八年级上学期期中模拟卷02（考试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理、实数）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

八年级上学期期中模拟卷02 【考试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理、实数】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图（    ） A．  B．  C．   D．   2．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 3．下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为 4．已知，则估计a的值应在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 5．如图，在中，，是延长线上的点，，于，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 6．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．若表示实数的整数部分，表示实数的小数部分，如，，，则（　　） A． B． C． D． 8．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 9．如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 10．如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．一个三角形的三边长为6，8，x，另一个三角形的三边长为y，6，9，如果这两个三角形全等，则 ． 12．已知实数，满足，则 ． 13．在中，，D是的中点，，则 ． 14．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺．    15．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ． 16．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 17．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ． 18．如图，已知，，，，，若点P是上的一个动点，则的最小值为 ． 三、解答题（10小题，共66分） 19．求x的值： (1) (2) 20．计算： (1) (2) 21．（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    22．如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 23．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 24．如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足． (1)的度数为______，的度数为______； (2)若的周长为，求的长． 25．如图，在中，、分别是边、上的高线，取为中点，连接点，，得到，是中点． (1)求证：； (2)如果，，求． 26．材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 27．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 28．在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期期中模拟卷02 【考试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理、实数】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形，解题关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三边的中垂线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质进行判断． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：B． 3．下列三角形中，不是直角三角形的是（    ） A．中， B．中， C．中， D．中，三边的长分别为 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定．熟练掌握有一个角是的三角形，或者三角形的三边满足：，则：三角形为直角三角形是解题的关键．根据直角三角形的判定方法：有一个角为的三角形，或利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，是直角三角形，不符合题意； B、，，不是直角三角形，符合题意； C、，，是直角三角形，不符合题意； D、三边的长分别为5、4、3，，是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 4．已知，则估计a的值应在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．先估算出的范围，再估算出的范围即可求解． 【详解】解：，即， ， a的值应在之间， 故选：C． 5．如图，在中，，是延长线上的点，，于，交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，可证，根据，可证，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，点是延长线上一点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， 故选：A ． 6．已知，如图，在中，和分别平分和，过作分别交，于点，，若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线段性质，根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵在中，和分别平分和， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 7．若表示实数的整数部分，表示实数的小数部分，如，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数大小，理解定义的新运算是解题的关键．先估算的值的范围，从而估算出的值的范围，然后根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分是2，小数部分是， ， 故选：． 8．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故选：C． 9．如图是一块长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平面展开最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段.分三种情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较三种情况下最短的线段即可得到答案． 【详解】分三种情况： （1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． （3）经过左面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为的长方形的对角线如图中的，其长为． 比较（1）（2）（3）的结果，知蚂蚁爬行的最短路线的长为． 故选：C 10．如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．一个三角形的三边长为6，8，x，另一个三角形的三边长为y，6，9，如果这两个三角形全等，则 ． 【答案】17 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出，的值进而得出答案．正确得出，的值是解题关键． 【详解】解：一个三角形的三边长为6，8，x，另一个三角形的三边长为y，6，9，且这两个三角形全等， ，， ， 故答案为：17． 12．已知实数，满足，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，代数式求值，掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质，即可求得，的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 所以，． 故答案为：1． 13．在中，，D是的中点，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等是解题的关键；延长至E，使，连接，先证，再证，进而求解即可． 【详解】解：延长至E，使，连接，则， D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺．    【答案】14.5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知： 尺，尺， ∴尺， 设绳索尺， 根据题意得 ， 解得． 答：绳索的长为14.5尺． 故答案为：． 15．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ． 【答案】84 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，并延长到P，根据线段的垂直平分线的性质得，，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，相加可得结论． 【详解】解：连接，并延长到P， ∵线段、的垂直平分线、相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴； 故答案为：84． 16．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．如图，在中，，，，是的中点，动直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，可证得，再证明，从而得到，然后根据，可得，然后根据勾股定理可得，再由当时，与重合，则最大为，即可．作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， 当时，与重合，则最大为， 即的最大值为， 故答案为：． 18．如图，已知，，，，，若点P是上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示作辅助线，先证明，然后得，当与共线时，为最小值，再由勾股定理求即可． 【详解】解：延长至E，使，连接，过P点作于D，如图所示， 垂直平分线段， ， ， ， ， 当与共线时，为最小值， 此时，， ， ， 故的最小值为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握这些性质和运用点到直线的距离垂线段最短是解决此题的关键． 三、解答题（10小题，共66分） 19．求x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）先把常数项移到方程右边，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 20．计算： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算． （1）先计算乘方和立方根，再计算除法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，涉及轴对称图案： （1）中心站到两条公路距离相等，则中心站在直线夹角的角平分线上，中心站到两个城镇的距离也相等，则中心站在的垂直平分线上，据此分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此根据定义涉及轴对称图案即可． 【详解】解：（1）如图所示，分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如图所示，线段即为所求． 22．如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)2； (2)的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 23．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为21.6米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米)， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米)， （米)， 他应该往回收线8米． 24．如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足． (1)的度数为______，的度数为______； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1） 解：， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ； 故答案为：，； （2） 的周长为， ， ． 25．如图，在中，、分别是边、上的高线，取为中点，连接点，，得到，是中点． (1)求证：； (2)如果，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)48 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及利用勾股定理解三角形，解题的关键是熟练掌握斜边上的中线等于斜边上的一半，以及利用证明三角形全等． （1）由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可判定，由等腰三角形的三线合一，可证； （2）由，可求，可判定是等边三角形，根据直角三角形斜边上的中线，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）证明：在中，、分别是边、上的高线， ， 是的中点， ， 是等腰三角形， 是的中点， ； （2）解：、分别是边、上的高线． ， 是的中点，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， 是的中点， ， ． 26．材料1：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足，． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的平方根和相反数： （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可； （3）根据无理数的估算方法估算出直，据此确定x、y的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 的整数部分为4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ， 也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为， ，， ， 的平方根为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且， ∴, ∴， ∴， ∴的相反数是． 27．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足，则此时的值； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点运动过程中，当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2)的值为或； (3)当或或或3时，为等腰三角形． 【分析】（1）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （2）设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值． （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：如图，设，则， ，，， ， 在中，， ， 解得， ， ； （2）解：如图，过作于， 平分，， ， ∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； （3）解：分四种情况： ①如图，当在上且时， ，而，， ， ， 是的中点，即， ． ②如图，当在上且时， ． ③如图，当在上且时，过作于，则， 中，， ， ． ④如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或3时，为等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 28．在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)18 【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； （3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1）， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 同理可证：，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点， ∴， ∴ ∵， 由（2）可得是等边三角形， ∴． ∵ 当A，F，G，E共线时，有最大值． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$