2.3.2 圆的一般方程-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 掌握圆的一般方程及其特点 . 2. 会将圆的一般方程化为圆的标准方程 . 3. 能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 . 4. 能根据某些具体条件， 运用待定系数 法确定圆的方程， 并能解决相关实际问题 . 5. 结合具体实例， 初步了解二元二次方 程、 圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系 . 要 点 精 析 要点 1 1. 圆的一般方程 一般地， 圆的标准方程（ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 可以化为 x 2 +y 2 -2ax-2by+a 2 +b 2 -r 2 =0. 在这个 方程中， 如果令 D=-2a ， E=-2b ， F=a 2 +b 2 - r 2 ， 则这个方程可以表示成 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 （ D ， E ， F 为常数）， 称为圆的一般方程 . 2. 二元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 表示 的图形 一般地， x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0圳 x+ D 2 2 # 2 + y+ E 2 2 2 2 = D 2 +E 2 -4F 4 . 思考 方程 Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F＝0 表示圆的条件是什么？ 例 1 若方程 x 2 +y 2 +2ax+2ay+2a 2 +a-1＝0 表示圆， 则 a 的取值范围是 . 解析： 把方程配方得 （ x+a ） 2 + （ y+a ） 2 ＝1- a ， 若该方程表示圆， 则需 1-a＞0 ， 即 a＜1. 反思感悟 判断方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F＝0 是否表示 圆， 关键是将其配方成 x+ D 2 2 2 2 + y+ E 2 2 2 2 = D 2 +E 2 -4F 4 的形式， 最后转化为判断 D 2 +E 2 - 4F 的正负问题 . 变式训练 1 下列方程各表示什么图形？ 若表示圆， 求出其圆心坐标和半径长 . ①x 2 +y 2 -4x＝0 ； ②2x 2 +2y 2 -3x+4y+6＝0 ； ③x 2 +y 2 +2ax＝0. 要点 2 求圆的一般方程 确定圆的一般方程的主要方法是待定系 数法， 即列出关于 D ， E ， F 的方程组， 求 出 D ， E ， F 的值， 一般步骤为： （ 1 ） 根据题意， 设所求的圆的一般方程 为 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F＝0. 2.3.2 圆的一般方程 条件 图形 D 2 +E 2 -4F>0 表示以 - D 2 ， - E 2 2 2 为圆心 ， 以 D 2 +E 2 -4F 姨 2 为半径的圆 D 2 +E 2 -4F<0 不表示任何图形 D 2 +E 2 -4F=0 表示一个点 - D 2 ， - E 2 2 2 70 第二章 平面解析几何 学 （ 2 ） 根据已知条件， 建立关于 D ， E ， F 的方程组 . （ 3 ） 解方程组 ， 求出 D ， E ， F 的值 ， 并把它们代入所设的方程中去， 就得到所求 圆的一般方程 . 例 2 已知 △ABC 的三个顶点为 A （ 1 ， 4 ）， B （ -2 ， 3 ）， C （ 4 ， -5 ）， 求 △ABC 的外 接圆方程、 外心坐标和外接圆半径 . 