2.1 坐标法-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章 平面解析几何 学 学 习 目 标 1. 掌握数轴上以及平面直角坐标系中 的基本公式——两点的距离公式、 中点坐 标公式 . 2. 会使用两点的距离公式、 中点坐标 公式 . 3. 明白点关于点对称的实质是中点坐标 公式的应用 . 4. 知道解决几何问题的重要方法——坐 标法， 明确利用坐标法解决问题的一般步 骤， 并会用坐标法解决与两点的距离以及中 点有关的问题 . 要 点 精 析 要点 1 平面直角坐标系中的基本公式 1. 数轴上的基本公式及推导 如果数轴上点 A （ x 1 ）， B （ x 2 ）， 则 （ 1 ） A ， B 两点间的距离公式 ｜AB｜=｜x 2 -x 1 ｜. （ 2 ） 线段 AB 的中点坐标公式 x= x 1 +x 2 2 . 推导： 由 A A" B = （ x 2 -x 1 ）， 故 ｜AB｜=｜x 2 -x 1 ｜. 又设线段 AB 的中点为 M （ x ）， 则 A A" M = M A" B ， ∴x-x 1 =x 2 -x ， ∴x= x 1 +x 2 2 . 反思感悟 M 是线段 AB 的中点， 也可以理解为 点 A 和点 B 关于点 M 对称 . 2. 平面直角坐标系中的基本公式 在平面直角坐标系中 ， 点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则 （ 1 ） A ， B 两点间的距离公式 ｜AB｜= （ x 2 -x 1 ） 2 + （ y 2 -y 1 ） 2 姨 . （ 2 ） 线段 AB 的中点坐标公式 x 1 +x 2 2 ， y 1 +y 2 2 2 % . 思考 （ 1 ） 你能试着用数轴上基本公 式的推导方法——向量法， 推导上面两个 平面直角坐标系中的基本公式吗？ （ 2 ） 你知道平面上两点的距离公式和 勾股定理的关系吗？ （ 3 ） 平面直角坐标系中的中点问题可 以理解为对称问题吗？ 例 1 已知 △ABC 的三个顶点 A （ 1 ， 2 ）， B （ 3 ， 4 ）， C （ 5 ， 0 ）， 求 △ABC 的三边长并判 断其形状 . 解： ｜AB｜= （ 1-3 ） 2 + （ 2-4 ） 2 姨 =2 2 姨 ， ｜BC｜= （ 3-5 ） 2 + （ 4-0 ） 2 姨 =2 5 姨 ， ｜AC｜= （ 1-5 ） 2 + （ 2-0 ） 2 姨 =2 5 姨 ， ∴｜AC｜=｜BC｜ ， ∴△ABC 是等腰三角形 . 第二章 平面解析几何 2.1 坐标法 35 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 反思感悟 已知两点 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， 则这 两点之间的距离的特殊情况的求法： （ 1 ） 点 A ， B 所在直线垂直于 x 轴， 即 x 1 =x 2 ， 则 ｜AB｜=｜y 2 -y 1 ｜. （ 2 ） 点 A ， B 所在直线垂直于 y 轴， 即 y 1 =y 2 ， 则 ｜AB｜=｜x 2 -x 1 ｜. （ 3 ） 点 A 与坐标原点 O （ 0 ， 0 ） 的距离 ｜AO｜= x 2 1 +y 2 1 姨 . （ 4 ） 点 A ， B 都在直线 y=kx+b 上时， ｜AB｜= 1+k 2 姨 ｜x 1 -x 2 ｜. 例 2 求下列点 A 关于点 M 的对称点 B 的坐标： （ 1 ） 点 A （ 2 ）， M （ -1 ）； （ 2 ） 点 A （ 1 ， -1 ）， M （ 2 ， 3 ） . 分析 因为点关于点对称的本质就是 中点问题 ， 所以本题使用中点坐标公式 解决 . 解 ： （ 1 ） 设点 B （ x ） ， 由题知 M 是 AB 的中点， ∴x M = x A +x B 2 ， ∴x B =2x M -x A =2× （ -1 ） -2=-4 ， ∴B （ -4 ） . （ 2 ） 设点 B （ x ， y ）， 由题知 M 是 AB 的 中点， 则 x M = x A +x B 2 ， y M = y A +y B 2 2 $ $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ $ % ， ∴ x B =2x M -x A =2×2-1=3 ， y B =2y M -y A =2×3- （ -1 ） =7 & ， ∴ 点 B （ 3 ， 7 ） . 反思感悟 如果线段 AB 的中点为 M ， 且 A （ x 1 ， y 1 ）， M （ x ， y ）， 则点 B 的坐标可设为 （ 2x- x 1 ， 2y-y 1 ） . 变式训练 1 已知 △ABC 的顶点 A ， B ， C 的坐标分 别为 （ -3 ， 1 ）， （ 3 ， -3 ）， （ 1 ， 7 ）， 求三 角形三条边上的中线的长 . 