专题6 函数的奇偶性与周期性-【师大金卷】2025年高考数学一轮复习小题狂练（新高考）

(1,3]上单调递增.当r=3时，yx= f(0)=-1-2=-1,f(3)=f(2)-f1)--1-1=-2.f(40 3 ,所以素 =f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6) 的最小值为子 f(0)=2,所以一个周期内的f(1)十f(2)十…十(6)=0.由 专题6 函数的奇偶性与周期性 手2降以6余，所以2)=D+2+3)+4)= 1-1-2-1=-3.故远A. 2.B解析：周为f(x)在R上以6为周期，对称轴为x=3,且在 狂练考点1 函数的奇偶性质 (0,3)内单调递减，所以f(3.5)=/(2.5),(6.5)=f(0.5), ,D解折：国为)一为妈通数，则f)-f代 因为0<0.5<1.5<2.5<3.所以f(2.5)<f(1.5)< f(0.5),即f(3.5)<f(1.5)<f(6.5).故远B. e--e-e-c门-0.又周为r不恒为0. 3.A解析：由f(一x)十f(x）=0,f(2十x)=f(x),联立可得： e-1er-1 (2十x）=一f(一x),即品数(x)图象关于点(1,0)对称，由 可得e心-e1r=0.即e=e-14.则x=(a一1)x,即1= f(2十x)=f(x)可得(x)为周期函数，且周期为2，y=sinπx 的周期为2，关于点(k,0),k∈Z对称，由国象知：y一f(x)与y a一1，解得a=2.故选D 一si如元x在[一1,1)上有1个变点.其交点横坐标分别为x- 2.(1,-2)y-f(x+a)解析：图为f(x)=x-3x2-(x 1)2-3(x-1)-2,所以f(x+1)=x-3.x-2,.f（x+1)+ -1.x2= 合-0-是，所以若画数F)-) 2=x3-3x,设g(x)=x3-3x,则g(-x）=(-x)3-3(-x） =-x3十3x=-g(x),所以g(x)为奇函数，所以f(x)=r3 nr在区间[-1，]上有5个家点，则1≤m<号，故选八 3x2的图象关于点(1，一2)对称，即f(x)=x一3.x2的图象的 对称中心是点(1，一2)，函数y=f(x)的图象关于直线x=a成 轴对称图形的克要条件是函数y=f八x十：)为偶函数， 3.C解析：对于A中，函数f(I十x)为偶函数，则有(1十x)= f(1一x),可得(2+x)=f(-x),又由尺x)为奇画数，则 (-2-x)=-f(2十x),/（-x)=-f(x),则有f-2-x）= 一f(-x),所以-f(一2一x)=一f(x).即f(-2一x)=fx), 所以A错误：对于B中，画数f(1+x)为偶函数，则有(1+x) =f1一x),所以B不正确：对于C中，由f(2+x)=f(一x) -f(x).则f(x+4)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)是周期为 4.C解析：y=f(x+1)的最小正周期是2，则y=f(x)的最小 4的周期品数，所以f(x十2)=(x一2)，所以C正确：对于D 正周期是2，故B错课：所以f(一1)=一f(1)又（一1）=1) 中，由f(x)是周期为4的周期函数，可得f(2023)=（一1十 所以f(1)=f(一1)=0，故C正确：若f(x十1)=f(一x十1) 506×4)=f(一1)=一(1)，其中结果不一定为0，所以D错误. 又(x+1)=f(x-1).则f(x-1)=(-x+1),令x-1 故选C, 1,则有f()一f(一)，因此f(x)是偶函教，与题意不符，故A错 4.C解析：令(x)=f(x)一1=x十x,易知g(x)为寺函数且 g(x)在R上单调递增.化简f1-x)十f(2.x)>2→f(1-x) 溪：（受）=(）-（位）所以（受）十（合） 1+f(2x)-1>0,即g(1-x)+g(2x)>0g(1-x）> 0,故D错误.故选C. 一g(2x)=g(一2x),所以1一x>-2x,解得x>一1，故选C 5.2解析：由已知可得，f(x)=f(4一x),所以f(一x)=f(4十 解析：A选项，心)=二的定义城为R,一f(x) x).又f(x)是定义在R上的奇西数，所以f(一x)=一f(x),所 5.ABD a'+1 以f(4十x)=一f(x),所以f(8十x)=一f(4十x),所以f(8十 x)=f(x),所以f(x)的周期为8.所以f(2023)=f(252×8 a-1_1-a 三g(x),所以曲线y三f(r)与询线y= a*+1a'+1 十7)=f(7).