11.2 平面的基本事实与推论-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第四册随堂练习（人教B版）

参考答案 V E鄄ABCD ＋V F鄄EBC ＝16＋4＝20. 法二： 如图所示， 取 AB ， DC 的中点 G ， H ， 连接 EG ， GH ， EH ， 则 EG∥FB ， EH∥FC ， GH∥BC ， 得棱柱 EGH鄄 FBC. 由题意， 得 V E鄄AGHD ＝ 1 3 S 四边形 AGHD ×3＝ 1 3 ×4×4× 1 2 ×3＝8 ， V EGH鄄FBC ＝3V B鄄EGH ＝3V E鄄BGH ＝3× 1 2 V E鄄GBCH ＝ 3 2 V E鄄AGHD ＝ 3 2 ×8＝12 ， ∴V＝ V E鄄AGHD ＋V EGH鄄FBC ＝8＋12＝20. 11. 15 3 姨 r 【解析 】 由题意知 ， 圆 锥的轴截面为正三角形 . 如图所示， 当 球在容器内时 ， 水深为 3r ， 水面的半 径为 3 姨 r ， 则容器内水的体积 V=V 圆锥 - V 球 = 1 3 π （ 3 姨 r ） 2 · 3r- 4 3 πr 3 = 5 3 πr 3 . 将 球取出后， 设容器内水的深度为 h ， 则水面的半径为 3 姨 3 h ， 从而容器内水的体积 V′= 1 3 π · 3 姨 3 3 $ h 2 · h= 1 9 πh 3 ， 由 V=V′ ， 得 h= 15 3 姨 r ， ∴ 这时容器中水的深度为 15 3 姨 r. 12. 16π 5 ［ 2 5 姨 +2 ， 4 3 姨 ］ 【解 析 】 过 点 O 在 平 面 ABCD 内 作 OG⊥DO 1 ， 垂足为点 G ， 如图所示， 易 知 O 1 O 2 ⊥CD ， O 1 O 2 =4 ， O 2 D=2 ， 由勾股 定理可得 O 1 D= O 1 O 2 2 +O 2 D 2 姨 =2 5 姨 ， 则 由 题 可 得 OG = 1 2 × O 1 O 2 · O 2 D O 1 D = 1 2 × 4×2 2 5 姨 = 2 5 姨 5 ， 设 O 到平面 DEF 的距离为 d 1 ， 平面 DEF 截得球的截面圆的半径为 r 1 ， ∵O 1 D奂 平面 DEF ， 当 OG⊥ 平面 DEF 时 ， d 1 取最大值 OG ， 即 d 1 ≤OG= 2 5 姨 5 ， ∴r 1 = 4-d 2 1姨 ≥ 4- 4 5 姨 = 4 5 姨 5 ， ∴ 平面 DEF 截得球的截面面 积最小值为 π× 4 5 姨 5 3 5 2 = 16π 5 . 由题可知点 P 在过球心与 圆柱的底面平行的截面圆上， 设 P 在 底 面的 射 影 为 P′ ， 则 PP′=2 ， PE= 2 2 +P′E 2 姨 = 4+P′E 2 姨 ， PF= 2 2 +P′F 2 姨 = 4+P′F 2 姨 ， 由勾股定理可得 P′E 2 +P′F 2 =16 ， 令 P′F 2 =8-t ， 则 P′E 2 =8+t ， 其 中 -8≤t≤8 ， ∴PE +PF = 12+t 姨 + 12-t 姨 ， ∴ （ PE +PF ） 2 = （ 12+t 姨 + 12-t 姨 ） 2 =24+2 144-t 2 姨 ∈ ［ 24+8 5 姨 ， 48 ］， 因 此， PE+PF∈ ［ 2 5 姨 +2 ， 4 3 姨 ］ . 13. 解： （ 1 ） 圆锥的底面半径 r＝ a 2 ， 高为 a ， 母线 l＝ a 2 4 +a 2 姨 ＝ 5 姨 2 a ， ∴ 挖去的圆锥的侧面积为 πrl＝π · a 2 · 5 姨 2 a＝ 5 姨 4 a 2 π （ cm 2 ） . （ 2 ） ∵M 的体积为正方体体积减去圆锥的体积， ∴M 的 体积为 a 3 - 1 3 π a 2 2 5 2 · a＝ 1- π 12 3 5 a 3 （ cm 3 ） . 