专题09 全等三角形的综合（压轴题，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题09 全等三角形的综合（压轴题，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 5．（24-25八年级上·江西赣州·开学考试）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为 ． 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，在边上取一点，连接，且，若，，则的长为 ． 8．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 9．（2024八年级·全国·竞赛）如图，中，，是中线，设，则x的取值范围是 ． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为 ． 11．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 12．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 13．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 14．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 三、解答题 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 16．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图1，已知点表示的立方根，且．将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，点E在y轴的负半轴，． (1)直接写出A，B，C，D各点的坐标； (2)证明； (3)求点E的坐标； (4)如图2，平分，平分，求的度数． 17．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的中线，过点D作，交于点E，是的角分线，点在边上，且，点在线段上，若，记的面积为， 的面积为，求的值． 18．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：． 19．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在和中，，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，请直接写出的度数； (3)连接，过点A作于点，求证：平分； (4)线段，与之间的数量关系是：________． 20．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 22．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，平分与x轴交于点C． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若点A的坐标为，点E为上一点，且，求的长； (3)如图3，若，过C作于点F，点H为线段上一动点，点G为线段上一动点，在运动过程中，始终满足，试判断之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C． (1)求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，，满足，若点P为射线上异于原点O和点A的一个动点． (1)如图1， ①直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②当点P位于点O与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（P为直角顶点，B，P，E按逆时针方向排列），连接．求证：； (2)点D是直线上异于点A与点B的一点，使得，过点D作交y轴于点F，探究，，之间的数量关系，并证明． 25．（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 26．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积．            27．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）在中，是平分线上一点，过点作交于点． (1)如图，连结，恰好平分． ①写出线段的数量关系： ； ②当时，求的度数； (2)如图，交于点， ①尺规作图，作的平分线交于点； ②作交于点，当的大小发生变化时，的值是否发生变化？并说明理由． 28．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 29．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 30．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 12 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题09 全等三角形的综合（压轴题，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【分析】连接，根据， ， ， ，证明 ，结合，证明，得到，根据，得到 的最小值为的长． 本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为的长． 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【详解】解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵BD平分， ∴ ∵， ∴，故③正确； 过点D作于N，于 G ，于H，如图，    ∵平分，， ， ∴ ∵平分， ，， ∴ ∴ ∴为外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查与角平分线有关的角的计算，角平分线判定与性质，三角形内角和与外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 4．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明再证明即可，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定④正确；；延长交于点N，得到，得到，可以判断③错误，解答即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， 平分， ∴， ∴， 故①正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故③错误， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江西赣州·开学考试）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，分两种情况：①当 P在线段 上，②当 P在射线 上，再分别分和 两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①当在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 则， ∴， 即时间为秒，不合题意； ③当在射线上，时，， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ④当在射线上，时，， 则， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形外角和定理和角平分性质，过C作交延长线于H，则，，结合已知可得，则和，进一步求得，有，即可证明，则，利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：过C作交延长线于H，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 即， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 解得． 故答案为：4． 7．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，在边上取一点，连接，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于，首先证明，再，得，，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， . ， ， . 在和中， ， ，，. 在和中， ， ， ，. ， ， ， . ， . ， ， ， ， 故答案为. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形面积等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键． 【详解】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使 ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2024八年级·全国·竞赛）如图，中，，是中线，设，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长至点E，使，连接，根据中线性质得到，根据，推出，得到，根据三角形三边关系得到，即得．