解： 方法一： 设 △ABC 的外接圆方程为 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F＝0 ， ∵A ， B ， C 在圆上， ∴ 1+16+D+4E+F=0 ， 4+9-2D+3E+F=0 ， 16+25+4D-5E+F=0 0 $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ % ， 解得 D=-2 ， E=2 ， F=-23 3 $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ % ， ∴△ABC 的外接圆方程为 x 2 +y 2 -2x+2y- 23＝0 ， 即（ x-1 ） 2 + （ y+1 ） 2 ＝25. ∴ 外心坐标为 （ 1 ， -1 ）， 外接圆半径 为 5. 方法二： ∵k AB ＝ 4-3 1+2 = 1 3 ， k AC = 4+5 1-4 ＝-3 ， ∴k AB · k AC ＝-1 ， ∴AB⊥AC. ∴△ABC 是以角 A 为直角的直角三角 形， ∴ 外心是线段 BC 的中点， 坐标为 （ 1 ， -1 ）， r＝ 1 2 |BC|＝5. ∴ 外接圆方程为（ x-1 ） 2 + （ y+1 ） 2 ＝25. 变式训练 2 已知圆 C ： x 2 +y 2 +Dx+Ey+3＝0 ， 圆心在直 线 x+y-1＝0 上， 且圆心在第二象限， 半径长 为 2 姨 ， 求圆的一般方程 . 要点 3 与圆有关的轨迹问题 求曲线的轨迹问题， 现阶段一般有两种 方法： 一是直接法， 即把动点满足的条件直 接用坐标 “翻译” 过来的方法； 二是代入 法， 代入法也叫相关点法， 就是把动点 （ x ， y ） 与相关点 （ x 0 ， y 0 ） 建立等式， 再把 x 0 ， y 0 用 x ， y 表示后代入到它所满足的曲线的 方法 . 解题时要注意条件的限制 . 例 3 点 A （ 2 ， 0 ） 是圆 x 2 +y 2 ＝4 上的定 点， 点 B （ 1 ， 1 ） 是圆内一点， 点 P 为圆上 的动点 . （ 1 ） 求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程； （ 2 ） 求 BP 的中点 E 的轨迹方程 . 解： （ 1 ） 设线段 AP 的中点为 M （ x ， y ）， 由中点公式得点 P 的坐标为 （ 2x-2 ， 2y ） . ∵ 点 P 在圆 x 2 +y 2 ＝4 上， ∴ （ 2x-2 ） 2 + （ 2y ） 2 ＝4 ， 故线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为 （ x- 1 ） 2 +y 2 ＝1. （ 2 ） 设点 E （ x ， y ）， P （ x 0 ， y 0 ） . ∵B （ 1 ， 1 ）， ∴ x= x 0 +1 2 ， y= y 0 +1 2 3 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % . 整理得 x 0 ＝2x- 1 ， y 0 ＝2y-1 ， ∵ 点 P 在圆 x 2 +y 2 ＝4 上， ∴ 点 P 的坐标 满足方程 x 2 +y 2 =4 ， ∴ （ 2x-1 ） 2 + （ 2y-1 ） 2 ＝4 ， 整 理得点 E 的轨迹方程为 x 2 +y 2 -x-y- 1 2 ＝0. 变式训练 3 设圆 x 2 +y 2 -4x+2y-11＝0 的圆心为 A ， 点 P 在圆上 ， 则 PA 的中心 M 的轨迹方程是 . 71 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 数 学 文 化 例 卡西尼卵形线是 1675 年卡西尼在 研究土星及其卫星的运行规律时发现的 . 在 数学史上， 同一平面内到两个定点 （称为焦 点） 的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西 尼卵形线 . 已知卡西尼卵形线是中心对称图 形且有唯一的对称中心 . 