ① 直线 QB 的方程为 y= -y 0 x 0 -3 （ x-3 ） . ② ①② 两式相乘得 y 2 = -y 2 0 x 2 0 -9 （ x 2 -9 ）， 又 ∵ 点 P 在椭圆上， 即 x 2 0 9 + y 2 0 4 =1 ， 消去参数得 x 2 9 - y 2 4 =1. 5. 解： 取 AB 所在直线为 x 轴， 从 A 到 B 为正方向， 以 AB 的中点为原点， 以 AB 的中垂线为 y 轴， 建立平面 直角坐标系， 则 A （ -a ， 0 ）， B （ a ， 0 ） . 设 P （ x ， y ）， 由 ｜PA｜ ｜PB｜ =2 ， 得 （ x+a ） 2 +y 2 姨 （ x-a） 2 +y 2 姨 =2 ， 化简整 理得 3x 2 +3y 2 -10ax+3a 2 =0 ， 即 x- 5 3 2 $ a 2 +y 2 = 16 9 a 2 ， ∴ 动点 P 的轨迹为以 C 5 3 a ， 2 $ 0 为圆心， 4 3 a 为半 径的圆 . 6. 解： 设 M （ x ， y ）， ∵ 点 B 在直线 l ： y=-1 上， ∴ 可设 B （ x 0 ， -1 ） . 由M O( B ∥ O O( A ， 得 x 0 =x ， ∴B （ x ， -１ ）， ∴ M O( A = （ -x ， 1-y ）， M O( B = （ 0 ， -1-y ）， A O( B = （ x ， -2 ） . 由M O( A·A O( B = M O( B·B O( A ， 得 （M O( A + M O( B ） ·A O( B =0 ， ∴ （ -x ， -2y ）·（ x ， -2 ） =0 ， 整理得 x 2 =4y ， ∴ 点 M 的轨迹方程为 x 2 =4y. 7. 解： 如图所示， ∵BE∥AC ， ∴∠ACD=∠EBD. ∵｜AC｜=｜AD｜ ， ∴∠ACD=∠ADC ， ∴∠EBD=∠ADC ， ∴｜EB｜=｜ED｜. ∵｜EA｜+｜ED｜=｜AD｜=4 ， ∴｜EA｜+｜EB｜= 4>｜AB｜ ， ∴ 点 E 的轨迹为以 A ， B 为焦点， 长半轴长为 2 的椭圆 . 又 ∵a=2 ， c=1 ， ∴b 2 =3 ， ∴ 椭圆的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ， 即点 E 的轨迹方程为 x 2 4 + y 2 3 =1. 8. 解： 设动圆 P 的圆心坐标为 （ x ， y ）， 半径为 r ， 由题意可得 ｜MP｜=r+1 ， ① ｜NP｜=3-r. ② 由 ①+② ， 得 ｜MP｜+｜NP｜=4 ， ∴ 点 P 的轨迹为以 M ， N 为焦点， 长半轴长为 2 的 椭圆 . 又 ∵a=2 ， c=1 ， ∴b 2 =3 ， ∴ 椭圆方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ， 即 曲线 C 的方程为 x 2 4 + y 2 3 =1. 9. 解： 由 OP⊥BC 可知 OP⊥AP ， ∴ 点 P 位于以 OA 为直径的圆上 . ∵A （ 4 ， 0 ）， O （ 0 ， 0 ）， ∴OA 的中点为 （ 2 ， 0 ）， ∴ 以 OA 为直径的圆的方程是（ x-2 ） 2 +y 2 =4. 由 x 2 +y 2 <4 ， （ x-2 ） 2 +y 2 =4 4 ， 得 x<1 ， ∴ 点 P 的轨迹方程为 （ x- 2 ） 2 +y 2 =4 （ x<1 ） . 10. 解： 设 l ： x=-1 与 x 轴的交点为 C ， ∵ 点 O 为 FC 的中点， x y E A B C D 第 7 题答图 116 参 考 答 案 且 OR∥PC ， ∴R 为线段 PF 的中点 . 又 ∵RQ⊥FP ， ∴ 直线 RQ 为 FP 的垂 直 平 分 线 ， ∴｜PQ ｜=｜QF ｜ ， 根据抛物线的定义得 Q 点在抛物线 y 2 = 4x 上 . 提升练习 11. 解 ： 如图 ， 从焦点 F 1 引 ∠F 1 PF 2 的外角平分线的垂线段 ， 延长垂线 F 1 Q 交 F 2 P 的延长线于 点 A ， 则 ｜PF 1 ｜=｜AP｜. 在椭圆中， ｜PF 1 ｜+｜PF 2 ｜=2a ， ∴｜AP｜+｜PF 2 ｜=2a ， 即 ｜AF 2 ｜=2a. 又 ∵｜OQ｜= 1 2 ｜AF 2 ｜=a ， ∴ 点 Q 的轨迹为以 O 为圆心， a 为半径的圆， ∴ 垂足 Q 的轨迹方程为 x 2 +y 2 =a 2 . 12. 解： 如图， 设 AB 与 PQ 交于点 E ， 则 E 为 AB 和 PQ 的 中点， O O% A + O O% B = O O% P + O O% Q . ① 又 ∵｜AB｜=｜PQ｜ ， ∴｜ O O% A - O O% B ｜=｜ O O% Q - O O% P ｜. ② 由 ① 2 +② 2 ， 得 ｜ O O% A ｜ 2 +｜ O O% B ｜ 2 = ｜ O O% P ｜ 2 +｜ O O% Q ｜ 2 ， ∴｜ O O% Q ｜ 2 =36+36-16=56 ， 即 ｜ O O% Q ｜= 56 姨 ， ∴ 点 Q 的轨 迹方程为 x 2 +y 2 =56. 13. 