本题主要考查了三角形．熟练掌握三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，线段中线性质 ，是解决问题的关键． 【详解】延长至点E，使，连接， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为：． 10．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，构造全等三角形是解答本题的关键．过点A作于点M，于点N，根据手拉手模型证明，得到，然后证明，得到，，进一步推得，再证明，可得，最后根据三角形内角和定理即得答案． 【详解】过点A作于点M，于点N， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 即， ，，， ， ， ． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在上，点Q在上，②当点P在上，点Q在上，③点P与Q重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用t表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（1）当P点在上，点Q在上，如图1， 则，， ，， ∵， ∴    ， 即， 解得：， 即P点运动6秒； （2）当点P在上，点Q在上，如图2，    则，， ∵， ∴， 即， 解得， 此时不符合题意； （3）点P与Q重合在上，如图3，    则，， ∴， 即， 解得：， ∴综上可知：或， 故答案为：或． 13．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，已知：四边形中，对角线平分，，，并且，那么的度数为 【答案】 【分析】延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论．本题考查了角平分线的性质，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线 在与中， ， ， ， 又 ， 为的平分线， 过点作于点， 在与中， ， ， ， ． 在与中， ， 为的平分线 ， 在中， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在Rt中，，的角平分线相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，解答即可． 【详解】解：∵的角平分线相交于点P， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴； 故②正确； ∵， ∴，无法得到， 故③错误； 过点D作于点M， 根据，， 得， ∴， 故④正确； ∵， ∴，，， ∵ ∴ ∴； ∴， 故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形全等等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么． 【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接， ，， 在与中 ， ， ，， ， 在与中 ， ， ， ， 即； （2）线段、、之间的数量关系是， 在上截取，连接， ，，， ， 在与中 ， ， ， ， 又∵， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 16．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）如图1，已知点表示的立方根，且．将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段，点E在y轴的负半轴，． (1)直接写出A，B，C，D各点的坐标； (2)证明； (3)求点E的坐标； (4)如图2，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据立方根的性质求解的值，可得，的坐标，再利用平移的性质可得，的坐标； （2）由平移的性质可得，证明，结合，可得，从而可得结论； （3）如图，取的三边中点，可得，，，证明，可得，可得，证明，可得，可得； （4）由，可得，结合三角形的内角和可得，证明，再结合角平分线的定义可得结论． 【详解】（1）解：∵点表示的立方根，且． ∴，， 解得：， ∴，； ∵将线段向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， ∴，； （2）证明：由平移可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，取的三边中点， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，坐标与图形，立方根的含义，平移的性质，全等三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 17．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，是的中线，过点D作，交于点E，是的角分线，点在边上，且，点在线段上，若，记的面积为， 的面积为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积比问题，利用中线均分面积和角平分线定理计算出线段之比，得出面积比，本题的关键是中线均分面积和三角形角平分线的性质． 【详解】解：如图，过点作，交于点，连接， 是的角分线， ， ， ， 又， ∴， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，，分别为的角平分线，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角性质，在上截取，连接，证明，得到，，由三角形内角和定理得到，由三角形外角性质得到，得到，进而得到，由平分，可得到，进而得到，即可求证，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】证明：在上截取，连接， ∵平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在和中，，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，请直接写出的度数； (3)连接，过点A作于点，求证：平分； (4)线段，与之间的数量关系是：________． 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3)证明详见解析 (4) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据“边角边”证明三角形全等即可； （2）根据，得到，再利用，将代入，即得答案； （3）过点A作于点，利用面积法证明，再根据角平分线的判定定理，即可证明结果； （4）先证明，得到，再证明，得到，即可证得答案． 【详解】（1）， ， 又，， ； （2）； 理由如下： ， ， ， ， ； （3）过点A作于点， ， ，， ， ， ， 平分； （4）； 理由如下： ， ， 又，， ， ， ， ，，， ， ， ． 20．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 21．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，，，直线交坐标轴于和． (1)若和满足，则点的坐标为 ，点的坐标为 ，点坐标为 ． (2)如图2，点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动，其中a，b满足，点C在第四象限，过点C作轴于点P，试判断是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点C作轴于点E，问与有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1)，， (2)是定值，为2 (3)，理由见解析 【分析】（1）因为与不可能为负数，要使，则有，，求出和即可得到点、点的坐标，又因为是等腰直角三角形，根据其性质即可得出点的坐标； （2）先根据“角角边”判断，从而得到，，，根据点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， 得到即可求解； （3）先利用“角边角”证明，得到，然后利用“角角边”证明，得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：和满足， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． ，， 是等腰直角三角形， 点向左平移1个单位，向上平移1个单位得到点， 点是点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到的， 点的坐标为：． 故答案为： ，，． （2）解：轴， ， ， 又， ， ， 又， ， ，， ． 点，点分别在轴正半轴和轴负半轴上运动， ． ， ． （3）解：延长交的延长线与点， y轴恰好平分， ， 轴于点E， ， ， ， ． ，， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， ． 