2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系（十一大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 【题型归纳】 2 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 2 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 2 题型三：切线与切线长问题 2 题型四：弦长问题 3 题型五：判断圆与圆的位置关系 3 题型六：由圆的位置关系确定参数 4 题型七：公共弦与切点弦问题 4 题型八：公切线问题 5 题型九：圆中范围与最值问题 5 题型十：圆系问题 6 题型十一：直线与圆的实际问题 6 【重难点集训】 7 【高考真题】 10 【题型归纳】 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 1．（2024·高一·陕西宝鸡·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 2．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 3．（2024·高二·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 4．（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知动直线截圆可得两段弧，当劣弧最短时，（    ） A． B． C．2 D．4 6．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 8．（2024·高二·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型三：切线与切线长问题 9．（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 ． 10．（2024·高二·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 ． 11．（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 12．（2024·高二·广东肇庆·阶段练习）从点向圆作切线，则切线长为 ． 13．（2024·高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 题型四：弦长问题 14．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 ． 15．（2024·高二·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 16．（2024·天津·一模）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为 ． 17．（2024·高二·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 ． 18．（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 题型五：判断圆与圆的位置关系 19．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 20．（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 21．（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 22．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 23．（2024·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 24．（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 题型六：由圆的位置关系确定参数 25．（2024·高二·江苏南京·期末）已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 26．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 28．（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型七：公共弦与切点弦问题 29．（2024·高二·全国·课后作业）已知圆与圆相交，则相交弦的长为 ． 30．（2024·高二·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 31．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 ． 32．（2024·高二·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 题型八：公切线问题 33．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 34．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 ．（写出一条满足条件的即可）． 35．（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 36．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 题型九：圆中范围与最值问题 37．（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）如果实数，满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 38．（多选题）（2024·高二·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 39．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 40．（2024·高二·上海·课后作业）圆上的点到直线的距离最小值是 ． 题型十：圆系问题 41．已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 题型十一：直线与圆的实际问题 42．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（    ） A．1h B． C．2h D． 43．（2024·高二·广东深圳·期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 ．    44．（2024·高二·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【重难点集训】 1．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线绕原点逆时针旋转与圆相交于两点，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（2024·高二·河北衡水·阶段练习）已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．16 D． 3．（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）圆和直线为圆C上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若圆C关于直线l对称，则的最大值为20 B．若圆C关于直线l对称，则 C．存在实数a使得圆C与直线l相离 D．无论取a任何实数，圆C都和直线l相交 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·河南漯河·阶段练习）台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·天津·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 7．（多选题）（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线l与圆C有两个交点 C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D．圆C与圆恰有三条公切线 8．（多选题）（2024·高二·广东中山·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．已知点在圆上，则的最大值是4 B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 9．