专题06 三角形全等的判定（八大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题06 三角形全等的判定（八大题型，40题） 目录 题型一：SSS 1 题型二：全等的性质和SSS综合 3 题型三：SAS 4 题型四：全等的性质和SAS综合 5 题型五：尺规作一个角等于已知角 7 题型六：用ASA（AAS）证明三角形全等 9 题型七：全等的性质和AAS（ASA）综合 10 题型八：全等的性质和HL综合 12 一、题型一：SSS 1．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河北保定·期末）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知： 求作：，使 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（　　） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 3．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 4．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 5．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 二、题型二：全等的性质和SSS综合 6．（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，与相交于点与相交于点，若，则 ． 7．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，，，点B在上，点D在上． 求证： (1) (2)． 9．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，以点C为圆心，以长为半径画圆弧，交的延长线于点D．分别以点C、D为圆心，以线段为半径画弧，两弧交于点E，连接．根据以上作图过程，求证：． 10．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图、点、、、在一条直线上，，． (1)求证：； (2)求证：． 三、题型三：SAS 11．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，点在点正北方向，点在点正东方向，且点、到点的距离相等，甲从点出发，以每小时50千米的速度朝正东方向行驶，乙从点出发，以每小时30千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点处的观察员发现甲、乙两人之间的夹角为，此时甲、乙两人相距（    ） A．60千米 B．70千米 C．80千米 D．90千米 12．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）        A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 13．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 14．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 15．（2023·广东·模拟预测）如图，，请添加一个条件，使． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)利用（1）中添加的条件，求证：． 四、题型四：全等的性质和SAS综合 16．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则 度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ． 17．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． 18．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，，，，求证：． 19．（24-25八年级上·辽宁辽阳·开学考试）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 20．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，连接，平分，求的度数． 五、题型五：尺规作一个角等于已知角 21．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是 ．    22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知线段，，，用直尺和圆规求作，使得的两边分别为，，一内角等于． 23．（2024·甘肃陇南·模拟预测）已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小甲同学设计的尺规作图过程， 作法：如图2 ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，E两点； ②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于F点； ③以点F为圆心，长为半径作弧，与②中作的弧在内部交于点G； ④作射线． 所以射线就是所求作的射线． 图1图2根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 24．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 25．（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 六、题型六：用ASA（AAS）证明三角形全等 26．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，，，直线过与的交点，则图中全等三角形有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 27．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）     A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 28．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）不能判断两个三个角形全等的条件是（     ） A．有三条边对应相等 B．有两边及夹角对应相等 C．有三个角对应相等 D．有两个角及夹边对应相等 29．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 30．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 七、题型七：全等的性质和AAS（ASA）综合 31．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等?若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 32．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值． 33．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，，过点的直线不经过三角形的内部，过点、作，，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，图1中四边形的面积为______；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，则四边形面积为______；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 34．（23-24八年级上·江西赣州·期末）已知满足，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上． (1)如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是，点B的坐标是，且满足，则_______，________，A的坐标为________． (2)如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于E，猜想：与数量关系为________，并证明你的猜想． (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想________． 35．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 (1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； (2)模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； (3)模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 八、题型八：全等的性质和HL综合 36．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）和中，是边上的高，是边上的高．若，，，则与的关系是 ． 37．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点． (1)如图1，点，分别在线段，上，若，求证：； (2)如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度； (3)已知，点，分别在线段和的延长线上，连接． ①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标； ②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系． 38．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 39．（23-24八年级上·重庆璧山·期中）如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 40．