要点 2 坐标法 坐标法定义： 通过建立平面直角坐标 系， 将几何问题转化为代数问题， 然后通过 代数运算等解决问题 . 这种解决问题的方法 称为坐标法 . 例 3 求证： 平行四边 形对角线的平方和等于四条 边的平方和 . 分析 建立适当的平面直角坐标系 ， 利用两点的距离公式证明问题 . 证明： 如图 2-1-1 ， 已知 荀ABCD ， 则所证为 AC 2 +BD 2 =2 （ AB 2 +AD 2 ） . 取 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴， A B C D 图 2-1-1 A B C D 图 2-1-2 x y 36 第二章 平面解析几何 学 建立如图 2-1-2 所示的平面直角坐标系， 则 A （ 0 ， 0 ） . 设 B （ a ， 0 ）， C （ b ， c ）， 从而由平 行四边形的对角线互相平分可知 D （ b - a ， c ）， ∴｜AC｜ 2 =b 2 +c 2 ， ｜BD｜ 2 = （ b-2a ） 2 +c 2 =b 2 -4ab+4a 2 +c 2 ， ∴｜AC｜ 2 +｜BD｜ 2 =2b 2 -4ab+4a 2 +2c 2 . 又 ∵｜AB｜ 2 =a 2 ， ｜AD｜ 2 = （ b-a ） 2 +c 2 =a 2 -2ab+b 2 +c 2 ， ∴2 （ ｜AB｜ 2 +｜AD｜ 2 ） =2b 2 -4ab+4a 2 +2c 2 ， ∴｜AC｜ 2 +｜BD｜ 2 =2 （ ｜AB｜ 2 +｜AD｜ 2 ）， 即 AC 2 +BD 2 =2 （ AB 2 +AD 2 ） . 变式训练 2 请尝试用向量方法或解三角形的方法解 决上述例题 . 反思感悟 向量法的实质就是坐标法 . 在很多情况 下使用向量法 （坐标法） 求解几何问题会 使问题得到简化， 而用几何法 （如解三角 形法） 解决问题有时会很复杂， 所以坐标 法是解决平面几何问题的基本方法之一 . 坐标法解决几何问题的步骤： 四步八 字： 建系 → 设点 → 列式 → 反演 . （ 1 ） 建系： 建立适当的平面直角坐标 系 . 原则如下： ① 要使尽可能多的已知点、 直线落在 坐标轴上； ② 如图中有两条互相垂直的直线， 则 以它们为轴建系； ③ 如图形是对称图形， 可考虑利用图 形的对称中心作为原点， 图形的对称轴作 为坐标轴 . （ 2 ） 设点： 按照所建立的平面直角坐 标系， 结合已知条件， 写出已知点的坐标， 设出未知点的坐标 . （ 3 ） 列式： 利用所学的坐标公式 （如 中点坐标公式、 两点的距离公式等） 列出 方程 （组）， 通过计算得出代数结论 . （ 4 ） 反演： 将计算所得的代数结论反 演回去， 得出几何问题的结论 . 变式训练 3 已知 △ABC 是直角三角形， 斜边 BC 的 中点为 M. 求证： ｜AM｜= 1 2 ｜BC｜. 例 4 判断三点 A （ 8 ， 10 ）， B （ -4 ， 4 ）， C （ 4 ， 8 ） 是否共线 . 分析 因为向量法的实质就是坐标法， 因此可以使用三点连成的两个向量是否共 线来判断 . 另外， 当三点共线时， 这三点所 连成的三条线段的长度满足： 最长的线段 长度等于两条较短的线段长度之和 . 因此， 还可以使用两点的距离公式求线段长度来 判断 . 37 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 学 解： 方法一： 向量法 . 由题知 A !" B = （ -4-8 ， 4-10 ） = （ -12 ， -6 ）， A !" C = （ 4-8 ， 8-10 ） = （ -4 ， -2 ）， ∴A !" C = 1 3 A !" B ， ∴A ， B ， C 三点共线 . 方法二： 两点的距离公式 . 由 ｜AB｜= （ -４-8 ） ２ + （ ４-１0 ） ２ 姨 =6 ５ 姨 ， ｜AC｜= （ ４-8 ） ２ + （ 8-１0 ） ２ 姨 =2 ５ 姨 ， ｜BC｜= （ -４-４ ） ２ + （ ４-8 ） ２ 姨 =4 ５ 姨 . ∴｜AB｜=｜AC｜+｜BC｜ ， ∴A ， B ， C 三点共线 . 数 学 文 化 解析几何的创立适应了 17 世纪科学技 术发展的迫切需要 . 法国数学家笛卡儿是解 析几何的创始人之一 . 他对当时的几何方法 和代数方法进行比较， 分析了它们各自的优 缺点 . 他认为， 没有任何东西比几何图形更 容易印入人脑， 用图形表达事物非常有益 . 他同时还看到了代数的力量， 代数在提供广 泛的方法论方面高于古希腊时期的欧几里得 的几何学 . 他认为， 代数具有一般性， 例如 用字母代替数时， 可以代表各种数： 正数、 负数和 0 ； 代数中的公式可以使解题过程程 序化； 代数具有作为一门普遍的科学方法的 潜力 . 