若某卡西尼卵形线 C 两焦点间的距离为 2 ， 且 C 上的点到两焦 点的距离之积为 1 ， 则 C 上的点到其对称中 心距离的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 姨 C. 3 姨 D. 2 分析 设左 、 右焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 以线段 F 1 F 2 的中点为坐标原点， F 1 ， F 2 所 在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 设 曲线上任意一点 P （ x ， y ）， 由已知建立曲 线方程， 化简得该卡西尼卵形线的方程为 （ x 2 +y 2 ） 2 =2 （ x 2 -y 2 ）， 由此可得选项 . 解析： 设左、 右焦点分别为 F 1 ， F 2 ， 以 线段 F 1 F 2 的中点为坐标原点， F 1 ， F 2 所在的 直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 则 F 1 （ -1 ， 0 ）， F 2 （ 1 ， 0 ） . 设曲线上任意一点 P （ x ， y ）， 则 （ x+1 ） 2 +y 2 姨 · （ x-1 ） 2 +y 2 姨 =1 ， 化简得该卡西尼卵形线的 方程为（ x 2 +y 2 ） 2 =2 （ x 2 -y 2 ） . 将 x 替换为 -x ， y 替换为 -y ， 方程不变， 显然其对称中心为 （ 0 ， 0 ） . 由（ x 2 +y 2 ） 2 =2 （ x 2 -y 2 ）得（ x 2 +y 2 ） 2 -2 （ x 2 +y 2 ） = -4y 2 ≤0 ， ∴ （ x 2 +y 2 ） 2 ≤2 （ x 2 +y 2 ）， ∴0≤x 2 +y 2 ≤2 ， ∴0≤ x 2 +y 2 姨 ≤ 2 姨 ， ∴ 该卡西尼卵形线上的点到其对称中心 距离的最大值为 2 姨 . 故选 B. 72 参 考 答 案 提升练习 11. D 【解析】 由题意， （ x 2 +y 2 -2 ） x-3 姨 =0 可化为 x-3=0 或 x 2 +y 2 -2=0 （x-3≥0 ）， ∵x-3=0 在 x 2 +y 2 -2=0 右方 ， ∴x 2 +y 2 -2=0 （x-3≥0 ） 不成立， ∴x-3=0 ， ∴ 方程 （ x 2 +y 2 -2 ） x-3 姨 =0 表示的曲线 是一条直线 . 故选 D. 12． A 【解析】 ∵ 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴、 y 轴交 于 A ， B 两点， ∴A （ -2 ， 0 ）， B （ 0 ， -2 ）， 则 |AB|=2 2 姨 . ∵ 点 P 在圆 （ x-2 ） 2 +y 2 =2 上， ∴ 圆心为 （ 2 ， 0 ）， 则圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d 1 = |2+0+2| 2 姨 =2 2 姨 ， 故点 P 到直线 x+y+2=0 的距离 d 2 的取值范围为 ［ 2 姨 ， 3 2 姨 ］， 则 S △ABP = 1 2 |AB|d 2 = 2 姨 d 2 ∈ ［ 2 ， 6 ］ . 故选 A. 13. ABD 【解析】 圆心坐标为 （ k ， k ）， 在直线 y=x 上， 故 A 正确； 令（ 3-k ） 2 + （ 0-k ） 2 =4 ， 化简得 2k 2 -6k+5=0 ， ∵Δ=36- 40=-4<0 ， ∴2k 2 -6k+5=0 无实数根， 故 B 正确； 由（ 2-k ） 2 + （ 2-k ） 2 =4 ， 化简得 k 2 -4k+2=0 ， ∵Δ=16-8= 8>0 ， 方程有两不等实根， ∴ 经过点 （ 2 ， 2 ） 的圆 C k 有 两个， 故 C 错误； 由圆的半径为 2 ， 得圆的面积为 4π ， 故 D 正确 ． 故选 ABD． 14. 18 5 ， 24 5 5 & 【解析】 设 P （ x ， y ）， 则 d=|PA| 2 +|PB| 2 = x 2 + （ y+1 ） 2 +x 2 + （ y-1 ） 2 =2 （ x 2 +y 2 ） +2 ， x 2 +y 2 姨 的几何意义是 P （ x ， y ） 到原点的距离 . 