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）已知在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°． (1)如图1，若AD=10，∠BAD=90°，求CD的长度； (2)如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：； (3)如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题06 三角形全等的判定（八大题型，40题） 目录 题型一：SSS 1 题型二：全等的性质和SSS综合 5 题型三：SAS 9 题型四：全等的性质和SAS综合 14 题型五：尺规作一个角等于已知角 23 题型六：用ASA（AAS）证明三角形全等 28 题型七：全等的性质和AAS（ASA）综合 32 题型八：全等的性质和HL综合 47 一、题型一：SSS 1．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 2．（22-23八年级上·河北保定·期末）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知： 求作：，使 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（　　） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 【答案】A 【分析】本题主要考查基本作图，全等三角形的判定方法，熟练掌握作图是解题的关键．根据作法得到，再根据全等三角形的判定方法即可得到答案． 【详解】解：根据作法得到， 故由可得， 故选A． 3．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 4．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定，作射线；以为圆心，长度为半径画弧，交于点；分别以、为圆心，、长度为半径画弧，两弧交于点；连接，，则即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：（1）作射线， （2）以为圆心，长度为半径画弧，交于点， （3）分别以、为圆心，、长度为半径画弧，两弧交于点， （4）连接，，如图： 由作图可知，在和中， ， ∴， ∴即为所求． 5．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，与三角形高相关的计算． （1）根据，得到，结合，利用即可证明； （2）由（1）知，推出，即可证明； （3）根据，且的面积为1，可求出的面积为，再根据（2）知得到点到的距离与点到的距离相等，推出的面积与的面积相等，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ； （3）解：，且的面积为1， 的面积为， 由（2）知， 点到的距离与点到的距离相等， 的面积与的面积相等， 四边形的面积为． 二、题型二：全等的性质和SSS综合 6．（22-23八年级上·江苏南通·期中）如图，，，，与相交于点与相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理求角度，涉及对顶角相等，先由题中所给条件，利用三角形全等的判定定理得到，进而由三角形全等的性质确定，再根据对顶角相等得到，在和中，由三角形内角和定理即可确定答案，熟练掌握三角形全等的性质、三角形内角和定理求角度是解决问题的关键． 【详解】解：在和中， ， ， 在和中，，，则由三角形内角和定理可得， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）已知：如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线判定等．根据题意先证明，继而利用全等的性质即可得到本题结论． 【详解】解：证明：在和中， ， ， ， ． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，，，点B在上，点D在上． 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角的补角相等等知识． （1）根据已知条件利用证明即可； （2）根据得到，再利用等角的补角相等即可得到结论． 【详解】（1）证明：在和中， ∴ （2）∵， ∴． ∵，， ∴． 9．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，以点C为圆心，以长为半径画圆弧，交的延长线于点D．分别以点C、D为圆心，以线段为半径画弧，两弧交于点E，连接．根据以上作图过程，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了作三角形，三角形全等的判定与性质，平行线的判定．根据作图得到，证明，推出，即可证明． 【详解】证明：根据作图知， ∴， ∴， ∴． 10．（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图、点、、、在一条直线上，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键． （1）由题中条件，利用两个三角形全等的判定定理得到，再由三角形全等的性质即可得证； （2）由（1）中得到，再由同位角相等两直线平行即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ． 三、题型三：SAS 11．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，点在点正北方向，点在点正东方向，且点、到点的距离相等，甲从点出发，以每小时50千米的速度朝正东方向行驶，乙从点出发，以每小时30千米的速度朝正北方向行驶，1小时后，位于点处的观察员发现甲、乙两人之间的夹角为，此时甲、乙两人相距（    ） A．60千米 B．70千米 C．80千米 D．90千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，延长至，使，连接，结合全等三角形的判定与性质得出，则进而求出即可，得出是解题关键． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， （千米）， 故选：C． 12．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）        A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】A 【详解】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 已知两边和夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【分析】解：如图：在与中， ， ∴． 故选：A．    13．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的判定、三角形的三边关系以及外角等知识点，正确掌握相关定理是解题关键． 根据全等三角形的判定方法、三角形的三边关系、三角形的外角相关知识逐项判定即可． 【详解】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意； B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意； C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意； D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 14．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 15．（2023·广东·模拟预测）如图，，请添加一个条件，使． (1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）； (2)利用（1）中添加的条件，求证：． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题． （1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使； （2）根据三角形全等的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 由得添加一个条件为， 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：， ， ， 即， 在和中， ， ． 四、题型四：全等的性质和SAS综合 16．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则 度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得； （2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ； ， ∵， ， （2）点D在线段上，如图： ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图：   ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在的延长线上时，如图： 同理可得， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 故答案为：（1）；（2）或． 17．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】①由条件证明，就可以得到； ②由①可以得出，进而得出结论； ③由条件知，由，就可以得出结论； ④根据三角形两边之和大于第三边，即可解答． 【详解】解：①， ，即． 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ，故②正确； ③，， ， ． ，故③正确； ④在中，根据两边之和大于第三边，可得， ， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 18．