（多选题）（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：恰有三条公切线，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 10．（多选题）（2024·高二·重庆·开学考试）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 11．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为 12．（2024·高二·天津南开·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上运动，若恒为锐角，则正实数m的取值范围是 . 13．（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是 ． 14．（2024·高二·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 15．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 16．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线：与动点的轨迹交于两点，记动点轨迹的对称中心为点，则当面积最大时，求直线的方程． 17．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）已知点，圆：． (1)求圆过点的最短弦所在的直线方程； (2)若圆与直线相交于，两点，为原点，且，求的值． 18．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆E的方程； (3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 19．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知点与直线l：，圆C： (1)一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； (2)过P点作圆的切线，求切线方程． 20．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）（1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程. （2）若过点作圆的切线，求切线的斜率. 21．（2024·高二·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【高考真题】 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 5．（2021年北京市高考数学试题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 6．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 7．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 8．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 11．（2022年新高考全国I卷数学真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 12．（2021年天津高考数学试题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2．5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录 【题型归纳】 2 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 2 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 3 题型三：切线与切线长问题 4 题型四：弦长问题 6 题型五：判断圆与圆的位置关系 8 题型六：由圆的位置关系确定参数 9 题型七：公共弦与切点弦问题 11 题型八：公切线问题 13 题型九：圆中范围与最值问题 17 题型十：圆系问题 20 题型十一：直线与圆的实际问题 20 【重难点集训】 23 【高考真题】 37 【题型归纳】 题型一：不含参数（含参数）的直线与圆的位置关系 1．（2024·高一·陕西宝鸡·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 【答案】B 【解析】的圆心为， 符合直线方程，故直线过圆心， 故选：B 2．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】因为直线，即， 当时，，解得， 所以直线表示过定点，且除去的直线， 将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上， 所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意， 所以直线与圆相交． 故选：C． 3．（2024·高二·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】由，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交． 故选：B． 4．（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【解析】可化为， 即该圆圆心为，半径为， 由可得该直线过定点， 有，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交． 故选：A． 题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标 5．（2024·高二·全国·课后作业）已知动直线截圆可得两段弧，当劣弧最短时，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】圆化为，圆心坐标为，半径为4． 因为动直线经过定点， 定点恰好在圆内． 根据圆的性质，动直线与垂直时，动直线截圆所得的两段弧中，优弧最长，劣弧最短， 故，则． 故选：B． 6．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，故有，即， 由，则点为中点， 故，故有， 即有，整理得， 即． 故选：A． 7．（2024·高二·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或． 故选：B． 8．（2024·高二·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或． 故选：C 题型三：切线与切线长问题 9．（2024·高二·上海·期末）过点作圆的切线，则切线方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线斜率存在时，设切线的点斜式方程为：，圆心到直线的距离为， 化简得到，故； 另一条应为不存在的情况，即满足题意． 故答案为：或． 10．（2024·高二·海南省直辖县级单位·期末）过点作圆的切线，则切线的斜率为 ． 【答案】或 【解析】当直线斜率不存在时，直线为， 此时圆心到的距离，故不符， 当直线斜率存在时，设直线为， 即， 此时圆心到的距离， 即，即或． 故答案为：或． 11．（2024·高二·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 12．（2024·高二·广东肇庆·阶段练习）从点向圆作切线，则切线长为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 所以切线长为． 故答案为：． 13．（2024·高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【解析】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为． 故答案为：3． 题型四：弦长问题 14．（2024·天津武清·模拟预测）已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 ． 【答案】 【解析】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：． 故答案为：． 15．（2024·高二·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即． 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为． 故答案为：或． 16．