由已知， 圆心 O （ 3 ， 4 ）， 半径为 1 ， C 到 O 的距离 |CO|=5 ， ∴ x 2 +y 2 姨 的最大值是 5+1=6 ， ∴d 的最大值为 2×6 2 +2=74. 由直线 y= 4 3 x 与圆 C ： （ x-3 ） 2 + （ y-4 ） 2 =1 ， 可得（ 5x- 12 ）（ 5x-18 ） =0 ， ∴x= 12 5 或 x= 18 5 ， ∴ 当 |PA| 2 +|PB| 2 取最大值时点 P 的 坐标是 18 5 ， 24 5 5 & ． 15. 解： （ 1 ） ∵ 点 A 的坐标满足方程 x 2 +y 4 =4 ， ∴t 4 =4 ， 解得 t=- 2 姨 或 t= 2 姨 （舍去）， ∴A （ 0 ， - 2 姨 ） . 设 △ABC 的外接圆的圆心为 （ a ， b ）， 半径为 r ， 则 △ABC 的外接圆的方程为 （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 =r 2 . 将 A ， B ， C 三点坐标代入可得 a 2 + （ - 2 姨 -b ） 2 =r 2 ， （ 2-a ） 2 +b 2 =r 2 ， a 2 + （ 2 姨 -b ） 2 =r 2 2 ) ) ) ) ( ) ) ) ) * ， 解得 a= 1 2 ， b=0 ， r= 3 2 2 ) ) ) ) ) ) ( ) ) ) ) ) ) * ， ∴△ABC 的外接圆的方程为 x- 1 2 5 & 2 +y 2 = 9 4 . BA=BC= 2 2 + （ 2 姨 ） 2 姨 = 6 姨 ， AC=2 2 姨 ， cos∠ABC= BA 2 +BC 2 -AC 2 2BA · BC = 6+6-8 2× 6 姨 × 6 姨 = 1 3 >0 ， 因此 △ABC 是锐角三角形， ∴△ABC 的最小覆盖圆的方程是 x- 1 2 5 & 2 +y 2 = 9 4 . （ 2 ） ∵ 线段 BD 的最小覆盖圆是以 BD 为直径的圆， ∴ 线段 BD 的最小覆盖圆的方程为 x 2 +y 2 =4. 又 ∵|OA|=|OC|= 2 姨 <2 ， ∴ 点 A ， C 在圆 x 2 +y 2 =4 内， ∴ 四边形 ABCD 的最小覆盖圆的方程是 x 2 +y 2 =4. （ 3 ） ∵ 平面图形 W 是中心对称图形， 设 P （ a ， b） 是平面图形 W 上一点， 则 |OP| 2 =a 2 +b 2 =-b 4 +b 2 +4=- b 2 - 1 2 5 & 2 + 17 4 （ - 2 姨 ≤b≤ 2 姨 ）， 当 b 2 = 1 2 ， 即 b=± 2 姨 2 时， |OP| max = 17 姨 2 ， ∴ 平面图形 W 的最小覆盖圆的方程是 x 2 +y 2 = 17 4 . 2.3.2 圆的一般方程 学习手册 变式训练 1 解： ① 方程可变形为 （ x-2 ） 2 +y 2 =4 ， 故方程 表示圆， 圆心为 C （ 2 ， 0 ）， 半径 r=2. ② 方程可变形为 2 x- 3 4 5 & 2 +2 （ y+1 ） 2 =- 23 8 ， 此方程无 实数解， 故方程不表示任何图形 ． ③ 原方程可化为 （ x+a ） 2 +y 2 =a 2 . 当 a=0 时， 方程表示点 （ 0 ， 0 ）， 不表示圆； 当 a≠0 时， 方程表示以 （ -a ， 0 ） 为圆心， |a| 为半 径的圆 ． 变式训练 2 解： 圆心 C - D 2 ， - E 2 5 & ， ∵ 圆心在直线 x+y-1=0 上， ∴- D 2 - E 2 -1=0 ， 即 D+E=-2. ① 又 ∵ 半径长 r= D 2 +E 2 -12 姨 2 = 2 姨 ， ∴D 2 +E 2 =20. ② 75 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 由 ①② 可得 D=2 ， E=- ! 4 或 D=-4 ， E=2 ! . 又 ∵ 圆心在第二象限， ∴- D 2 ＜0 ， 即 D＞0 ， 则 D=2 ， E=-4 ! ， 故圆的一般方程为 x 2 +y 2 +2x-4y+3=0. 