例 在平面直角坐标系中， 定义 d （ A ， B ） =max{｜x 1 -x 2 ｜ ， ｜y 1 -y 2 ｜} 为两点 A （ x 1 ， y 1 ）， Ｂ （ x 2 ， y 2 ） 的 “切比雪夫距离” . 又设点 Ｐ 及 直线 l 上任意一点 Q ， 称 d （ P ， Q ） 的最小值 为点 P 到直线 l 的 “切比雪夫距离”， 记作 d （ P ， l ） . 给出下列四个命题： ① 对任意的三点 A ， B ， C ， 都有 d （ C ， A ） +d （ C ， B ） ≥d （ A ， B ）； ② 已知点 P （ 3 ， 1 ） 和直线 l ： 2x-y-1= 0 ， 则 d （ P ， l ） = 4 3 ； ③ 到原点的 “切比雪夫距离” 等于 1 的 点的轨迹是正方形 . 其中是真命题的有 （ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 分析 ① 讨论 A ， B ， C 三点共线以及 不共线的情况， 结合图象和新定义即可判 断； ② 设点 Q 是直线 y=2x-1 上一点， 且 Q （ x ， 2x-1 ） ， 可得 d （ P ， Q ） =max {｜x-3 ｜ ， ｜2-2x｜} ， 讨论 ｜x-3｜ ， ｜2-2x｜ 的大小， 可得距 离 d ， 再由函数的性质， 可得最小值； ③ 根 据 “切比雪夫距离” 的定义可判断出命题 的真假 . 解析 ： ① 对任意三点 A ， B ， C ， 若它 们共线， 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， C （ x 3 ， y 3 ） . 显然， 当 A ， B ， C 所在直线垂直于坐 标轴时， 结论成立， 若 A ， B ， C 所在直线 与坐标轴不垂直， 如图 2-1-3 （ A ） . 根据 “切比雪夫距离定义” 可得 d （ C ， A ）， d （ C ， B ）， d （ A ， B ）为 AN ， BM ， AK 或 CN ， CM ， BK ， 则 d （ C ， A ） +d （ C ， B ） ≥ d （ A ， B ）； 若 B ， C 或 A ， C 对调， M N K A B C x y O 图 2-1-3 （ A ） 38 第二章 平面解析几何 学 可得 d （ C ， A ） +d （ C ， B ） ≥d （ A ， B ） . 当 A ， B ， C 三点不共线时， 若 ∠C=90° ， 则 d （ C ， A ） +d （ C ， B ） ≥ d （ A ， B ） 成立 . 若 △ABC 中 C 为锐角或钝角， 如图 2- 1-3 （ B ） . 由矩形 CMNK ， 有 d （ C ， A ） +d （ C ， B ） =max{CK ， AK}+max{CM ， BM} ≥CK+CM≥d （ A ， B ） =max{AN ， BN} ； 由矩形 BMNK ， 有 d （ C ， A ） +d （ C ， B ） =max{CN ， AN}+max{BK ， CK} ≥KC+CN=KN=BM=d （ A ， B ） . 则对任意的三点 A ， B ， C ， 都有 d （ C ， A ） +d （ C ， B ） ≥d （ A ， B ） . 故 ① 正确 . ② 设点 Q 是直线 y=2x-1 上一点 ， 且 Q （ x ， 2x-1 ）， 可得 d （ P ， Q ） =max{｜x-3｜ ， ｜2-2x｜}. 由 ｜x-3｜≥｜2-2x｜ ， 解得 -1≤x≤ 5 3 ， 即有 d （ P ， Q ） =｜x-3｜ ， 当 x= 5 3 时， 取得 最小值 4 3 ； 由 ｜x-3｜<｜2-2x｜ ， 解得 x> 5 3 或 x<-1 ， 即有 d （ P ， Q ） =｜2x-2｜ ， d （ P ， Q ）的范围是 4 3 ， + + & ∞ . 综上可得， P ， Q 两点的 “切比雪夫距 离” 的最小值为 4 3 ， 故 ② 正确 . ③ 由题知， 到原点 O 的 “切比雪夫距 离” 的距离为 1 的点 P （ x ， y ）满足 d （ O ， P ） = max{｜x｜ ， ｜y｜}=1 ， 即 ｜x｜≥｜y｜ ， ｜x｜= = 1 或 ｜x｜<｜y｜ ， ｜y｜=1 = ， 显然点 P 的轨迹为正方形， 故 ③ 正确 . 故选 D. x y O M N K A B C 2 4 6 8 10 -2 4 2 M K A B C N 图 2-1-3 （ B ） 39 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 第二章 平面解析几何 2.1 坐标法 学习手册 变式训练 1 解： 设边 AB ， BC ， CA 的中点分别为 D （ x 1 ， y 1 ）， E （ x 2 ， y 2 ）， F （ x 3 ， y 3 ） . 