（2024·天津·一模）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线斜率不存在时，直线为， 则有，即， 则，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线为，即， 由可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则有，即， 即，即． 故答案为：或． 17．（2024·高二·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 ． 【答案】 【解析】的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为． 面积为． 故答案为：． 18．（2024·高二·福建厦门·期中）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【解析】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 题型五：判断圆与圆的位置关系 19．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含； 故选：A 20．（2024·高二·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【解析】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交． 故选：A． 21．（2024·高二·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为． 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交． 故选：A． 22．（2024·山东·模拟预测）已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【解析】圆：，所以圆心，半径为． 由点到直线距离公式得：，且，所以． 又圆的圆心，半径为：1． 所以，． 由，所以两圆内含． 故选：D 23．（2024·高二·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【解析】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切． 故选：B 24．（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心， 所以，，所以，故两圆外切， 故选B． 题型六：由圆的位置关系确定参数 25．（2024·高二·江苏南京·期末）已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（    ） A．－1 B．1 C．0 D．2 【答案】C 【解析】根据题意，点，若，则点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，设该圆为圆， 圆，若圆上存在点使得，则圆与圆有公共点， 则，解得，即的取值范围为， 故的最小值为0． 故选：C． 26．（2024·北京·三模）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】说明在以为直径的圆上， 而又在圆上，因此两圆有公共点， 则圆心距位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中， 所以，即，又，解得． 故选：B 27．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，已知圆O：的圆心为，半径， 若直线上存在两点A，B，使得恒成立， 则以为直径的圆要内含或内切圆， 点到直线l的距离， 所以的最小值为， 选B． 28．（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数（）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，若点的轨迹与圆：（）有且仅有三条公切线，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题意可得，化简得， 即，即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 由：（），可得， 故圆以为圆心，为半径，由两圆有且仅有三条公切线， 故两圆外切，即有，即． 故选：D． 题型七：公共弦与切点弦问题 29．（2024·高二·全国·课后作业）已知圆与圆相交，则相交弦的长为 ． 【答案】 【解析】设两圆相交弦所在直线为，则直线的方程为， 即到直线的距离，则相交弦的长为． 故答案为： 30．（2024·高二·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【解析】由，得， 化简得， 所以直线AB的方程为． 故答案为： 31．（2024·高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：． 故答案为：． 32．（2024·高二·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】 由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点． 因为，， 则， 所以直线的方程为． 故答案为：． 题型八：公切线问题 33．（2024·高二·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【答案】3或 【解析】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 34．（2024·山东·模拟预测）已知圆：，圆：，直线与圆分别相交于四点，若，则直线的方程可以为 ．（写出一条满足条件的即可）． 【答案】，，，，，，，，，，，，，，，（答案不唯一） 【解析】对于一个半径为的圆，若一条直线被该圆截得的弦与圆心构成面积为的三角形，则这意味着弦对应的圆心角满足，即或． 由于弦到圆心的距离，故或． 这就将命题转化为：直线到的距离是或，到的距离也是或． 分别以和为圆心，以为半径作圆和，以为半径作圆和． 则直线需要满足：与或相切，与或相切． 首先，由于，故不可能同时和一条竖直直线相切，从而的斜率一定存在． ①若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）． 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得． 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ②若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或与两圆圆心连线平行，即斜率为（此种情况亦可视为直线经过两圆的外位似中心：方向的无穷远点）． 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得． 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ③若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心． 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得． 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，； ④若直线与和相切，则直线经过两圆的内位似中心，或经过两圆的外位似中心． 对于前一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得； 对于后一种情况，即直线到原点的距离为，使用距离公式得到，解得． 所以我们得到此时满足条件的直线可能是：，，，． 综上，满足条件的直线一共有16种可能：，，，，，，，，，，，，，，，． 故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，．（答案不唯一） 35．（2024·高二·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和． 故答案为：（或之一也可以） 36．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【解析】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由， 所以两圆相交，则． 故答案为： 题型九：圆中范围与最值问题 37．（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）如果实数，满足，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则表示经过原点的直线，为直线的斜率． 如果实数，满足和，即直线同时经过原点和圆上的点． 