令x■-3，代入f(4一x)=一(-x)可得，f(7) =一f(3),令x=3代入f(x)=f(4一x)可得，/(3)=/1). g(x)关于x轴对称，A正确：B选项，因为f代x)=4一}的定义 a'+1 又f(1)=12-3=-2.所以f(3)=-2,f(7)=2,所以 f(2023)=2. -1 域为R,f(-x)=4-I=a 1-a 狂练综合 函数的奇偶性与周期性 a+1 =g(x),故曲线 +11+ 1,B解析：周为函数f(x)=x+2hr十a一b是奇函数，所以 y=f(.x)与曲线y=g(x)关于y轴对称，B正确：CD选项，y= f(x)的定义域关于原点对称，所以为3a一4十a=0,解得a 1,又因为f(x)=x十2r十1一b为奇函数，所以f(一x)= f(r)g(x)=- ()-(◆ =,剩 -f(.x).即-x3-2hr+1-b=-x3-2hx-1+b.所以2=2b 解得b=1,故选B. =1-1,当a>1时，1。十在0，十∞)上单词递减 2.C解析：今f(x)=x显然不是偶函数，但y=f(一x)十f(x) 且1∈(0,1)，又y=一(t一1)2在t∈(0,1)上单调递增，故当 =0是偶品数，所以“y=f(x)十f(一x)为偶函数”不是“f(x) 4>1时，函数y=(x)g(x)在(0，十o)上单调递减，C错误： 为偶函数”的充分条件：若f(x)为偶西数，剥有f(一x) f(x),令F(x)=f(x)+f(一x)=2f(x),则F(一x) 当0<4<1时，1= 2在(0，十∞)上单调递增，且1e(1: 2f(一x)=2f(x),所以F(x)为偶函数，即y=f(x》十f(-x) a'+1 为偶西数.所以“y一f(x)十（一x)为偶函数”是“f(x)为偶函 2),文y=一(1一1)2在t∈(1,2)上单调递减，故当0<a<1 数”的必要条件.综上所迷，“y一(x)十（一x)为偶函数”是 时，函数y一(x)g(x)在(0，十o)上单词递减，D正确.故 “f(x)为偶函数”的必要不充分条件，故选C 选ABD, 3.D解析：令g(x)=xf(x),则g(y+1)=(y+1)f(y+1),所 狂练考点2函数的周期性 以g(x)=g(y十1)，且x,y+1为定义战内任意值，故g(x)为 1.A解析：因为f(x+y)+f(x一y)=f(x)f(y),令x=1,y= 常函敦.令g(x)=k,期f(x)=上为奇函数且没有极值点，C 0可得，2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2,令x=0可得，f(y) 错，D对：所以(x)≥0不恒成立，f(1)=1不一定成立，A、B 十f(一y)=2f(y),即f(y》=f(一y),所以西数f(x)为偶函 错，故透D, 数，令y一1得.f(x+1)十f(x一1)一f(x)f(1)一f(x),即4，B解析：因为f(6一x)一f(一x),所以f(x)是周期为6的周 有f(x+2)十f(x)=f(x+1),从而可知f(x+2)=-f八x 期画数.又f(2023)=3,所以f(6×337+1)=f(1)=3,所以 1),f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)= f(x+6),所以函数f(x)的一个周期为6.图为f(2)=f(1》一 2如+6=品所以士+号=号（仕+号）水2a+》= 数学答案一11 分(+台+光)户号(+2任·)=号，多且段当 又因为f(.x一1)为偶函数，所以强数f(x)关于x一一1对称，所 以得孟数的最小正周期T=2一1一1=4. =名即山=是6=号时取等号.故选B 10.-x14解析：当x∈[-1,0)时，x+2∈[1,2)，故f(x)= -f(x+2)=-(x+2-2)=-x,当xE(0,1时，-x∈ 5.B解析：因为函数f(x)是定义城为R的偶函数，所以f(x) [-1,0),故fx）=-f(-x)=-x,当x∈[2,3)时，x-2∈ f(-x),周为f(2x+1)-1是奇品数，所以f(-2x+1)-1 [0.1),故f(x)=-f(.x-2)=x-2,f(.+2)=-f(x),则 -[2x+)-=-2x+D+1.将x换成2子，则有 f(x+4)=一f(x十2)=(x),故函数周期为4， 画出函数因象，如图所示： f(x)一1=-f(2-x)+1fx)+f(2-x)=2,A:令x=1. 所以f(1)十f(1)=2→(1)=1，因此本选项正确B:因为 = 6 f(x)+f(2x)=2,所以函数f(x)关于点(1,1)对称，由f(x) 2 +/(2一x)=2.可得(0)十(2)=2.f(2)的值不确定.因此 4 不能确定f(0)的值，所以本速项不正确：C:因为f(x)十f(2 6 = x)=2,所以f(r+2)+f(-x)=2曰f(x十2)+f(x)= 2→f(x+4)+f(x+2)=2,所以f(x)=f(x+4).