由中点坐标公式， 得 x 1 = -3+3 2 =0 ， y 1 = 1+ （ -3 ） 2 =-1 1 # # # # " # # # # $ ， x 2 = 3+1 2 =2 ， y 2 = -3+7 2 =2 1 # # # # " # # # # $ ， x 3 = -3+1 2 =-1 ， y 3 = 1+7 2 =4 1 # # # # " # # # # $ ， 即 D （ 0 ， -1 ）， E （ 2 ， 2 ）， F （ -1 ， 4 ） . 由两点的距离公式可得 AB 边上的中线长 ｜CD｜= （ 1-0 ） 2 + （ 7+1 ） 2 姨 = 65 姨 ； BC 边上的中线长 ｜AE｜= （ -3-2 ） 2 + （ 1-2 ） 2 姨 = 26 姨 ； CA 边上的中线长 ｜BF｜= （ 3+1 ） 2 + （ -3-4 ） 2 姨 = 65 姨 . 变式训练 2 解： 向量方法： 建立 如图 1 所示的平面直角坐标系， 设 B （ a ， 0 ）， C （ b ， c ） . 由A A' C = A A' B + A A' D ， ∴ A A' D = A A' C - A A' B = （ b-a ， c ）， B A' D = A A' D - A A' B = （ b-2a ， c ） . 由 ｜ A A' C ｜ 2 +｜ B A' D ｜ 2 =b 2 +c 2 + （ b-2a ） 2 +c 2 =4a 2 -4ab+2b 2 +2c 2 ， ｜ A A' B ｜ 2 +｜ A A' D ｜ 2 =a 2 + （ b-a ） 2 +c 2 =2a 2 -2ab+b 2 +c 2 ， ∴｜ A A' C ｜ 2 +｜ B A' D ｜ 2 =2 （ ｜ A A' B ｜ 2 +｜ A A' D ｜ 2 ）， 即 AC 2 +BD 2 =2 （ AB 2 + 又 ∵PB⊥EF ， DE∩EF=E ， ∴PB⊥ 平面 DEF. 由 DE⊥ 平面 PBC ， PB⊥ 平面 DEF ， 可知四面体 B鄄 DEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体 B鄄DEF 是一个鳖臑， 其四个面的直角分别 为 ∠DEB ， ∠DEF ， ∠EFB ， ∠DFB. （ 2 ） 解： 如图 1 ， 在面 PBC 内， 延长 BC 与 FE 交于 点 G ， 则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线 . 由 （ 1 ） 知， PB⊥ 平面 DEF ， ∴PB⊥DG. 又 ∵PD⊥ 底面 ABCD ， ∴PD⊥DG. 而 PD∩PB=P ， ∴DG⊥ 平面 PBD ， 故 ∠BDF 是平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的平 面角 . 设 PD=DC=1 ， BC=姿 ， 有 BD= 1+姿 2 姨 ， 在 Rt△PDB 中， 由 DF⊥PB ， 得 ∠DPF=∠FDB= 仔 3 ， 则 tan 仔 3 =tan∠DPF= BD PD = 1+姿 2 姨 = 3 姨 ， 解得 姿= 2 姨 ， ∴ DC BC = 1 姿 = 2 姨 2 . 故当平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 仔 3 时， DC BC = 2 姨 2 . 方法二： （ １ ） 证明： 如图 2 ， 以 D 为原点 ， 射线 DA ， DC ， DP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴， 建立空间直角坐 标系 . 设 PD=DC=1 ， BC=姿 ， 则 D （ 0 ， 0 ， 0 ）， P （ 0 ， 0 ， 1 ）， B （ 姿 ， 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 1 ， 0 ）， P A' B = （ 姿 ， 1 ， -1 ） . 点 E 是 PC 的中点， ∴E 0 ， 1 2 ， 1 2 2 - ， D A' E = 0 ， 1 2 ， 1 2 2 - ， 于是P A' B· D A' E =0 ， 即 PB⊥DE. 又已知 EF⊥PB ， 而 DE∩EF=E ， ∴PB⊥ 平面 DEF. ∵ P A' C = （ 0 ， 1 ， -1 ） ， D A' E ·P A' C =0 ， 则 DE ⊥PC ， ∴DE⊥ 平面 PBC. 由 DE⊥ 平面 PBC ， PB⊥ 平面 DEF ， 可知四面体 B鄄DEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体 B鄄DEF 是一个鳖臑， 其四个面的直角分别 为 ∠DEB ， ∠DEF ， ∠EFB ， ∠DFB. （ 2 ） 解： 由 PD⊥ 平面 ABCD ， ∴ D A' P = （ 0 ， 0 ， 1 ） 是 平面 ABCD 的一个法向量 . 