3.3二次函数y=ax²的图象与性质（第1课时）（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.3 二次函数y=ax²的图象与性质 第三章 二次函数 第一课时 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 1 2 3 1、经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究二次函数性质的经验. 2、掌握利用描点法作出y=x2的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.能够作出二次函数y=-x2的图象,并比较它与y=x2图象的异同,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系 3、培养学生热爱数学、主动探究的能力. 2 知识回顾 列 表 描 点 连 线 如何画函数的图象？ 一次函数的图象是什么？ 一次函数y＝kx＋b(k≠0)其图象是一条经过(0，b)、（-,0）的直线 x y o b<0 b>0 b=0 x y o b<0 b>0 b=0 知识回顾 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数y＝ (k≠0)其图象是双曲线 0 x y y＝ （k>0） y＝ （k<0） 知识回顾 列 表 描 点 连 线 如何画函数的图象吗？ 二次函数的定义是什么？ 形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 二次函数的特殊形式有几种？ 结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法．我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质． 猜一猜二次函数的图象是什么？ ①y=ax2(a≠0,b=0,c=0) ②y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0) ③y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0) 画 y=x2 的图象 新知导入 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 画出二次函数y=x2的图象. 9 4 1 0 1 9 4 在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值 第一步:列表 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 第二步:描点 y=x2 新知探究 第三步:连线 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 根据表中 x，y 的数值在坐标平面中描点 (x，y). 用平滑的曲线顺次连接各点 能用直线连接吗？ 思考 观察图象,回答问题串 y=x 2 新知探究 (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？ x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 新知探究 y=x 2 (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 抛物线y = x2 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 新知探究 (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流. 这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴. 当x=-3时，y=9 当x=+3时，y=9 当x=+1时，y=1 当x=-1时，y=1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 新知探究 (3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? 对称轴与抛物线的交点叫抛物线的顶点. 顶点坐标(0,0) x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 新知探究 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ 当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小. 当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大. 新知探究 (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？ 抛物线y=x2图象在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展; 当x=0时,函数y的值最小,最小值是0. x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 新知探究 二次函数y=x2的图象动态演示 1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． 二次函数y=x2的图象总结 做一做 新知再探 探究二次函数y=-x2的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 (1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？ 画 y= -x2 的图象 思考 第一步:列表 x y 0 -3 -2 -1 1 2 3 -10 -8 -6 -4 -2 2 -1 y=-x2 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 第二步:描点 第三步:连线 新知再探 新知再探 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 -2 -6 -4 -8 -10 （1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. （2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? （3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ （4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？ （5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流. 抛物线. 开口向下 交点坐标：（0,0） 当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大. 当x>0 (在对称轴的右侧)时,y随着x的增大而减小. 当x=0时,函数y的值最小,最小值是0. 这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴. 议一议 新知再探 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 -2 -6 -4 -8 -10 函数y=x2和y= -x2的图象和性质 议一议 函数y=x2和y= -x2的图象关于哪条直线对称？ 10 8 6 4 2 y 函数y=x2和y= -x2的图象关于那个点对称？ 由函数y=x2的图象如何得到y= -x2的图象 函数y=x2图象关于y轴对称 函数y=-x2图象关于y轴对称 函数y=x2与y= -x2的图象关于x轴对称 函数y=x2与y= -x2的图象关于原点对称 将函数y=x2的图象沿x轴翻折180°可得y= -x2图象 函数y=x2和y= -x2二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. 函数y=±x2的图象和性质 新知总结 抛物线 顶点坐标 对称轴 位 置 开口方向 增减性 最 值 y=x2 y= -x2 （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 开口向上 开口向下 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 图 象 y O x y O x 新知巩固 例1 若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y= - x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________. y2＞y1 若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________. y1＞y2 变式 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 -2 -6 -4 -8 -10 例2 若点 A(2,m)在抛物线 y=-x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 　　　． (-2，-4) 例3、两条抛物线 与 在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值 C 新知巩固 a S -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 1．设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象． 解： S = a2(a>0) 列表： a 0 1 2 3 … S … 0 1 4 9 描点并连线． S=a2 新知练习 2.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围． 解：∵二次函数y=x2， ∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0， ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0． 新知练习 3.已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=_____. 解析：由题意可知 解得a=3或a=-3. 又∵当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴a=3. 3 二次函数y=x2和y=－x2图象与性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 $$