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·辽宁辽阳·开学考试）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是上的点且，探究图中线段、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？说明理由； （3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进．小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为（即：），试直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1），理由见解析；（2）结论：仍然成立，理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是海里． 【分析】（1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2） 延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． 【详解】解：（1）理由如下： 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵； 故答案为：； （2） 结论：仍然成立，理由如下： 延长到点G，使，连结，如图， 在和中， ， ， 在和 中， ， ； （3）如图， 连接，延长相交于点C， ，， 又∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论：成立， 即海里． ∴此时两舰艇之间的距离是海里． 20．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，连接，平分，求的度数． 【答案】(1)，将详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定、角平分线、三角形内角和定理等知识，证明是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及结合（1），可知，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明： ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 五、题型五：尺规作一个角等于已知角 21．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是 ．    【答案】/边边边 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和基本作图，熟练掌握全等三角形判定定理是解此题的关键． 从作图可知，，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的对应角相等推出即可． 【详解】解：从作图可知，， 在和中 ， ， ， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知线段，，，用直尺和圆规求作，使得的两边分别为，，一内角等于． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段，熟练掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 作法：作，在，上分别取，，连接，则为所求； 作法：作，在上分别取，以为原心，的长为半径作弧交于点，连接，则为所求； 作法3：作，在上分别取，以为原心，的长为半径作弧与没有交点，不能得三角形． 【详解】解∶ 作法，如图，为所求， 作法，如图，为所求， 作法3，如图，为所求. 23．（2024·甘肃陇南·模拟预测）已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小甲同学设计的尺规作图过程， 作法：如图2 ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，E两点； ②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于F点； ③以点F为圆心，长为半径作弧，与②中作的弧在内部交于点G； ④作射线． 所以射线就是所求作的射线． 图1图2根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，根据要求作出图形即可． 【详解】解：如图，射线即为所求． 24．（2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)作图见解析过程 (2) 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义以及相等角的尺规作图是解答本题的关键． （1）如图所示，作交于，根据同位角相等，两直线平行，即可说明平行，则点即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 25．（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作； （2）由作图即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，和即为所作， ； （2）解：由图可得：这样的三角形能作个． 六、题型六：用ASA（AAS）证明三角形全等 26．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，，，直线过与的交点，则图中全等三角形有（    ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．先由平行线的性质得出，，，，然后结合全能三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 同理可证． ∵，，， ∴． 同理可证． 故选C． 27．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）小刚把一块三角形玻璃打碎成了如图所示的三块，现要到玻璃店取配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）     A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 根据三角形全等的条件进行判断即可． 【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃， 应带③去． 故选：C． 28．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）不能判断两个三个角形全等的条件是（     ） A．有三条边对应相等 B．有两边及夹角对应相等 C．有三个角对应相等 D．有两个角及夹边对应相等 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法有、、、是解题的关键． 【详解】解：A.判定方法为，能判断三角形全等，不符合题意； B.判定方法为，能判断三角形全等，不符合题意； C.如边长为和的两个等边三角形，三个角对应相等，但不全等，所以不能判断三角形全等，故符合题意； D.判定方法为，能判断三角形全等，不符合题意； 故选：C． 29．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，B、C、E三点在同一条直线上， (1)求证： (2)若,求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线性质和全等三角形的性质和判定的应用，证得是解题的关键． （1）根据平行线求出，再说明，最后结合运用即可证明结论； （2）根据全等三角形性质得出，进而根据平角定义即可解答． 【详解】（1）证明∶ ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴ ． 30．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知和的位置如下图所示，．求证： (1)． (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明即可求证； （）证明即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 七、题型七：全等的性质和AAS（ASA）综合 31．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，在中，，，，三点都在直线上，且，． (1)如图①，若，则与的数量关系为 ； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若改变题干中的条件，只保持，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．是否存在，使得与全等?若存在，求出相应的的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或，． 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，推出，证明，通过全等三角形的对应边相等，得到； （2）由（1）同理可得，得，，通过可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 故答案为： （2）解：，理由如下 又 ， 故答案为： （3）解：①点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ，， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ， 当时，， ， ， 当，，满足， 故，符合题意 ②点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ，， 当时，， ， ， ，点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上以的速度由点向点运动， ， 当，时，满足， 故，符合题意； 综上，，或， 32．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于，若，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在直线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 33．