解： 设点 M 的坐标是 （ x ， y ）， P 的坐标是 （ x P ， y P ）， ∵ 点 Ｄ 是 Ｐ 在 x 轴上的投影， Ｍ 为 PD 上一点， 且 ｜MD｜= 4 5 ｜PD｜ ， ∴x P =x ， 且 y P = 5 4 y. ∵P 在圆 x 2 +y 2 =25 上， ∴x 2 + 5 4 4 ( y 2 =25 ， 整理得 x 2 25 + y 2 16 =1 ， 即点 M 的轨迹方程是 x 2 25 + y 2 16 =1. 14. 解： 设动点 P 的坐标为 （ x ， y ）， 点 Q 的坐标为 （ x 1 ， y 1 ） ， 由线段 QN 的中点为 P ， 得 N 点的坐标为 （ 2x-x 1 ， 2y-y 1 ） . 又 ∵ 点 N 在直线 x+y=2 上， 则 2x-x 1 +2y-y 1 =2. ① 又 ∵PQ 垂直于直线 x+y=2 ， ∴ y-y 1 x-x 1 =1 ， 即 x-y+y 1 -x 1 =0. ② 由 ①② 两式联立解得 x 1 = 3 2 x+ 1 2 y-1 ， y 1 = 1 2 x+ 3 2 y-1 1 + + + + * + + + + , . ③ 又 ∵ 点 Q 在双曲线 x 2 -y 2 =1 上， ∴x 2 1 -y 2 1 =1 ， ∴ 3 2 x+ 1 2 y- - . 1 2 - 1 2 x+ 3 2 y- - . 1 2 =1 ， 即 2x 2 -2y 2 -2x+ 2y-1=0 ， ∴ 动点 P 的轨迹方程为 2x 2 -2y 2 -2x+2y-1=0. 15. 解： 由题意可得 F （ -2 ， 0 ）， 直线 l 的方程为 y= k （ x+2 ）， 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 联立 x 2 - y 2 3 =1 ， y=k （ x+2 ） 1 + + + * + + + , ， 消去 y ， 得（ 3-k 2 ） x 2 -4k 2 x- （ 4k 2 +3 ） =0 ， ∴x 1 +x 2 = 4k 2 3-k 2 ， x 1 x 2 = -4k 2 -3 3-k 2 <0 ，得 - 3 姨 <k< 3 姨 且 k≠0 ， ∴y 1 +y 2 =k （ x 1 +x 2 +4 ） =k 4k 2 3-k 2 + - . 4 = 12k 3-k 2 . 设 M （ x ， y ） ， 则 O O% M = O O% A + O O% B = （ x 1 +x 2 ， y 1 +y 2 ） = 4k 2 3-k 2 ， 12k 3-k 2 - . ， 故 x= 4k 2 3-k 2 ， y= 12k 3-k 2 1 + + + + * + + + + , ， 消去 k ， 得 3x 2 +12x-y 2 =0 （ x>0 ）， ∴ 点 M 的轨迹方程为 3x 2 +12x-y 2 =0 （ x>0 ） . 第一章章末测试卷 1. A 【解析】 B O% M = BB 1 O% + B 1 O% M = AA 1 O% + 1 2 （B 1 A 1 O% + B 1 C 1 O% ） = AA 1 O% + 1 2 （B O% A + B O% C） =c+ 1 2 （ -a+b ） =- 1 2 a+ 1 2 b+c. 故选 A. 2. B 【解析】 A O% B·A 1 C 1 O% = A O% B·（A O% B + A O% D） = A O% B 2 + A O% B· A O% D =a 2 ， 故 A 错误； A O% B·AC 1 O% = A O% B·（A O% B + A O% D + AA 1 O% ） = A O% B 2 + A O% B·A O% D + A O% B· AA 1 O% = A O% B 2 =a 2 ， 故 B 正确； A O% B·A O% O = A O% B· 1 2 AC 1 O% - . = 1 2 A O% B·AC 1 O% = 1 2 a 2 ， 故 C 错 误； B O% C·DA 1 O% = A O% D·（AA 1 O% - A O% D） = A O% D·AA 1 O% - A O% D 2 =-a 2 ， 故 D 错误 . 故选 B. 3. D 【解析】 设平面 α 的法向量为 n ， n ·O O% A =2 ， 故 A 选项错误； n ·O O% B =-2 ， 故 B 选项错误； n ·O O% B =2 ， 故 C 选项错误； 由于 n ·O O% A =0 ， n ·O O% B =0 ， 且不共线向量 O O% A ， O O% B 有共同的始点， 故 D 选项正确 . 故选 D. 4. A 【解析】 ∵u · a=2× （ -3 ） +2×4-1×2=0 ， ∴u⊥a ， 故 直线 l∥ 平面 α 或直线 l奂 平面 α. 故选 A. 5. B 【解析】 由题意可得 DA ， DC ， DE 两两互相垂直 . 以 D 为坐 标原点， D O% A ， D O% C ， D O% E 的方向分 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向， 建立 如图所示的空间直角坐标系， 则 E （ 0 ， 0 ， 6 ）， F （ 6 ， 0 ， 6 ）， x y O Q A P F 1 F 2 第 11 题答图 x y O E Q A B P 第 12 题答图 z y x E M O F A B C D 第 5 题答图 117