14. 解： （ 1 ） 设圆台的母线长 为 l ， 由截得圆台上、 下底面面积之 比为 1 ∶ 16 ， 可设截得圆台的上、 下 底面的半径分别为 r ， 4r. 过轴 SO 作 截 面 ， 如 图 所 示 . 则 △SO′A′∽ △SOA ， O′A′＝3 ， ∴ O′A′ OA ＝ 1 4 ， ∴OA＝ 12 cm. 又 ∵SO＝24 cm ， ∴SA＝ 12 2 +24 2 姨 ＝12 5 姨 （ cm ） . AA′＝ 3 4 SA＝9 5 姨 cm ， 即圆台的母线长为 9 5 姨 cm. （ 2 ） 如图所示 ， 过正方体的 体对角线作圆锥的轴截面 ， 设正 方体的棱长为 x ， 则 OC＝ 2 姨 2 x ， ∴ 2 姨 2 x 12 ＝ 24-x 24 ， 解得 x＝24 （ 2 姨 -1 ）， ∴ 正方体的棱长为 24 （ 2 姨 -1 ） cm. 11.2 平面的基本事实与推论 学习手册 变式训练 1. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） × （ 4 ） 姨 2. 解： 已知 a∥b∥c ， l∩a＝A ， l∩b＝B ， l∩c＝C. 求证： 直线 a ， b ， c ， l 共面 . 证明 ： ［法一］ ∵a∥b ， ∴a ， b 确定一个平面 α. ∵l∩ a＝A ， l∩b＝B ， ∴A∈α ， B∈α ， 故 l奂α. 又 ∵a∥c ， ∴a ， c 确定一个平面 β. 同理可证 l奂β ， ∴α∩β＝a 且 α∩β＝l. ∵ 过 两条相交直线 a ， l 有且只有一个平面， 故 α 与 β 重合， 即 直线 a ， b ， c ， l 共面 . ［法二］ 由法一得 a ， b ， l 共面 α ， 也就是说 b 在 a ， l 确定的平面 α 内 . 同理可证 c 在 a ， l 确定的平面 α 内 . ∵ 过 a 和 l 只能确定一个平面， ∴a ， b ， c ， l 共面 . 3. 解 ： 如图 ， 连接 EF 并向两个方向延长 ， 分别交 DA ， DC 的延长线于点 P ， Q ， 连接 D 1 P ， D 1 Q ， 使得 D 1 P∩ D F E A B C H G D F E A B C 法一 法二 第 10 题答图 第 11 题答图 O P D A B C O A B S A′ B′ O′ 第 14 题答图 A O G D CO 2 O 1 B E F P′ O 1 第 12 题答图 第 12 题答图 S O D A B C 第 14 题答图 59 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 AA 1 =M ， D 1 Q∩CC 1 =N ， 连接 EM ， FN ， 则五边形 EMD 1 NF 即为所求截面 . 4. 证明： ∵MN∩EF＝Q ， ∴Q∈ 直线 MN ， Q∈ 直线 EF. 又 ∵M∈ 直线 CD ， N∈ 直线 AB ， CD奂 平面 ABCD ， AB奂 平 面 ABCD. ∴M ， N∈ 平 面 ABCD ， ∴MN奂 平 面 ABCD. ∴Q∈ 平面 ABCD. 同理 ， 可得 EF奂 平面 ADD 1 A 1 . ∴Q∈ 平 面 ADD 1 A 1 . 又 ∵ 平面 ABCD∩ 平面 ADD 1 A 1 ＝AD ， ∴Q∈ 直 线 AD ， 即 D ， A ， Q 三点共线 . 5. 证明 ： ∵ 在梯形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∴AB ， CD 是 梯形 ABCD 的两腰 . ∴AB ， CD 必定相交于一点 . 设 AB∩ CD＝M. ∵AB奂α ， CD奂β ， ∴M∈α ， M∈β. ∴M∈α∩β. 又 ∵α∩β＝l ， ∴M∈l. 即 AB ， CD ， l 共点 （相交于一点） . 随堂练习 1. D 2. D 3. C 4. C 5. 5 姨 练习手册 1. C 【解析】 由于点 P 在平面 α 外， ∴ 有 P埸α ， 又直 线 α 经过点 P ， ∴P∈a ， 故选 C. 2. D 【解析】 不在同一条直线上的三个点可确定一个 平面， A ， B ， C 条件不能保证有不在同一条直线上的三个 点， 故不正确， 故选 D. 3. B 【解析 】 设直线为 a ， 直线 a 外不共线的三点为 A ， B ， C ， 则 A ， B ， C 三点确定一个平面； 直线 a 与 A 确 定一个平面； 直线 a 与 B 确定一个平面； 直线 a 与 C 确定 一个平面， 故最多可确定四个平面， 故选 B. 4. Ａ 【解析】 平面 α 与平面 β 相交， 相交于一条直线， 因此它们有无限个公共点， A 说法错误； 由推论 1 知 B 说 法正确； 由推论 2 知 C 说法正确； 由推论 3 知 D 说法正确 . 故选 A. 5. D 【解析】 当 α 过 β 与 γ 的交线时， 这三个平面有 1 条交线； 当 β 与 γ 没有交线时， α 与 β 和 γ 各有 1 条交线， 共有 2 条交线； 当 β∩γ=b ， α∩β=a ， α∩γ=c 时， 有 3 条交 线 . 故选 D. 6. 1 【解析 】 根据题意 ， P ， Q 点在直线 l 上 ， P 是 l 与 α 的交点 ， Q 不在平面 α 内， ∴ 直线和平面相 交， 只有一个交点 . 7. 直线 CD 【解析 】 如图 ， 平 面 ABC∩ 平面 α=AB ， 平面 ABC∩ 平面 β=CD. 8. 2 6 姨 【解析】 如图所示， 取 DD 1 中点 F ， 连接 AF ， FC 1 ， 则菱形 AEC 1 F 为所求截面， 易得对角线 AC 1 =2 3 姨 ， EF=2 2 姨 ， ∴ 截面面积 S= 1 2 AC 1 · EF=2 6 姨 . 9. 证明 ： 如图 ， 连接 EF ， D 1 C ， A 1 B ， ∵E ， F 分别为 AB ， AA 1 的中点 ， ∴EF∥BA 1 . 又 ∵BA 1 ∥CD 1 ， ∴EF∥CD 1 ， 且 EF= 1 2 CD 1 ， ∴ 四边形 EFD 1 C 是梯形， ∴CE ， D 1 F 相交 ， 设交点为 P. ∵CE奂 平面 ABCD ， P∈CE ， ∴P∈ 平面 ABCD ， 同理可证 P∈ 平面 ADD 1 A 1 . 又 ∵ 平面 ABCD∩ 平面 ADD 1 A 1 = AD ， ∴P∈AD ， ∴DA ， CE ， D 1 F 交于一点 P ， 即 DA ， CE ， D 1 F 三线共点 . 10. （ 1 ） 证明 ： 连接 B 1 D 1 ， ∵E ， F 分别为 D 1 C 1 ， B 1 C 1 的中点 ， ∴EF∥ B 1 D 1 . 又 ∵B 1 D 1 ∥BD ， ∴EF∥BD. ∴D ， B ， E ， F 四点共面 （设为 α ） . （ 2 ） 解 ： ∵AA 1 ∥CC 1 ， ∴A 1 ， A ， C ， C 1 四点共面 （设为 β ） . 设平面 BDEF 为 α ， P∈BD ， 而 BD奂α ， 故 P∈α. 又 P∈AC ， 而 AC奂β ， ∴P∈β ， ∴P∈α∩β. 同理可证 得 Q∈α∩β ， 从而有 α∩β=PQ. 