其中圆心，半径 从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为 则直线的斜率就是其倾斜角的正切值，易得，， 可由勾股定理求得，于是可得到为的最大值； 同理，的最小值为－1． 则的范围是． 故选：B． 38．（多选题）（2024·高二·河南安阳·期中）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确； 对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 39．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【解析】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径． ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误． 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确． 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确． 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误． 故选：BC 40．（2024·高二·上海·课后作业）圆上的点到直线的距离最小值是 ． 【答案】 【解析】因为圆，化为标准方程为：， 其圆心为，半径为1， 因为直线，所以圆心到该直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离最小值是． 故答案为：． 题型十：圆系问题 41．已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【解析】（1），① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为． （2）设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 题型十一：直线与圆的实际问题 42．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（    ） A．1h B． C．2h D． 【答案】C 【解析】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：C． 43．（2024·高二·广东深圳·期中）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是 ；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是 ．    【答案】 【解析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则， ， 设成功点，则，即， 化简得，因为点在矩形场地内，所以， 所以点的轨迹方程是． 当与圆相切时，则有， 所以，所以，又， 若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为， 所以的取值范围是． 故答案为：；． 44．（2024·高二·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【答案】 3．32 【解析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图， 则， 则圆的标准方程为：． 由题意设，代入圆的方程得， 解得，即，则． 故答案为：3．32；． 【重难点集训】 1．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线绕原点逆时针旋转与圆相交于两点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】直线绕原点逆时针旋转后，两条直线垂直， 所以旋转后直线的斜率为，直线方程为， 由题意得圆的圆心，半径，所以圆心到直线的距离，则． 故选：D. 2．（2024·高二·河北衡水·阶段练习）已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（    ） A．8 B．10 C．16 D． 【答案】C 【解析】因为圆，所以圆心为， 因为圆刚好被直线平分， 所以直线必过点，代入直线中得到， 所以， 当且仅当时取等，此时解得，故C正确. 故选：C 3．（2024·高二·浙江嘉兴·阶段练习）圆和直线为圆C上一点，则下列说法正确的是（    ） A．若圆C关于直线l对称，则的最大值为20 B．若圆C关于直线l对称，则 C．存在实数a使得圆C与直线l相离 D．无论取a任何实数，圆C都和直线l相交 【答案】ABD 【解析】对于B，方程可化为， 所以的圆心为，半径为， 若圆C关于直线l对称，则，解得，故B正确； 对于A，设，则点到直线的距离满足：， 所以，解得，所以的最大值为20，故A正确； 对于C，点到直线的距离为， 若圆C与直线l相离， 则，但这不可能，（因为），故C错误； 对于D，由C选项分析可知，若，但这不可能，（因为）， 所以恒成立， 所以无论取a任何实数，圆C都和直线l相交，故D正确. 故选：ABD. 4．（2024·高二·全国·课后作业）已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得圆的标准方程为，所以半径为， 如图，过圆心作直线的垂线，由题意得垂线斜率为， 故设其方程为，将带入其中， 可得，解得，所以垂线方程为， 因为求半径最小的圆，所以圆的圆心在直线上， 而圆心到直线的距离为， 故圆的半径为， 设圆心，已知，解得， 即圆心，故D正确. 故选：D 5．（2024·高二·河南漯河·阶段练习）台风中心从地以的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得示意图 以城市为圆心作一个半径为的圆，只要台风经过圆内，即段，城市处于危险地区； 台风从地向移动,其中为中点，所以 所以 所以 又因为台风速度为 所以城市处于危险地区内的时长为 故选： 6．（2024·高二·天津·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设可得圆的圆心坐标为，半径为， 动直线可化为：， 故该直线恒过定点，因为， 故定点在圆的内部，故圆心到动直线的距离的最大值为， 故的最小值为， 故选：B. 7．（多选题）（2024·高二·浙江杭州·阶段练习）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线l与圆C有两个交点 C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D．圆C与圆恰有三条公切线 【答案】ABD 【解析】对于A，直线的方程为，由，得，直线过定点，A正确； 对于B，，即定点在圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确； 对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误； 对于D，圆的方程化为， 其圆心为，半径为3，两圆圆心距为， 两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确. 故选：ABD. 8．（多选题）（2024·高二·广东中山·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．已知点在圆上，则的最大值是4 B．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】A选项，因为点在圆上， 所以， 当时，取得最大值4，故A正确； B选项，由，所以，即直线过点， 因为直线和线段相交，故只需或，故B错误； C选项，圆的圆心到直线的距离， 而点是圆外一点，所以， 所以，所以直线与圆相交，故C错误； D选项，与点的距离为1的点在圆上， 由题意知圆与圆相交， 所以圆心距，满足，解得，故D正确. 故选：AD 9．（多选题）（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线l：的距离都等于1 C．圆：与圆：恰有三条公切线，则 D．已知圆C：，点P为直线上一动点，过点向圆C引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【解析】直线， 所以，所以，解得， 所以直线恒过定点，故A错误； 圆，圆心为到直线的距离为， 所以直线与圆相交，平行于直线l且距离为的直线分别过圆心以及和圆相切， 所以圆上有且仅有个点到直线的距离为，故B正确； 由：可得，圆心，， 由：可得， 圆心，，由题意可得两圆相外切，所以， 即，解得：，故C正确； 设，所以，     因为、，分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点，在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为 . 