23.3 .3.相似三角形的性质 学案 2024--2025学年华东师大版九年级数学上册

第23章 图形的形似 23.3 相似三角形 3.相似三角形的性质 学习目标 1. 理解掌握相似三角形的性质：对应角相等， 对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题. 3.经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，体验解决问题策略的多样性． 学习策略 通过自学课本，弄清楚相似三角形的性质地由来，进而能够运用这些性质解答相关问题。 学习过程 一 课堂导入 相似三角形的判定方法： （1）定义 （2）预备定理：平行线构成的三角形与原三角形相似。 （3）两角分别相等的两个三角形相似。 （4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （5）三边成比例的两个三角形相似。 2. 相似三角形的有哪些性质? 相似三角形的__________________, 各对应边______。 二 讲解新知 探究一： 相似三角形的对应高的性质 图△ABC，AD为BC边上的高，则利用方格把三角形扩大2倍，得△A′B′C′， 并作出B'C'边上的高A'D’。 问题1：△ABC与△A'B'C'的相似比为多少? 问题2：AD与A'D'有什么关系？ 猜想：相似三角形对应边上的高的比是否等于相似比？ 已知：如图，△ABC∽ △A′B′C′, △ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、 A′D′是对应高.求证： 归纳：相似三角形对应边上的高的比等于____________. 探究二 相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比吗？相似三角形对应边上的中线线的比等于相似比？ 如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD，A'D'分别是边BC、B'C'上的角平分线，求证: . 【归纳】相似三角形对应边上的中线的比等于________. 相似三角形对应角的平分线的比等于________. 相似三角形的对应线段的比： 1、要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 2、反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点. 3、 由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键. 范例应用 例1 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为_______cm，面积为___ __cm 2． 探究三 如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？ 【归纳】相似三角形周长的比等于_________. 探究四 相似三角形面积的比与相似比的关系？ 【归纳】相似三角形面积的比等于相似比的_________． 三 范例应用 例2 如图，点D是△ABC的AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，已知 (1)求△ADE与△ABC 的周长比； (2)求S△ADE∶S四边形BCED. 例3.如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.求正方形PQRS的边长 四.自主总结： 当堂训练 1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　) A. B. C. D. 2．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为(　　) A．32 B．8 C．4 D．16 3.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为(　) A．1 B. C.－1 D.＋1 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连结DE.下列结论：① ＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的个数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若，则. 6.如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连结AM交对角线BD于点G，并且∠ABC＝2∠BAM. (1)求证：AG＝BG； (2)若M为BC的中点，S△BGM＝1，求△ADG的面积． 当堂训练答案 1.A 点拨：对应中线的比等于相似比. 2.C 点拨：面积比等于相似比的平方. 3.C 点拨：解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC，∴（．∵S△ADE=S四边形BCED， ∴，∴故答案为： 4.B 点拨：解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点， ∴DE∥BC，DE=BC，∴，①错误；∵DE=BC，∴，②正确； ，③错误；∵DE∥BC，∴△EOD∽△COB，∴， ∴，∴，④正确；故选：B． 5. 解：∵M，N分别是DE，BC的中点， ∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，∵△ADE∽△ABC， ∴，故答案为：． 证明：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC.∴∠ABG＝∠ABC. 又∵∠ABC＝2∠BAM， ∴∠BAM＝∠ABG.∴AG＝BG. （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC.∴△BGM∽△DGA. ∵M为BC的中点，∴BM＝BC＝AD， 即△BGM与△DGA的相似比为1 ∶2. ∴S△BGM ∶S△ADG＝1 ∶4. ∵S△BGM＝1，∴S△ADG＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $$