2.3.3 直线与圆的位置关系-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 掌握直线与圆的三种位置关系： 相 交、 相切、 相离 . 2. 会用代数法和几何法来判断直线与圆 的三种位置关系 . 3. 掌握求圆的切线的方法 . 要 点 精 析 要点 1 直线与圆的位置关系 直线 l ： Ax+By+C=0 （ A 2 +B 2 ≠0 ）， 圆 C ： （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 （ r>0 ）， 设圆心 （ a ， b ） 到 直线 l 的距离是 d ， d= ｜Aa+Bb+C｜ A 2 +B 2 姨 ， 则有： 反思感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法： （ 1 ） 几何法： 根据圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断 . （ 2 ） 代数法： 根据直线与圆的方程组 成的方程组的解的个数来判断 . （ 3 ） 直线系法： 若直线恒过定点， 可 通过判断点与圆的位置关系判断， 但此方 程有一定的局限性， 必须是过圆内定点的 直线系， 直线与圆必相交 . 例 1 已知直线方程 mx-y-m-1＝0 ， 圆 的方程 x 2 +y 2 -4x-2y+1＝0. 当 m 为何值时， 圆 与直线： （ 1 ） 有两个公共点； （ 2 ） 只有一 个公共点； （ 3 ） 没有公共点 . 解： 方法一： 将直线 mx-y-m-1＝0 代入 圆的方程化简整理得， （ 1+m 2 ） x 2 -2 （ m 2 +2m+2 ） x+m 2 +4m+4＝0 ， ∴Δ＝4m （ 3m+4 ） . （ 1 ） 当 Δ>0 时， 即 m>0 或 m<- 4 3 时 ， 直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点 . （ 2 ） 当 Δ＝0 时， 即 m＝0 或 m＝- 4 3 时 ， 直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点 . （ 3 ） 当 Δ<0 时， 即 - 4 3 <m<0 时， 直线 与圆相离， 即直线与圆没有公共点 . 方法二： 已知圆的方程可化为 （ x-2 ） 2 + （ y-1 ） 2 ＝4 ， 即圆心为 C （ 2 ， 1 ）， 半径 r＝2. 圆心 C （ 2 ， 1 ） 到直线 mx-y-m-1＝0 的 距离 d＝ ｜2m-1-m-1｜ 1+m 2 姨 = ｜m-2｜ 1+m 2 姨 . （ 1 ） 当 d<2 时 ， 即 m>0 或 m<- 4 3 时 ， 2.3.3 直线与圆的位置关系 第 1课时 直线与圆的位置关系 位置 关系 几何特征 代数特征 （方程联立） 公共点 个数 相离 d>r 无实数解 （ Δ<0 ） 0 相切 d=r 一组实数解 （ Δ=0 ） 1 相交 d<r 两组实数解 （ Δ>0 ） 2 d r C d r C （ 2 ）（ 1 ） （ 3 ） d r C 73 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点 . （ 2 ） 当 d＝2 时 ， 即 m＝0 或 m＝- 4 3 时 ， 直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点 . （ 3 ） 当 d>2 时， 即 - 4 3 <m<0 时， 直线与 圆相离， 即直线与圆没有公共点 . 变式训练 1 已知直线 l ： x-2y+5＝0 与圆 C ： （ x-7 ） 2 + （ y-1 ） 2 ＝36 ， 判断直线 l 与圆 C 的位置关系 . 要点 2 圆的切线方程 1. 求过圆上一点（ x 0 ， y 0 ）的圆的切线方 程： 先求切点与圆心连线的斜率 k ， 再由垂 直关系得切线的斜率为 - 1 k ， 由点斜式可得 切线方程 . 如果斜率为零或不存在， 则由图 形可直接得切线方程 y＝y 0 或 x＝x 0 . 2. 求过圆外一点 （ x 0 ， y 0 ） 的圆的切线 方程： （ 1 ） 几何法： 设切线方程为 y-y 0 ＝k （ x- x 0 ） . 由圆心到直线的距离等于半径， 可求得 k ， 也就得切线方程 . （ 2 ） 代数法： 设切线方程为 y-y 0 ＝k （ x-x 0 ）， 与圆的方程联立， 消去 y 后得到关于 x 的一 元二次方程， 由 Δ＝0 求出 k ， 可得切线方程 . 反思感悟 过圆外一点的切线有两条， 切线的斜率 不存在的情况， 要做检验， 不要漏解 . 例 2 （ 1 ） 求过圆 C ： x 2 +y 2 -2x-4y＝0 上 一点 P （ 3 ， 3 ） 的切线方程； （ 2 ） 求过点 P （ 2 ， 3 ） 且与圆（ x-1 ） 2 + （ y- 2 ） 2 ＝1 相切的直线的方程 . 解： （ 1 ） x 2 +y 2 -2x-4y＝0 的圆心为 C （ 1 ， 2 ）， k PC ＝ 1 2 ， ∴ 切线的斜率 k＝-2 ， ∴ 切线方程为 y-3＝-2 （ x-3 ）， 即 2x+y-9＝0. （ 2 ） ∵P （ 2 ， 3 ） 在圆（ x-1 ） 2 + （ y-2 ） 2 ＝1 外， ∴ 过点 P （ 2 ， 3 ） 与圆（ x-1 ） 2 + （ y-2 ） 2 ＝1 相 切的直线有两条 . 当斜率存在时， 设切线的斜率为 k ， 则切线方程为 y-3＝k （ x-2 ）， 即 kx-y+3-2k＝0 ， ∴ ｜k-2+3-2k｜ k 2 +1 姨 ＝1 ， ∴k＝0 ， ∴ 切线方程为 y＝3 ； 当斜率不存在时， 切线方程为 x＝2. ∴ 切线方程为 y＝3 或 x＝2. 变式训练 2 （ 1 ） 已知直线 l ： ax+by-3＝0 与圆 M ： x 2 +y 2 +4x-1＝0 相切于点 P （ -1 ， 2 ）， 则直线 l 的方程为 . （ 2 ） 由直线 y＝x+1 上任一点向圆（ x-3 ） 2 + y 2 ＝1 引 切 线 ， 则 该 切 线 长 的 最 小 值 为 （ ） A. 1 B. 2 2 姨 C. 7 姨 D. 3 74 第二章 平面解析几何 学 数 学 文 化 例 唐代诗人李颀的诗 《古从军行》 开 头两句说： “白日登山望烽火， 黄昏饮马傍 交 河 . ” 诗 中 隐 含 着 一 个 有 趣 的 数 学 问 题——“将军饮马” 问题， 即将军在观望烽 火之后从山脚下某处出发， 先到河边饮马后 再回军营， 怎样走才能使总路程最短？ 