2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念， 明 确直线的倾斜角和斜率的关系 . 2. 掌握过两点的直线斜率的计算公式并 能解决相关问题 . 3. 会利用斜率概念判断给定的三点是否 共线 . 要 点 精 析 要点 1 倾斜角的概念 1. 倾斜角的概念： 一般地， 给定平面直 角坐标系中的一条直线， 如果这条直线与 x 轴相交， 将 x 轴绕着它们的交点按逆时针方 向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为 兹 ， 则称 兹 为这条直线的倾斜角； 如果这条 直线与 x 轴平行或重合， 则规定这条直线的 倾斜角为 0°. 思考 你能说出直线的倾斜角的取值 范围吗？ 两向量的夹角的取值范围呢？ 2. 直线的倾斜角公式： 一般地， 如果 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） 是直线 l 上两个不同的 点， 直线 l 的倾斜角为 兹 ， 则： （ 1 ） 当 y 1 =y 2 时 （此时必有 x 1 ≠x 2 ）， 兹=0°. （ 2 ） 当 x 1 =x 2 时 （此时必有 y 1 ≠y 2 ）， 兹= 90°. （ 3 ） 当 x 1 ≠x 2 且 y 1 ≠y 2 时， 可以构造以 AB 为斜边且两直角边分别平行于坐标轴或 在坐标轴上的直角三角形 ， 此时 ， tan兹= y 2 -y 1 x 2 -x 1 ， 而且， 这个式子在 x 1 ≠x 2 且 y 1 =y 2 时 也成立 . 思考 直线的倾斜角可以用三角函数 中的正弦来表示吗？ 为什么？ 例 1 已知 y=x 的图象绕原点逆时针旋 转 30° 得直线 l ， 求直线 l 的倾斜角 . 解： 由 y=x 的图象是一条倾斜角为 45° 的直线， 由图 2-2-1 可知， 直线 l 的倾斜角 兹=30°+45°=75°. 变式训练 1 过 A （ 1 ， 1 ） 的直线 l 不经过第二象限， 求直线 l 的倾斜角的取值范围 . 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 1课时 倾斜角与斜率 x y y=x 30° l 图 2-2-1 40 第二章 平面解析几何 学 要点 2 直线的斜率及斜率公式 1. 直线的斜率的概念 一般地， 如果直线 l 的倾斜角为 兹 ， 则 当 兹≠90° 时， 称 k=tan兹 为直线 l 的斜率； 当 兹=90° 时， 称直线的斜率不存在 . 思考 已知一条直线的倾斜角或斜率， 能确定这条直线吗？ 如不能， 还需要知道 什么条件呢？ 2. 倾斜角与斜率的关系 思考 直线的斜率会随着倾斜角的增 大而增大吗？ 3. 两点的斜率公式 如果 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） 是直线 l 上 两个不同的点， 那么当 x 1 ≠x 2 时， 斜率 k= y 1 -y 2 x 1 -x 2 . 思考 斜率公式与两点的顺序有关吗？ 在以前学过的知识中你遇到过直线的斜 率吗？ 例 2 已知坐标平面内 △ABC 的三个顶 点坐标分别为 A （ 2 ， 1 ）， B （ -1 ， 1 ）， C （ -1 ， -2 ）， 求直线 AB ， BC ， CA 的斜率 . 分析 利用两点的斜率公式即可求解， 但要注意判断使用公式时两点的横坐标是 否相同 . 解 ： 由 题 意 得 k AB = 1-1 2- （ -1 ） =0 ， k CA = 1- （ -2 ） 2- （ -1 ） =1 ， 由 B ， C 两点的横坐标相等， 故直线 BC 的斜率不存在 . 变式训练 2 将本例中 C （ -1 ， -2 ） 改为 C （ -2 ， 2 ）， 求直线 AB ， BC 的斜率以及倾斜角 . 反思感悟 根据直线斜率和倾斜角的关系， 解题 时求倾斜角的值或范围， 可以通过求直线 的斜率的值或范围来解决， 反之也一样 . 例 3 已知经过 A （ 2a ， 3 ）， B （ 2 ， a-1 ） 的直线的斜率为 - 1 3 ， 求实数 a 的值 . 分析 利用两点的斜率公式列出关于 实数 a 的方程， 即可求解 . 解： 由已知条件得 a-1-3 2-2a =- 1 3 ， ∴3a- 12=2a-2 ， 解得 a=10. 变式训练 3 若直线经过两点 A （ 2 ， -m ）， B （ m ， m- 1 ）， 且倾斜角为 135° ， 则 m 的值为 （ ） A. 2 B. 3 2 C. 1 D. - 3 2 倾斜角 兹 斜率 k=tan兹 倾斜角 兹 斜率 k=tan兹 0° 0 90° 不存在 ３0° 3 姨 3 １２0° - 3 姨 ４５° 1 １３５° -1 ６0° 3 姨 １５0° - 3 姨 3 41 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 例 4 下列关于直线倾斜角与斜率的说 法， 正确的是 （ ） A. 