图此f（x) 是以4为周期的函数，因此本选项正确：D:因为f(2)十(2一x) 根据困象知：∑(，十y,)=4X3+2=14 =2,所以f(2+x)十（一x)=2→(2十x)十f(x)=2.此 有f(2+x)=f(2-x),所以西数f(.x)的图象关于x=2对称， 痛点2 函数“三大性质”的联姻 由上可知f(x)是以4为周期的函数，所以f(x)的图象也关于x =6对称，周此本选项正确，故选B. 狂练痛点1 函数奇偶性与单调性的联姻 6.A解析：设g(x)=r-2sinx十ln(√T+1+x), 1.一x(答案不唯一，形如kx(k<0)即可)解析：由②可知函敦 因为g(-x)=-x十2sinx+ln(√+1-x)=-x+2inx 「(x)为奇函数，由③可知函数「(x)为单调道减函数，不坊设函 1n(√x2+1+x)=一g(x),所以函数g(.x)为奇函数，函数图象 数f(x)=kr(k<0),别f(x+y)=k(x+y)=f(x)+f(y) 关于坐标原点对称，固为画数f(x)的图象相当于西数g(x)的 =k红十y符合题意.可取最一一1， 图象向下平移两个单位，所以可得虽数(x)的图象关于点(0， 2.D解析：由题可知西数(x)的定义战为（一∞，0）U(0, 一2)对称，由对称性可知M十N=一4.故选A +o).'f(-r)=log:-x+(-x)2=log2|x|+x2= 7.ABD解析：因为f(x)=ln(2一x)+1n(2+r),所以f(x) f(x),∴fr)是偶西数，.由flnr)十f八-lnr)<2可得 的定义域为（一2,2），因为/(-x)=ln(2+x)+|ln(2一x)= 2flnx)<2,即f(nu)<l.当x>0时，f(x)=log2x+x2.,y (x),所以函数f(x)是偶函数，故选项A正确：因为(x)的定义 =1og2,x和y=r2在(0，十oa)上都是单调遂增的·，f(x)在(0 城（一2,2）不关于点(1,0)对称，所以函数y一(x)的图象不关 十∞)上单调递增，又国f(x)是偶函数，∴f(x)在（一∞，0）上 于直线x=1对称，故远项C错误：因为当0<x<1时，f(x) 单调递减.又f(1)=1=f(一1)，由函数f(x)的定义域知 24 ln(2-x)+ln(2+x),f(x)= f(lnx)有lnx≠0.，由f(lnr)<1=f(1)可得0<ln.r<1, x-2+x+2(r+2)(x-2) 解得：l<x<e:由flnx)<1-f(-1)可得-1<ln.x<0. <0,所以此时函数f《x)单调递减，当1<x<2时，(x) 1 1 -4 ln(2+r)-ln(2-x),f(x)= 解释：是<x<1,综上，不等式的解秦为（仁U1e.故 x+2-x-2=(x+2)(x-2 选D. >0,所以此时函数(x)单调递增，又因为西教f(x)是偶西数， 所以函数f(x)在（一2，一1）上单调递减，在（一1,0）上单调递 解析：令F(x)=fx)-1= 2x2 -x2 3+1 增，所以函数f(x)的最小值为f(一1)=f(1)=ln3,f(x)有三 r(十3-1则(-)=132-8- 2 个极值点，故选项BD正确.故选ABD. 8.BCD解析：函数f(x)是定义在R上的非常数函数，由于(x 1+3 3+1 十1)为奇函数，故f(一x十1)=一f(x十1)，即f(x十1)十f(1 -F(x),F(x)是奇函数，设0≤x1<xe,则0≤<x,2≤ -x)=0,即f(x)+f(2-x)=0.由于f(x+2)+g(x-1)= 3+1<39+11≥>20<1-32<1 2 2 3,用2一x代换x可得f(4一x)十g(1一x)=3,结合(x)十 g(1-x)-3得：f(4-x)=f(x).即f(2-x)=f(x+2),结 合f(x)十f(2一x)=0得f(x)=-f(2一x)=-f(x+2),即 ”-)<(-）从丙 2 f(x十2)=-f(.x）,故f(x十4)=-f(x十2)=fr),即4为 F(x1)>F(x).所以F(x)在[O,十e)上是减函数，又F(x)是 函数f(x)的周期，故f(-x)=f八4-x)=f(x),故f(x)为偶 奇函数，所以它在（一∞.0]上也是减函数.所以F(x)在（一⊙ 品数，由于f(x)是定义在R上的非常数虽数，故f(x)不是奇函 十∞)上是减函数.不等式f(4-)十f(m2十3m)<2可化为 数，故A错误，B正确：由于f(x)+f(2一x)=0,故f(一x)十 f(4一a)一1+f(m2+3m)一1<0，即F(4-a)+F(m2+ f(2-x)=0,即f(x)+f(2+x)=0,故f(1)+f(3)=0,f(2) 3m)<0,F(m2+3m)<-F(4-a)=F(-4).