由 （ 1 ） 知， PB⊥ 平面 DEF ， ∴ B A' P = （ -姿 ， -1 ， 1 ） 是 平面 DEF 的一个法向量 . 若平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 仔 3 ， 则 cos 仔 3 = B A' P·D A' P ｜B A' P ｜｜D A' P ｜ = 1 姿 2 +2 姨 = 1 ２ ， 解得 姿= 2 姨 . ∴ DC BC = 1 姿 = 2 姨 ２ . 故当平面 DEF 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 仔 3 时， DC BC = 2 姨 ２ . E G F A B C D P z y x E F A B C D P 图 2 图 1 第 14 题答图 A B C D y x 图 1 50 参 考 答 案 AD 2 ） . 解三角形： 设 ∠DAB=琢 ， 则 ∠ABC=仔-琢. 如 图 2 ， 在 △ABD 中 ， BD 2 = AB 2 +AD 2 -2AB · AD · cos琢 ； 在 △ABC 中 ， AC 2 =AB 2 +BC 2 - 2AB · BC · cos （ 仔-琢 ） . 由 cos （ 仔 -琢 ） =-cos琢 ， ∴BD 2 + AC 2 =AB 2 +AB 2 +AD 2 +BC 2 =2 （ AB 2 +AD 2 ） . 变式训练 3 证明： 以直角三角形 ABC 的直角边 AB ， AC 所在直线分 别为 x 轴、 y 轴， 建立如图所示的 平面直角坐标系 ， ∴A （ 0 ， 0 ） . 设 B （ b ， 0 ）， C （ 0 ， c ） . ∵ 点 M 是边 BC 的中点， ∴ 点 M 的 坐 标 为 b+0 2 ， 0+c 2 2 $ ， 即 b 2 ， c 2 2 & . 由两 点 的 距 离 公 式 可 得 ｜BC ｜= （ 0-b ） 2 + （ c-0 ） 2 姨 = b 2 +c 2 姨 ， ｜AM ｜= b 2 2 & 2 + c 2 2 & 2 姨 = 1 2 b 2 +c 2 姨 ， ∴ ｜AM ｜= 1 2 ｜BC｜. 随堂练习 1. 解： 由题知 ｜AC｜=3｜BC｜ ， 即 ｜x-5｜=3｜x- （ -7 ） ｜ ， ∴｜x- 5｜=3｜x+7｜ ， ∴ （ x-5 ） =3 （ x+7 ）或 （ x-5 ） =-3 （ x+7 ）， 解得 x=-13 或 x=-4 ， ∴C （ -13 ）或 C （ -4 ） . 2. 解 ： 根据中点 坐 标 公 式 可 得 -2= x+1 2 ， y= 5+1 2 2 * * * * ) * * * * + ， 解得 x=-5 ， y=3 3 . ∴x=-5 ， y=3. 3. 1 或 7 【解析 】 由两 点 的 距 离 公 式 可 得 AB= （ a-4 ） 2 + （ 4-8 ） 2 姨 =5 ， ∴ （ a-4 ） 2 =9 ， ∴a-4=-3 或 a-4=3 ， ∴a=1 或 a=7. 4. - 6 5 【解析 】 由A A. B = （ 5 ， -7 ）， A A. C = （ 3 ， m-3 ）， ∴5 （ m-3 ） =-21 ， 解得 m=- 6 5 . 5. BCD 【 解 析 】 由 题 意 ， 可 得 x 2 +2x+5 姨 = （ x+1 ） 2 +4 姨 = （ x+1 ） 2 + （ 0±2 ） 2 姨 = （ x+1 ） 2 + （ -1-1 ） 2 姨 ， 可看作点 （ x ， 0 ） 与点 （ -1 ， -2 ） 的距离， 可看作 点 （ x ， 0 ） 与点 （ -1 ， 2 ） 的距离， 可看作点 （ x ， -1 ） 与点 （ -1 ， 1 ） 的距离， 故选项 A 不正确， 故选 BCD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析】 方法一： 设点 P 的坐标为 x ， 由 PA= PB ， ∴｜a-x ｜=｜b-x ｜ ， 即（ a-x ） 2 = （ b-x ） 2 ， 解得 x= a+b 2 . 故 选 C. 方法二 ： 由题可知， 当 a≠b 时 ， 点 P 是 AB 的中 点， ∴ 根据中点坐标公式点 P 的坐标 x= a+b 2 . 故选 C. 2. C 【解析】 根据对称性知点 N （ -1 ， 2 ）， 由两点间 距离公式得 |ON|＝ （ -1 ） 2 +2 2 姨 = 5 姨 . 故选 C. 3. A 【解析】 ∵A （ -4 ， -4 ）， B （ 2 ， 2 ）， C （ 4 ， -2 ）， ∴ 边 AB 的中点 D 的坐标为 （ -1 ， -1 ）， ∴｜CD｜= （ -1-4 ） 2 + ［ -１- （ -２ ）］ ２ 姨 = 26 姨 . 