22．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，平分与x轴交于点C． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若点A的坐标为，点E为上一点，且，求的长； (3)如图3，若，过C作于点F，点H为线段上一动点，点G为线段上一动点，在运动过程中，始终满足，试判断之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，可证，由等腰三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解； 添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图3，在的延长线截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于点C． (1)求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，延长交y轴于点，点N为x轴上一点，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；倍长中线法构全等； （1）过A作于N，过B作于M，根据即可证明，再由全等三角形的性质证明即可． （2）在x轴正半轴上截取，连接，则，先证，由全等三角形的性质和同角的补角相等可证，再证，得，进而可证； （3）过A作轴于P，轴于T，交x轴于Q，先证，可得，再证，可得，进而可得，再由互余关系求解即可． 【详解】（1）证明：过A作于N，过B作于M，则， ， ， 在和中， ， ， ， （2）在x轴正半轴上截取，连接，则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）过A作轴于P，轴于T，交x轴于Q， ， ， 轴， ， 轴， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，点，，满足，若点P为射线上异于原点O和点A的一个动点． (1)如图1， ①直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②当点P位于点O与点A之间时，连接，以线段为边作等腰直角（P为直角顶点，B，P，E按逆时针方向排列），连接．求证：； (2)点D是直线上异于点A与点B的一点，使得，过点D作交y轴于点F，探究，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①；②见解析 (2)，见解析 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；②通过证明，得出，则，再推出，即可得出，即可求证； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在线段上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论；②当点在延长线上，过点作交延长线与点，通过证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：，； ②证明：过点作交轴于点 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：①当点在线段上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当点在延长线上， 过点作交延长线与点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等绝对值的非负性，三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 25．（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 【答案】(1)①；②，，理由见详解 (2)补全图形见详解，②的结论还成立，证明见详解 【分析】（1）①证明，得出，则可得出结论； ②连接，，证明，得出，，则可得出结论； （2）根据题意补全图形，证明，得出，，则可得出结论． 【详解】（1）解：（1）①， 为的中点， ， ，， ， ， ， ； ②，， 理由：连接，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）补全图形如下，②的结论还成立， 证明：连接，， 同①可证，， 设，则， ，， ， ，而，， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）①④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，则，，，由，，可得，进而可证，则，，可判断①、④的正误；由，可知当时，，由，的关系未知，可判断②、③的正误； （3）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （4）如图4，由，，可得，，，由，可得，即，，由，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：如图2，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，，①④正确，故符合要求； ∵， ∴当时，， ∵，的关系未知， ∴②③错误，故不符合要求； 故答案为：①④； （3）证明：如图3，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 解：如图4，            ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质是解题的关键． 27．（22-23八年级下·山东枣庄·期中）在中，是平分线上一点，过点作交于点． (1)如图，连结，恰好平分． ①写出线段的数量关系： ； ②当时，求的度数； (2)如图，交于点， ①尺规作图，作的平分线交于点； ②作交于点，当的大小发生变化时，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)①作图见解析；②的值不发生变化，理由见解析． 【分析】（）①由平行线的性质和角平分线的定义可得，，即得，，根据即可求解；②由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，据此即可求解； （）①根据角平分线的作法作图即可；②设，可得，进而由得到，，即可得，又由得到，即得，即可求解； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和画法，等角对等边，三角形内角和定理，余角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∵是，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵是，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，射线即为所求； ②的值不发生变化，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值是定值，不会发生变化． 28．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由． (3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，， ． ． ． ． 又， ， ， ． ． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，， ， 在与中， ， ． ． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接．   ，， ． 在与中 ， ． ． ． ． ， ∴． ， ， ． 29．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)秒或秒 (2)cm/s或cm/s 【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）分两种情况，当点P在上， ，Q的移动速度；②当点P在上， ，，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为 ． 【详解】（1）当点P在上时，如图①﹣1， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时，如图①﹣2 ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）∵， ∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F； 当点P在上，如图②﹣1所示， ∵， ∴点Q移动的速度为； 当点P在上，如图②﹣2所示： ∵，， ∴点P移动的距离为，点Q移动的距离为， ∴点Q移动的速度为； 故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好时，点Q的运动速度为或． 30．（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1)；证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【详解】（1）解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$