任何一条直线都有倾斜角， 也都有 斜率 B. 直线的倾斜角越大， 它的斜率就越大 C. 平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0° 或 180° D. 直线斜率的取值范围是 （ -∞ ， +∞ ） 解析： 任何一条直线都有倾斜角， 但不 一定有斜率， 当倾斜角为 90° 时， 斜率不存 在； 直线的倾斜角为锐角时， 斜率大于 0 ， 直线的倾斜角为钝角时， 斜率小于 0 ， 所以 倾斜角越大， 斜率不一定越大； 根据倾斜角 的定义， 平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0° ； 根据斜率和倾斜角的正切关系可知斜率的取 值范围是 （ -∞ ， +∞ ） . 故选 D. 例 5 已知两点 A （ 2 ， -3 ）， B （ 3 ， 2 ）， 直线 l 经过点 P （ 0 ， -2 ） . 若直线 l 与线段 AB 有公共点， 求直线 l 的斜率的取值范围 . 分析 根据题意作出图形， 求出直线 PA ， PB 的斜率， 进而数形结合即可求出 结果 . 解： 根据题意作出如 图 2-2-2 所示的图形 . 直 线 PA 的 斜 率 为 k PA = -2- （ -3 ） 0-2 =- 1 2 ， 直线 PB 的斜率为 k PB = -2-2 0-3 = 4 3 ， ∴ 过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点时， 直线 l 的斜率的取 值范围是 - 1 2 ， 4 3 3 " . 反思感悟 解决这类问题的思路一般是先求出定 点和线段两个端点连线的斜率， 判断这两 个边界线倾斜角的变化情况， 然后写出直 线斜率的取值范围 . 变式训练 4 将本例中点 P 的坐标改为 5 2 ， - - $ 2 ， 其 他条件不变， 求直线 l 的斜率的取值范围 . 例 6 若三点 A （ 2 ， 2 ）， B （ a ， 0 ）， C （ 0 ， 4 ） 共线， 求实数 a 的值 . 分析 当这三点中任意两点所得直线 的斜率相等时， 这三点即共线 . 解： 由题可知 k AB = 2 2-a ， k AC = 2-4 2-0 =-1 ， ∵A ， B ， C 三点共线， ∴k AB =k AC ， ∴ 2 2-a =-1 ， 解得 a=4. 反思感悟 判断三点共线的方法： （ 1 ） 向量法： 转化为判断任意两点连 成的向量是否共线 . （ 2 ） 公式法： ① 判断过任意两点的直线的斜率是否 相等； ② 利用两点的距离公式， 判断最长线 段的长度是否等于两条较短线段长度之和 . x y O A B P （ 2 ， -3 ） （ 3 ， 2 ） （ 0 ， -2 ） 图 2-2-2 42 第二章 平面解析几何 学 变式训练 5 已知 a>0 ， 若平面内三点 A （ 1 ， -a ）， B （ 2 ， a 2 ）， C （ 3 ， a 3 ） 共线， 则 a= . 数 学 文 化 例 解析几何是 17 世纪法国数学家笛 卡儿和费马创立的， 它的基本内涵和方法 是： 通过坐标系， 把几何的基本元素——点 和代数的基本对象——数 （有序数对或数 组） 对应起来， 在此基础上建立曲线 （点的 轨迹） 的方程， 从而把几何问题转化为代数 问题， 再通过代数方法研究几何图形的性 质 . 解析几何的创立是数学发展史上的一个 里程碑， 数学从此进入变量数学时期， 它为微 积分的创建奠定了基础 . 解析几何很好地将数 和形结合在了一起， 例如， 与 （ x-a ） 2 + （ y-b ） 2 姨 相关的代数问题 ， 可以转化为点 A （ x ， y ） 与点 B （ a ， b ） 之间的距离的几何问题 . 请 你用解析几何的知识求函数 f （ x ） = sin 2 x-4 2cos 2 x+1 的值域 . 分析 f （ x ）可看作是动点 P （ 2cos 2 x ， sin 2 x ） 与定点 A （ -1 ， 4 ） 所连成的直线的斜 率， 从而将求函数的值域这个代数问题转 化为求直线的倾斜程度这个几何问题 . 由于 cos 2 x+sin 2 x=1 ， 可以分析出动点 P 在线段 y= 1- 1 2 x （ 0≤x≤2 ） 上运动， 进而求出直线 PA 的斜率的取值范围， 这个范围即为函 数的值域 . 解： 如图 2-2-3 所示， 设动点 P （ 2cos 2 x ， sin 2 x ）， 点 A （ -1 ， 4 ）， B （ 0 ， 1 ）， C （ 2 ， 0 ）， 则 f （ x ） = sin 2 x-4 2cos 2 x+1 表示直线 PA 的斜率 . ∵cos 2 x+sin 2 x=1 ， 0≤cos 2 x≤1 ， ∴ 点 P 在 y= 1- 1 2 x （ 0≤x≤2 ） 所表示的线段 BC 上运动 . 故当点 P 与点 B 重合时， 直线 AB 的斜 率为 k AB =-3 ； 当点 P 与点 C 重合时， 直线 AC 的斜率 为 k AC =- 4 3 ， ∴ f （ x ）的值域为 -3 ， - 4 3 3 $ . 