故选 A. 4. B 【解析 】 如图 ， 点 A 关 于 x 轴的对称点为 A′ （ -3 ， -8 ）， 则当点 M 为 A′B 与 x 轴的交点时， ｜MA｜+｜MB｜ 取得最小值 ， 即 （ ｜MA ｜+ ｜MB ｜ ） min =｜A′B ｜= （ 2+3 ） 2 + （ 2+8 ） 2 姨 = 5 5 姨 . 故选 B. 5. ABC 【解析】 设 D （ x ， y ）， 若四边形 ABCD 是平行四边形 ， ∴AC 与 BD 互相平分， 即二者的中点相同 . 根据中点坐标公式有 -3+5=2+x ， 0+2=-2+y 3 ， 解得 x=0 ， y=4 3 ， 此时 点 D （ 0 ， 4 ）； 若四边形 ABDC 是平行四边形， 则 AD 与 BC 互相 平分， ∴ -3+x=2+5 ， 0+y=-2+2 3 ， 解得 x=10 ， y=0 3 ， 此时点 D （ 10 ， 0 ）； 若四边形 ADBC 是平行四边形， 则 AB 与 DC 互相 平分， ∴ -3+2=5+x ， 0+ （ -2 ） =2+y 3 ， 解得 x=-6 ， y=-4 3 ， 此时点 D （ -6 ， -4 ） . 故选 ABC. 6. （ -∞ ， 21 姨 ］ ∪ ［ 21 姨 ， +∞ ） 【解析】 根据两点 的距离公式得点 （ 2 ， b ） 到原点的距离 d= （ 2-0 ） 2 + （ b-0 ） 2 姨 ≥5 ， 即 4 +b 2 ≥25 ， ∴b 2 ≥21 ， 解 得 b≤- 21 姨 或 b≥ 21 姨 ， 故 b 的取值范围为 （ -∞ ， - 21 姨 ］ ∪ ［ 21 姨 ， +∞ ） . 7. 0 【解析】 ∵ 点 （ 0 ， 2 ） 是点 （ -2 ， b ） 与点 （ 2 ， 4 ） 的对称中心， ∴2= b+4 2 ， 解得 b=0. 8. （ 1 ， -2 ） （本题是开放题， 只要写出的点的坐标 满足关系 x-y=3 即可） 【解析】 设点 M （ x ， y ）， 由题可 知 （ x-1 ） 2 + （ y-2 ） 2 姨 = （ x-5 ） 2 + （ y+2 ） 2 姨 ， x y O M B C （ A ） （ 0 ， c ） （ b ， 0 ） 变式训练 3 答图 A B C D 图 2 变式训练 2 答图 第 4 题答图 x y O M B A′ （ -3 ， -8 ） （ 2 ， 2 ） A （ -3 ， 8 ） 8 2 -8 -3 2 51 高中数学选择性必修 第一册 （人教 B 版） 精编版 ∴x 2 +y 2 -2x-4y+5=x 2 +y 2 -10x+4y+29 ， 化简得 x-y=3. 令 x=1 ， 解得 y=-2 ， 此种情形下点 M （ 1 ， -2 ） . 9. a 2 +c 2 姨 + b 2 +d 2 姨 【解析 】 如图 ， 在 △ABC 中 ， AC+BC>AB ， 当 A ， B ， C 三点共线时 AC+BC=AB. 又 ∵AC= a 2 +c 2 姨 ， BC= b 2 +d 2 姨 ， AB= （ a+b ） 2 + （ c+d ） 2 姨 ， 即 （a+b ） 2 + （ c+d ） 2 姨 ≤ a 2 +c 2 姨 + b 2 +d 2 姨 . 10. 解 ： （ 1 ） ｜AB ｜= 4 2 +2 2 姨 =2 5 姨 ， 中点坐标为 7+3 2 ， 4+2 2 2 % = （ 5 ， 3 ） . （ 2 ） ｜MN ｜= 1 2 +0 2 姨 =1 ， 中点坐标为 3+2 2 ， 1+1 2 2 % = 5 2 ， 2 % 1 . （ 3 ） ｜PQ｜= 8 2 +2 2 姨 =2 17 姨 ， 中点坐标为 6-2 2 ， -4-2 2 2 % = （ 2 ， -3 ） . 提升练习 11. B 【解析】 ∵P （ cos琢 ， sin琢 ）， Q （ cos茁 ， sin茁 ）， ∴｜PQ｜= （ cos琢-cos茁 ） 2 + （ sin琢-sin茁 ） 2 姨 ＝ cos 2 琢+cos 2 茁-2cos琢cos茁+sin 2 琢+sin 2 茁-2sin琢sin茁 姨 ＝ （ cos 2 琢+sin 2 琢 ） + （ cos 2 茁+sin 2 茁 ） -2 （ cos琢cos茁+sin琢sin茁 ） 姨 ＝ 2-2cos （ 琢-茁 ） 姨 . ∵cos （ 琢-茁 ） ∈ ［ -1 ， 1 ］， ∴｜PQ｜∈ ［ 0 ， 2 ］ . 故选 B. 12. D 【解析】 以直角三角形的直角顶点 C 为原点， CB ， CA 边所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐 标系 . 设 B （ a ， 0 ）， A （ 0 ， b ）， 那么 D a 2 ， b 2 2 % ， P a 4 ， b 4 2 % ， 那么 ｜PA｜ 2 +｜PB｜ 2 ｜PC｜ 2 = a 2 16 + 9b 2 16 + 9 16 a 2 + b 2 16 a 2 16 + b 2 16 =10. 