在平 面直角坐标系中， 设军营所在区域为 x 2 +y 2 ≤ 3 ， 若将军从点 A （ 3 ， 1 ） 处出发 ， 河岸线 所在直线方程为 x+y=5 ， 并假定将军只要到 达军营所在区域即回到军营， 则 “将军饮 马” 的最短总路程为 （ ） A. 10 姨 - 3 姨 B. 10 姨 C. 2 5 姨 - 3 姨 D. 2 5 姨 分析 设点 A 关于直线 x+y=5 的对称 点 A′ （ a ， b ）， 则 A′O- 3 姨 为最短距离， 根 据垂直和中点坐标求出对称点 A′ （ a ， b ） 即 可得解 . 解析： 设点 A 关于直线 x+y=5 的对称点 为 A′ （ a ， b ） . 根据题意 ， A′O- 3 姨 为 “将军饮马 ” 的最短总路程， 先求出 A′ 的坐标 . AA′ 的中点为 a+3 2 ， b+1 2 2 $ ， 直线 AA′ 的斜率为 1 ， 故直线 AA′ 的方程为 y-1=x-3 ， 即 y=x-2. 由 a+3 2 + b+1 2 =5 ， b=a-2 2 ' ' ' ' & ' ' ' ' ( ， 解得 a=4 ， b=2 ， ， ∴A′ （ 4 ， 2 ）， 则 A′O= 4 2 +2 2 姨 =2 5 姨 ， 故 A′O- 3 姨 =2 5 姨 - 3 姨 ， 则 “将军饮马” 的最短总路程为 2 5 姨 - 3 姨 . 故选 C. 75 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 已知直线与圆相交， 能用代数法和几 何法两种方法求弦长 . 2. 解直线与圆的综合问题要善于利用图形 . 要 点 精 析 要点 1 直线与圆相交 求直线与圆相交时的弦长有三种方法 （ 1 ） 交点法： 将直线方程与圆的方程联 立， 求出交点 A ， B 的坐标， 根据两点间的 距离公式 |AB|＝ （ x 1 -x 2 ） 2 + （ y 1 -y 2 ） 2 姨 求解 . （ 2 ） 弦长公式： 如图 2-3-1 （ A ）， 将 直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的 两交点分别是 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 |AB|＝ （ x 1 -x 2 ） 2 + （ y 1 -y 2 ） 2 姨 ＝ 1+k 2 姨 ｜x 1 -x 2 ｜= 1+ 1 k 2 姨 ｜y 1 - y 2 | （直线 l 的斜率 k 存在且不为 0 ） . （ 3 ） 几何法： 如图 2-3-1 （ B ）， 直线与 圆 C 交于 A ， B 两点， 设弦心距为 d ， 圆的 半径为 r ， 弦长为 |AB| ， 则有 ｜AB｜ 2 2 # 2 +d 2 ＝r 2 ， 即 |AB|＝2 r 2 -d 2 姨 . 通常采用几何法较为简便 . 例 1 （ 1 ） 求直线 l ： 3x+y-6＝0 被圆 C ： x 2 +y 2 -2y-4＝0 截得的弦长 |AB| ； （ 2 ） 过点 （ -4 ， 0 ） 作直线 l 与圆 x 2 +y 2 + 2x-4y-20＝0 交于 A ， B 两点， 如果 |AB |＝8 ， 求直线 l 的方程 . 解： （ 1 ） 联立直线 l 与圆 C 的方程 ， 得 3x+y-6=0 ， x 2 +y 2 -2y-4=0 0 ， 解得 x 1 =1 ， y 1 =3 0 ， x 2 =2 ， y 2 =0 0 ， ∴ 交点 为 A （ 1 ， 3 ）， B （ 2 ， 0 ） . 故直线 l ： 3x+y-6＝0 被圆 C ： x 2 +y 2 -2y -4 ＝0 截 得 的 弦 长 |AB |＝ （ 1-2 ） 2 + （ 3-0 ） 2 姨 ＝ 10 姨 . （ 2 ） 将圆的方程配方得（ x+1 ） 2 + （ y-2 ） 2 ＝25 ， 由圆的性质可得圆心到直线 l 的距离 d＝ （ 25 姨 ） 2 - 8 2 2 & 2 姨 =3. ① 当直线 l 的斜率不存在时， x＝-4 满足 题意； ② 当直线 l 的斜率存在时， 设 l 的方程 为 y＝k （ x+4 ）， 即 kx-y+4k＝0. 由点到直线的距离公式得 3＝ ｜-k-2+4k｜ 1+k 2 姨 ， 解得 k＝- 5 12 ， ∴ 直线 l 的方程为 5x+12y+20＝0. 综上所述 ， 直线 l 的方程为 x+4＝0 或 5x+12y+20＝0. 变式训练 1 圆心为 C （ 2 ， -1 ）， 截直线 y＝x-1 的弦长 为 2 2 姨 的圆的方程为 . 要点 2 直线与圆位置关系的应用 例 2 已知实数 x ， y 满足 y= 3-x 2 姨 ， 求 m= y+1 x+3 及 b=2x+y 的取值范围 . 解： y= 3-x 2 姨 表示以原点为圆心， 半径为 第 2课时 弦长问题 x y O l A B （ x 1 ， y 1 ） （ x 2 ， y 2 ） A B C d l 图 2-3-1 （ A ） 图 2-3-1 （ B ） 76 第二章 平面解析几何 学 3 姨 的上半圆， m= y+1 x+3 表示过点 A （ -3 ， -1 ） 和 （ x ， y ） 的直线的斜率， 如图 2-3-2 （ A ） 所示 . 可知 k AB ≤m≤k AC ， B 点坐标为 （ 3 姨 ， 0 ）， ∴k AB = 0- （ -1 ） 3 姨 - （ -3 ） = 3- 3 姨 6 . 由图 2-3-2 （ A ） 可知， 直线 AC 斜率存 在， 设直线 AC 的方程为 y+1=k AC （ x+3 ）， 即 k AC x-y+3k AC -1=0 ， ∵AC 与半圆 x 2 +y 2 =3 （ y≥ 0 ） 相切， ∴ ｜3k AC -1｜ 1+k 2 AC 姨 = 3 姨 ， ∴k AC = 3+ 21 姨 6 . ∴m 的取值范围是 3- 3 姨 6 ， 3+ 21 姨 6 6 % . 由 b=2x+y ， 知 b 表示直线 2x+y-b=0 在 y 轴上的截距， 如图 2-3-2 （ B ） 所示 . 可知直线 b=2x+y 一定位于两直线 l 1 与 l 2 之间 . 由直线 l 2 与半圆相切， 得 b= 15 姨 ， 由直线 l 1 过 D （ - 3 姨 ， 0 ）， 得 b=-2 3 姨 . 故 b 的取值范围是 ［ -2 3 姨 ， 15 姨 ］ . 