图 2-2-3 x y O A B C （ -1 ， 4 ） （ 0 ， 1 ） （ 2 ， 0 ） P 43 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 1. 理解直线的方向向量和法向量的概念 . 2. 会写出直线的一个特殊的方向向量 . 3. 掌握直线的方向向量和法向量的坐标 关系 . 4. 会利用直线的方向向量和法向量的坐 标求出直线的斜率， 也会根据直线的斜率写 出直线的一个方向向量或一个法向量的坐标 . 要 点 精 析 要点 1 直线的方向向量 1. 定义： 一般地， 如果表示非零向量 a 的有向线段所在的直线与直线 l 平行或重 合， 则称向量 a 为直线 l 的一个方向向量， 记作 a∥l. 显然 ， 在直线 l 上任取 A ， B 两个不 同的点， 向量 A A# B （ B AB A ）是直线 l 的一个方向 向量 . 思考 直线的方向向量是唯一的吗 ？ 如果不唯一， 它们之间有什么关系吗？ 直 线的方向向量需要满足什么条件吗？ 平面 上的任意直线有方向向量吗？ 2. 直线的方向向量坐标 如果 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） 是直线 l 上 两个不同的点， 则 A AB B = （ x 2 -x 1 ， y 2 -y 1 ） 就是 直线 l 的一个方向向量 . 显然， 当 x 1 ≠x 2 时， 1 x 2 -x 1 A AB B = 1 ， y 2 -y 1 x 2 -x 1 1 ' = （ 1 ， k ） 也是直线的一个方向向量， 记作 a ， 即 a= （ 1 ， k ） . 思考 当直线的倾斜角为 兹 时， 若 O A# P 是直线 l 的一个方向向量， 且 ｜O A# P ｜=1 ， 你能 用 兹 来表示直线 l 的一个方向向量吗？ 反思感悟 一般地， 如果已知 a= （ u ， v ） 是直线 l 的一个方向向量， 那么 （ 1 ） 当 u=0 时， 直线 l 的斜率不存在， 倾斜角为 90°. （ 2 ） 当 u≠0 时 ， 直线的斜率是存在 的， 且 k= v u ， 因此倾斜角满足 tan兹= v u . 例 1 已知 A （ -２ ， 0 ）， Ｂ （ -５ ， ３ ）， Ｃ （ ３ ， -５ ）， 判断 A ， B ， C 三点是否共线 . 分析 在本节第 1 课时介绍了利用两 点的斜率公式判断三点是否共线， 在本课 时， 利用方向向量判断三点是否共线 . 即判 断直线 AB 的方向向量与直线 AC 的方向向 量是否平行， 如平行， 则三点共线 . 这种方 法的实质是利用向量法判断三点共线 . 解： 直线 AB 的一个方向向量为 A A# B = （ -5+2 ， 3 ） = （ -3 ， 3 ）， 直线 AC 的一个方向向量为 A A# C = （ 3+2 ， -5-0 ） = （ 5 ， -5 ）， ∵ （ -3 ） × （ -5 ） =3×5 ， ∴A A# B∥A A# C . 又 ∵A A# B 与 A A# C 有公共点 A ， ∴A ， B ， C 三点共线 . 例 2 已知三点 A （ -3 ， -1 ）， B （ m ， 3 ）， C （ 5 ， m+6 ） （ m>0 ） 共线， 求 A ， B ， C 三 点所在直线 l 的一个方向向量 ， 并确定直 第 2课时 方向向量与法向量 44 第二章 平面解析几何 学 线 l 的斜率和倾斜角 . 解： ∵A ， B ， C 三点共线， ∴A A" B∥A A" C . ∵A A" B = （ m+3 ， 4 ）， A A" C = （ 8 ， m+7 ）， ∴ （ m+3 ）·（ m+7 ） =4×8=32 ， 即 m 2 +10m-11=0 ， 解得 m=1 或 m=-11 （舍） . ∴ 直线 l 的一个方向向量为 A A" B = （ 4 ， 4 ）， ∴ 斜率 k= 4 4 =1 ， 倾斜角 兹=45°. 变式训练 1 已知直线 l 的倾斜角是 30° ， 求它的一 个方向向量的坐标 . 要点 2 直线的法向量 1. 定义： 一般地， 如果表示非零向量 v 的有向线段所在直线与直线 l 垂直， 则称向 量 v 为直线 l 的一个法向量， 记作 v⊥l. 2. 直线的一个法向量的坐标 若直线 l 的一个方向向量的坐标为 （ x 0 ， y 0 ）， 则直线 l 的一个法向量的坐标为 （ y 0 ， -x 0 ） . 反思感悟 （ 1 ） 若直线的斜率为 k ， 则此直线的一 个方向向量的坐标为 （ 1 ， k ）， 一个法向量 坐标为 （ k ， -1 ） . （ 2 ） 若直线的倾斜角为 琢 ， 则此直线 的一个方向向量的坐标为（ cos琢 ， sin琢 ）， 一 个法向量的坐标为（ sin琢 ， -cos琢 ） . （ 3 ） 若直线的一个法向量的坐标为 （ x 0 ， y 0 ）， 与直线的方向向量一样， 与这个法向量 平行的所有非零向量都是这条直线的法向 量， 且当 y 0 ≠0 时， 此直线的斜率 k=- x 0 y 0 . 