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，，过点的直线不经过三角形的内部，过点、作，，垂足为． (1)请你在图1中，写出一对全等三角形：______； (2)请证明你所写的结论； (3)尝试探究：若，，图1中四边形的面积为______；图2中过点的直线经过三角形内部，其他条件不变，则四边形面积为______；（用含的代数式表示） (4)拓展应用：如图3，，，则点坐标为______．若点（不与重合），在坐标平面内，与全等，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，②或 (4)，或或 【分析】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． （1）由图可知； （2）利用可证； （3）①利用梯形面积公式可解；②同（2）可证，四边形的面积为和面积之和； （4）在坐标系内构造全等三角形即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：和是一对全等三角形， 故答案为：； （2）证明：，， ，， ， 在和中， ， ； （3）解：①由（2）知， ，， 四边形的面积为：； ②同（2）可证， ，， ， 四边形的面积为：， 故答案为：，； （4）解：如图所示，作轴于点D． ，， ，． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H． ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 故答案为：，或或． 34．（23-24八年级上·江西赣州·期末）已知满足，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上． (1)如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是，点B的坐标是，且满足，则_______，________，A的坐标为________． (2)如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于E，猜想：与数量关系为________，并证明你的猜想． (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作轴于F，在滑动的过程中，试猜想________． 【答案】(1)，3， (2)．证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，利用证明，得出，，即可求解； （2）先利用等腰三角形的判定得出，同（1）的方法证明出，得出即可； （3）作于E，同（1）方法证明，得出，最后结合图形即可求解． 【详解】（1）解：如图①中， ∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：，3，； （2）解：结论：． 理由：如图②中，延长、交于点F， ∵y轴平分， ∴， ∵轴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：； 如图③中，作于E， 则四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 35．（2024·贵州·模拟预测）模型的发现： 如图 (1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； (2)模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； (3)模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 【答案】(1) (2)，见详解 (3)结论成立，见详解 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质． （1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论； （2）通过证明得到，进一步得到即可求解； （3）通过证明得到，进一步得到． 【详解】（1）解： 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （2）解： 证明如下：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ （3）（1）的结论成立， 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 八、题型八：全等的性质和HL综合 36．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）和中，是边上的高，是边上的高．若，，，则与的关系是 ． 【答案】相等或互补 【分析】分三种情况：当和都是锐角时；当和都是钝角时；当为钝角，为锐角时；利用全等三角形的判定与性质，邻补角之间的关系，即可得到答案． 【详解】解：当和都是锐角时，如图，    是边上的高，是边上的高， ， 在和中， ， ， ； 当和都是钝角时，如图，    同理可得， ， ，， ； 当为钝角，为锐角时，如图，    同理可得：， ， ， ； 综上所述，与的关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、邻补角的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 37．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点且、满足过点作 轴于，过点作 轴于点，点，分别是直线，轴的动点． (1)如图1，点，分别在线段，上，若，求证：； (2)如图2，连接，，若的面积为6，求线段的长度； (3)已知，点，分别在线段和的延长线上，连接． ①如图3，已知，，线段上存在一点，使得 ，求点的坐标； ②在（2）的条件下，如图4，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 (3)①；② 【分析】（1）由可得，，再由证得，最后根据全等三角形的性质即可证得结论； （2）在轴负半轴上截取，连接，即可证得，，进而可得知面积分别相等和，再由面积公式即可求得结论； （3）①过点作于，由可证，继而可知，，即可求解；②在上截取，连接，由可证和，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 轴，轴，， 四边形是正方形， 在和中， ， ， ． （2）如图，在轴负半轴上截取，连接， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ． （3）①如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ； ②，理由如下： 如图，在上截取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、二次根式和平方的非负性、三角形的面积公式，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 38．（23-24八年级上·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 【答案】(1)见解析； (2)①，理由见解析；②． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）①连结，根据全等三角形的性质及三角形等面积法可得，再利用证得，进而可求解；②根据全等三角形的性质可得，，设，则，利用即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中 ， ． ． （2）①，理由如下： 连结，如图：   ，， 是边上的高，是边上的高， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ． ②由①得， ，， 在和中， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， 点为的中点， ， 设，则， ， 即：， ， ． 39．（23-24八年级上·重庆璧山·期中）如图，与中，，，，过A作垂足为F，交的延长线于点G，连接．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再判定，即可得出； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长． 【详解】（1）过点作于， ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 40．（23-24八年级上·重庆巴南·阶段练习）已知在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°． (1)如图1，若AD=10，∠BAD=90°，求CD的长度； (2)如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：； (3)如图3，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程． 【答案】(1)DC=10 (2)见解析 (3)（2）中结论不成立，应该是：，理由见解析 【分析】（1）如图1，利用证得两个直角三角形全等：，则其对应边相等：； （2）如图2，延长，在上面找一点，使得，连接，通过证（）得到：，．然后由全等三角形的徐表格中求得，结合已知条件可以推知； （3）（2）中结论不成立，应该是：． 如图，在延长线上找一点，使得，连接，构建全等三角形：（），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理证得：，则其对应角相等：，结合四边形的内角和是度可以推得：． 【详解】（1）解，   在和中， （） ， （2）如图，延长，在上面找一点，使得，连接 在和中 （） ， ， ， 在和中 （） （3）（2）中结论不成立，应该是： 在延长线上找一点，使得，连接 在和中 （） ， ， ， 在和中 （） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 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