反思感悟 与圆有关的最值问题， 可借助几何特 征及几何法先确定达到最值的位置， 再进 行计算 . 有些与圆有关的最值问题涉及是否 过圆心， 有时需要考虑表达式中字母的几 何意义， 如两点间距离公式、 斜率公式、 在 y 轴上的截距等 . 数 学 文 化 例 阿波罗尼斯 （古希腊数学家， 约公 元前 262 —前 190 ） 的著作 《圆锥曲线论 》 是古代世界光辉的科学成果， 他证明过这 样一个命题： 平面内与两个定点距离的比 为常数 k （ k>0 ， k≠1 ） 的点的轨迹是圆， 后 人把这个圆称为阿波罗尼斯圆 . 已知定点 A （ -2 ， 0 ）， B （ 2 ， 0 ）， 动点 C 满足 ｜AC｜=2｜BC｜ ， 则动点 C 的轨迹为一个阿波罗尼斯圆， 记此 圆为圆 P ， 已知点 D 在圆 P 上 （点 D 在第一 象限）， AD 交圆 P 于点 E ， 连接 EB 并延长 交圆 P 于点 F ， 连接 DF ， 当 ∠DFE=30° 时， 直线 AD 的斜率为 （ ） A. 39 姨 13 B. 26 姨 13 C. 3 姨 4 D. 13 姨 4 解析： 如图 2-3-3 所示， 设动点 C （ x ， y ）， 则 （ x+2 ） 2 +y 2 姨 =2 （ x-2 ） 2 +y 2 姨 ， 化简可得 x 2 +y 2 - 20 3 x+4=0 ， 化为标准方 程可得圆 P ： x- 10 3 3 ) 2 +y 2 = 64 9 . ∵∠DPE=2∠DFE=60° ， ｜PE ｜=｜PD ｜ ， 则 △DPE 为等边三角形 ， 过圆心 P 作 PG⊥ DE 于 点 G ， 则 ｜PG ｜=｜PE ｜sin60° = 4 3 姨 3 ， sin∠PAG= ｜PG｜ ｜PA｜ = 4 3 姨 3 16 3 = 3 姨 4 ， ∴cos∠PAG= 1 - 3 姨 4 3 ) 2 姨 = 13 姨 4 ， ∴k AD = tan∠ PAG = 3 姨 4 13 姨 4 = 39 姨 13 . 故选 A. x y O A B C x y O E l 1 D l 2 图 2-3-2 （ A ） x y O E G F A B P D 图 2-3-3 图 2-3-2 （ B ） 77 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 2.3.3 直线与圆的位置关系 第 1 课时 直线与圆的位置关系 学习手册 变式训练 1 解： 方法一 （代数法）： 由方程组 （ x-7 ） 2 + （ y-1 ） 2 =36 ， x-2y+5=0 ! ， 消去 y 后整理 ， 得 5x 2 -50x+61=0. ∵Δ= （ -50 ） 2 -4×5×61=1280>0 ， ∴ 该方程组有两组不 同的实数解， 即直线 l 与圆 C 相交 . 方法二 （几何法）： 圆心 （ 7 ， 1 ） 到直线 l 的距离 d= |7-2×1+5| 1 2 + （ -2 ） 2 姨 =2 5 姨 . ∵d<r=6 ， ∴ 直线 l 与圆 C 相交 . 变式训练 2 （ 1 ） x+2y-3=0 （ 2 ） C 【解析】 （ 1 ） 根据题意， 圆 M ： x 2 +y 2 +4x-1=0 ， 即 （ x+2 ） 2 +y 2 =5 ， 其圆心 M （ -2 ， 0 ） . 直线 l ： ax+by-3=0 与圆 M ： x 2 +y 2 +4x-1=0 相切于点 P （ -1 ， 2 ）， 则点 P 在直线 l 上且 MP 与直线 l 垂直， k MP = 2-0 （ -1 ） - （ -2 ） =2 ， 则有 - a b =- 1 2 ， ∴b=2a. 又由点 P 在直线 l 上， 则有-a+2b-3=0 ， 解得 a=1 ， b=2 ， 则直线 l 的方程为 x+2y-3=0. （ 2 ） 圆心 C（3 ， 0 ） 到直线 y=x+1 的距离 d= |3-0+1| 2 姨 =2 2 姨 ， ∴ 切线长的最小值为 l= （ 2 2 姨 ） 2 -1 2 姨 = 7 姨 . 故选 C. 随堂练习 1. C 【解析】 圆 x 2 +y 2 =9 的圆心为 （ 0 ， 0 ）， 半径 r= 3 ， 圆心到直线 3x+4y-25=0 的距离 d= |0+0-25| 3 2 +4 2 姨 =5>r ， ∴ 直线与圆相离 . 故选 C. 2. C 【解析】 直线 y=kx+1 恒过定点 （ 0 ， 1 ）， 由定 点 （ 0 ， 1 ） 在圆 x 2 +y 2 =2 内， 知直线 y=kx+1 与圆 x 2 +y 2 =2 一定相交 . 又 ∵ 直线 y=kx+1 不过圆心 （ 0 ， 0 ）， 则位置 关系是相交但直线不过圆心， 故选 C. 3. C 【解析】 圆 （ x-a ） 2 +y 2 =2 的圆心 （ a ， 0 ） 到直线 x-y+1=0 的距离为 d ， 则 d≤r= 2 姨 ， 即 |a+1| 2 姨 ≤ 2 姨 ， 解得 -3≤a≤1. 故 选 C. 4. AB 【解析】 圆 C 的方程为 x 2 +y 2 -4x=0 ， 则圆心为 C （ 2 ， 0 ）， 半径 r=2. 设两个切点分别为 A ， B ， 则由题意可得四边形 PACB 为正方形， 故有 |PC|= 2 姨 r=2 2 姨 ， ∴ 圆心到直线 y=k （ x+1 ） 的距离小于或等于 PC ， 即 |2k-0+k| k 2 +1 姨 ≤2 2 姨 ， 解得 k 2 ≤8 ， 可得 -2 2 姨 ≤ k≤2 2 姨 ， 故选 AB. 5. x+2y-3=0 【解析】 由 x 2 +y 2 +4x-1=0 ， 得 （ x+2 ） 2 + y 2 =5 ， 故圆心为 M （ -2 ， 0 ） . 连接 MP ， 若直线 l ： ax+by- 3=0 与圆 M ： x 2 +y 2 +4x-1=0 相切于点 P （ -1 ， 2 ）， 则点 P 在直线 l 上且 MP 与直线 l 垂直 . 又 ∵k MP = 2-0 （ -1 ） - （ -2 ） =2 ， ∴- a b =- 1 2 且 -a+2b-3=0 ， 解得 a=1 ， b=2 ， 则直线 l 的方 程为 x+2y-3=0. 练习手册 效果评价 1. A 【解析】 ∵ 直线 ax+by=2 与圆 x 2 +y 2 =1 有两个公 共点， ∴ 有 |2| a 2 +b 2 姨 <1 ， 即 2< a 2 +b 2 姨 . ∵ 点 （ b ， a ） 与 圆 x 2 +y 2 =4 的圆心的距离为 a 2 +b 2 姨 >2 ， 圆 x 2 +y 2 =4 的半径 为 2 ， ∴ 点 P 在圆外 . 