思考 你能想到的直线的法向量的作 用是什么？ 例 3 已知直线 l 上两点 P （ 1 ， 0 ）， Q （ 2 ， 3 姨 ）， 试写出这条直线的一个法向量的坐 标， 并求出这条直线的斜率和倾斜角 . 分析 方法很多， 可以通过写出直线 的一个方向向量的坐标， 利用法向量与方 向向量的坐标关系写出直线的一个法向量 坐标； 也可以先求直线的斜率， 利用斜率 和法向量的关系写出一个法向量坐标； 或 者利用倾斜角写出一个法向量坐标 . 并且答 案不唯一， 只要这些向量是平行的即可 . 解： 方法一： 由题可知， 直线的一个方 向向量坐标为 P A" Q = （ 1 ， 3 姨 ）， ∴ 此直线的 一个法向量的坐标为 （ 3 姨 ， -1 ） . 此时直 线的斜率 k= 3 姨 ， ∴ 倾斜角为 60°. 方法二： 由两点的斜率公式可知直线的 斜率 k= 3 姨 -0 2-1 = 3 姨 ， ∴ 直线的一个法向 量的坐标为 （ 3 姨 ， -1 ）， 倾斜角为 60°. 反思感悟 本题需要明确直线的法向量与直线斜 率、 倾斜角、 直线的方向向量的关系 . 45 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 变式训练 2 若一条光线从点 P （ 6 ， 4 ） 射出， 与 x 轴 相交于点 Q （ 2 ， 0 ）， 经 x 轴反射， 求反射光 线所在直线的一个方向向量和一个法向量 . 数 学 文 化 解析几何的创始人笛卡儿在 1637 年发 表了 《更好地指导推理和寻找科学真理的方 法论》， 这是一本哲学的经典著作， 包含了 三个附录， 《几何学》 就是其中之一 . 《几 何学》 是笛卡儿所写的唯一一本数学书 . 笛 卡儿在 《几何学》 中引入了坐标方法和用方 程表示曲线的思想 . 于是后人就把这本 《几 何学》 的发表作为解析几何创立的标志 . 解析几何不断发展和完善， 利用向量方 法解决几何问题其实质就是利用坐标法解决 几何问题， 因此向量是解析几何中的一个非 常重要的解决问题的工具 . 例 已知在平面直角坐标系中， O !" A = （ 1 ， 4 ）， O !" B = （ -3 ， 1 ）， 且 O !" A 与 O !" B 在直线 l 的方向向量上的投影的长度相等， 若直线 l 的倾斜角为钝角， 求直线 l 的斜率 . 分析 设直线 l 的方向向量 u= （ m ， n ）， 可得 O !" A · u ｜u｜ =± O !" B · u ｜u｜ ， 化简即可得出 . 解： 设直线 l 的方向向量 u= （ m ， n ）， 则 O !" A · u ｜u｜ =± O !" B · u ｜u｜ ， ∴m+4n=± （ -3m+n ）， 解得 4m=-3n 或 2m=5n. ∵ 直线 l 的倾斜角为钝角， ∴ 斜率 k= n m <0 ， ∴ n m =- 4 3 ， 即直线 l 的斜率为 - 4 3 . 46 参 考 答 案 知， 当点 C 的坐标 （ x 3 ， y 3 ） 的取值范围为 x 3 ∈ ［ x 1 ， x 2 ］ 且 y 3 ∈ ［ y 1 ， y 2 ］ 时， （ 1 ） 中的不等式等号成立 . 当点 C 的坐标 （ x 3 ， y 3 ） 的取值范围为 x 3 ∈ （ -∞ ， x 1 ） ∪ （ x 2 ， +∞ ） 或 y 3 ∈ （ -∞ ， y 1 ） ∪ （ y 2 ， +∞ ） 时， 不等式 等号不成立 . 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 1 课时 倾斜角与斜率 学习手册 变式训练 1 解 ： 如图 ， 直线 l 的 两个临界情形是与 x 轴垂直的直线 和过原点的直线 . 当直线 l 位于这两条直线所夹 的阴影范围时， 直线 l 不经过第二象限 . 当直线 l 垂直于 x 轴时， 倾斜 角为 90° ， 当直线 l 过原点时， 倾斜角为 45° ， ∴ 倾斜角的取值 范围是 ［ 45° ， 90° ］ . 变式训练 2 解： 由题意得 k AB = 1-1 2- （ -1 ） =0 ， ∴ 直线 AB 的倾斜角为 0° ； k BC = 2-1 -2+1 =-1 ， ∴ 直线 BC 的倾斜角为 135°. 变式训练 3 C 【解析】 由题意， k AB = m-1- （ -m ） m-2 = 2m-1 m-2 =tan135°=-1 ， 解得 m=1. 故选 C. 变式训练 4 解： 根据题意作出如 图所示的图形 . 直线 PA 的斜率为 k PA = -2- （ -3 ） 5 2 -2 =2 ， 直线 PB 的斜率为 k PB = -2-2 5 2 -3 =8 ， ∴ 过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点时， 直线 l 的斜率的取值范围是 （ -∞ ， 2 ］ ∪ ［ 8 ， +∞ ） . 变式训练 5 1+ 2 姨 【解析】 若 A ， B ， C 三点共线， 则 k AB =k AC ， ∴ a 2 +a 2-1 = a 3 +a 3-1 ， 得 2 （ a 2 +a ） =a 3 +a. 