变式训练 3 x 2 +y 2 -4x+2y+1=0 【解析】 由条件知 A （ 2 ， -1 ）， 设 M （ x ， y ）， 则 P （ 2x-2 ， 2y+1 ）， 由于点 P 在圆 上， ∴ （ 2x-2 ） 2 + （ 2y+1 ） 2 -4 （ 2x-2 ） +2 （ 2y+1 ） -11=0 ， 整理得 x 2 +y 2 -4x+2y+1=0. 随堂练习 1. A 【解析】 方程 2x 2 +2y 2 -4x+8y+10=0 ， 可化为 x 2 + y 2 -2x+4y+5=0 ， 即 （ x-1 ） 2 + （ y+2 ） 2 =0 ， ∴ 方程 2x 2 +2y 2 -4x+ 8y+10=0 表示点 （ 1 ， -2 ） ． 故选 A. 2. A 【解析】 由 D 2 +E 2 -4F＞0 得 （ -1 ） 2 +1 2 -4m＞0 ， 解 得 m＜ 1 2 ， 故选 A. 3. C 【解析】 原方程可化为 （ x-1 ） 2 + （ y+3 ） 2 =2 ， ∴ 半 径 r= 2 姨 ， ∴ 圆的面积为 S=πr 2 =2π. 故选 C. 4. C 【解析 】 圆 x 2 +y 2 -8x-4y+10=0 的圆心坐标为 （ 4 ， 2 ）， 则过点 M （ 3 ， 0 ） 且过圆心 （ 4 ， 2 ） 的弦最长 . 由 k= 2-0 4-3 =2 ， 可知 C 正确 . 故选 C. 5. 解 ： 设点 B 的坐标是 （ x ， y ）， 点 A 的坐标是 （ x 0 ， y 0 ）， 由于点 C 的坐标是 （ 4 ， 3 ） 且点 C 是线段 AB 的中点， ∴4= x 0 +x 2 ， 3= y 0 +y 2 ， 于是有 x 0 =8-x ， y 0 =6-y. ① ∵ 点 A 在圆 （ x+1 ） 2 +y 2 =4 上运动， ∴ 点 A 的坐标满 足方程 （ x+1 ） 2 +y 2 =4 ， 即 （ x 0 +1 ） 2 +y 2 0 =4. ② 把 ① 代入 ② ， 得 （ 8-x+1 ） 2 + （ 6-y ） 2 =4 ， 整理得 （ x- 9 ） 2 + （ y-6 ） 2 =4 ， ∴ 点 B 的轨迹方程为 （ x-9 ） 2 + （ y-6 ） 2 =4. 练习手册 效果评价 1. A 【解析 】 设圆的标准方程为 （ x-a ） 2 + （ y-b ） =r 2 （ r>0 ）， 由题意得圆心 （ a ， b ） 为线段 AB 的中点， 根据 中点坐标公式可得 a= 3-2 2 = 1 2 ， b= -1+2 2 = 1 2 . 又 ∵r= |AB| 2 = （ 3+2 ） 2 + （ -1-2 ） 2 姨 2 = 34 姨 2 ， ∴ 圆的标准方程为 x- 1 2 2 $ 2 + y- 1 2 2 & 2 = 17 2 ， 化简整理得 x 2 +y 2 -x-y-8=0 ， 故 选 A. 2. D 【解析 】 由 x 2 +y 2 -kx+2y+k 2 -2=0 ， 得 x- k 2 2 & 2 + （y+1 ） 2 =3- 3 4 k 2 ， 若方程 x 2 +y 2 -kx+2y+k 2 -2=0 表示圆， 则 3- 3 4 k 2 >0 ， 即 -2<k<2 ， ∴A ， B 为方程 x 2 +y 2 -kx+2y+k 2 -2=0 表示圆的既不充 分也不必要条件， C 为充要条件， 而 （ 0 ， 1 ］ 奂 （ -2 ， 2 ）， 则 D 为充分不必要条件 . 故选 D. 3. A 【解析】 将圆的方程化为标准方程得 （ x-2 ） 2 + （ y +1 ） 2 =5 -a ， ∵ 该 圆 与 x 轴 、 y 轴 均 有 公 共 点 ， ∴ 5-a>0 ， 5-a 姨 ≥2 ， 5-a 姨 ≥1 1 + + + + * + + + + , ， 解得 a≤1. 因此 ， 实数 a 的取值范围是 （ -∞ ， 1 ］ . 故选 A. 4. ABD 【解析】 由 x 2 +y 2 -8x+6y=0 ， 得 （ x-4 ） 2 + （ y+ 3 ） 2 =25 ， ∴ 圆 M 的圆心坐标为 （ 4 ， -3 ）， 半径为 5 ， 圆 M 截 x 轴所得的弦长为 8 ， 圆 M 截 y 轴所得的弦长为 6. 故选 ABD. 5. AB 【解析】 圆 C 的标准方程为 （ x+1 ） 2 + （ y-2 ） 2 = 5-a ， 故 a<5. 