故选 A． 2. C 【解析】 设过点 P （ 2 ， 2 ） 的直线的斜率为 k ， 则直线方程 y-2=k （ x-2 ）， 即 kx-y+2-2k=0 ， 由于该直线 与圆相切， 故 |k+2-2k| k 2 +1 姨 = 5 姨 ， 得 k=- 1 2 . 由于直线 kx- y+2-2k=0 与直线 ax-y+1=0 垂直， 因此 - 1 2 ×a=-1 ， 解得 a=2 ， 故选 C. 3. C 【解析 】 化 x 2 +y 2 +2x- 2y-2=0 为 （ x+1 ） 2 + （ y-1 ） 2 =4 ， 得圆心坐标为 （ -1 ， 1 ）， 半径 为 2. ∵ 圆心到直线 l ： x+y+ 2 姨 =0 的距离 d= |-1+1+ 2 姨 | 1 2 +1 2 姨 =1<2 ， 结合图形可知， 圆上有三点到直线 l 的距离为 1. 4. A 【解析】 直线 l ： mx-y+1-m=0 过定点 （ 1 ， 1 ）， ∵1 2 + （ 1-1 ） 2 <5 ， 则点 （ 1 ， 1 ） 在圆 x 2 + （ y-1 ） 2 =5 的内部， ∴ 直线 l 与圆相交， 故选 A. 5. D 【解析】 由题意得， 圆的方程为 x 2 + （ y-1 ） 2 =1 ， 圆心 C （ 0 ， 1 ）， 半径 r=1. 直线过定点 （ 0 ， -4 ）， S PACB =2× 1 2 |PA| · |AC|=|PA| · |AC| ， 面积最小时， 即是 PA 最小， 也就是 PC 取最小值 . PC 的最小值为点 C 到直线的距离 ． 此时 PA=2 ， PC= 2 2 +1 2 姨 = 5 姨 ， ∴d= |k · 0+1+4| k 2 +1 2 姨 =PC= 5 姨 ， 解得 k=-2. 故选 D． 6. ABD 【解析】 圆 C 的方程可化为（ x-2 ） 2 +y 2 =2. 可 分为两种情况讨论： x y O 第 3 题答图 78 参 考 答 案 ① 直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 0 ， 易知直线斜率 必存在， 设直线方程为 y=kx ， 则 |2k| 1+k 2 姨 = 2 姨 ， 解得 k=±1 ； ② 直线在 x 轴、 y 轴上的截距均不为 0 ， 则可设直线 方程为 x a + y a =1 （ a≠0 ） ， 即 x+y-a=0 （ a≠0 ） ， 则 |2-a| 2 姨 = 2 姨 ， 解得 a=4 （ a=0 舍去） ． 综上所述， 直线方程为 x+y=0 或 x-y=0 或 x+y-4=0. 故选 ABD. 7. 15x+8y-36=0 或 x=4 【解析】 ∵ （ 4-3 ） 2 + （ -3-1 ） 2 = 17>1 ， ∴ 点 A 在圆外， 故切线有两条 ． ① 若所求直线的斜率存在， 设切线斜率为 k ， 则切线方程为 y+3=k （ x-4 ）， 即 kx-y-4k-3=0. 设圆心为 C ， ∵ 圆心 C （ 3 ， 1 ） 到切线的距离等于半径 1 ， ∴ |3k-1-3-4k| k 2 +1 姨 =1 ， 即 |k+4|= k 2 +1 姨 ， ∴k 2 +8k+16=k 2 +1 ， 解得 k=- 15 8 ， ∴ 切线方程为 - 15 8 x-y+ 15 2 -3=0 ， 即 15x+8y-36=0. ② 若直线斜率不存在， 圆心 C（3 ， 1 ） 到直线 x=4 的距离为 1 ， 这时直线 x=4 与圆相切， ∴ 另一条切线方程为 x=4. 综上所述， 所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4. 8. （ 4 2 姨 -1 ） km 【解析】 以 O 为坐标原点， OB ， OC 所在的直线分别为 x 轴和 y 轴， 建立平面直角坐标 系， 则圆 O 的方程为 x 2 +y 2 =1. ∵ 点 B （ 8 ， 0 ）， C （ 0 ， 8 ）， ∴ 直线 BC 的方程为 x 8 + y 8 =1 ， 即 x+y=8. 当点 D 选在与直线 BC 平行的直线且与圆相切 （距 BC 较近的一条） 所成的切点处时， DE 为最短距离 ． 此 时 DE 的最小值为 |0+0-8| 2 姨 -1= （ 4 2 姨 -1 ） km ， 即 DE 的最短距离为 （ 4 2 姨 -1 ） km. 9. 解： 方法一： 将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程 化简整理得， （ 1+m 2 ） x 2 -2 （ m 2 +2m+2 ） x+m 2 +4m+4=0. 则 Δ=4m （ 3m+4 ） ． （ 1 ） 当 Δ>0 ， 即 m>0 或 m<- 4 3 时， 直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点 . （ 2 ） 当 Δ=0 ， 即 m=0 或 m=- 4 3 时， 直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点 . （ 3 ） 当 Δ<0 ， 即 - 4 3 <m<0 时， 直线与圆相离， 即直 线与圆没有公共点 ． 方法二： 已知圆的方程可化为（ x-2 ） 2 + （ y-1 ） 2 =4 ， 即圆心为 C （ 2 ， 1 ）， 半径 r=2. 圆心 C （ 2 ， 1 ） 到直线 mx-y-m-1=0 的距离 d= |2m-1-m-1| 1+m 2 姨 = |m-2| 1+m 2 姨 . （ 1 ） 当 d<2 ， 即 m>0 或 m<- 4 3 时， 直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点 . （ 2 ） 当 d=2 ， 即 m=0 或 m=- 4 3 时， 直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点 . （ 3 ） 当 d>2 ， 即 - 4 3 <m<0 时， 直线与圆相离， 即直 线与圆没有公共点 ． 10. 解： （ 1 ） 设圆 A 的半径为 r ， ∵ 圆 A 与直线 l 1 ： x+2y+7=0 相切， ∴r= |-1+4+7| 5 姨 =2 5 姨 ， ∴ 圆 A 的方程为 （ x+1 ） 2 + （y-2 ） 2 =20. （ 2 ） ① 当直线 l 与 x 轴垂直时， 直线 l 的方程为 x= -2 ， 易得 |MN|=2 19 姨 ， 符合题意； ② 当直线 l 与 x 轴不垂直时， 设直线 l 的方程为 y=k （ x+2 ）， 即 kx-y+2k=0. 