故选 D. 13. AC 【解析】 方法一： 设函数 y=f （ x ）的图象上任 意一点 P （ x ， y ）， 点 P 关于点 M 对称且在函数 y=x 2 +1 图 象上的点为 Q （ x 0 ， y 0 ） . 根据中点坐标公式可得 x+x 0 2 =2 ， y+y 0 2 =0 0 * * * * ) * * * * + ， ∴ x 0 =4-x ， y 0 =0-y y ， 由 y 0 = x 2 0 +1 ， ∴-y= （ 4-x ） 2 +1 ， ∴y=-x 2 +8x-17 ， 即 f （ x ） =-x 2 +8x- 17. 根据选项可知 f （ 2 ） =-5 ， f （ 1 ） =-10 ， f （ -1 ） =-26. 故选 AC. 方法二： 可根据选项求出各个选项关于点 M （ 2 ， 0 ） 的对称点， 判断对称点是否在函数 y=x 2 +1 的图象上 . 如 A 选项关于 M （ 2 ， 0 ） 的对称点为 （ 2 ， 5 ）， 这个 点在函数 y=x 2 +1 的图象上， 故 A 正确； 同理经过验证， C 也正确 . 故选 AC. 14. BC 【解析 】 由题 意 知 f （ x ） ≥｜AB ｜ ， 而 ｜AB ｜= 3 2 + （ -1-1 ） 2 姨 = 13 姨 ， ∴ f （ x ） ≥ 13 姨 ， 即函数 f （ x ）的值 域为 ［ 13 姨 ， +∞ ）， 故 C 正确. 由函数的值域知 ， 函数图象不可能为中心对称图 形， 故 A 错误 . ∵f 3 2 - 2 % x = 3 2 - 2 % x 2 +1 姨 + 3 2 -x- 2 % 3 2 +1 姨 = x- 3 2 2 % 2 +1 姨 + x+ 3 2 2 % 2 +1 姨 ， ∴ f 3 2 + 2 % x =f 3 2 - 2 % x ， 即函数关于 x= 3 2 对称， 故 B 正确 . 设 f （ x ） =t ， 则方程 f ［ f （ x ）］ =1+ 10 姨 ， 等价为 f （ t ） =1+ 10 姨 ， 即 t 2 +1 姨 + （ t-3 ） 2 +1 姨 =1+ 10 姨 ， ∴t=0 或 t=3. ∵ 函数 f （ x ） ≥ 13 姨 ， ∴t=0 或 t=3 不成立， ∴ 方程无 解， 故 D 错误 . 故选 BC. 15. 证明 ： 设以 F 为原点 ， AB 所在的直线为 x 轴建立平面 直角坐标系， 如图所示 . 设 A （ -a ， 0 ）， B （ a ， 0 ）， C （ x ， y ）， 则 E x-a 2 ， y 2 2 % ， F （ 0 ， 0 ） . 由于 ｜AC｜ 2 +｜AB｜ 2 =5｜BC｜ 2 ， 则（ x+a ） 2 +y 2 +4a 2 =５ ［（ x-a ） 2 +y 2 ］， 化简得 x 2 +y 2 -3ax=0. 由B B/ E = x-3a 2 ， y 2 2 % ， C B/ F = （ -x ， -y ）， ∴ B B/ E·C B/ F = -x （ x-3a ） 2 - y 2 2 = -x 2 -y 2 +3ax 2 =0 ， 故 BE⊥ CF. * 16. （ 1 ） 证明： 设 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ）， C （ x 3 ， y 3 ）， 由已知可得 d （ A ， B ） =｜x 1 -x 2 ｜+｜y 1 -y 2 ｜ ， d （ A ， C ） =｜x 1 - x 3 ｜+｜y 1 -y 3 ｜ ， d （ B ， C ） =｜x 3 -x 2 ｜+｜y 3 -y 2 ｜. ∵x 1 -x 2 = （ x 1 -x 3 ） + （ x 3 -x 2 ）， y 1 -y 2 = （ y 1 -y 3 ） + （ y 3 -y 2 ）， ∴｜x 1 -x 2 ｜=｜ （ x 1 -x 3 ） + （ x 3 -x 2 ） ｜≤｜x 1 -x 3 ｜+｜x 3 -x 2 ｜ ， ｜y 1 -y 2 ｜= ｜ （ y 1 -y 3 ） + （ y 3 -y 2 ） ｜≤｜y 1 -y 3 ｜+｜y 3 -y 2 ｜ ， ∴｜x 1 -x 2 ｜+｜y 1 -y 2 ｜≤ （ ｜x 1 -x 3 ｜+｜y 1 -y 3 ｜ ） + （ ｜x 3 -x 2 ｜+｜y 3 -y 2 ｜ ）， 即 d （ A ， B ） ≤d （ A ， C ） +d （ B ， C ） . （ 2 ） 解： 不妨设 x 1 <x 2 ， y 1 <y 2 ， 由数轴上的结论可 a b c d A B C 第 9 题答图 x y E aF A B C -a 第 15 题答图 52 参 考 答 案 知， 当点 C 的坐标 （ x 3 ， y 3 ） 的取值范围为 x 3 ∈ ［ x 1 ， x 2 ］ 且 y 3 ∈ ［ y 1 ， y 2 ］ 时， （ 1 ） 中的不等式等号成立 . 