又 ∵A 1 C奂β ， ∴A 1 C 与平面 α 的交点就是 A 1 C 与 PQ 的交点 . 连接 A 1 C ， 则 A 1 C 与 PQ 的 交点就是所求的交点 . （ 3 ） 证 明 ： 由 （ 2 ） 可 知 ， PQ= 平 面 BDEF∩ 平 面 A 1 ACC 1 ， R∈A 1 C ， 而 A 1 C奂 平 面 A 1 ACC 1 ， 故 R∈ 平 面 A 1 ACC 1 . 同理 R∈ 平面 BDEF ， 故 R∈PQ ， 即 P ， Q ， R 三点 共线 . 11. BCD 【解析】 若三个平面交于一条直线， 则可将空 间分为 6 个部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行 ， 则可将空间分为 7 个部分； 若三个平面两两相交且三条交 线交于一点， 则可将空间分为 8 个部分； 所以 n 的取值为 6 ， 7 ， 8 ， 故选 BCD. 12. D 【解析 】 在 A 图中 ， 分别连 接 PS ， QR ， 则 PS∥QR ， ∴P ， S ， R ， Q 共面 . 在 B 图中 ， 过 P ， Q ， R ， S 可 作一个正六边形， 如图 ， 故 P ， Q ， R ， S 四点共面 . 在 C 图中， 易知 P ， Q ， R ， 第 3 题答图 D A 1 B 1 C 1 D 1 M P E A F B C Q N α β l A B C D 第 7 题答图 第 8 题答图 第 9 题答图 E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 F F E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 P P Q F E A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 R 第 10 题答图 S Q P R 第 12 题答图 60 参考答案 S 共面 . 在 D 图中， 连接 PS ， RQ ， 易知 PS 与 RQ 为异面直 线， ∴P ， Q ， R ， S 四点不共面 . 故选 D. 13. ①②③ 【解析 】 在题图中 ， 连接 A 1 C 1 ， AC ， 则 AC∩BD=O ， 又 ∵A 1 C∩ 平面 C 1 BD=M ， ∴ 三点 C 1 ， M ， O 在 平面 C 1 BD 与平面 ACC 1 A 1 的交线上， 即 C 1 ， M ， O 三点共 线， ∴①②③ 均正确 . 易知 ④ 不正确 . 14. BD 【 解 析 】 由 B∈AB ， D∈AD ， AB∩AD =A ， AB奂琢 ， AD奂琢 ， 故 B∈琢 ， D∈琢 ， 同理 B∈茁 ， D∈茁 ， 故 琢∩茁=BD ， 由 E∈AB ， H∈DA ， 则 E∈琢 ， H∈琢 ， 故 EH奂 琢 ， 同理可得 FG奂茁 ， 又直线 HE∩ 直线 FG=M ， 故 M∈EH ， M∈FG ， 即 M∈琢 ， M∈茁 ， ∴M 必在 琢 ， 茁 的交线 BD 上 . 15. 15 2 【解析】 取 C 1 D 1 的中点 Q ， 连接 PQ ， B 1 D 1 ， 则 PQ∥B 1 D 1 ， PQ= 1 2 B 1 D 1 ， 又 BD∥B 1 D 1 ， 则 PQ∥BD ， 根据正 四棱台的性质得 DQ=BP ， 则四边形 BDQP 为等腰梯形， 即 过 B ， D ， P 三点的截面为等腰梯形 BDQP. 