取 MN 的中点 Q ， 连接 AQ ， 则 AQ⊥MN. ∵|MN|=2 19 姨 ， ∴|AQ|= 20-19 姨 =1 ， ∴ |k-2| k 2 +1 姨 =1 ， 得 k= 3 4 ， ∴ 直线 l 的方程为 3x-4y+6=0. 综上， 直线 l 的方程 为 x=-2 或 3x-4y+6=0. 提升练习 11. D 【解析】 如图， 取 AB 的 中 点 Q ， 连 接 OQ ， PQ. 由圆的性质可知 OQ⊥ AB ， 由 PA⊥PB 可 知 AB = 2PQ=2BQ. 设点 Q 的 坐 标 为 （ x ， y ） ， 在 Rt△OBQ 中 ， OB 2 = OQ 2 +BQ 2 =OQ 2 +PQ 2 ， 即 2 2 =x 2 +y 2 + （ 2-x ） 2 + （ 1-y ） 2 ， 整理得 2x 2 +2y 2 -4x-2y+ 1=0 ， 可化为（ x-1 ） 2 + y- 1 2 2 ' 2 = 3 4 ， 故 Q 的轨迹为以 1 ， 1 2 2 2 为圆心， 3 姨 2 为半径的圆， |PQ| 的最大值为 （2-1 ） 2 + 1- 1 2 2 2 2 姨 + 3 姨 2 = 3 姨 + 5 姨 2 ， x y O Q A B P -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 第 11 题答图 79 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故 |AB|=2|PQ|≤ 3 姨 + 5 姨 ． 故选 D. 12. BCD 【解析】 在四边形 PAOB 中， ∠AOB 不一 定是直角， 故 A 错误 . 连接 PO ， 由题易知 Rt△PAO≌Rt△PBO ， ∴ 四边 形 PAOB 的面积 S=2× 1 2 |PA| · |OA|=2|PA|=2 |PO| 2 -4 姨 . 又 ∵|PO| 的最小值为点 O 到直线 x+y=4 的距离， 即 2 2 姨 ， ∴ 四边形 PAOB 面积的最小值为 2 8-4 姨 =4 ， 故 B 正确 . 设 P （ a ， b ）， 则以线段 OP 为直径的圆的方程是 x （ x- a ） +y （ y-b ） =0 ， 与圆 O 的方程 x 2 +y 2 =4 相减， 得 ax+by=4 ， 即直线 AB 的方程为 ax+by=4. 又 ∵ 点 P 在直线 x+y=4 上， ∴a+b=4 ， 则 b=4-a ， 代入直线 AB 的方程， 得 a （ x-y ） +4y-4=0 ， 令 x=y ， 则 4y-4=0 ， 得 x=1 ， y=1 ， ∴ 直线 AB 过定点 C （ 1 ， 1 ）， ∴|OC|= 2 姨 ， 数形结合可知 |AB| 的最 小值为 2 4-2 姨 =2 2 姨 ， 故 C 正确 . 在 ax+by=4 中， 分别令 y=0 ， x=0 得到点 M 4 a ， ， ( 0 ， N 0 ， 4 b ， b ， ∴|OM|+|ON |= 4 a + 4 b . ∵ 点 P （ a ， b） 在直线 x+y=4 （ 0<x<4 ） 上， ∴a+b=4 且 0<a<4 ， 0<b<4 ， 则 4 a + 4 b = （a+b ） 1 a + 1 b ， b =2+ b a + a b ≥2+2 b a · a b 姨 =4 ， 当且 仅当 a=b=2 时等号成立， ∴|OM|+|ON| 的最小值为 4 ， 故 D 正确 ． 故选 BCD. * 13. ABC 【解析 】 由 1-x 2 姨 +x+m=0 得 1-x 2 姨 =-x- m ， 则关于 x 的方程 1-x 2 姨 +x+m=0 解的个数， 等价于函 数 y= 1-x 2 姨 和 y=-x-m 的图象交点个数 . 对于函数 y= 1-x 2 姨 ≥0 ， 两边平方得 x 2 +y 2 =1 ， 则函数 y= 1-x 2 姨 的图 象表示圆 x 2 +y 2 =1 的上半 圆， 如图所示 . 当直线 y=-x-m 与函 数 y= 1-x 2 姨 的图象相切于 第一象限时， -m>0 ， 则 m<0. 此时， |m| 2 姨 =1. ∵m<0 ， 解 得 m=- 2 姨 ， 此时直线 y= -x-m 交 y 轴于点 （ 0 ， 2 姨 ）； 当直线 y=-x-m 过点 （ 1 ， 0 ） 和 （ 0 ， 1 ） 时 ， -m= 1 ， 则 m=-1 ； 当直线 y=-x-m 过点 （ -1 ， 0 ） 时 ， 则 1-m=0 ， 得 m=1 ， 此时直线 y=-x-m 交 y 轴于点 （ 0 ， -1 ） . 由图象可知 ， 当 -m= 2 姨 或 -1≤-m<1 时 ， 即当 m=- 2 姨 或 -1<m≤1 时， 直线 y=-x-m 与函数 y= 1-x 2 姨 的图象有且只有一个交点， 故 B 正确， D 错误； 当 -m> 2 姨 或 -m<-1 时， 即当 m<- 2 姨 或 m>1 时， 直线 y=-x-m 与函数 y= 1-x 2 姨 的图象没有交点， 故 A ， C 正确 . 故选 ABC. * 14. 2 姨 ［ -16 ， 4 ］ 【解析 】 圆 C 的标准方程 为 （ x-2 ） 2 +y 2 =2 ， 故圆心为 C （ 2 ， 0 ）， 半径 r= 2 姨 . 当直线与圆有交点时， 显然满足题意， 此时 -6-5 2 姨 ≤m≤-6+5 2 姨 . 当直线与圆无交点时， 此时 m<-6-5 2 姨 或 m>-6+ 5 2 姨 . 过点 P 作圆 C 的两条切线 PM ， PN （ M ， N 为切 点）， 连接 CP. 若在圆 C 上存在两点 A ， B ， 在直线 l 上 存在一点 P ， 使得 ∠APB=90° ， 则当 CP⊥l 时， ∠MPN≥ 90° ， 即 ∠MPC≥45°. 当 CP⊥l 时， 圆心 C 到直线 l 的距 离 d =|CP |= |6+m| 5 ， 连 接 MC ， ∴ |MC| |CP| = r d = 2 姨 |6+m| 5 ≥ 2 姨 2 ， 解得 -16≤m≤4. 又 ∵m<-6-5 2 姨 或 m>-6-5 2 姨 ， ∴-16≤m<-6+ 5 2 姨 或 -6+5 2 姨 <m≤4. 综上所述， -16≤m≤4. * 15. 解 ： （ 1 ） 设 圆 心 C （ a ， 0 ） a>- 5 2 2 b ， 则 |4a+10| 5 =2 ， 解得 a=0 或 a=-5 （舍）， ∴ 圆 C ： x 2 +y 2 =4. （ 2 ） 当直线 AB⊥x 轴时， x 轴平分 ∠ANB. 