所法m2+ +4)=0.故)=5061+2+3+八4] 3m>m-4,a<m+手十3，令g(m)-m+4+3.m∈ 打 0,故C正确：由f(x)+g(1一x)=3得f(1一x)十g(x)=3, [分小设号≤m<m<4:gm)一8m)=m+升 4 而f代x)为偶函数且f(x)+f(2一x)=0,故f(1一x)=一fF(1 +r).则g)=3-f1-x)=3+fx+1).因为)fk) mg- 4=（m1一m2)(mm一1 用1丝 2,m-m<0,当7≤m1< 0.所以宽+D-5062)+3+)+]- m2<2时，m1-4<0,g(1)-g(me）>0,g(1)>g(m2） g(m)递减，当2<m1<m2≤4时m1m2一4>0，g(m） 506+f2+3+K4]=0,故号x-号3+ m）<0g）<mem是增.所以（位）=受 g4)=8gm)在[d]上的最大位为婴，由题意得：< +1)]-6072+∑(k+1)-6072,D正痛.故选BCD. 23 9.一14解析：空1：因为西数g(x)为奇函数且周期为5，从而 故答案为(，号) 2 得：g(,x)=-g(-x),g(x)=g(x+5),所以g(3)=g(-2+5) 4.C解析：设g(x)=f(.r+1).即g(x一1)=f(x),为f(x) =g(-2)=-g(2)=-2,g(4)=g(-1+5)=g(-1)= -2|x-1+log(x-1)2,所以f(x)-2x-1+ -g(1)=-1,所以g(3)-g(4)=-2+1--1. 2log|x-1|,所以g(x)=21,x|+2log1x|,定义战为R, 空2：因为f八x十1)为隔高数，所以画数f(x)关于x=1对称， 由g(-x)=2-x+21og1-x|=g(x),所以函数y=g(x) 数学答案一12专题6函数的奇偶性与周期性 狂练考点1 函数的奇偶性质 C.当a>1时，函数y=f(.x)g(x)在(0， +∞)上单调递增 1.【高考典例】(2023·全国乙卷)已知f(x)= D.当0<a<1时，函数y=f(x)g(x)在(0， re ear-I 是偶函数，则a= 十∞)上单调递减 A.-2 B.-1 C.1 D.2 狂练考点2函数的周期性 2.【课本典例】（人教A版第一册）函数y=f(x)1.【高考典例】(2022·全国Ⅱ卷)已知函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要 f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x一y) 条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现 =f(x)f(y),f(1)=1,则∑fk)= 可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于 点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函 数y=f(x十a)一b为奇函数.则函数f(x) Λ.-3 B.-2 C.0 D.1 x3一3.x2图象的对称中心为 :类比上 2.【课本典例】（人教A版教材改编）设f(x)是 定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3) 述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于 内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线x y轴成轴对称图形的充要条件是函数y= =3对称，则下面正确的结论是 () f(x)为偶函数”的一个推广结论为：函数y= A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的 B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5) 充要条件是函数 为偶函数： C.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) 3.【经典好题】(2024·四川仁寿一中南校阶段性 D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5) 检测)已知函数f(x)为R上的奇函数，f(1十3.