4.1 数列的概念（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1 数列的概念（第1课时） 人教A版选择性必修第二册 第四章 数列 学习目标 1 2 3 通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表法、图象法、通项公式法），培养学生数学抽象的核心素养 了解数列是一种特殊的函数； 通过数列的项归纳出数列的通项公式，培养学生逻辑推理的核心素养 新课导入 在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年同一时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数 .通过对记录下来的这列数分析，可以研究树的生长规律. 那么究竟什么是数列呢？ 按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的数列—等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、前n项和公式，并应用它们解决一些问题. 我们将把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列. 新课讲授 在现实生活和数学学习中, 我们经常需要根据问题的意义, 通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象. 例如： 实例1 王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 75， 87， 96， 103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168． ① 第一年 第二年 第三年 ....... 追问1.1 这列数中的第3、第8个数的实际意义是什么？ 追问1.2 这列数中的数据能否交换位置？具有确定顺序吗？ 追问1.3 能否用与顺序相关的符号来表示这列数？ 不能交换位置！具有确定顺序！ 记王芳第i岁时的身高为hi，则h175，h287,h396，…，h17168. 所以, ①是具有确定顺序的一列数. hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置. 新课讲授 实例2 在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数： 5， 10， 20，40，80，96，112，128， 144，160，176，192，208，224，240. ② 追问2.1 哪一天的月亮可见部分数为128？ 注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示. 追问2.2 这列数中的数据能否交换位置？具有确定顺序吗？ 追问2.3 能否用与顺序相关的符号来表示这列数？ 不能交换位置！具有确定顺序！ 记第i天月亮可见部分的数为si，则s1＝5，s2＝10，s3＝20，…，s15＝240. 所以, ②是具有确定顺序的一列数. si中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置. 新课讲授 实例3 将 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数. 追问3.2 你能仿照前两个实例的叙述，说明③也是具有确定的顺序的一列数吗？ 追问3.1 这列数是什么呢？请你列出来. ③ 所以,③是具有确定顺序的一列数. ai中的i反映了 的次幂从小到大的顺序排列时的确定位置. 新课讲授 ① 75， 87， 96， 103，110，116，120，128，138， 145，153，158，160，162，163，165，168． ② 5， 10， 20， 40， 80， 96， 112，128， 144，160，176，192，208，224，240. ③ 问题1 上面三个例子的共同特征是什么？ 一列数 顺序 概念生成 数列 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 数列中的每一个数叫做这个数列的______. 项 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（ ），排在第二位的数称为这个数列的第2项，···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项. 首项 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)，简记作 . {an} 反思 {an}与an所表示的意义是否相同？ an表示数列 { an }中的第 n 项. {an}表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ； 新课讲授 问题2：数列中的各项ai与各项序号i（i=1，2，3，...，n，...)间的对应关系是什么关系？ 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 项 数列本质上是特殊的函数. ①数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数,即 ②定义域为正整数集或它的有限子集 an=f(n) 数列是自变量为离散的数的函数. 新课讲授 问题3 既然数列是特殊的函数，那么数列的表达方式和函数的一样吗？ 例如，实例1的王芳身高可以表示为 列表法： 图象法： 以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，数列的图象是由一些孤立的点构成的. 解析法： 追问1 数列的图象有什么特点？ 追问2 从实例1的表和图中，你能发现数列随序号的变化呈现出什么特点吗？ 数列的分类 概念生成 与函数类似，我们可以定义数列的单调性： 递减数列：从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列. 递增数列：从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列. 摆动数列: 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 常数列：各项相等的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 对任意n∈N*，总有an+1=an (或an+1-an=0). 按数列中项的个数进行分类 有穷数列：个数有限的的数列 无穷数列：个数无限的的数列 问题4 数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示? 新课讲授 数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，简称通项 。 an=()n 追问2 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 追问1 数列通项公式的作用是什么？ 通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项. 并不是每个数列都能写出通项公式. 典例分析 [例1] 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. n 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 n 1 2 3 4 5 1 0 -1 0 1 学以致用 教材P5 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列; 学以致用 教材P5 2. 根据数列{an }的通项公式填表: n 1 2 ‧‧‧ 5 ‧‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧ n an ‧‧‧ ‧‧‧ 153 ‧‧‧ 273 ‧‧‧ 3(3+4n) 21 33 69 12 22 3. 除数函数(divisor function) y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , ‧‧‧, d(n), ‧‧‧的前10项. 典例分析 [例2] 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式. (1) 这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负, 解： 所以它的一个通项公式是 (2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0, 所以它的一个通项公式是 反思 你还能写出其他的解析式吗？ 难道不止一个？ 学以致用 教材P5 4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式: 归纳小结 问题5 通过上述实例的研究，你觉得该如何求数列的通项公式？ 求数列通项公式的一般方法： ①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。 ②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系，写出一个满足条件的最简捷的公式。 能力提升 题型一 数列的概念与分类 例题 1. 多选题 下列说法错误的是( @12@ ) A. 数列 ， ， ， 可表示为 B. 数列 ， ， ， 与数列 ， ， ， 是同一数列 C. 数列 ， ， ， ， 是递增数列 D. 数列 ， ， ， 与数列 ， ， ， ， 是同一数列 ABD [解析] A中说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；B中说法错误，两个数列的数的排列顺序不相同，所以不是同一数列；D中说法错误，数列 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是有穷数列，而数列 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是无穷数列.故选ABD. 能力提升 例题 2. 下列数列中，递增数列是________,递减数列是__________________, 常数列是________. （1） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （2） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （3） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （4） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； （5） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . （2） （1）（4）（5） （3） 能力提升 方法总结 数列的概念与分类的判断 （1）对于与数列有关的判断，应严格按照数列的概念、表示法等知识进行判断． （2）判断数列的单调性时，一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外． 能力提升 题型二 求数列的通项公式 例题 3. 根据下面数列的前4项，写出数列 <m></m> 的一个通项公式. （1） <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ， <m></m> ； [解析] 易知该数列的一个通项公式为 <m></m> . （2） <m></m> ， <m></m> , <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； [解析] 正负号可用 <m></m> 调节，整数部分为奇数 <m></m> ，故该数列的一个通项公式为 <m></m> . 能力提升 题型二 求数列的通项公式 例题 3. 根据下面数列的前4项，写出数列 <m></m> 的一个通项公式. （3） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ； [解析] 数列中的项有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察： <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，易知该数列的一个通项公式为 <m></m> . （4） <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . [解析] 将原数列改写为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，故所求的数列的一个通项公式为 <m></m> . 能力提升 方法总结 归纳数列通项公式的方法技巧 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，进而表示出 <m></m> . 课堂小结 数列的概念 $$