当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 y= k （ x-1 ）， N （ t ， 0 ）， A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 由 x 2 +y 2 =4 ， y=k （ x-1 1 ） 得 （ k 2 +1 ） x 2 -2k 2 x+k 2 -4=0 ， ∴x 1 +x 2 = 2k 2 k 2 +1 ， x 1 x 2 = k 2 -4 k 2 +1 . 若 x 轴平分 ∠ANB ， 则 k AN =-k BN ， 即 y 1 x 1 -t + y 2 x 2 -t =0 ， ∴ k （ x 1 -1 ） x 1 -t + k （ x 2 -1 ） x 2 -t =0 ， 整理 得 2x 1 x 2 - （ t+1 ）（ x 1 +x 2 ） +2t=0 ， 2 （ k 2 -4 ） k 2 +1 - 2k 2 （ t+1 ） k 2 +1 +2t=0 ， 解得 t=4 ， ∴ 当点 N 为 （ 4 ， 0 ） 时， 能使得 ∠ANM=∠BNM 总 成立 ． 第 2 课时 弦长问题 学习手册 变式训练 1 （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =4 【解析】 设圆的半径为 r ， 圆心到直线 y=x-1 的距离为 d= |2+1-1| 2 姨 = 2 姨 . 又 ∵ 直线 y=x-1 被圆截得的弦长为 2 2 姨 ， 即半弦长为 2 姨 ， ∴r 2 =2+2=4 ， 得 r=2 ， ∴ 所求圆的方程为 （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =4. y x O y=-x-m -1 1 第 13 题答图 80 参 考 答 案 随堂练习 1. C 【解析】 圆 x 2 +y 2 +4x-2y+4=0 的圆心为 （ -2 ， 1 ）， 半径为 1 ， 圆心到直线 y=x-1 的距离为 d= |-2-1-1| 2 姨 =2 2 姨 ， ∴ 直线 y=x-1 上的点与圆 x 2 +y 2 +4x-2y+4=0 上的点的 距离的最小值为 2 2 姨 -1. 故选 C. 2. 2 2 姨 【解析】 圆的方程可化为 x 2 + （ y+1 ） 2 =4 ， 故 圆心 C （ 0 ， -1 ）， 半径 r=2 ， 圆心到直线 y=x+1 的距离 d= |0- （ -1 ） +1| 2 姨 = 2 姨 ， ∴ 弦长 |AB|=2 r 2 -d 2 姨 =2 4-2 姨 =2 2 姨 . 3. 2 2 姨 【解析】 设点 A （ 3 ， 1 ）， 易知圆心 C （ 2 ， 2 ）， 半径 r=2. 当弦过点 A （ 3 ， 1 ） 且与 CA 垂直时为最短弦， |CA|= （ 2-3 ） 2 + （ 2-1 ） 2 姨 = 2 姨 ， ∴ 半弦长 = r 2 -|CA| 2 姨 = 4-2 姨 = 2 姨 ， ∴ 最短弦长为 2 2 姨 . 4. 4 2 姨 【解析 】 圆 （ x-1 ） 2 + （ y-2 ） 2 =4 ， 圆心为 （ 1 ， 2 ）， 半径 r=2. ∵|AB|=4=2r ， ∴ 直线 l ： mx+y-3=0 过圆心 （ 1 ， 2 ）， ∴m+2-3=0 ， ∴m=1 ， ∴ 直线 l ： x+y-3=0 ， 倾斜角为 135°. ∵ 过 A ， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C ， D 两点， ∴|CD|= |AB| sin45° = 4 2 姨 2 =4 2 姨 . 5. 解 ： 画出直线 y=2x-2 与平 面区域 W ， 如图所示 . 易知 |OQ |≤ 1 ， 在 △OQP 中 ， |OQ |+|QP |>|OP | ， 当且仅当 O ， Q ， P 三点共线时 ， 有 |OQ|+|QP|=|OP| ， ∴ 当 |OQ |=1 时 ， |OP| 取最大值 2. 6. 解： A （ -2 ， 3 ） 关于 y=a 对 称的点的坐标为 A′ （ -2 ， 2a-3 ） ， B （ 0 ， a ） 在直线 y=a 上， ∴A′B 所在直线即为直线 l ， ∴ 直线 l 为 y= a-3 -2 x+a ， 即 （ a-3 ） x+2y-2a=0. 圆 C ：（ x+3 ） 2 + （ y+2 ） 2 =1 ， 圆心 C （ -3 ， -2 ）， 半径 r=1 ， 依题意圆心到直线 l 的距离 d= |-3 （ a-3 ） -4-2a| （ a-3 ） 2 +2 2 姨 ≤1 ， 即 （ 5-5a ） 2 ≤ （a-3 ） 2 +2 2 ， 解得 1 3 ≤a≤ 3 2 ， 即 a∈ 1 3 ， 3 2 2 & . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 设直线 l 为 kx-y+2k=0 ， 又 ∵ 直线 l 与圆 x 2 +y 2 =2x 有两个交点， 故 |k+2k| k 2 +1 姨 <1 ， ∴- 2 姨 4 <k< 2 姨 4 ， 故选 B． 2. B 【解析】 由题可得， 圆心 （ -1 ， 1 ）， r= 2-a 姨 ， 设圆心到直线的距离为 d ， 圆截直线所得弦为 AB ， ∴d= r 2 - AB 2 2 ( 2 姨 = （ 2-a ） -4 姨 = -2-a 姨 ， d= |-1+1+2| 1+1 姨 = 2 姨 ， ∴ -2-a 姨 = 2 姨 ， ∴a=-4． 故选 B. 3. C 【解析 】 如图 ， 直线过 定点 （ 0 ， 1 ）， ∵∠POQ=120° ， ∴ ∠OPQ=30° ， 则 ∠1=120° ， ∠2= 60° ， ∴ 由对称性可知 k=± 3 姨 ． 故选 C． 4. D 【解析】 由题意可知 EF 边上的高为圆心到直线的距离 d= |0-0-3| 1+4 姨 = 3 5 姨 5 ， 直线被圆截得的弦长为 EF=2 r 2 -d 2 姨 =2 9-5 姨 =4 ， 则 △EOF 的面积为 S= 1 2 ×4× 3 5 姨 5 = 6 5 姨 5 . 故选 D. 5. BC 【解析】 圆 （ x-3 ） 2 + （ y-2 ） 2 =4 的圆心为 （ 3 ， 2 ）， 半径为 2 ， 由 MN≥2 3 姨 可得圆心 （ 3 ， 2 ） 到直线 y= kx+3 的距离 d= 2 2 - MN 2 2 ( 2 姨 ≤1. 