【经典好题】(2024·四川成都彭州调研)已知 x)为偶函数，则 定义在R上的奇函数f(x)满足f(2十x) A.f(-2-x)+f(x)=0 f(x),当x∈(0,1]时，f(x)=一log2x.若函 小 B.f(-x)=f(1+x) 数F(x)=f(x)一sinπx在区间[一1，m]上有 5个零点，则实数m的取值范围是 狂 C.f(x+2)=f(x-2) 练 D.f(2023)=0 A[1) B[22 4.【好题精选】(2024·贵州部分学校10月联考) 013 已知函数f(x)=x3+x十1，若f(1-x)+ c[2》 n.3) f(2x)>2,则x的取值范围是 ( ) 4.【好题精选】已知y=f(x)是定义域为R的奇 数 A.(-∞，1) B.(-o∞，1) 函数，若y=f(x十1)的最小正周期为2，则学 C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 下列说法一定正确的是 5.【新题展望】(2024·重庆八中适应性月考)（多 A.f(x+1)=f(-x+1) 选)已知a>0,且a≠1，函数f(x)=a-1 B.1是f(x)的一个周期 a'十1' C.f(1)=f(-1)=0 g(x)= 1一a,则 ( D.f(2+f(2)=1 1+a 5.【新题展望】(2024·黑龙江实验中学月考)已 A.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)关于x轴 知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x) 对称 =f(4-x),当x∈(0,2]时，f(x）)=x2-3, B.曲线y=f(x)与曲线y=g(x)关于y轴 则f(2023)= 对称 快乐考生 让学习快乐起来！ 狂练综合 函数的奇偶性与周期性 [一100,100]上的最大值为M,最小值为N, 一、单选题 则M+N= () 1.函数f(x)=ax8十2hr十a一b是奇函数，且 A.-4 B.-2 其定义域为[3a一4，a],则 ( C.2 D.4 A.a=1,b=0 B.a=1,b=1 二、多选题 C.a=0,b=0 7.(2024·甘肃部分校质量检测)已知函数f(x) D.a=-1,b=1 2.(2024·四川绵阳一诊)已知函数f(.x)的定义 =|ln(2一x)|十ln(2十x)|,则下列判断正 域为R,“y=f(x)+f(一x)为偶函数”是 确的是 () A.函数f(x)是偶函数 “f(.x)为偶函数”的 B.函数f(x)的最小值是ln3 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 C.必要不充分条件 D.函数f(x)有三个极值点 D.既不充分也不必要条件 8.(2024·山东济南莱芜一中月考)已知函数 3.(2024·广东汕尾部分学校联考)已知函数 f(x),g(x)是定义在R上的非常数函数，满 f(x)的定义域为（一o∞，0）U(0,+o∞)，且 足f(x+2)+g(x-1)=3,f(x)+g(1一x) =3,且f(x十1)为奇函数，则 () xf(x)=(y+1)f(y+1),则 ( A.f(x)为奇函数 A.f(x)≥0 B.f(1)=1 B.f(x)为偶函数 C.f(x)是偶函数 C.∑f(k)=O D.f(x)没有极值点 4.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(6 D.5g0=6072 小 -x)=f(-x),且当0<x<3时，f(x)= 三、填空题 2a+b(a>0,b>0),若f2023)=3,则1 9.(2024·海南陵水黎族自治县陵水中学三模)】 狂 练 函数g(x)是R上周期为5的奇函数，且g(1) 十2的最小值为 b =1,g(2)=2,则g(3)-g(4) 014 若函数f(x)的定义域为R,且函数f(x+1) A.2 与f(x一1)都是偶函数，则f(x)的最小正周 期为 学 c. D.4 10.(2024·福建莆田一中月考)已知定义在R上 5.（2024·四川绵阳中学模拟)已知函数f(x)是 的奇函数f(x)满足f(x十2)=一f(.x),当1 定义域为R的偶函数，f(2x+1)一1是奇函 ≤x<2时，f(x)=x一2.则当x∈[-1， 数，则下列结论不正确的是 ( ) 0)时，f(x)= A.f(1)=1 若y= x- B.f(0)=0 与f(x)的图象交于点(x1y1)、(x2,y2)、 C.f(x)是以4为周期的函数 …、(x)n∈N),则∑(：+) D.f(x)的图象关于x=6对称 6.(2024·山西太原质量检测)已知函数f(x)= x-2sin.x+ln(Wx2+1+x)-2在区间