由 a>0 ， 故上 式化简为 a 2 -2a-1=0 ， 解得 a=1+ 2 姨 . 随堂练习 1. C 【解析】 经过 A （ 2 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 姨 ） 两点的直 线的斜率为 k AB = 3 姨 1-2 =- 3 姨 ， 设该直线的倾斜角为 琢 ， 则 tan琢=- 3 姨 . 又 ∵0°≤琢<180° ， ∴琢=120°. 故选 C. 2. - 1 3 【解析】 ∵A （ 2 ， 3 ）， B （ -1 ， 4 ）， 则 k AB = 3-4 2+1 =- 1 3 . 3. 3 姨 3 ， ， 1 1 0 ， 仔 6 '( ∪ 2仔 ３ ， 1 ' 仔 【解析】 ∵k= tan琢 ， 琢∈ 仔 6 ， 仔 4 ，1 ， tan 仔 6 = 3 姨 3 ， tan 仔 4 =1 ， ∴ 3 姨 3 <k≤1 ， ∴ 斜率 k 的取值范围是 3 姨 3 ， ， 1 1 . 当 k∈ - 3 姨 ， 3 姨 3 1 ' 时， 由 k=- 3 姨 时， 琢= 2仔 3 ； 当 k= 3 姨 3 时， 琢= 仔 6 . ∴ 当 k∈ （ - 3 姨 ， 0 ） 时 ， 琢∈ 2仔 3 ， 1 ' 仔 ； 当 k∈ 0 ， 3 姨 3 '( 时， 琢∈ 0 ， 仔 6 '( . 综上， 琢∈ 0 ， 仔 6 '( ∪ 2仔 ３ ， 1 ' 仔 . 4. 1 2 【解析】 ∵A ， B ， C 三点共线， ∴k AB =k BC ， 由 k AB = -4m-3 3- （ -2 ） =- 4m+3 5 ， k BC = m- （ -4m ） 1 2 -3 =-2m ， ∴- 4m+3 5 =-2m ， 解得 m= 1 2 . 5. BD 【解析】 若直线的倾斜角 琢＝ 仔 ２ ， 则直线的斜 率不存在， 故 A 不正确； 若直线的倾斜角为 琢 ， 则 琢∈ ［ 0 ， 仔 ）， 故 B 正确； 举反例， 如取直线的倾斜角 琢 为 仔 3 ， 仔 4 ， 满足 仔 3 > 仔 4 ， 但 tan 仔 3 >tan 仔 4 ， 故 C 不正确； 由倾斜角和斜率的定义可知倾斜角和斜率都是反 映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度， 故 D 正确 . 故选 BD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析 】 由已知直线斜率为 -1 ， ∴ 倾斜角为 135°. 故选 C. 2. C 【解析】 ∵ 直线 l 过原点 （ 0 ， 0 ）， 且不过第三 象限， 可知直线与坐标轴重合或经过第二、 四象限， ∴l 的倾斜角 琢 的取值范围为 琢=0° 或 90°≤琢<180° ， x y O A 变式训练 1 答图 x y O B （ 3 ， 2 ） A （ 2 ， -3 ） P 变式训练 4 答图 5 2 ， -2 1 ' 53 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故选 C. 3. A 【解析】 ∵ 直线 PQ 的斜率为 - 3 姨 ， ∴ 直线 PQ 的倾斜角为 120° ， 则所求直线的倾斜角为 60° ， tan60°= 3 姨 . 故选 A. 4. ACD 【解析】 ∵0°≤琢<180° ， 且 tan琢>0 ， 则 琢 为 锐角， 故 A 正确； 虽然直线的斜率为 tan琢 ， 但只有 0°≤琢<180° 时， 琢 才是此直线的倾斜角， 故 B 错误； ∵0°≤琢<180° ， ∴sin琢≥0 ， 故 C 正确； 任意直线都有倾斜角 琢 ， 且 琢≠90° 时 ， 斜率为 tan琢 ， 故 D 正确 . 故选 ACD. 5. C 【解析】 ∵ 三点 A （ m ， 1 ）， B （ 4 ， 2 ）， C （ -4 ， 2m ） 在同一条直线上， 且直线斜率存在， ∴ 2-1 4-m = 2-2m 4- （ -4 ） ， 解得 m=0 或 m=5. 故选 C. 6. B 【解析】 斜率 k＝ f （ 1 ） -f （ 0 ） 1-0 ＝ -1 1 ＝-1. 故选 B. 7. （ -∞ ， - 3 姨 ］ ∪ 3 姨 3 ， + ' ∞ ∞ 【解析】 设直线斜 率为 k ， 当 30°≤兹<90° 时， k=tan兹≥ 3 姨 3 ； 兹=90° ， 斜率不 存在； 当 90°<兹≤120° 时， k=tan兹≤- 3 姨 . 故直线 l 的斜率的取值范围为 （ -∞ ， - 3 姨 ］ ∪ 3 姨 3 ， + ' ∞ ∞ . 8. ［ -1 ， 1 ］ 【解析】 直线 AC 的斜率为 k AC = 4-2 2-0 = 1 ， 直线 BC 的斜率为 k BC = 1-2 1-0 =-1. ∵0埸 ［ 1 ， 2 ］， ∴ 直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ［ -1 ， 1 ］ . 9. 0 ， 仔 4 ∞ 4 ∪ 3仔 4 ， ' 仔 仔 【解析】 直线 xsin琢-y+2=0 的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹=sin琢. ∵-1≤sin琢≤1 ， ∴ 倾斜角 兹 的取值范围是 0 ， 仔 4 ∞ 4 ∪ 3仔 4 ， ' 仔 ∞ . 10. 解： 本题是一道开放性题， 答案不唯一， 只要 点的坐标满足相应的 x ， y 的关系式即可 . （ 1 ） 设直线上不同于点 A 的点为 P （ x ， y ）， 则 y-3 x-2 = 1 ， 解得 y=x+1 ， 可以取 P （ 1 ， 2 ） . （ 2 ） 设直线上不同于点 B 的点为 P （ x ， y ）， 则 y+1 x-2 =-2 ， 解得 y=-2x+3 ， 可以取 P （ 1 ， 1 ） . （ 3 ） 由直线的倾斜角为 90° ， ∴ 直线上所有点的横 坐标相同， 可以取直线上不同于点 C 的点 P （ -3 ， 0 ） . 提升练习 11. D 【解析】 由直线 l 1 ， l 2 的斜率和倾斜角分别为 k 1 ， k 2 和 兹 1 ， 兹 2 ； 当倾斜角均为锐角或均为钝角时， 若 “ k 1 >k 2 ”， 则 “ 兹 1 >兹 2 ”； 若 “ 兹 1 >兹 2 ”， 则 “ k 1 >k 2 ” . 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时 ， 若 “ k 1 >k 2 ”， 则 “ 兹 １ <兹 ２ ”； 若 “ 兹 1 >兹 2 ”， 则 “ k 1 <k 2 ” . 故 “ k 1 >k 2 ” 是 “ 兹 １ >兹 ２ ” 的既不充分也不必要条件 . 故选 D. 12. ABC 【解析】 由 k AB = １+a-a 1-a- （ -1 ） = 1 2-a >0 ， ∴2- a>0 ， 解得 a<2. 故选 ABC. 13. ABD 【解析】 当 兹∈ 0 ， 仔 ２ ∞ 4 时， 直线 l′ 的倾斜 角为 仔 ２ -兹 ， 当 兹∈ 仔 ２ ， ， ' 仔 时， 直线 l′ 的倾斜角为 ３仔 ２ - 兹 ， 当 兹= 仔 ４ 时， 直线 l′ 的倾斜角为 仔 ４ =兹 ， 因此 ABD 均 可能， 只有 C 不可能 . 实际上当直线 l′ 的倾斜角为 仔-兹 时， 直线 l′ 与直线 l 关于与 x 轴垂直的直线对称 . 故选 ABD. 14. 45° 16 【解析 】 由题意可知直线 l 与直线 l 1 ： y=3-x 的倾斜角互补， ∴ 直线 l 的斜率为 1 ， 故倾斜角为 45°. 如图， 由直线 l 过点 P （ -1 ， 4 ）， ∴ 三角形的高为 4 ， 底边长为 2× ［ 3- （ -1 ）］ =8 ， ∴ 三角形的面积为 1 2 ×8×4=16. 15. 1 2 -2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标 系 ， 则正方形 OABC 中 ， 对角线 OB 所在直线的斜率 为 3. 设 OB 所在直线的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹=3. 由正方形性质可知 ， 直线 OA 的倾斜角为 兹-45° ， 直线 OC 的倾斜角为 兹+45° ， 故 k OA =tan （ 兹-45° ） = tan兹-tan45° 1+tan兹tan45° = 3-1 1+3 = 1 2 ， k OC =tan （ 兹+45° ） = tan兹+tan45° 1-tan兹tan45° = 3+1 1-3 =-2. x y O 3 3 l y=3-x x y O A B C 第 14 题答图 第 15 题答图 P （ -1 ， 4 ） 54 参 考 答 案 * 16. 解： 如图所示， 设 E （ 1 ， a ） . ∵ 点 E 是线段 AC 的中点 ， ∴ 1= -4+x C 2 ， a= 4+y C 2 2 # # # # " # # # # $ ， 则 C （ 6 ， 2a-4 ） . ∵AD⊥DC ， ∴A A' D·D A' C = （ 9 ， 3 ）·（ 1 ， 2a-11 ） =9+3 （ 2a- 11 ） =0 ， 解得 a=4 ， ∴C （ 6 ， 4 ） . ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ A A' B = D A' C ， 即 （ x B +4 ， y B - 4 ） = （ 6-5 ， 4-7 ） = （ 1 ， -3 ）， ∴ x B =-3 ， y B =1 1 ， ∴B 点坐标为 （ -3 ， 1 ） . ∵ 点 P 在边 BC 上运动， ∴ y x =k OP . 由题图可知， k OP ≥k OC 或 k OP ≤k OB ， 则 y x ≥k OC = 2 3 或 y x ≤k OB =- 1 3 ， 即 y x 的取值范围为 -∞ ， - 1 3 3, ∪ 2 3 ， + . ∞ ∞ . 