直线方程可化为 kx-y+ 3=0 ， ∴ |3k-2+3| k 2 +1 姨 ≤1 ， 解得 - 3 4 ≤k≤0 ， ∴k 的取值可以 是 - 1 2 ， 0. 故选 BC. 6. AC 【 解 析 】 曲 线 x = 1-y 2 姨 ， 整理得 x 2 +y 2 =1 ， x≥ 0 ， 画出直线与曲线的图象如 图 ， 直 线 y =x +b 与 曲 线 x = 1-y 2 姨 恰有一个交点 ， 则 b∈ （ -1 ， 1 ］ ∪{- 2 姨 }. 故选 AC. 7. 2 【解析 】 直线方程为 y= 3 姨 x ， 圆的标准方程为（ x-2 ） 2 +y 2 =4 ， 圆心 （ 2 ， 0 ） 到 直线的距离 d= 2 3 姨 （ 3 姨 ） 2 +1 姨 = 3 姨 ， 弦长 l=2 r 2 -d 2 姨 = 2 4-3 姨 =2． 8. - 3 姨 3 4 【解析】 圆 x 2 +y 2 =12 ， 半径为 2 3 姨 ， 设圆 x 2 +y 2 =12 的圆心 （ 0 ， 0 ） 到直线 l 的距离为 d ， 则 有 d= 12- （ 3 姨 ） 2 姨 =3= |3m- 3 姨 | 1+m 2 姨 ， 整理得 -2 3 姨 m= x y O Q P -2 1 y=2x-2 第 5 题答图 x y O 1 2 Q P 第 3 题答图 x y O - 2 姨 1 -1 1 第 6 题答图 81 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 2 ， ∴m=- 3 姨 3 ， 此时直线 l 的斜率为 3 姨 3 ， 倾斜角为 30° ， 过 A ， B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C ， D 两点 ， ∴|CD|= 2 3 姨 3 姨 2 =4. 9. 解： （ 1 ） 由 x 2 +y 2 =1 ， 3 姨 x-y+m= = 0 消去 y 得 4x 2 +2 3 姨 mx +m 2 -1=0. 由已知得， Δ= （ 2 3 姨 m ） 2 -16 （ m 2 -1 ） >0 ， 解得 m 2 -4<0 ， 得实数 m 的取值范围是 （ -2 ， 2 ） . （ 2 ） ∵ 圆心 C （ 0 ， 0 ） 到直线 l ： 3 姨 x-y+m=0 的距 离为 d= |m| 3+1 姨 = |m| 2 ， ∴|AB|=2 r 2 -d 2 姨 =2 1- m 2 4 姨 = 4-m 2 姨 . 由已知得 4-m 2 姨 = 3 姨 ， 解得 m=±1. 10. （ 1 ） 证明 ： 由直线 l 的方程可得 ， y-3=k （ x- 4 ）， 则直线 l 恒过点 （ 4 ， 3 ） . 把 （ 4 ， 3 ） 代入圆 C 的方程， 得 （ 4-3 ） 2 + （ 3-4 ） 2 =2<4 ， ∴ 点 （ 4 ， 3 ） 在圆 C 的内部 . 又 ∵ 直线 l 恒过点 （ 4 ， 3 ）， ∴ 直线 l 与圆 C 总相交 . （ 2 ） 解 ： 设定点为 A （ 4 ， 3 ）， 由题可知当直线 l 与 CA 直线垂直时， 直线 l 被圆 C 截得的弦长最短 . ∵k CA = 4-3 3-4 =-1 ， ∴ 直线 l 的斜率为 k=1 ， ∴ 直线 l 的方程为 y-3=x-4 ， 即 x-y-1=0. 设圆心 C （ 3 ， 4 ） 到直线 l 的距离为 d ， 则 d= |3-4-1| 2 姨 = 2 姨 ， ∴ 直线 l 被圆 C 截得最短的弦长为 2 4- （ 2 姨 ） 2 姨 = 2 2 姨 . 提升练习 11. A 【解析】 把圆 M ： x 2 +y 2 -2x+2y-1=0 的方程化 为标准方程， 可得 （ x-1 ） 2 + （ y+1 ） 2 =3 ， 故圆心为 M （ 1 ， -1 ）， 半径 r= 3 姨 . 圆心 M 到直线 l 的距离 d= |1- （ -1 ） -1| 1 2 + （ -1 ） 2 姨 = 2 姨 2 ， 由 勾 股 定 理 得 半 弦 长 1 2 |AC |= r 2 -d 2 姨 = 3- 2 姨 2 2 $ 2 姨 = 10 姨 2 ， 故弦长 |AC|=2× 10 姨 2 = 10 姨 . 连 接 BD ， ∵B ， D 两点在圆上 ， 且位于直线 l 的两侧 ， ∴ 当 BD 为弦 AC 的垂直平分线， 即 BD 为直径且 BD⊥AC 时， 四边形 ABCD 的面积最大， 最大面积为 1 2 |AC| · |BD| = 1 2 × 10 姨 ×2 3 姨 = 30 姨 ， 故选 A． 12. C 【解析】 ∵ 点 （ 0 ， 2 ） 到直线系 M ： xcos兹+ （ y- 2 ） sin兹=1 （ 0≤兹≤2π ） 中每条直线的距离 d= 1 cos 2 兹+sin 2 兹 姨 =1 ， 直线系 M ： xcos兹+ （ y-2 ） sin兹=1 （ 0≤兹≤2π ） 表示圆 x 2 + （ y-2 ） 2 =1 的切线的集合 . ① 由于直线系表示圆 x 2 + （ y-2 ） 2 =1 的所有切线， 其 中存在两条切线平行， 所有 M 中所有直线均经过一个定 点不可能， 故 ① 不正确； ② 存在定点 P 不在 M 中的任意一条直线上， 观察知 点 M （ 0 ， 2 ） 符合条件， 故 ② 正确； ③ 由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线， ∴ 对于任意整数 n （ n≥3 ）， 存在正 n 边形， 其所有边均 在 M 中的直线上， 故 ③ 正确； ④ 如图， M 中的直线所能围成的正三角形有两类， 一类如 △ABE ， 一类如 △BCD ， 显然这两类三角形的面 积不相等， 故 ④ 不正确 . 故选 C. * 13. C 【解析】 设圆 C ： x 2 +y 2 -2x=0 ， 整理得 （ x-1 ） 2 +y 2 =1 ， ∴ 圆心 C （ 1 ， 0 ）， r=1. 画出直线与圆 C 的图象如 图， 要使 |MN| 的长度最小， 则 ∠MCN 最小， 即 ∠MCP 最 小 . ∵tan∠MCP= |PM| r =|PM| ， ∴ 当 |PM| 最小时， |MN| 最小 . 又 ∵|PM|= |PC| 2 -1 姨 ， ∴ 当 |PC| 最小时， |MN| 最小 . ∵|PC| min = 4 1+1 姨 =2 2 姨 ， ∴cos∠MCP= 1 2 2 姨 = 2 姨 4 ， cos∠MCN=2cos 2 ∠MCP-1=- 3 4 . 