又 ∵ 弦 AB 的中点为 M （ 0 ， 1 ）， 故 M 点在圆内， ∴ （ 0+1 ） 2 + （ 1-2 ） 2 <5-a ， 即 a<3. 综上， a<3. 故选 AB. 6. C 【解析 】 函数 y= -x 2 -2x 姨 的 图 象 是 半 圆 ， 圆心为 C （ -1 ， 0 ）， 半径 r= 1. 如图， 作直线 4x+3y-21= 0 ， 则点 C 到直线 4x+3y- 21=0 的距离 d= |-4+0-21| 4 2 +3 2 姨 = 5 ， P （ m ， n ） 到直线 4x+3y- 21=0 的距离 d′= |4m+3n-21| 5 ， 由题可知 d′ 的最小值为 5-1=4 ， ∴|4m+3n-21| 的最小值为 5×4=20. 故选 C. 7. a 2 +b 2 =4 【解析 】 由圆的半径 r= 1 2 D 2 +E 2 -4F 姨 = 1 2 4a 2 +4b 2 姨 =2 ， 得 a 2 +b 2 姨 =2 ， 即 a 2 +b 2 =4. 8. 2 5 姨 【解析】 x 2 +y 2 -4x-2y=0 可化为 （ x-2 ） 2 + （ y- 1 ） 2 =5 ， 故圆 C 的圆心为 C （ 2 ， 1 ）， 半径 r= 5 姨 . 设点 A （ 0 ， 2 ） 关于直线 x+y+2=0 的对称点为 A′ （ m ， n ）， 故 m+0 2 + n+2 2 +2=0 ， n-2 m-0 =1 1 + + + + * + + + + , ， 解得 m=-4 ， n=-2 ! ， 故 A′ （ -4 ， -2 ） . 连接 A′C ， 由对称性可知， |PA|+|PQ|=|A′P|+|PQ|≥|A′C|- r=2 5 姨 （当且仅当 A′ ， P ， Q ， C 四点共线时取等号） . 9. 解： （ 1 ） ∵ 方程表示圆， ∴D 2 +E 2 -4F=4 （ m+3 ） 2 +4 （ 1-4m 2 ） 2 -4 （ 16m 4 +9 ） =4 （ -7m 2 +6m+1 ） >0 ， ∴-7m 2 +6m+1>0 ， ∴- 1 7 <m<1. x y O 7 6 5 4 3 2 1 2 4 C P 第 6 题答图 76 参 考 答 案 （ 2 ） r= 1 2 4 （ -7m 2 +6m+1 ） 姨 = -7 m- 3 7 7 # 2 + 16 7 姨 ， ∵- 1 7 <m<1 ， ∴0<r≤ 4 7 姨 7 . （ 3 ） 设圆心坐标为 （x ， y）， 则 x=m+3 ， ① y=4m 2 -1 ， ， ② 由 ① 得 m=x-3 ， 代入 ② 消去 m 得， y=4 （x-3 ） 2 -1． ∵- 1 7 <m<1 ， ∴ 20 7 <x<4 ， ∴ 圆心的轨迹方程为 y=4 （x-3 ） 2 -1 20 7 <x< < # 4 . 10. 解： （ 1 ） 连接 OQ ， 当直线 PQ 与圆 O 相切于 点 Q 时， OQ⊥PQ ， ∵|OQ|=|PQ|=2 ， 则 |OP|=2 2 姨 . 又 ∵ 点 Q 在第一象限 ， 故 △OPQ 为等腰直角三角形 ， 故 P （ 2 2 姨 ， 0 ）， Q （ 2 姨 ， 2 姨 ） . 由点 M 为 PQ 的中点， 得 M 3 2 姨 2 ， 2 姨 2 < # ， ∴ 直线 OM 的斜率为 1 3 . （ 2 ） 设 M （ x ， y ） （ x≠0 ）， 由 |OQ|=|PQ|=2 ， 得 △OPQ 为等腰三角形 . 设 Q （ x 0 ， y 0 ）， 则 P （ 2x 0 ， 0 ）， 又 ∵ 点 M 为 PQ 的中点 ， 故 x 0 +2x 0 2 =x ， y 0 +0 2 =y y , , , , + , , , , - ， 解得 x 0 = 2 3 x ， y 0 =2y y , , , + , , , - ， 得 P 4x 3 ， 7 ， 0 ， Q 2x 3 ， 2 < ， y ， 把 Q 2x 3 ， 2 < ， y 的坐标代入 x 2 +y 2 =4 ， 整理得 x 2 9 +y 2 =1 ， ∴ 点 M 的轨迹方程为 x 2 9 +y 2 =1 （x≠0 ） . 