第 2 课时 方向向量与法向量 学习手册 变式训练 1 解： ∵ 直线 l 的倾斜角为 30° ， ∴ 斜率 k= 3 姨 3 ， ∴ 它的一个方向向量的坐标为 1 ， 3 姨 3 , . ， 或者它的一个方向向量的坐标还可以写成 （ cos30° ， sin30° ） = 3 姨 2 ， 1 2 , . . 变式训练 2 解： 由题可知， 点 P （ 6 ， 4 ） 关于 x 轴的对 称点 P′ （ 6 ， -4 ） 在反射光线所在的直线上， 又 ∵ 点 Q （ 2 ， 0 ） 也在反射光线所在的直线上， ∴ 反射光线所在直线的一个方向向量P′ A' Q = （ 2-6 ， 0+ 4 ） = （ -4 ， 4 ）， ∴ 反射光线所在直线的一个法向量 n= （ 4 ， 4 ） . 随堂练习 1. B 【解析】 ∵ 直线的方向向量为 （ -2 ， 2 3 姨 ） = -2 （ 1 ， - 3 姨 ）， ∴ 直线斜率 k=- 3 姨 ， 则倾斜角为 120°. 故选 B. 2. A 【解析】 ∵ 直线 l 的一个法向量为 （ -1 ， 3 姨 ）， ∴ 直线 l 的斜率 k= 3 姨 3 ， ∴ 倾斜角 琢=30°. 故选 A. 3. B 【解析】 由直线 l 的一个方向向量为 （ -1 ， 2 ）， ∴ 它的一个方向向量的坐标为 （ 2 ， 1 ） . 4. 1 2 ， 3 姨 2 , . （由于方向向量不唯一， 答案也不 唯一， 只需要和给出的答案是平行的即可） 【解析】 ∵ 倾斜角 琢=60° ， ∴ 直线 l 的一个方向向量 为 （ cos琢 ， sin琢 ） = 1 2 ， 3 姨 2 , . . 5. （ 1 ， -2 ） 【解析】 ∵ 直线 l 的一个法向量为 n= （ 2 ， 1 ）， 根据直线的方向向量和法向量的关系可知直线 l 的一个方向向量 a= （ 1 ， -2 ） . 6. 解 ： ∵ A A' B = （ -1-1 ， 0-2 ） = （ -2 ， -2 ） ， A A' C = （ -2- 1 ， 3-2 ） = （ -3 ， 1 ）， 且 （ -2 ） ×1≠ （ -2 ） × （ -3 ）， ∴ A A' B ， A A' C 不平行， ∴A ， B ， C 三点不在同一条直线上 . 练习手册 效果评价 1. B 【解析】 设直线 l 的倾斜角为 兹 ， 兹∈ ［ 0° ， 180° ）， 且直线 l 的一个方向向量为 （ 1 ， 3 姨 ）， 则 tan兹= 3 姨 ， ∴兹=60°. 故选 B. 2. D 【解析】 由于直线 AB 的倾斜角为 3仔 4 ， 则该直 线的斜率为 tan 3仔 4 =-1. 由直线 l 的一个方向向量为 a= （ 2 ， 4+2y ）， ∴ 斜率 k= 4+2y ２ =y+2=-1 ， 解得 y=-3. 故选 D. 3. A 【解析】 根据题意， 直线 l 的一个方向向量 a= （ 2 ， -4 ）， ∴ 直线 l 的斜率 k= -4 ２ =-2. 故选 A. 4. AD 【解析】 ∵ 直线 l ： y=xtan琢+b ， 其中 琢≠k仔+ 仔 ２ ， k∈Z ， ∴l 的斜率是 tan琢 ， 故 A 正确； l 的倾斜角 兹 满足 tan兹=tan琢 ， 但不一定有 兹=琢 ， 故 B 错误； l 的方向向量为 （ 1 ， tan琢 ）， ∵1×cos琢≠sin琢tan琢 ， 故 C 错误； l 的法向量为 （ tan琢 ， -1 ） ， ∵-1×sin琢=-cos琢tan琢 ， 故 D 正确 . 故选 AD. 5. BC 【解析】 由题可知， 直线 y=2 与 x 轴平行， ∴ 此直线的法向量应与 x 轴垂直， ∴BC 正确 . 故选 BC. 6. BCD 【 解 析 】 由 已 知 ， 直 线 l 的 斜 率 k = t+ 1 t , . 2 - t- 1 t , . 2 -2-2 = 4 -4 =-1 ， ∴ 直线 l 的倾斜角为 135° ， x y O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 E A B C D P 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 第 16 题答图 55 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 故 D 正确； 直线 l 的一个方向向量为 M !" N = 2- （ -2 ）， t- 1 t $ 2 - t+ 1 t & 2 t & = （ 4 ， -4 ） ， 故 B 正确； 由 4×4+4× （ -4 ） =0 ， ∴ 向量 （ 4 ， 4 ） 与直线 l 垂直， 故 C 正确 . 故选 BCD. 7. （ 3 ， -2 ） （ 2 ， 3 ） （答案不唯一） 【解 析 】 直 线 y =- 2 3 x - 5 3 的 一 个 方 向 向 量 是 1 ， - 2 3 t & ， 即 （ 3 ， -2 ）， ∴ 一个法向量是 （ 2 ， 3 ） . 