由余弦定理可得 |MN| min = 1 2 +1 2 -2×1×1× - 3 4 2 4 姨 = 14 姨 2 . 当点 P 在直线 x-y+3=0 无限远取值时， ∠MCN→ 180° ， |MN|→ 直径 2 ， ∴ 14 姨 2 ≤|MN|<2. 故选 C. 14. 6-2 3 姨 3 ， 6+2 3 姨 3 3 - 【解析】 由 x 2 +y 2 -4x-6y+12=0 可 得（ x-2 ） 2 + （ y-3 ） 2 =1 ， ∴ 点 P （ x ， y ） 的轨迹是以 M （ 2 ， 3 ） 为圆心 ， 半径为 r=1 的圆， 如图所示 . x y O E A B C D 2 4 3 2 1 第 12 题答图 第 13 题答图 x y O M N C P x y O M P 第 14 题答图 82 参 考 答 案 ∵ y x = y-0 x-0 表示圆上的点 P （ x ， y ） 与坐标原点 O （ 0 ， 0 ） 连线的斜率， 结合图形可知， 当直线 OP 与圆相切时， 斜率取得 最值 . 设切线为 y=kx ， 即 kx-y=0 ， 圆心 M （ 2 ， 3 ） 到切线 kx-y=0 的距离 d= |2k-3| 1+k 2 姨 =r=1 ， 整理可得 3k 2 -12k+8=0 ， 解得 k 1 = 6-2 3 姨 3 ， k 2 = 6+2 3 姨 3 ， ∴ y x 的取值范围为 6-2 3 姨 3 ， 6+2 3 姨 3 3 # . * 15. 解： （ 1 ） 由题可知， 直线 AB 斜率显然存在， 设为 k ， 则直线 AB 的方程为 y=kx+1. ∵O 点到直线 AB 的距离 d 1 = 1 k 2 +1 姨 ， ∴ AB 2 2 % 2 + 1 k 2 +1 姨 2 % 2 =4 ， ∴AB=2 4k 2 +3 k 2 +1 姨 . 由 2 4k 2 +3 k 2 +1 姨 = 3 7 姨 2 ， 得 k 2 =15. ∵ 直线 AB 与直线 CD 互相垂直， 则直线 CD 的方程 为 y=- 1 k x+1 ， ∴M 点到直线 CD 的距离 d 2 = - 2 k +1-1 1+ - 1 k 2 % 2 姨 ， ∴ CD 2 2 % 2 =1- - 2 k +1-1 1+ - 1 k 2 % 2 姨 姨 ' ' ' ' ' ' ' ' ( ) * * * * * * * * + 2 ， CD=2 1- 4 k 2 +1 姨 =2 1- 4 15+1 姨 = 3 姨 . （ 2 ） 直线 AB 的斜率为 2 ， 则直线 AB 的方程为 2x- y+1=0 ， ∴ 点 O 到直线 AB 的距离为 5 姨 5 . 点 M 到直线 AB 的距离为 d= 4 5 姨 5 ， ∴AB=2 4- 1 5 姨 = 2 95 姨 5 ， ∴S △ABM = 1 2 AB · d= 4 5 19 姨 . （ 3 ） 当直线 AB 的斜率不存在时， △ABE 的面积 S= 1 2 ×4×2=4 ； 当直线 AB 的斜率存在时， 设为 k ， 则直线 AB ： y= kx+1 ， k≠0 ， 直线 CD ： y=- 1 k x+1. ∵ 直线 CD 与圆 M 相交 ， ∴ - 2 k +1-1 1+ - 1 k 2 % 2 姨 <1 ， 解得 k 2 >3 ， ∴k∈ （ -∞ ， - 3 姨 ） ∪ （ 3 姨 ， +∞ ） ． ∵ AB 2 2 % 2 + 1 k 2 +1 姨 2 % 2 =4 ， ∴AB=2 4k 2 +3 k 2 +1 姨 . ∵ 点 E 为 CD 的中点， ∴EM⊥CD ， ∴EM∥AB ， ∴ 点 E 到直线 AB 的距离即点 M 到直线 AB 的距离 d= |2k+1-1| 1+k 2 姨 = |2k| 1+k 2 姨 ， ∴△ABE 的面积 S= 1 2 AB · d=2 （ 4k 2 +3 ） k 2 （1+k 2 ） 2 姨 . 令 t=k 2 +1>4 ， 则 S=2 4t 2 -5t+1 t 2 姨 =2 4- 5 t + 1 t 2 % 2 姨 . ∵t>4 ， ∴0< 1 t < 1 4 ， ∴S∈ 3 5 姨 2 ， 2 % 4 . 综上， △ABE 面积的取值范围是 3 5 姨 2 ， ， 4 2 . 2.3.4 圆与圆的位置关系 学习手册 变式训练 1 D 【解析 】 对两个圆的方程配方得圆 C 1 ： （ x-1 ） 2 + （ y+2 ） 2 =1 及圆 C 2 ： （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 = 1 4 ， 则圆心距 d=|C 1 C 2 |= 1 2 +1 2 姨 = 2 姨 ， 1- 1 2 < 2 姨 <1+ 1 2 ， 故两个圆 相交， 则这两个圆的公切线有 2 条 . 故选 D. 变式训练 2 23 姨 【解析】 由题意将两圆的方程相减， 可得圆 C 1 和圆 C 2 公共弦所在的直线 l 的方程为 x+y-1= 0. 圆 C 3 的圆心坐标为 （ 1 ， 1 ）， 其到直线 l 的距离为 d= |1+1-1| 1 2 +1 2 姨 = 2 姨 2 . 设圆 C 3 的半径为 r ， 由条件知， r 2 -d 2 = 25 4 - 1 2 = 23 4 ， ∴ 弦长为 2× 23 姨 2 = 23 姨 . 变式训练 3 解 ： 设圆 C 的半径为 r ， 圆心距为 d= （ 4-0 ） 2 + （ -3-0 ） 2 姨 =5 ， 当圆 C 与圆 O 外切时， r+1=5 ， r=4 ； 当圆 C 与圆 O 内切时， r-1=5 ， r=6. ∴ 圆 C 的方程为 （ x-4 ） 2 + （ y+3 ） 2 =16 或 （ x-4 ） 2 + （ y+ 3 ） 2 =36. 随堂练习 1. AB 【解析】 根据直线与圆位置关系的确定， 有 一个公共点时相切， 有两个公共点时相交 ． 相离时无公 共点 ． 故选 AB． 2. C 【解析 】 由题知 ， 两圆圆心分别为 （ 0 ， 0 ）， （ 3 ， 4 ）， 半径 r 1 =1 ， r 2 =4 ， 圆心距 d= （ 3-0 ） 2 + （ 4-0 ） 2 姨 = 5 ， ∴d=r 1 +r 2 ， 即两圆外切 . 故选 C. 3. 3 【解析】 C 1 （ 1 ， 2 ）， r 1 =2 ； C 2 （ -2 ， -2 ）， r 2 =3 ， |C 1 C 2 |=5 ， r 1 +r 2 =5 ， 因此两圆外切 ．∴ 公切线有 3 条 ． 4. 1 【解析】 将两圆的方程相减， 得相交弦所在的 83