3.3二次函数y=ax²的图象与性质（第2课时）（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

3.3 二次函数y=ax²的图象与性质 第三章 二次函数 第二课时 五四制鲁教版九年级上册 教学目标 1 2 3 1、理解抛物线的概念,学会利用图象研究和理解二次函数y=ax2的性质,并能解决简单的实际问题. 2、通过动手画图,认识二次函数y=ax2的性质；经过合作交流,能比较y=ax2与y=-ax2的图象的异同,初步建立二次函数表达式与图象间的联系. 3、通过二次函数y=ax2的探究活动,提高学生的动手能力和团队合作精神,培养学生勇于探索的学习习惯. 二次函数y=x2 与y=-x2的图象和性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与最值 知识回顾 说一说 1. 顶点都在原点（0,0）; 3. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 2. 图像关于y轴对称; 4.当x=0时，最小值为0 当x=0时，最大值为0 知识回顾 y=- 开口向上 开口向下 共同点： a>0 a<0 不同点 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 10 8 6 4 2 -2 1 x y 0 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 -2 -6 -4 -8 -10 y= 函数y=x2和y= -x2的图象和性质共同点和不同点 ①解析式：y=a ②对称轴：y轴 ③顶点坐标：（0,0） 原点（0,0）——最低点 原点（0,0）——最高点 随着自变量x的增大，函数值y先降后升 随着自变量x的增大，函数值y先升后降 新知导入 汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关? 刹车距离与二次函数 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗? 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明,汽车在某段公路上行驶时,速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由如下公式确定: 汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离。 最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数 晴天行驶时,由公式(1)来计算： 雨天行驶时,由公式(2)来计算： S是v的什么函数？ 列表： 在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象 v 0 20 40 60 80 100 120 140 新知探究 比较函数 与 的图象 0 4 16 36 64 100 144 196 0 8 32 72 128 200 288 392 在这两个函数中,v可以取任何值吗?为什么? 想一想 活动一 V≥0 6 V/(km/h) s -20 0 20 40 80 100 120 140 128 100 72 64 36 16 32 描点,连线 60 144 200 288 新知探究 v （1） （2） 0 0 0 20 4 8 40 15 30 60 36 72 80 64 128 100 100 200 120 144 288 140 196 392 v （1） （2） 0 0 0 20 4 8 40 15 30 60 36 72 80 64 128 100 100 200 120 144 288 140 196 392 新知探究 V/(km/h) s -20 0 20 40 80 100 120 140 128 100 72 64 36 16 32 60 144 200 288 活动二 比较函数 与 的图象相同点与 不同点 (1)它们都是抛物线的一部分； (2)二者都位于y轴的左侧. (3)函数值都随y值的增大而增大 相同点： (2)的图像在(1)的图象的内侧. (2)的s比(1)中的s增长速度快 . 不同点： 函数y=ax2(a≠0)的图象和性质 在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． 列表： 描点、连线 新知再探 做一做 活动三 x y=x² y=2x² … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … 18 8 2 0 2 8 18 … x y O -2 2 10 14 16 4 -4 18 8 6 4 2 y=2x2 二次函数y=2x2的图象是什么形状? 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同? 抛物线 开口方向、对称轴、顶点、变化趋势相同 开口大小不同 9 二次函数y=2x2的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? x y O -2 2 10 14 16 4 -4 18 8 6 4 2 y=2x2 议一议 新知再探 增减性： 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点； 开口都向上； 对称轴都是y轴； 新知再探 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 做一做 O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 －8 x y y=-2x2 图象开口大小与a的大小有什么关系？ 当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小. 图象开口大小与a的大小关系 新知再探 新知再探 图象开口大小与a的大小关系 二次函数y=ax2的性质 １.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 开口大小 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2 (a>0) y= ax2 (a<0) （0，0） （0，0） y轴 y轴 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方( 除顶点外) 向上 向下 当x=0时,最小值为0. 当x=0时,最大值为0. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 越小,开口越大. 越大,开口越小. 新知总结 二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型. 物体自由下落的高度h与下落时间t之间的关系（g代表重力加速度，为定值） 质量为m的物体运动时的能量E与其运动速度v之间的关系（m为定值） 物体做匀加速运动时，行驶路程与时间的关系（a代表加速度，为定值） 趣味阅读 趣味阅读 新知巩固 （3）函数y= x2的图象的开口 ,对称轴是 , 顶点是 ;顶点是 抛物线的最 点; （2）函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点 是 顶点是抛物线的最 点; （1）函数y=4x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ; 向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0) （4）函数y= －0.2x2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 . 向上 y轴 (0,0) 向下 y轴 (0,0) 高 低 一、填一填 新知巩固 1.当ab>0时，y＝ax²与y＝ax＋b的图象大致是(　　) 二、选一选 2.抛物线y=2x²，y=-2x²，y=x²的共同性质是( ) D A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 B 3.关于函数y=3x²的性质表述正确的一项是( ) A.无论x为任何实数，y的值总为正 B.当x值增大时，y的值也增大 C.它的图象关于y轴对称 D.它的图象在第一、三象限内 4.已知点(-1，y₁)，(2，y₂)，(-3，y₃)都在函数y=x²的图象上，则( ) A.y₁<y₂<y₃ B.y₁<y₃<y₂ C.y₃<y₂<y₁ D.y₂<y₁<y₃ 新知巩固 二、选一选 C A 如图，四个函数的图象，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d 的大小关系为(　　) A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c 新知巩固 二、选一选 A 1.已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式 m2+m 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 ∴ 二次函数为: y=2x2. 三、做一做 新知巩固 解： (1)将A (-1,)代入y=ax²(a≠0)，得a= 将B(3,m)代入y=，得m=3 (2)二次函数图象的顶点坐标为(0,0)，对称轴是y轴。 新知巩固 三、做一做 (3)当-3≤x≤1时 最大值是y=3,最小值是y=0. 画出其图象 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· ··· 3 0 3 ··· y O x 2.己知二次函数y=ax²(a≠0)图象经过点A(-1,)和B(3,m), (1)求a与m的值： (2)写出二次函数图象的顶点坐标及对称轴并画出其图象 (3)当-3≤x≤1时，求函数y的最大值和最小值。 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向与大小 对称性 顶点与最值 增减性 开口向上 开口向下 | a | 越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点(0，0) 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 y O x y O x 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0 时，y随x增大而增大 当x>0时，y随x增大而增大； 当x<0 时，y随x增大而减小 如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）. （1）求直线AB的函数解析式； （2）求抛物线的函数解析式； （3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC，求点D的坐标. y=ax+b （2，2） （4，0） D D 拓展延伸 解：（1）设直线表达式为y=ax+b， ∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上， ∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4. （2）∵点A（2，2）在y=ax2的图象上， ∴代入可得 ， ∴抛物线的函数解析式为 . （2，2） （4，0） 拓展延伸 * * 25 （3）联立得 解得： ∴点C的坐标为（-4，8）， 设D ∵S△OBD=S△OAC，∴x2=12， ∴D点坐标为 或 . （2，2） （4，0） D D （-4，8） 拓展延伸 * * 26 (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2；(填“>”“＝”或“<”)； < 2. 已知二次函数y＝2x2. 拓展延伸 (2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和． (2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形， 且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 拓展延伸 $$