整理可得：，与已知圆C：，相减可得. 消去可得：，即， 由解得，所以直线经过定点，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（2024·高二·重庆·开学考试）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BD 【解析】由可知圆心为，半径为1； 由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为； 对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为，与圆的方程相减可得， 化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 故选：BD 11．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）在直角坐标系中，已知，动点满足，则面积的范围为 【答案】 【解析】设点，则 由已知得， 所以，即 故点的轨迹方程为，即，其圆心，半径为． 直线AC的方程为，即 圆心到直线AC的距离 则点到边AC的距离的最小值为，最大值为 又 则面积的最小值为，最大值为， 所以面积的范围为． 故答案为：． 12．（2024·高二·天津南开·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上运动，若恒为锐角，则正实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】设以为直径的圆的圆心为A， 由题意可知， 所以的中点，半径为， 又圆得圆心为，半径， 由恒为锐角可知两圆外离，如图， 所以，即， 解得. 故答案为： 13．（2024·高二·湖北黄冈·阶段练习）曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】曲线，即 直线过定点， 如图：，， 当直线与曲线有一个交点时， 则直线夹在了直线与直线之间，而， 所以此时k的取值范围是， 当直线与曲线相切时也只有一个交点， 则圆心到直线的距离为： ，解得， 所以实数k的取值范围是：. 14．（2024·高二·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可设经过点的圆的方程为， 整理得，则圆心为． 圆①，圆②， 由①-②得，，即直线的方程为． 因为为直径，圆心在直线上，所以，解得， 故以为直径的圆的方程为． 故答案为：． 15．（2024·高二·河北沧州·阶段练习）已知圆，点的坐标为，过点作直线交圆于两点，则的取值范围为 【答案】. 【解析】取中点为，连接，如图所示： 则，又，， 故点的轨迹为以为直径的圆，圆心为，半径为， 因为，， 所以，即，则. 故答案为：. 16．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线：与动点的轨迹交于两点，记动点轨迹的对称中心为点，则当面积最大时，求直线的方程． 【解析】设， 由题意可得，整理可得， 可知动点的轨迹是以圆心为，半径为的圆， 由，可得． 则由，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆的内部． 作直线，垂足为， 设，因为， 所以， 所以， 所以． 所以当，即时，． 此，且，可知直线的斜率为， 所以直线的方程为. 17．（2024·高二·山西晋中·阶段练习）已知点，圆：． (1)求圆过点的最短弦所在的直线方程； (2)若圆与直线相交于，两点，为原点，且，求的值． 【解析】（1）过点的最短弦就是圆心与连线垂直的直线， 圆的圆心，则， 所以过点的最短弦所在的直线方程为，即． （2）消去得， 化简后为． 因为圆与直线交于，两点， 所以， 即，解得． 设，，则，． 因为，所以，即． 由得． 从而，解得． 18．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆E的方程； (3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 【解析】（1）圆，所以圆的圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 公共弦； （2）圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，，即，到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； （3） 当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，， 所以，四边形的面积； 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时， 设直线为：， 则直线为：， 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， ，， 设， 当或1时，正好是轴及垂直轴， 面积， 当时，最大且，或1时，最小， 四边形面积的最大值17，最小值． 19．（2024·高二·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知点与直线l：，圆C： (1)一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程； (2)过P点作圆的切线，求切线方程． 【解析】（1）设点关于直线：的对称点坐标为， 则有，解得，即， 直线的方程为：，即， 因反射光线过点，而反射光线所在直线过点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）圆C：即圆C：的圆心为，半径为， 过点且斜率不存在的直线为，显然到直线的距离，故满足题意； 设过点且斜率存在的直线的直线与圆C：相切， 则，解得，此时所求直线为，即； 综上所述，满足题意的切线方程为或. 20．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）（1）求圆心在直线上，与直线相切于点的圆C的方程. （2）若过点作圆的切线，求切线的斜率. 【解析】（1）依题意，，则直线的斜率为，方程为，即， 由，解得，则圆的圆心，， 所以所求圆的方程为：. （2）圆的圆心，半径， 当切线的斜率不存在时，，点到切线的距离为2，不等于半径，不满足题意； 当切线的斜率存在时，设，即， 则，解得， 所以切线的斜率为. 21．（2024·高二·江西赣州·开学考试）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： (1)求圆C的方程． (2)直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【解析】（1）因为和，线段的中点为，且， 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得， 故圆心为，半径， 则圆圆C的方程为. （2）由圆心到直线的距离，. 故线段的长度为. 【高考真题】 1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【解析】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 5．（2021年北京市高考数学试题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可得圆心为，半径为2， 则圆心到直线的距离， 则弦长为， 则当时，取得最小值为，解得. 故选：C. 6．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 7．（多选题）（2021年全国新高考I卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【解析】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 8．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ． 【答案】 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上， 所以所在直线即为直线，所以直线为，即； 圆，圆心，半径， 依题意圆心到直线的距离， 即，解得，即； 故答案为： 11．（2022年新高考全国I卷数学真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【解析】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 12．（2021年天津高考数学试题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【答案】 【解析】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$