取 BC 的中点 M ， 连 接 MP ， 在 等 腰 梯 形 B 1 C 1 CB 中 ， B 1 C 1 =2 ， BC =4 ， B 1 B= 6 姨 ， BM=2 ， 则 PM= B 1 B 2 - 1 2 （ BC-B 1 C 1 1 ' ） 2 姨 = 5 姨 ， DQ=BP= BM 2 +PM 2 姨 =3 ， 在等腰梯形 BDQP 中， PQ= 1 2 B 1 D 1 = 2 姨 ， BD=4 2 姨 ， 则梯形的高为 BP 2 - 1 2 （ BD-PQ 1 1 1 ） 2 姨 = 3 2 姨 2 ， ∴ 等腰梯形 BDQP 的面积 S= 1 2 × （ 2 姨 +4 2 姨 ） × 3 2 姨 2 = 15 2 . 16. 解： ① 连接 BA 并延长， 交 FE 的延长线于点 D ； ② 连接 DC ， 交 EQ 于点 G ， 延长 DC ， 交 FH 的延长线 于点 M ； ③ 连接 BM ， 交 HP 于点 N ； ④ 连接 CN ， GA ， 则五边形 AGCNB 即为所求 . 11.3 空间中的平行关系 11.3.1 平行直线与异面直线 学习手册 变式训练 1. B 2. （ 1 ） × （ 2 ） × （ 3 ） 姨 3. ABC 随堂练习 1. D 2. B 3. B 4. ① 5. ３ 练习手册 1. A 【解析 】 空间中有两条直线 ， 若 “这两条直线为 异面直线”， 则 “这两条直线没有公共点”； 若 “这两条直 线没有公共点”， 则 “这两条直线可能平行， 可能为异面直 线” . 所以 “这两条直线为异面直线” 是 “这两条直线没有 公共点” 的充分非必要条件 . 故选 A. ２． B 【解析】 设正方体棱长为 2 ， 直接计算可知四边形 D 1 PBQ 各边均为 5 姨 ， 又四边形 D 1 PBQ 是平行四边形， ∴ 四边形 D 1 PBQ 是菱形 ． ３. D 【解析】 如图 （ 1 ） （ 2 ） 所示， OB 与 O 1 B 1 不一定 平行 . 4. D 【解析】 空间中三条直线 l ， m ， n. 若 l 与 m 异面， 且 l 与 n 异面， 则 m 与 n 可能平行， 如图 （ 1 ）， 也可能相 交， 如图 （ 2 ）， 也可能异面， 如图 （ 3 ）， 故选 D. ５. C 【解析】 本题容易错选 A 或 B 或 D. 不能严格根据 第 14 题答图 A 1 B 1 D 1 C 1 Q P D C A B M M N Q H P D G F E A B C 第 16 题答图 第 15 题答图 O A B A 1 B 1 O 1 O A B A 1 B 1 O 1 （ 1 ） （ 2 ） 第 ３ 题答图 琢 m n l 茁 l 琢 m n 琢 l m n （ 1 ） （ 3 ）（ 2 ） 第 4 题答图 琢 茁 C F G DH E B A M R 61 日期： 班级： 姓名： 1. 若两个不重合的平面有公共点， 则公共点有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 1 个或无数个 D. 无数个且在同一条直线上 2. 下列说法正确的是 （ ） A． 三点确定一个平面 B． 一条直线和一个点确定一个平面 C． 圆心和圆上两点确定一个平面 D． 两条相交直线确定一个平面 3. 在下列各种面中， 不能被认为是平面的一部分的是 （ ） A. 黑板面 B. 乒乓球桌面 C. 篮球的表面 D. 平静的水面 11.2 平面的基本事实与推论 37 4. 设平面 α 与平面 β 交于直线 l ， A∈α ， B∈α ， 且直线 AB∩ l＝C ， 则直线 AB∩β＝ . 5. 在棱长为 1 的正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 是 BB 1 的中点， 直线 D 1 M 与平面 ABCD 交于点 N ， 则线段 AN 的长度为 . 38