8. -2 【解析】 由已知可得 m= 2-0 0-1 =-2. 9. 3 【解析】 由 AB 所在直线的方向向量A !" B = （m+2 ， -5 ）， AC 所在直线的方向向量A !" C = （ 6 ， -6 ） . ∵A ， B ， C 三点共线， ∴-6 （ m+2 ） =-30 ， 解得 m=3. 10. 解： （ 1 ） 把 A（1 ， 0 ） 代入直线 l 的方程， 得 a 2 - 2a+1=0 ， 解得 a=1 ， 此时直线 l 的方程为 3x-y-3=0 ， 故 直线 l 的一个方向向量为 （1 ， 3 ） . （ 2 ） ∵a≠0 ， ∴ 直线 l 的斜率 k= a 2 -2a+4 a =a+ 4 a -2 ， ∴ 当 a>0 时， k=a+ 4 a -2≥2 a · 4 a 姨 -2=2 ， 当且仅当 a=2 时等号成立； 当 a<0 时， k=- （ -a ） + - 4 a t $a + -2≤-2 （ -a ）· - 4 a t & 姨 -2=-6 ， 当且仅当 a=-2 时等号成立 . 综上所述， 斜率 k∈ （ -∞ ， -6 ］ ∪ ［ 2 ， +∞ ） . 提升练习 11. C 【解析】 由题可知直线方程为 x=- 3 姨 ， 这是 一条垂直于 x 轴的直线， 故方向向量也垂直于 x 轴， 只 有 C 选项的向量是满足题意的， 故选 C. 12. A 【解析 】 设 l 的倾斜角为 兹 ， 则 tan兹= 3 姨 ， ∴兹=60°. 设直线 m 的倾斜角为 琢 ， 由题意知 琢=兹-45°=60°-45°. cos琢 =cos （60° -45° ） =cos60° cos45° +sin60° sin45° = 6 姨 + 2 姨 4 ， sin琢 =sin （60° -45° ） =sin60° cos45° -cos60° sin45° = 6 姨 - 2 姨 4 ， ∴ 直 线 m 的 一 个 方 向 向 量 为 （ cos琢 ， sin琢 ） = 6 姨 + 2 姨 4 ， 6 姨 - 2 姨 4 t $ . 故选 A. 13. ①③ 【解析】 由题可知， 直线的一个方向向量 为 （ cos135° ， sin135° ） = - 2 姨 2 ， 2 姨 2 t $ ， ②④ 的向量 均与此向量平行， ∴ 它们都是直线的方向向量， 而 ①③ 的向量与 - 2 姨 2 ， 2 姨 2 t $ 不平行， ∴①③ 不是直线的 方向向量 . 14. （ -2 ， -3 ） 【解析】 设点 P （ x 1 ， y 1 ） （ x 1 ≠1 ）， 则 y 1 =x 2 1 +2x 1 -3. ∵A （ 1 ， 0 ）， ∴k PA = y 1 -0 x 1 -1 = x 2 1 +2x 1 -3 x 1 -1 =x 1 +3. 又 ∵ 直线 PA 的一个方向向量为 （ 1 ， 1 ）， ∴k PA =1 ， ∴x 1 +3=1 ， 即 x 1 =-2. 当 x 1 =-2 时， y 1 =-3 ， ∴ 点 P 的坐标为 （ -2 ， -3 ） . 15. 2 3 姨 -3 （ 1 ， - 3 姨 ） （答案不唯一） 【解析】 设直线 AB 的倾斜角为 琢 ， 则直线 AC 的倾 斜角为 2琢 ， tan琢= 3 姨 -0 2-1 = 3 姨 ， 且 0°≤琢<180° ， ∴琢=60° ， 2琢＝120° ， ∴k AC = 2m m-1 =tan120°=- 3 姨 ， 得 m=2 3 姨 -3 ， 直线 AC 的一个方向向量为 （ 1 ， - 3 姨 ） . 16. 解： 设点 A （ a ， a 2 ）， B （ b ， b 2 ）， C （ c ， c 2 ）， 则 k AB = a 2 -b 2 a-b =a+b ， k BC = b 2 -c 2 b-c =b+c ， k AC = a 2 -c 2 a-c =a+c. 不妨设直线 AB 的方向向量为 （ 1 ， 2 姨 ）， 则 k AB = 2 姨 ， 且直线 AB 的倾斜角为 琢. ∵△ABC 是等边三角形， ∴k BC =tan 琢+ 仔 3 t $ ， k AC =tan 琢- 仔 3 t $ ， ∴a+b+c= 1 2 （ k AB +k BC +k AC ） = 1 2 2 姨 +tan 琢+ 仔 3 t $ +tan 琢- 仔 3 t $t $ = 2 姨 2 + 1 2 · tan琢+tan 仔 3 1-tan琢tan 仔 3 + 1 2 · tan琢-tan 仔 3 1+tan琢tan 仔 3 =- 3 2 姨 10 . 2.2.2 直线的方程 第 1 课时 直线方程的点斜式与斜截式 学习手册 变式训练 1 解： （ 1 ） 由直线的点斜式方程可知直线方 程为 y-5=4 （ x-2 ）， 整理得 y=4x-3. （ 2 ） 由直线的倾斜角为 90° ， ∴ 直线的斜率不存在， ∴ 直线方程为 x=-1. （ 3 ） 由直线与 x 轴平行， ∴ 直线的斜率为 0 ， ∴ 直 线方程为 y=4. 变式训练 2 （ -3 ， 1 ） 【解析】 直线方程 mx+2y+3m- 56