提升练习 11. C 【解析】 由题意知 a 2 +4-2a 2 -3×2+a 2 +a>0 ， （ -2a ） 2 + （ -3 ） 2 -4 （ a 2 +a ） >0 ， ， 解得 a>2 ， a< 9 4 y , , , + , , , - ， 即 2＜a＜ 9 4 . 故选 C. 12. B 【解析】 圆 x 2 +y 2 -4x+2y+c=0 化成标准方程为 （ x-2 ） 2 + （ y+1 ） 2 =5-c ， ∴ 圆心为 P （ 2 ， -1 ）， 半径 r= 5-c 姨 ， 如图所示 . ∵ 圆 P 与直线 x=0 交于 A ， B 两点， △PAB 是正三角形， ∴P 到 x=0 的距离等于半径的 3 姨 2 倍， 可得 2= 3 姨 2 · 5-c 姨 ， 解得 c=- 1 3 . 故选 B． 13. A 【解析】 过点 P 作 PA⊥x 轴， PB 垂直于平面 直角坐标系的纵轴， 设 P （ x ， y ） 在平面直角坐标系下的坐标为 P′ （ x 0 ， y 0 ） . ∵∠BON=30° ， ON=y ， ∴OB= 3 姨 2 y ， BN= 1 2 y ， 即 y 0 = 3 姨 2 y ， x 0 =x+ 1 2 y. ∵P′ （ x 0 ， y 0 ） 在单位圆 x 2 +y 2 =1 上， ∴x 2 0 +y 2 0 =1 ， 即 3 姨 2 y < ， 2 + x+ 1 2 y < ， 2 =1 ， 整理得 x 2 +y 2 +xy-1=0. 故选 A． * 14. 2 姨 2 ， ， 1 7 【解析】 以点 C 为坐标原点， CA ， CB 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系 . ∵AC=2 ， △ABC 为等腰直角三角形， 则 BC=2 ， ∴A （ 2 ， 0 ）， B （ 0 ， 2 ） . 又 ∵P ， Q 分别是 AC ， AB 中点， ∴P （ 1 ， 0 ）， Q （ 1 ， 1 ）， 由 Rt△AOC 知， 点 O 在以 AC 为直径的下半圆上， ∴ 设 O （ x ， y ）， 则 （ x-1 ） 2 +y 2 =1 （ -1≤y<0 ）， ∴ O O2 P = （ 1-x ， -y ）， O O2 Q = （ 1-x ， 1-y ）， 则 O O2 P·O O2 Q |O O2 Q | = （ 1-x ）（ 1-x ） + （ -y ）（ 1-y ） （ 1-x ） 2 + （ 1-y ） 2 姨 = （ 1-x ） 2 +y 2 -y （ 1-x ） 2 +y 2 -2y+1 姨 = 1-y 2-2y 姨 = 2 姨 2 · 1-y 姨 . ∵y∈ ［ -1 ， 0 ）， ∴ 1-y 姨 ∈ （ 1 ， 2 姨 ］ . ∴ O O2 P·O O2 Q |O O2 Q | ∈ 2 姨 2 ， ， 1 < . * 15. 解： （ 1 ） 设点 B 的坐标为 （ x 0 ， y 0 ）， 则 y 0 ＞0 ， 设线段 AB 的中点为 M （ x ， y ）， 由于点 B 在曲线 Γ 上， 则 x 2 0 +y 2 0 =1. ① ∵ 点 M 为线段 AB 的中点， 则 2x=x 0 +2 ， 2y=y 0 ， 得 x 0 =2x-2 ， y 0 =2y ， 代入 ① 式得 （ 2x-2 ） 2 + （ 2y ） 2 =1 ， 化简得 （ x-1 ） 2 +y 2 = 1 4 ， 其中 y＞0. （ 2 ） 设 B （ x 0 ， y 0 ）， 0＜y 0 ≤1 ， △OAB 的面积为 1 2 · 2y 0 =y 0 ， 可得面积的最大值为 1 ， 且 B （ 0 ， 1 ） . （ 3 ） 如图所示， 易知点 D （ 2 ， 2 ） . 结合图形可知， 点 C 在 右半圆 D ： （ x-2 ） 2 + （ y-2 ） 2 =1 上运动， 问题转化为求原点 O 到 右半圆 D 上一点 C 的距离的 最大值， 连接 OD 并延长交右半圆 D 于点 C′ ， 当点 C 与点 C′ 重合时， |OC| 取最大值， 且 |OC| max =|OD|+1=2 2 姨 +1. x y A B P 2 -2 第 12 题答图 O x y O -1 1 C′ A B C D 第 15 题答图 77