当点 C 的坐标 （ x 3 ， y 3 ） 的取值范围为 x 3 ∈ （ -∞ ， x 1 ） ∪ （ x 2 ， +∞ ） 或 y 3 ∈ （ -∞ ， y 1 ） ∪ （ y 2 ， +∞ ） 时， 不等式 等号不成立 . 2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第 1 课时 倾斜角与斜率 学习手册 变式训练 1 解 ： 如图 ， 直线 l 的 两个临界情形是与 x 轴垂直的直线 和过原点的直线 . 当直线 l 位于这两条直线所夹 的阴影范围时， 直线 l 不经过第二象限 . 当直线 l 垂直于 x 轴时， 倾斜 角为 90° ， 当直线 l 过原点时， 倾斜角为 45° ， ∴ 倾斜角的取值 范围是 ［ 45° ， 90° ］ . 变式训练 2 解： 由题意得 k AB = 1-1 2- （ -1 ） =0 ， ∴ 直线 AB 的倾斜角为 0° ； k BC = 2-1 -2+1 =-1 ， ∴ 直线 BC 的倾斜角为 135°. 变式训练 3 C 【解析】 由题意， k AB = m-1- （ -m ） m-2 = 2m-1 m-2 =tan135°=-1 ， 解得 m=1. 故选 C. 变式训练 4 解： 根据题意作出如 图所示的图形 . 直线 PA 的斜率为 k PA = -2- （ -3 ） 5 2 -2 =2 ， 直线 PB 的斜率为 k PB = -2-2 5 2 -3 =8 ， ∴ 过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点时， 直线 l 的斜率的取值范围是 （ -∞ ， 2 ］ ∪ ［ 8 ， +∞ ） . 变式训练 5 1+ 2 姨 【解析】 若 A ， B ， C 三点共线， 则 k AB =k AC ， ∴ a 2 +a 2-1 = a 3 +a 3-1 ， 得 2 （ a 2 +a ） =a 3 +a. 由 a>0 ， 故上 式化简为 a 2 -2a-1=0 ， 解得 a=1+ 2 姨 . 随堂练习 1. C 【解析】 经过 A （ 2 ， 0 ）， B （ 1 ， 3 姨 ） 两点的直 线的斜率为 k AB = 3 姨 1-2 =- 3 姨 ， 设该直线的倾斜角为 琢 ， 则 tan琢=- 3 姨 . 又 ∵0°≤琢<180° ， ∴琢=120°. 故选 C. 2. - 1 3 【解析】 ∵A （ 2 ， 3 ）， B （ -1 ， 4 ）， 则 k AB = 3-4 2+1 =- 1 3 . 3. 3 姨 3 ， ， 1 1 0 ， 仔 6 '( ∪ 2仔 ３ ， 1 ' 仔 【解析】 ∵k= tan琢 ， 琢∈ 仔 6 ， 仔 4 ，1 ， tan 仔 6 = 3 姨 3 ， tan 仔 4 =1 ， ∴ 3 姨 3 <k≤1 ， ∴ 斜率 k 的取值范围是 3 姨 3 ， ， 1 1 . 当 k∈ - 3 姨 ， 3 姨 3 1 ' 时， 由 k=- 3 姨 时， 琢= 2仔 3 ； 当 k= 3 姨 3 时， 琢= 仔 6 . ∴ 当 k∈ （ - 3 姨 ， 0 ） 时 ， 琢∈ 2仔 3 ， 1 ' 仔 ； 当 k∈ 0 ， 3 姨 3 '( 时， 琢∈ 0 ， 仔 6 '( . 综上， 琢∈ 0 ， 仔 6 '( ∪ 2仔 ３ ， 1 ' 仔 . 4. 1 2 【解析】 ∵A ， B ， C 三点共线， ∴k AB =k BC ， 由 k AB = -4m-3 3- （ -2 ） =- 4m+3 5 ， k BC = m- （ -4m ） 1 2 -3 =-2m ， ∴- 4m+3 5 =-2m ， 解得 m= 1 2 . 5. BD 【解析】 若直线的倾斜角 琢＝ 仔 ２ ， 则直线的斜 率不存在， 故 A 不正确； 若直线的倾斜角为 琢 ， 则 琢∈ ［ 0 ， 仔 ）， 故 B 正确； 举反例， 如取直线的倾斜角 琢 为 仔 3 ， 仔 4 ， 满足 仔 3 > 仔 4 ， 但 tan 仔 3 >tan 仔 4 ， 故 C 不正确； 由倾斜角和斜率的定义可知倾斜角和斜率都是反 映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度， 故 D 正确 . 故选 BD. 练习手册 效果评价 1. C 【解析 】 由已知直线斜率为 -1 ， ∴ 倾斜角为 135°. 故选 C. 2. C 【解析】 ∵ 直线 l 过原点 （ 0 ， 0 ）， 且不过第三 象限， 可知直线与坐标轴重合或经过第二、 四象限， ∴l 的倾斜角 琢 的取值范围为 琢=0° 或 90°≤琢<180° ， x y O A 变式训练 1 答图 x y O B （ 3 ， 2 ） A （ 2 ， -3 ） P 变式训练 4 答图 5 2 ， -2 1 ' 53